Controle Estatístico da Qualidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande
UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA
Disciplina: Introdução à Estatística Período 2016.1
Professores: Amanda Gomes, Ana Cristina e Grayci-Mary
Aluno(a):
NOTAS DE AULA PARA O 3o ESTÁGIO
Controle Estatístico da Qualidade
1 Introdução
O controle permanente dos processos é a condição básica para manutenção da �qualidade�
de bens e serviços, ou seja, a condição básica para que estes bens e serviços: sejam ade-
quados ao uso; atendam as especificações; atendam e, se possível, excedam às expectativas
do consumidor etc.
O objetivo do controle estatístico de qualidade é aplicar técnicas estatísticas para o
controle de processos industriais que geram bens de consumo e de processos de empresas
que prestam serviços.
O início formal do controle estatístico de processos (CEP) deu-se por volta de 1924,
quando o Dr. Walter A. Shewhart desenvolveu e aplicou os gráficos de controle em aná-
lises no Bell Telephone Laboratories. Ele analisou muitos processos diferentes e concluiu:
todos os processos de manufatura exibem variação. Shewhart atribuiu variação inerente,
normalmente chamada variação aleatória, às causas acidentais e às causas indetermináveis,
e a variação intermitente às causas determináveis. Concluiu que as causas determináveis
podiam ser economicamente descobertas e eliminadas com um tenaz programa de diag-
nóstico, mas que as causas aleatórias não podiam ser economicamente descobertas e não
podiam ser removidas sem que se fizessem mudanças básicas no processo.
A variação de qualquer característica de qualidade pode ser quantificada pela amos-
tragem do resultado do processo e pelas estimativas dos parâmetros da sua distribuição
estatística. Mudanças na distribuição podem ser reveladas pelos gráficos destes parâmetros
no tempo. A eficácia de um gráfico de controle é medida pela rapidez com que esse
dispositivo detecta alterações no processo.
2 Fundamentos do Controle Estatístico de Processos
2.1 Variabilidade dos Processos
A expressão variabilidade do processo está relacionada com as diferenças existentes entre
as unidades produzidas.
1
2.2 O Conceito de Variação
Para que se possa controlar a qualidade de um produto é necessário ter habilidade para
se medir as variações que ocorrem no mesmo. Existem três tipos de variações que podem
ocorrer em um item produzido:
1. Variação interna: É aquela que ocorre dentro do mesmo item. Por exemplo, o
acabamento superficial é diferente em faces opostas da mesma peça, ou o diâmetro
de eixo varia ao longo do seu comprimento.
2. Variação item a item: É aquela que ocorre entre itens produzidos em tempos próxi-
mos. Por exemplo, a intensidade luminosa de quatro lâmpadas produzidas consecu-
tivamente por uma máquina será diferente.
3. Variação tempo a tempo: É aquela que ocorre entre itens produzidos em diferentes
períodos durante o dia. Por exemplo, a peça produzida pela manhã será diferente
daquela produzida à noite, devido ao desgaste da ferramenta de corte.
Existem seis fatores que contribuem para essas variações, são eles: Máquinas, Métodos,
Materiais, Meio ambiente, Mão de obra e Medidas. Quando estes seis fatores de variação
estão presentes nos processos de uma forma normal ou esperada, dizemos que um padrão
de causas comuns ou causas aleatórias está se desenvolvendo. Causas comuns ou causas
aleatórias de variação são inevitáveis e são difíceis de serem identificadas, pois são de
pequena significância. As causas de variação de grande significância e, portanto, facilmente
identificáveis, são classificadas como causas especiais de variação.
Quando apenas causas comuns estão presentes no processo, dizemos que o mesmo
está sob controle. Contudo, quando causas especiais de variação também estão presentes,
a variação se torna excessiva, e o processo é classificado como estando fora de controle ou
além da expectativa normal de variação.
Observação: As causas especiais têm o efeito de deslocar a distribuição da variável
aleatória X (tirando sua média do valor alvo) e ou aumentar sua dispersão. As causas
especiais, ao contrário das naturais, são sempre possíveis de eliminar.
