Cap. 4 - Equação da energia

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Fenômenos de Transporte 1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
UNIDADE ACADÊMICA CENTRO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
Professora: LINDAUREA DANTAS COSTA 
E-mail: ldantascosta@hotmail.com Fe
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1
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EQUAÇÃO DA ENERGIA 
Energias mecânicas associadas a um fluido 
Energia Potencial : é a energia devido à posição do fluido em relação a 
um plano horizontal de referência (PHR). 
Energia Cinética: é a energia devido ao movimento do fluido. 
mgzEp 
2/2mvEc 
 prdEdW 
EQUAÇÃO DA ENERGIA 
Energia de Pressão: corresponde ao trabalho das forças de pressão que 
atuam no escoamento do fluido. 
v
pr pdvETubo de corrente: - Pressão uniforme na seção. - Força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A F= p.A 
- Em um dt, o fluido se desloca de um ds, sob a ação 
de uma força F, produzindo um trabalho dW 
pdVdsApdsFdW  ...
Por definição: 
PdVdEpr  
Energia Mecânica total do fluido(E) prcp EEEE   vpdvmvmgzE 2
2
EQUAÇÃO DA ENERGIA 
Equação de Bernoulli 
Hipóteses simplificadora: 
a) Regime permanente. 
b) Sem a presença de máquinas ( bombas ou turbinas). 
c) Sem perdas por atrito – fluido ideal. 
d) Fluido incompressível. 
e) Propriedades uniformes nas seções. 
f) Sem trocas de calor. 
Atravessando o trecho (1)-(2) – 
acrescenta energia ao fluido 
Equação de Bernoulli 
 Considerando o tubo de corrente: em um dt uma massa infinitesimal dm de 
fluido atravessa a seção (1) e sai pela seção (2). 
11
2
11
111
2
.
.. dVP
vdm
zgdmdE 
22
2
22
222
2
.
.. dVP
vdm
zgdmdE 
Escoa pela seção (2) – levando a 
energia do fluido 
Equação de Bernoulli 
 No escoamento em estudo , pelas hipóteses (b), (c) e (f), não se fornece 
nem retira energia do fluido. 
 
 Regime permanente – no trecho (1)-(2) não há variação de energia. 
22
2
22
2211
2
11
11
2
.
..
2
.
.. dVp
vdm
zgdmdVp
vdm
zgdm 
 21 dEdE  
dm
dV
dV
dm
 Como 2
2
2
2
22
221
1
1
2
11
11
2
.
..
2
.
.. dm
pvdm
zgdmdm
pvdm
zgdm  
Fluido incompressível: 
ρ=cte 
 
Regime permanente: 
dm1 = dm2 

2
2
2
2
1
2
1
1
2
.
2
.
pv
zg
pv
zg 
Equação de Bernoulli 
Energia total por unidade de peso (carga) 

2
2
2
2
1
2
1
1
2
.
2
.
pv
zg
pv
zg 
Dividindo a equação por g e lembrando que ϒ=ρ.g 
2
2
2
2
1
2
1
1
22
p
g
v
z
p
g
v
z 
pressão de carga 
p
cinética carga 
2g
v
potencial carga 
2




z
H = energia total por unidade 
de peso numa seção ou carga 
total na seção. 
z
g
vp
H 
2
2

Considerando um sistema de escoamento entre as seções (1) e (2) 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
vp
z
g
vp
 
21 HH 
Equação de Bernoulli 
Exercício 01 
Determine a velocidade do jato de líquido na saída de um tanque de grande 
dimensões. Determinar a vazão volumétrica do fluido considerando o 
diâmetro do tubo de 1,5 in e h = 5 m. Considerar fluido ideal. 
Aplicação da equação da energia 
entre os pontos (1) e (2). 
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
22
z
g
vp
z
g
vp
 
h
g
v

2
2
2
ghv 222 
222 .AvQQv  ) (nível ctvzPPP atm 0 ; 0 ; 1221 
ghv 22  422 DA 
Considere o tubo de Venturi ilustrado abaixo. Um manômetro cujo fluido 
manométrico é mercúrio (γHg) é ligado entre as seções (1) e (2) indicando um 
desnível h. Supondo as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades 
uniformes nas duas seções, determine a vazão de agua (Q) que escoa pelo 
Venturi. 
Exercício 02 
Aplicando a equação da energia (Bernoulli) entre os pontos (1) e (2): 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
vp
z
g
vp
 
O eixo central das seções 1 e 2 tem a mesma cota z em relação a qualquer PHR. 

