Relatorio II

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miguel sales porto de sousa
IAN HORI DE OLIVEIRA
GUSTAVO ESTEVO FELIX
DIEGO SILVA DE MELO
III turma de Eng. de energia 2º semestre
TURMA A
DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS
Rosana
Agosto de 2016
RESUMO
	Os experimentos realizados neste relatório têm, por conseguinte comprovar as aplicações teóricas referentes ao assunto de dinâmica dos corpos rígidos, abordando aos temas de: movimento de rotação e translação e o momento de inercia.
	Os dois experimentos foram divididos em procedimento A e B.
O procedimento A, foi analisado em um plano inclinado o comportamento de uma esfera de aço solta de um ponto ·, onde foi cronometrado 5 medidas de tempo para cada espaço percorrido.
A ação das forças externas no sistema tal como as componentes e implicavam para a rotação e a translação de um corpo rígido prolongando, assim, deslocamento total na barra inclinada. De modo, que se torna possível a obtenção de resultados que referenciam a velocidade angular, velocidade tangencial, momento de inercia, e energia mecânica.
	No procedimento B, uma polia fixa a um tripé, foi acoplada um disco para a realização de uma análise qualitativa das forças atuantes quando na presença de um torque realizado sobre a polia e obtido o tempo de queda do disco e a energia mecânica.
	Neste experimento, pela desconsideração de qualquer força externa o sistema é conservativo, pela conversão de energia cinética e potencial.
	
Palavras-chave: Momento de inercia, Centro de massa, Energia de rotação. 
Introdução
O experimento realizado em torno da cinética e dinâmica de rotação de corpo rígido estuda o movimento de rolamento, que caracteriza a combinação de rotação, e pode ser estendido para “[...] dinâmica do movimento de rotação para casos em que o eixo de rotação se move. Quando isso ocorre, dizemos que o corpo sofre um movimento combinado de rotação e translação. [...]” (FREEDMAN; ZEMANSKY, 2008, p. 323).
 Diante disso, descrito por Freedman e Zemansky (2008) o movimento de translação de um corpo rígido é descrito pelo movimento do centro de massa em torno de um referencial.
É importante ressaltar que a definição de todo "[...] corpo rígido é um sistema constituído de partículas (átomos, por exemplo) agregadas de um modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo não varia com o tempo." (SÃO PAULO, 2007).
A partir destas definições podem ser observadas as forças que fisicamente atuam em uma esfera rolando sobre seu próprio eixo em um plano inclinado passando por um ponto “P”, como segue na figura 1.
Figura 1 – Esfera rolando em torno do eixo P.
Fonte: Laboratório (2016)
	
Como pode ser observado, o centro de massa da esfera se movimenta com velocidade linear constante, e outro fator importante resaltar é o comprimento S do arco que ocorre aos pontos tangenciais da esfera em função do raio R e o ângulo formado 
Descrito por Freedman e Zemansky (2008), a velocidade linear do centro da esfera é dado pelo produto da velocidade angular e o raio R, sendo o raio constante.
Em relação a energia cinética K que a esfera produz ao longo de todo o deslocamento, ou seja, a energia total, pode ser calculada pelo produto do momento de inércia em função do quadrado da velocidade angular multiplicado por 1/2 
	 (1)
O que pode ser demonstrado, por substituição e por meio do teorema dos eixos paralelos é que:
	(2)
Consequentemente o momento de inércia de uma esfera pode ser encontrado por:
 	(3)
	
Trabalhando com as equações (4) em (3), substituindo os valores, se encontra a seguinte relação que resulta na energia cinética, em qualquer instante:			
	(4)
	
em que o segundo termo se trata da energia cinética de rotação () já o primeiro termo se trata da energia cinética de translação () do centro de massa.
Logo, o que ocorre com uma esfera que rola por um plano inclinado, também terá, no instante inicial, a energia mecânica igual à energia potencial, como descrito a seguir pela energia cinética de rotação ():
 	(5)
Lembrando que a relação da velocidade linear com angular é dado por:
 	(6)
Sabendo que a energia potencial gravitacional pode ser encontrado por 
 	(7)
	