3 Monitoramento dos Processos por Gráficos de Con-
trole
Os processos devem ser permanentemente monitorados, para que se possa detectar possíveis
causas especiais de variação. Uma vez detectadas, estas causas devem ser investigadas
e eliminadas. A principal ferramenta utilizada para monitorar os processos e sinalizar a
presença de causas especiais de variação são os gráficos de controle.
Um gráfico de controle de uma característica de um processo consiste em valores
grafados sequencialmente ao longo do tempo, uma linha central, um limite inferior de
controle (LIC) e um limite superior de controle (LSC). A linha do centro representa
2
um valor central das medidas da característica, e os limites de controle são fronteiras para
separar e identificar quaisquer pontos considerados excepcionais. Em geral utiliza-se gráficos
de controle 3σ, cujos limites de controle são estabelecidos a ± 3 desvios padrões do valor
central. Abordaremos aqui os gráficos de controle por variáveis e os gráficos de controle
por atributos.
3.1 Gráficos de Controle por Variáveis
Estes gráficos representam o estado de controle de variáveis quantitativas, como por exem-
plo, a resistência média de um material, o peso médio de um item produzido, etc. Os
principais tipos de gráficos de controle para variáveis são:
• Gráficos de Controle X e R, com tamanho de amostra (n) fixo;
• Gráficos de Controle X e S, com tamanho de amostra (n) fixo;
• Gráficos de Controle X e S, com tamanho de amostra (ni) variável (i = 1, 2, ...,m).
Exemplo 1. A carga axial de uma lata de alumínio é o peso máximo que seus lados
podem suportar. É importante termos uma carga axial bastante elevada a fim de que a
lata não sofra deformação quando a tampa é colocada no lugar sob pressão. Os dados
amostrais da Tabela 1 provêm de uma população de latas com 0,0277 cm de espessura.
Durante este estágio analisaremos o processo de fabricação, focalizando o padrão de
cargas axiais ao longo do tempo.
3
Tabela 1: Cargas Axiais (libras) de latas de alumínio
Subgrupo Carga Axial (libras) x¯ R s
1 270 273 258 204 254 228 282 252,7143 78 27,6328
2 278 201 264 265 223 274 230 247,8571 77 29,6616
3 250 275 281 271 263 277 275 270,2857 31 10,5627
4 278 260 262 273 274 286 236 16,3401
5 290 286 278 283 262 277 295 281,5714 33 10,7216
6 274 272 265 275 263 251 289 269,8571 38 11,8382
7 242 284 241 276 200 278 283 257,7143 84 31,4469
8 269 282 267 282 272 277 261 272,8571 21
9 257 278 295 270 268 286 262 273,7143 38 13,4501
10 272 268 283 256 206 277 252 259,1429 25,8742
11 265 263 281 268 280 289 283 275,5714 26 10,0971
12 263 273 209 259 287 269 277 262,4286 78 25,2907
13 234 282 276 272 257 267 204 256 78 27,8149
14 270 285 273 269 284 276 286 277,5714 17 7,3225
15 273 289 263 270 279 206 270 264,2857 83 26,9797
16 270 268 218 251 252 284 278 260,1429 66 22,2593
17 277 208 271 208 280 269 270 254,7143 72 32,1544
18 294 292 289 290 215 284 283 278,1429 79 28,1273
19 279 275 223 220 281 268 272 259,7143 61 26,4683
20 268 279 217 259 291 291 281 269,4286 74 25,8706
21 230 276 225 282 276 289 288 266,5714 64 27,2143
22 268 242 283 277 285 293 248 270,8571 51 19,3169
23 278 285 292 282 287 277 266 26
24 268 273 270 256 297 280 256 271,4286 41 14,2578
25 262 268 262 293 290 274 292 277,2857 31 14,0797
T O T A L 6677,8571 1374 501,0922
3.1.1 Gráfico de Controle X e R
O gráfico de controle X é projetado, principalmente, para descobrir mudanças na média do
processo. Suponha que os ítens de um processo de produção possuem valores mensuráveis
que são independentes e se distribuem normalmente com média µ e variânciaσ2.
Sejam os valores produzidos pelo sistema denotados por X1, X2, ..., Xn, em que n é o
tamanho comum de todos os subgrupos.
