Curvas Cônicas

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ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
CURVAS CÔNICAS
ELIPSE
Quando o plano secante é oblíquo ao eixo 
mas o ângulo dele com o plano da base é
menor do que o ângulo entre a geratriz do 
cone e o plano da base a curva resultante 
chama-se Elipse.
Curvas cônicas são curvas resultantes de secções no cone reto circular. Cone reto circular é aquele cuja base é
uma circunferência e a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro da circunferência.Conforme a posição 
do plano secante, em relação ao eixo do cone.
ELIPSE como lugar geométrico
A elipse é o conjunto dos pontos do plano que 
satisfazem a seguinte condição:
PF + PF´ = AA´
Onde AA´ = eixo maior 
P é um ponto qualquer da curva 
F e F´ são os focos 
BB´ = eixo menor
FF´ = distância Focal
O = centro da curva
Obs: Esta curva é fechada e possui dois eixos 
de simetria os quais são chamados de eixos da 
elipse.
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CÍRCULOS DIRETORES
2. Círculo diretor de F´
Centro em F´e raio= AA`
1. Círculo diretor de F 
Centro em F e raio= AA`
São dois os círculos diretores:
São dois os círculos principais:
1. Centro em O e raio = AO 
2. Centro em O e raio = OB
CÍRCULOS PRINCIPAIS
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Construção da Elipse como lugar geométrico:
Para esta construção basta conhecer o eixo maior e a distância focal ou os dois eixo ou o eixo menor e a distância focal.
Supondo conhecer o eixo maior e a distância focal: 
Sobre uma reta marcar um ponto O, centro da curva
Etapa 1: Marcar sobre esta reta e a partir do ponto O a metade da distância focal e a metade do eixo maior para cada lado 
de O.
Etapa 2: Marcar os pontos 1, 2, 3... (arbitrários) entre F e O
Com centro em F e F´ e raio A1 traçar arcos
Com os mesmos centros e raio A´1 traçar arcos que cortarão os primeiros em quatro pontos.Estes quatro pontos são da 
curva. 
Repetir a operação com os mesmos centros e raios A2 e A´2 encontrando mais 4 pontos da curva...
Etapa 3: Quando o número de pontos for suficiente, traçar a curva.
B
B´
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
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Hipérbole como lugar geométrico
A hipérbole é o conjunto dos planos do plano que 
satisfazem a seguinte condição:
PF - PF´ = AA´
Onde AA´ = eixo real 
P é um ponto qualquer da curva 
F e F´ são os focos 
BB´ = eixo imaginário
FF´ = distância Focal
O = centro da curva
Obs: Esta curva é aberta, de dois ramos e possui 
dois eixos de simetria.
Hipérbole 
Quando o plano secante é paralelo ou 
oblíquo ao eixo mas o ângulo dele com 
o plano da base é maior do que o 
ângulo entre a geratriz do cone e o 
plano da base.
HIPÉRBOLE
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Construção da Hipérbole como lugar geométrico:
Para esta a construção basta conhecer o eixo real (AA´) e a distância focal (FF´).
Supondo conhecer o eixo real (AA´) e a distância focal (FF´):
Etapa 1: Sobre uma reta marcar o centro da curva (ponto O);
Marcar sobre esta reta e a partir do ponto O a metade da distância focal (FF´) e a metade do eixo real (AA´), determinando 
A, A´, F e F´
Etapa 2: Marcar os pontos 1, 2, 3... (arbitrários) à esquerda de F ou à direita de F´;
Com centro em F e F´ e raio A1 traçar arcos;
Com os mesmos centros e raio A´1 traçar arcos que cortarão os primeiros arcos em quatro pontos. Estes quatro pontos 
pertencem à curva.
Repetir a operação com os mesmos centros e raios A2 e A´2 encontrando mais 4 pontos da curva
Etapa 3: Quando o número de pontos for suficiente, traçar a curva.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
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Parábola 
Quando o plano secante é
obliquo ao eixo mas sua 
inclinação é igual ao 
ângulo entre a geratriz do 
cone e o plano da base.
PARÁBOLA
Parábola como lugar geométrico 
A parábola é o conjunto de pontos do plano que 
satisfazem a seguinte condição:
PF = Pd
Onde P é um ponto qualquer da curva
F é o foco 
d = diretriz
V = vértice
A distância OF é o parâmetro da curva.