21
2
1
2
2
2
PP
g
vv 


Exercício 02 

21
2
1
2
2
2
PP
g
vv 


• Pela equação da continuidade com A2 < A1 → V2 > V1 (Ec aumenta). 
• A energia de pressão deverá diminuir → P2 ˂ P1 . 
Equação Manométrica: 
 ba PP 
hxphxp HgOHOHOH .... 22221  
 hPP oHHg 221  
Substituindo na equação da energia 
 
 
.
2
2
2
1
2
2

 h
g
vv oHHg 

  
 
2.
22
1
2
2 
 gh
vv
oHHg 

 QQ Q 222111221121m AvAvmm   
Fluido Incompressível ( ρ = cte) 
1
2
212211 v 
A
A
vAvAv 
Então, 
 
 
2.
2
2
1
22
2
2
2 
 gh
A
A
vv
oHHg 







Calculando V2 , determina-se a vazão volumétrica Q pela equação: 
 QQQ 2221 Av
Exercício 02 
Como temos duas incógnitas (as velocidades), podemos utilizar a equação da 
Continuidade (BM) para determina uma delas. 
EQUAÇÃO DA ENERGIA 
Máquina : qualquer dispositivo que ao ser 
introduzido no escoamento, forneça ou retire 
energia do fluido, na forma de trabalho . 
Equação da Energia na Presença de uma Máquina 
Considerando fluido incompressível, a máquina será 
denominada : 
 
 BOMBA – fornece energia ao fluido 
 TURBINA – retira energia do fluido 
21 HHH B 
Considerando um sistema de escoamento entre as seções (1) e (2) 
Equação da Energia na Presença de uma Máquina 
 Se a máquina for uma bomba ( H1 ˂ H2) 
21 HH 
Sem máquina: 
 Se a máquina for uma turbina, (H1 > H2) 21 HHH T 
HB = Energia fornecida à 
unidade de peso do fluido 
que passa pela bomba. 
HT = Energia retirada da 
unidade de peso do fluido 
pela turbina. 
Chamando de Hm a carga manométrica das máquinas (bombas ou turbinas), a 
Equação geral passa a ter a seguinte expressão: 
Equação da Energia na Presença de uma Máquina 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
vp
Hz
g
vp
m   21 HHH m  
2
 12
2
1
2
212 ZZ
g
vvpp
Hm 



 
 Para as turbinas: Hm = - HT (carga manométrica das Turbinas) 
 
 Para as bombas: Hm = HB (carga manométrica das bombas) 
Potência e Rendimento de uma Máquina 
 Potência do Fluido (N) - Podemos definir a potência do fluido como: 
mHQN ..
 Potência da Bomba (NB) - Consideraremos o funcionamento convencional 
de uma Bomba, representado pela figura abaixo. 
N = Potência útil da bomba, ou 
Potência do Fluido, ou Potência 
trocada entre bomba e fluido. 
 
NB = Potência útil do motor 
elétrico ou Potência da bomba. 
 
Nm = Potência do motor elétrico 
ou a Potência consumida pela 
rede elétrica. 
 
VCi = Volume de controle i 
N = Potência do Fluido (W) 
ϒ = peso específico do fluido (N/m3) 
Q = vazão bombeada (m3/s) 
Hm = altura manométrica (m) 
Potência e Rendimento de uma Máquina 
 O conceito geral de rendimento de uma máquina () é: 
Ci
Ci
V no entra que potência
V do sai que potência

B
B
N
N

B
m
B
HQ
N

 ..

Conjunto motor-bomba: 
mGmBG NN  .mBm NNVC2 → a bomba 
fornecida potência
útil potência

VC1 → o motor 
Potência do conjunto motor-bomba: 
G
m
m
HQ
N

 ..

N.m/s = J/s = W (watt) 
1 CV  736 W 
1 HP  1,014 CV 
pm H
g
v
z
p
H
g
v
z
p

.2.2
2
2
2
2
2
1
1
1
Equação da Energia – FluidoReal Havendo atritos no escoamento do fluido entre as seções (1) e (2), haverá uma dissipação de energia, de forma que H1 > H2. Assim, deverá ser somada a energia dissipada no escoamento (Hp). pm HHHH  21
Hp = energia perdida por 
unidade de peso 
 O fluido real ao escoar por uma tubulação é submetido a forças resistentes 
exercidas pelas paredes da tubulação e por uma região do próprio fluido . 
 