Seja X i, i = 1, 2, ...,m, denotando a média do i-ésimo subgrupo. Os X i são normal-
mente distribuídos com média e variância dadas por
E
[
X i
]
= µ, V ar
[
X i
]
= σ2/n.
Consequentemente, segue-se que
X i − µ√
σ2/n
∼ N (0, 1) .
4
Logo, se o processo permanece em controle, então
√
n
(
X i − µ
)
/σ tem distribuição
normal padrão. Sendo Z ∼ N (0, 1) , mostra-se que Z quase sempre estará entre -3 e 3,
pois P [−3 < Z < 3] = 0.9973, e esta informação está ilustrada na Figura 1.
Figura 1: Gráfico da Distribuição Normal
Consequentemente,
−3 < √n (X i − µ) /σ < 3, ou equivalentemente, µ− 3σ/√n < X i < µ+ 3σ/√n.
Portanto, os limites de controle do gráfico x são dados por
LIC = µX−3σX = µX−3
σX√
n
, LC = µX = µX e LSC = µX+3σX = µX+3
σX√
n
. (1)
Desta forma, o processo é considerado fora de controle se algum valor de X i estiver
acima de LSC ou abaixo de LIC.
Considere, agora, que a média µ e o desvio padrão σ não sejam conhecidos inicialmente;
logo, eles terão que ser estimados a partir dos dados.
Sejam x1, x2, ..., xm as médias de cada uma das amostras, então o melhor estimador
de µ, a média do processo, é a média geral
µˆX = x =
x1 + · · ·+ xm
m
.
A amplitude (range) é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor de um
conjunto de dados:
R = x(n) − x(1).
Sejam R1, R2, ..., Rm as amplitudes das m amostras. A amplitude média é
R =
R1 + · · ·+Rm
m
.
Um estimador para σ é R/d2, onde d2 é uma constante. Valores de d2 para diversos
tamanhos de amostra se encontram tabulados. Assim, se R é a amplitude média das m
5
amostras preliminares, podemos usar
σˆX =
R
d2
para estimar σX .
Desta forma, os limites de controle do gráfico x são dados por
LIC = µˆX − 3σˆX = x− 3
R
d2
√
n
, LC = µˆX = x e LSC = µˆX + 3σˆX = x+ 3
R
d2
√
n
.
Se definirmos
A2 =
3
d2
√
n
então, os limites de controle para o gráfico x serão dados por
LIC = x− A2R, LC = x e LSC = x+ A2R. (2)
A constante A2 encontra-se tabulada para vários tamanhos de amostra.
Exemplo 2. Considerando os dados do Exemplo 1, para obtermos o gráfico X para a
carga axial média das latas de alumínio precisamos calcular a média de cada subgrupo
(xi), a amplitude de cada subgrupo (Ri), a média geral de todos os subgrupos (x) e a
amplitude média todos os subgrupos (R), e substituir estes valores na expressão (2).
Este gráfico se encontra na Figura 2 e observamos que todos os pontos estão dentro dos
limites de controle, embora a média do segundo subgrupo esteja bem próxima do limite
inferior de controle.
Figura 2: Gráfico X para a resistência média das latas
6
Observação: Em muitas situações é importante observar algumas características a
mais no gráfico de controle do que simplesmente o fato de os pontos estarem entre os
limites de controle. O gráfico de controle nos dá várias informações adicionais, como a
tendência da média do processo, a variação, uma sequência de pontos abaixo ou acima da
linha central, ou muitos pontos próximos aos limites de controle.
A variabilidade do processo pode ser monitorada plotando-se os valores das amplitudes
amostrais R em um gráfico de controle.
Sob a hipótese de normalidade dos dados, com média µX e variância σ
2
X , então as
variáveis aleatórias
Zi = (Xi − µX) /σX , i = 1, ..., n
são independentes e têm distribuição normal padrão. Adicionando uma constante em cada
termo do subgrupo não alteramos o valor da amplitude, logo
R = max(σXZ1 + µX , ..., σXZn + µX)−min(σXZ1 + µX , ..., σXZn + µX)
= max(σXZ1, ..., σXZn)−min(σXZ1, ..., σXZn)
= σX [max(Z1, ..., Zn)−min(Z1, ..., Zn)] = σXRz,
onde Rz = max(Z1, ..., Zn)−min(Z1, ..., Zn).