A explanar sobre o segundo experimento, dado por materiais que dinamizam o estudo, tem-se a compreensão principalmente do momento de inércia e consigo relações que podem ser nomeadas como conservação de energia mecânica, torque, quantidade de momento angular.
Ao ponto inicial, o momento de inércia se define pela distribuição da massa de um corpo em relação ao eixo de rotação (TIPLER, 1995) (2). Um corpo que possui inúmeras partículas de massa , cujas não se deslocam entre si mesmo pela ação de forças externas, quanto mais distantes estiverem do eixo de rotação maior será o momento de inercia ; a não depender este momento a forma como o corpo está girando em torno do eixo. (SEARS; ZEMANSKY, 2008) (1). A representar algebricamente:
	(8)
Proporcional, a aplicação do torque, representado pela equação (2), direcionado a um elevado momento de inercia observa-se uma dificultosa rotação. (SEARS; ZEMANSKY, 2008). “[...] o torque fornece a medida quantitativa de como a ação de uma força pode provocar ou alterar o movimento de rotação de um corpo [...]”. (SEARS; ZEMANSKY, 2008, p. 316).
	(9)
Dado, pela conservação do momento angular, ”[...] quando o torque externo resultante que atua sobre um sistema é igual à zero, o momento angular do sistema permanece constante (se conserva) [...]”. (SEARS; ZEMANSKY, 2008, p. 316).
De forma, a verificar inicialmente um patinador de pernas e braços estendidos, girando em torno de seu centro de massa, e posteriormente comprimidos seus braços e pernas, tem-se a conclusão de um momento de inercia inicial superior ao final , análogo, a velocidade angular final encontra-se superior a inicial .Descrita por (SEARS; ZEMANSKY, 2008), a seguir:
 
	(10)
	Diante disso a conservação da energia mecânica, “[...] em um dado processo, podem ocorrer variações da energia cinética, da energia potencial e da energia interna do sistema. Contudo, a soma dessas varrições é sempre iguala a zero. Havendo diminuição de uma dessas formas de energia, ocorrerá aumento de outra. [...] a energia nunca pode ser criada ou destruída; ela pode apenas mudar de uma forma para outra. [...]”. (SEARS; ZEMANSKY, 2008, p. 230).
As características deste experimento, a uso da equação (4) energia cinética, equação (7) energia potencial e a equação (10) conservação de energia situar, têm como possível a obtenção da velocidade angular, linear e derivados. 
	 (4)
 	(7)
	(11)
		
 Objetivo
	O procedimento relativo ao tópico 3.2 tem por objetivo determinar as equações do deslocamento, velocidade, e a aceleração angular de uma esfera rolante em um plano inclinada.
	O procedimento referente ao tópico 3.3 tem por objetivo determinar experimentalmente o momento de inercia de um disco. 	
3. Procedimento experimental 
3.1.Materiais 
Conjunto eixo-disco
Balança
Esfera
Disco
Paquímetro
Trena
Régua
Cronometro
Barbante
Sargento
Trilho
3.2. Primeiro procedimento
	Um trilho de pvc foi medido com um trena e com uma caneta esferográfica foram marcados uma distancia equivalente de em . Um tripé foi ajustado a uma determinada altura para que quando o trilho sobreposto ao mesmo formasse um ângulo com inclinação menor igual á 10º.
	Após a montagem da rampa ideal para a realização do experimento, uma esfera foi posicionada no topo da rampa, na onde foi solta e com um cronometro foi registrado cinco medidas de tempo para cada espaço marcado no trilho.
	Com uma balança semi-analítica, foi realizado a pesagem da esfera, e com um paquímetro foi medido o diâmetro da mesma.
	