O vértice da curva é, por definição, o ponto médio do 
parâmetro
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Construção da Parábola como lugar geométrico:
Para esta construção basta conhecer o parâmetro da curva.
Supondo conhecer o parâmetro (OF).
Etapa1: Sobre uma reta (eixo) traçar uma perpendicular (d) e na intersecção das duas retas marcar o ponto O. 
A partir do ponto O e com o valor do parâmetro, marcar o foco (F). Determinar o vértice (V), ponto médio do segmento OF
Etapa 2: A partir do vértice traçar paralelas a diretriz (d) pelos pontos arbitrários 1, 2, 3... 
Traçar arcos com centro no foco (F) e:
Raio O1, cortar a paralela que passa pelo ponto 1
Raio O2, cortar a paralela que passa pelo ponto 2
Raio O3, cortar a paralela que passa pelo ponto 3...
Os pontos de intersecção dos arcos com as paralelas são os pontos da curva.
Etapa 3: Após obter um número suficiente de pontos, traçar a curva. 
Observe que o centro de todos os arcos é o ponto F.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
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Tangentes por um ponto da curva
Tangente à elipse
Para determinar a reta tangente 
à elipse, por um de seus 
pontos, basta traçar a bissetriz 
do ângulo entre um raio vetor 
do ponto de tangencia e o 
prolongamento do outro raio 
vetor do mesmo ponto. 
Esta bissetriz é a reta tangente 
à elipse.
Tangente à hipérbole
Para determinar a reta tangente 
à hipérbole, por um de seus 
pontos, basta traçar a bissetriz 
do ângulo entre os raios 
vetores do ponto de tangencia.
Esta bissetriz é a reta tangente 
à hipérbole.
Tangente à parábola
Para determinar a reta tangente 
à parábola, por um de seus 
pontos, basta traçar a bissetriz 
do ângulo entre os raios 
vetores do ponto de tangencia.
Esta bissetriz é a reta tangente 
à parábola.
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Tangentes por um ponto exterior à Elipse
Etapa 1
Seja o ponto P exterior à
elipse
Traçar um arco com centro 
no ponto P e raio PF;
Traçar outro arco com 
centro em F´ e raio AA´;
Marcar os pontos 1 e 2 nas 
intersecções dos dois arcos;
Etapa 2
Traçar a mediatriz do segmento 1F
Traçar a mediatriz do segmento 2F
Estas duas mediatrizes são as 
tangentes à elipse e passam pelo 
ponto P.
Esta era a proposta do problema
Etapa 3
Para determinar os pontos de 
tangência sobre as tangentes:
Unir o ponto 1 a F´ até cortar T1
Unir o ponto 2 a F´ até cortar T2
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Tangentes por um ponto exterior à Hipérbole
Etapa 1
Seja o ponto P exterior à
hipérbole
Traçar um arco com centro 
no ponto P e raio PF;
Traçar outro arco com 
centro em F´ e raio AA´;
Marcar os pontos 1 e 2 nas 
intersecções dos dois arcos;
Etapa 2
Traçar a mediatriz do segmento 1F
Traçar a mediatriz do segmento 2F
Estas duas mediatrizes são as 
tangentes à hipérbole e passam 
pelo ponto P.
Etapa 3
Para determinar os pontos de 
tangência sobre as tangentes:
Unir o ponto 1 a F´ até cortar T1
Unir o ponto 2 a F´ até cortar T2
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Tangentes por um ponto exterior à Parábola
Etapa 1
Seja o ponto P exterior à
parábola.
Traçar um arco com centro 
no ponto P e raio PF;
Este arco corta a reta diretriz 
nos pontos 1 e 2.
Etapa 2
Traçar a mediatriz do segmento 1F
Traçar a mediatriz do segmento 2F
Estas duas mediatrizes são as 
tangentes à parábola e passam 
pelo ponto P.
Etapa 3
Para determinar os pontos de 
tangência sobre as tangentes:
Traçar uma paralela ao eixo pelo 
ponto1 até cortar t1 no ponto de 
tangência T1.
Traçar uma paralela ao eixo pelo 
ponto 2 até cortar t2 no ponto de 
tangência T2.