 Assim, o fluido ao escoar dissipa parte de sua energia, principalmente na 
forma de calor. Essa energia não é mais recuperada como energia cinética e 
/ou potencial e, por isso, denomina-se perda de carga . 
Diagrama de Velocidade não-uniforme na Seção 
 
 Fator de correção da Energia Cinética (α) 
• Devido à viscosidade dos fluidos reais, a distribuição de velocidade não 
será uniforme na seção transversal do tubo (principio da aderência). 
• Este fato causa alteração no termo v2/2g da equação da energia. 
• Assim, o fluxo da energia cinética através de cada seção deveria ser 
calculada por integração. 
• É mais prático utilizar a velocidade média e empregar um fator de 
correção () que leve em conta esta variação. 
• Este fator depende do tipo de escoamento e é função do número de 
Reynolds. 
A energia cinética real que passa pela seção A na unidade de tempo é igual a: 
A energia cinética que passa na unidade de tempo calculada com a velocidade 
média Vm é igual a : 
Considerando um escoamento em que o perfil de velocidades na seção não é 
uniforme: 
Diagrama de Velocidade não-uniforme na Seção 
 Fator de correção da Energia Cinética (α) 
vdAdQdQ
dt
dm
dt
vdm
dE mc   
2.
. 2
2
3 Av
E mc

 dA
vv
vdAdEc  2.
E 
2.
3
 c
2 
Diagrama de Velocidade não-uniforme na Seção 
 Fator de correção da Energia Cinética (α) 
Introduzindo o fator de correção α , pode-se escrever : 
 dA
vAvm
22
33 
dAvAv
A
m 
33  dA
v
v
A
A m
 






3
1

Logo, a equação da Energia para fluidos reais será: 
Usando  , V1 e V2 são velocidades médias nas seções 1 e 2 do escoamento. 
No caso de um escoamento turbulento o valor de  tende para a 
unidade, enquanto que no caso de um escoamento laminar o valor de 
 difere bastante da unidade e deve sempre ser levado em 
consideração. 
pm H
g
v
z
p
H
g
v
z
p

22
2
2
22
2
2
1
11
1 
Na equação da energia descrita, podemos considerar:: 
1 :Turbulento Regime
2 :Laminar Regime




Alguns livros consideram outra notação para a equação da energia quando 
utilizamos o fator de correção  (ver gráfico) : 1 :Turbulento Regime
0,5 : LaminarRegime




Na equação da energia descrita 
acima, consideramos: 
Diagrama de Velocidade não-uniforme na Seção 
 Fator de correção da Energia Cinética (α) 
pm H
g
v
z
p
H
g
v
z
p

.2.2 2
2
2
2
2
1
2
1
1
1

Gráfico que correlaciona o fator de correção α e o número de Reynolds 
Fator de correção da Energia Cinética (α) 
1) No escoamento de (1) para (2) do esquema abaixo, a pressão do gás no 
ponto 6 é igual a -49kPa. Considerando os dados abaixo, determine: 
a) A vazão volumétrica. 
b) A carga manométrica (H)da bomba. 
 
Dados: Hp1,2= Hp5,6= 1,5 m Hp3,4= 0,7 m Hp4,5=0 A4=3A5=100 cm
2 
 𝜸𝑯𝒈= 136.000 𝑁/𝑚
2 ; 𝜸𝑯𝟐𝒐 = 9.800𝑁/𝑚
2 
Exercício 
B. Energia entre 4 - 5: 
a) A vazão volumétrica. 
545
2
55
4
2
44
22
 PHZ
g
vP
Z
g
vP

O eixo central das seções 4 e 5 tem a mesma cota z em relação a qualquer PHR. 

54
2
4
2
5
2
PP
g
vv 


hPhP FOH   54 2Equação Manométrica  hPP OHF 254  





 


 OHF
ghvv 2224
2
5
(1) /m 176 2224
2
5 svv 
B. Massa – Eq da Continuidade: 
(2) 3 
3 ....
45
545544
vv
AAAvAv

 
Subst. (2) em (1): 
444 .Q /m 7,4 Avsv 