Portanto,
E [R] = σXd2 e
√
V ar [R] = σXd3, onde d2 = E [Rz] e d3 =
√
V ar [Rz]. Assim,
os limites de controle para o gráfico R são dados por:
LIC = µR − 3σR, LC = µR e LSC = µR + 3σR.
Como σ é desconhecido, devemos estimar σR por
σˆR = d3
R
d2
.
Logo, os limites de controle do gráfico R se reduzem a
LIC = µˆR − 3σˆR = R− 3d3R
d2
, LC = µˆR = R e LSC = µˆR + 3σˆR = R + 3d3
R
d2
.
Definindo
D3 = 1− 3d3
d2
e
D4 = 1 + 3
d3
d2
,
os limites de controle para o gráfico R ficam determinados por
LIC = D3R, LC = R e LSC = D4R. (3)
As constantes D3 e D4 encontram-se tabuladas para vários valores de n.
7
Exemplo 3. Considerando o exemplo da carga axial das latas de alumínio, para cons-
truirmos o gráfico R para monitorar a varição do processo, precisamos inicialmente
calcular a amplitude (Ri) de cada subgrupo e a média de todos os subgrupos (R). Em
seguida, substituimos estes valores nas expressões (3) para obter os limites de controle
do gráfico R. O gráfico R para estes dados se encontram na Figura 3. Observe que
nenhum ponto ficou fora dos limites de controle, indicando assim, que a variação do
processo está sob controle.
Figura 3: Gráfico R para a carga axial das latas de alumínio
Observação: Em geral, analisa-se os gráficos x e R conjuntamente. Se o gráfico
R não apresentar nenhuma evidência de que a variação do processo está fora de controle,
então analisa-se o gráfico x, caso contrário interrompe-se o processo para ajustes.
3.1.2 Gráfico de Controle X e S
Embora os gráficos x e R sejam bastante usados, algumas vezes torna-se desejável esti-
mar diretamente o desvio padrão do processo em vez de indiretamente através do uso da
amplitude R.
Se σ2 é a variância desconhecida de uma distribuição de probabilidade, então um
estimador não-viesado para σ2 é a variância amostral
S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(xi − x)2 = 1
n− 1
n∑
i=1
x2i − nx2.
No entanto, o desvio padrão SX não é um estimador não-viesado para σX , S na verdade
estima c4σX , onde c4 é uma constante que depende do tamanho da amostra n. Além
disso, o desvio padrão de S é σX
√
1− c24, onde σX é o desvio padrão de Xi, em que
Xi ∼ N(µX , σ2X). Os limites de controle três-sigma são então
8
LIC = µS − 3σS = c4σX − 3σX
√
1− c24,
LC = µS = c4σX
e
LSC = µS + 3σS = c4σX + 3σX
√
1− c24.
Definindo as duas constantes
B5 = c4 − 3
√
1− c24
e
B6 = c4 + 3
√
1− c24,
podemos escrever os limites de controle para o gráfico S como
LIC = B5σX , LC = c4σX e LSC = B6σX . (4)
Valores de c4, B5 e B6 se encontram tabulados para diversos valores de n.
Se nenhum valor de referência é dado para σX , então temos que estimá-lo através de
dados passados. Suponha que m amostras preliminares estejam disponíveis, cada uma com
tamanho n, e seja Si o desvio padrão da i-ésima amostra. A média dos m desvios padrão
é
S =
1
m
m∑
i=1
Si.
A estatística S/c4 é um estimador não-viesado de σX . Então, os parâmetros para o
gráfico S são
LIC = µˆS−3σˆS = S−3S
c4
√
1− c24, LC = µˆS = S e LSC = µˆS+3σˆS = S+3
S
c4
√
1− c24.
Definindo as constantes
B3 = 1− 3
c4
√
1− c24
e
B4 = 1 +
3
c4
√
1− c24,
podemos escrever os limites de controle para o gráfico S como
LIC = B3S, LC = S e LSC = B4S. (5)
Note que, B3 = B5/c4 e B4 = B6/c4.