3.3. Segundo procedimento
PARTE 1:
	Um disco conectado á um barbante e uma polia foi pesado em uma balança semi-analítica e, por conseguinte com um paquímetrofoi obtido o diâmetro do disco e da polia.
	Com o auxilio de um tripé o disco foi ajustado a uma altura na qual permanecesse na iminência ao toque do solo, para a fixação desta medida foi colado com uma fita adesiva parte do barbante á uma polia fixa.
	Após a regulagem do disco em relação a iminência ao toque do solo, o barbante foi enrolado á polia para a obtenção de 5 medidas de tempo de queda.
PARTE 2:
	Analogamente ao primeiro disco, um segundo foi pesado e obtido seu diâmetro. O segundo disco metálico de massa maior foi conectado na outra extremidade do barbante formando um sistema de polia/massas.
	Partindo do sistema em equilíbrio (ponto onde a altura é equivalente para ambos os discos) foi solto por um dos integrantes do grupo os discos para a obtenção do tempo de queda do segundo disco do sistema. 	
	
Resultados e Discussão
	Experimento 1:
	Um trilho de foi dividido em espaçamentos de em . O equipamento foi ajustado à uma altura de para que a rampa contenha um ângulo , portanto o ângulo encontrado foi de 
	Logo: 
 
	Uma esfera foi posicionada em um ponto A da rampa, na qual foi solta e cronometrado o seu tempo pra cada percorridos. Para cada percorridos foram feitos 5 vezes o mesmo procedimento, como mostra o gráfico abaixo.
	
	
	
	
	
	
	10
	0,22
	0,18
	0,23
	0,27
	0,15
	20
	0,53
	0,36
	0,49
	0,49
	0,40
	30
	0,66
	0,56
	0,62
	0,57
	0,53
	40
	0,71
	0,75
	0,88
	0,65
	0,70
	50
	0,78
	0,79
	0,76
	0,80
	0,77
	60
	0,79
	0,83
	0,92
	0,87
	0,92
Tabela 1 - Fonte: feita pelo autor
	Em seguida foram feitas as médias dos tempos para cada espaço percorrido, com a seguinte equação:
 		(12)
	Sendo (x) à distância percorrida, como: ...
Com o uso da equação (1) foi construída a tabela da trajetória percorrida com a média dos tempos.
	
	
	10
	0,21
	20
	0, 454
	30
	0, 588
	40
	0, 738
	50
	0,78
	60
	0, 866
Tabela 2 - Fonte: feita pelo autor
	Com estes dados foi calculada a velocidade média do centro de massa da esfera em todo o percurso, com a seguinte fórmula:
	(13)
Efetuando os cálculos com a equação (2):
Para obter a equação horária da velocidade da esfera, é necessário ser conhecida a aceleração do centro de massa, o qual é encontrada com a seguinte fórmula: 
 	(14)
	Realizando os cálculos com a equação (3):
Com o valor da aceleração do centro de massa é possível encontrar a equação horária da velocidade. De acordo com a tabela (1):
	(15)
Logo: 
Aplicando integral em ambos os lados, obtemos:
 
	(16)
Para encontrar o valor de é necessário usar a equação (15) e (16), então:
 
Portanto de acordo com a equação (16) a equação horária da velocidade é:
	
Em seguida foi encontrado o valor de (velocidade angular) de rotação da esfera com a seguinte equação:
	(17)
	Onde (r) é o raio da esfera. O raio foi encontrado a partir do diâmetro, o qual foi medido com um paquímetro, , logo:
 
Portanto o raio é de . Utilizando a equação (17) obtém o valor da velocidade do centro de massa no ponto B que é o término do percurso, ou seja, que por sua vez tem o tempo de . 
 