Quando S/c4 é usado para estimar σX , podemos definir os limites de controle para o
gráfico x correspondente como
9
LIC = µˆX − 3σˆX = x−
3S
c4
√
n
, LC = µˆX = x e LSC = µˆX + 3σˆX = x+
3S
c4
√
n
.
Definindo a constante
A3 =
3
c4
√
n
, os parâmetros do gráfico x se tornam
LIC = x− A3S LC = x e LSC = x+ A3S. (6)
As constantes B3, B4 e A3 para a construção dos gráficos x e S encontram-se tabuladas
para diversos valores de n.
Observação: Tradicionalmente, os engenheiros da qualidade preferiam o gráfico R ao
gráfico S por causa da simplicidade do cálculo de R para cada amostra. A disponibilidade
atual de máquinas de calcular com cálculo automático de S e acrescente disponibilidade
de microcomputadores na implementação on-line dos gráficos de controle na estação de
trabalho vêm eliminando qualquer dificuldade computacional.
Exemplo 4. Vamos construir o gráfico S para os dados do Exemplo 1. Para isto,
precisamos calcular o desvio padrão (Si) de cada subgrupo e a média dos desvios de todos
os subgrupos (S). Substituindo estes valores nas expressões (5), obtemos os limites de
controle do gráfico S. Este gráfico de controle se encontra na Figura 4. Observe que
nenhum ponto ficou fora dos limites de controle, indicando assim, que o desvio padrão
do processo está sob controle.
Figura 4: Gráfico S para a carga axial das latas
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3.1.3 Gráficos de Controle x e S com tamanho de amostra variável
Os gráficos de controle x e S são relativamente simples de usar nos casos onde os tamanhos
das amostras são variáveis. Nesse caso, devemos aplicar a abordagem da média ponderada
no cálculo de x e S. Se ni é o tamanho do i-ésimo subgrupo, então usamos
x =
m∑
i=1
nixi
m∑
i=1
ni
e
S =
√√√√√√√√√
m∑
i=1
(ni − 1)S2i
m∑
i=1
ni −m
como linhas centrais nos gráficos x e S respectivamente. Os limites de controle são calcu-
lados a partir das expressões (5) e (6), respectivamente, mas as constantes A3, B3 e B4
vão depender do tamanho da amostra usado em cada subgrupo individual. Ou seja, cada
subgrupo terá seus próprios limites de controle individualmente.
Exemplo 5. Um resumo dos dados sobre medidas de diâmetro internos (mm) de anéis
de pistão de motores de automóveis se encontram na Tabela 2 abaixo.
Tabela 2: Medidas resumo para os dados dos diâmetros de anéis de pistão
Amostra ni xi S
2
i A3 B3 B4
1 5 74,0 0,014 1,427 0 2,089
2 3 73,9 0,005 1,954 0 2,568
3 5 74,0 0,015 1,427 0 2,089
4 5 74,0 0,009 1,427 0 2,089
5 5 74,0 0,012 1,427 0 2,089
6 4 73,9 0,010 1,628 0 2,266
7 4 73,9 0,060 1,628 0 2,266
8 5 73,9 0,012 1,427 0 2,089
9 4 74,0 0,006 1,628 0 2,266
10 5 73,9 0,006 1,427 0 2,089
11 5 73,9 0,003 1,427 0 2,089
12 4 73,9 0,011 1,628 0 2,226
Calcular os limites de controle dos gráficos x e S para os dados da Tabela 2.
11
3.2 Gráficos de Controle por Atributos
Muitas características da qualidade não podem ser representadas numericamente de modo
conveniente. Em tais casos, usualmente classificamos cada item inspecionado como con-
forme ou não-conforme em relação às especificações para aquela característica da quali-
dade. As características de qualidade desse tipo são chamadas atributos. Os gráficos
de atributos não são, em geral tão informativos quanto os gráficos de variáveis porque há,
tipicamente, mais informação em uma medida numérica do que em uma mera classificação
como conforme ou não-conforme. No entanto, os gráficos de atributos tem, sim, aplica-
ções importantes. Eles são particulamente úteis nas indústrias de serviços e nos esforços
de melhoria da qualidade não-industrial, porque muitas das características da qualidade
encontradas nesses ambientes não são facilmente mensuráveis em uma escala numérica.