	De acordo com a equação (17) obtém o resultado de : 
 
Para calcular o momento de inércia da esfera é preciso da equação:
	(3)
	Onde , e é a massa da esfera, efetuando os cálculos utilizando a equação (3):
 
	 O resultado do momento de inércia está coerente, pois momento de inércia e velocidade do centro de massa são grandezas inversamente proporcionais, pois sua velocidade é elevada ocasionando então um momento de inércia de pouca intensidade.
	Conseguinte, provou-se que não há conservação de energia mecânica através da equação (5):
	(5)
	Sendo que é a energia cinética de rotação e é a energia cinética de translação e é a energia potencial gravitacional.
	Logo a partir da equação (5) aberta, foi gerada a seguinte igualdade:
	(18)
	Onde é a altura da rampa e que é a gravidade. 
Efetuando os cálculos da equação (18):
	O resultado não convém logo o sistema não é conservativo.
	Experimento 2: 
	Neste procedimento foram utilizados alguns componentes, como um disco que serviria de roldana para primeiramente um cilindro e para segundo plano um sistema de dois cilindros, com massas respectivamente de 8,15 g e 23,93 g. em seguida foi utilizado um paquímetro para obter o diâmetro do disco 1,04 cm. O equipamento foi ajustado à uma altura de 40 cm. 
Este primeiro procedimento consiste no uso do cilindro de maior massa e o disco que terá papel de polia fixa. De acordo com a tabela a seguir foram obtidos cinco tempos de queda que é o mesmo tempo que faz o disco parar de girar.
	
	
	
	
	
	
	40
	0,40
	0,36
	0,40
	0,40
	0,40
Tabela 3 – feita pelo autor
Na segunda parte deste experimento foram usados os dois cilindros, cada um preso em cada ponta de um barbante e conectados através de uma polia que é o disco. Este disco tem 0,52 cm de raio, que é a metade do diâmetro, e possui uma massa de 4,26 g.
Para este procedimento foi encontrada a aceleração do sistema, mas antes de obtermos a aceleração, deve-se calcular o momento de inércia do disco, que é expressa pela seguinte equação:
	(19)
	Efetuando-se os cálculos com o uso da equação (11):
 
	Após obter o valor de momento de inércia do disco, foi calculada a aceleração do sistema, com a seguinte fórmula:
 (20)
	Onde e são as massas dos cilindros e R é o raio do disco e g é a gravidade do local. Efetuando os cálculos através da equação (20), temos:
5. Conclusão
	
Por meio do experimento da esfera rolante em um plano inclinado, foi possível analisar o movimento de rotação e translação da esfera, ocasionados pela força de atrito cinético e estático, como foi mencionado por (SEARS; ZEMANSKY, 2008, p. 324) “A rotação da esfera em torno do centro de massa: para rolamento sem deslizamento, a velocidade escalar na periferia deve ser .
	Além de ocorrer movimento de rotação há um movimento de translação e este combinado origina em um rolamento sem deslizamento, “A roda fica instantaneamente em repouso quando entra em contato com o solo.” (SEARS; ZEMANSKY, 2008, p. 324).
	Com os resultados obtidos, pode-se chegar aos seguintes fins:
- De que a força de atrito permite o movimento de rotação, em que a esfera gira em torno de seu eixo, além de analisar a ocorrência de conversão de energia e a não conservação.
- Também foi possível calcular a velocidade linear do centro de massa e a aceleração do centro de massa, por meio dos resultados obtidos nos e demonstrados ao longo deste relatório.
Entretanto, os cálculos realizados e demonstrados ambos empiricamente, assumem valores próximos dos reais, pela não consideração das forças dissipativas atuantes no sistema (força de atrito, resistência do ar, resistividade do material). 
 
6. Referencias
1. YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A.. Sears and Zemanskys university physics. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Basil, 2008. 230 p. 
2. TIPLER, Paulo A. Física para Cientistas e Engenheiros – Vol.2, 3ª Ed, Rio de Janeiro: LTC, 1995.
7. Apêndice 
Apêndice 1 – Gráfico (S x t).
Fonte: Feita pelo autor
Av. dos Barrageiros, 1.881 CEP 19.274-000 Rosana SP Tel.: 18 3284 9000