3.2.1 Gráfico de Controle para a Fração Não-Conforme (p)
A fração não-conforme é definida como a razão entre o número de itens não-conformes
em uma população e o total de itens naquela população.
Suponha que o processo de produção esteja operando de maneira estável, de tal modo
que a probabilidade de que uma unidade não esteja de acordo com as especificações seja
p, e que as sucessivas unidades produzidas sejam independentes. Entao, cada unidade
produzida é uma realização de uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro p. Se
uma amostra aleatória de n unidades do produto é selecionada, e se D é o número de
unidades não-conformes, então D tem uma distribuição Binomial com parâmetros n e p,
isto é,
P (D = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x, x = 0, 1, ..., n.
A fração amostral não-conforme é definida como a razão entre o número de
unidades não-conformes na amostra D e o tamanho n da amostra, isto é,
pˆ =
D
n
.
Sabemos que a média e a variância de pˆ são
E(pˆ) = p e Var(pˆ) =
p(1− p)
n
.
Suponha que a verdadeira fração não-conforme, p seja conhecida ou é um valor
padrão especificado pela gerência. Assim, os limites de controle 3-sigma para o gráfico
de controle da fração não-conforme devem ser
LIC = µpˆ−3σpˆ = p−3
√
p(1− p)
n
, LC = µpˆ = p e LSC = µpˆ+3σpˆ = p+3
√
p(1− p)
n
.
(7)
A operação real desse gráfico consistiria na tomada de amostras subsequentes de n
unidades, no cálculo da fração amostral não-conforme pˆ, e na marcação da estatística pˆ
12
no gráfico. Enquanto pˆ permanece dentro dos limites de controle e a sequência de pontos
plotados não exibe qualquer padrão não-aleatório sistemático, podemos concluir que o
processo está sob controle. Se um ponto se localiza fora dos limites de controle, ou caso
se observe um padrão não-aleatório nos pontos plotados podemos concluir que a fração
não-conforme do processo provavelmente passou para um novo nível e que o processo está
fora de controle.
Quando a fração não-conforme do processo, p, não é conhecida, deve, então ser es-
timada a partir dos dados observados. O procedimento usual é a seleção de m amostras
preliminares, cada uma de tamanho n. Então, se há Di unidades não-conformes na amostra
i, calculamos a fração não-conforme na i-ésima amostra como
pˆi =
Di
n
, i = 1, ...,m
e a média dessas frações não-conformes das amostras individuais é
p =
1
m
m∑
i=1
pˆi =
1
mn
m∑
i=1
Di.
A estatística p estima a fração não-conforme desconhecida, p. Assim, os limites de
controle para o gráfico da fração não-conforme com p desconhecido são dados por
LIC = µˆpˆ−3σˆpˆ = p−3
√
p(1− p)
n
, LC = µˆpˆ = p e LSC = µˆpˆ+3σˆpˆ = p+3
√
p(1− p)
n
.
(8)
Os limites de controle definidos nas expressões (8) devem ser encarados como limites
de controle tentativos. Os valores amostrais de pˆi devem ser plotados versus os limites
tentativos para testar se o processo estava sob controle quando os dados preliminares
foram coletados. Quaisquer pontos que excedam os limites de controle tentativos devem
ser investigados. Se forem descobertas causas atribuíveis para esses pontos, eles deverão
ser descartados e novos limites de controle tentativos deverão ser determinados.
Observação: Para que se considere que os limites de controle tentativos são apro-
priados para controle atual ou futuro, é altamente recomendável que se tenha, pelo menos,
entre 20 e 25 amostras ou subgrupos de tamanho n (tipicamente, n deve estar entre 3 e
5). Naturalmente, é possível trabalhar com menos dados, mas os limites de controle já não
serão tão confiáveis.
Exemplo 6. O suco de laranja concentrado e congelado é embalado em latas de pa-
pelão. Essas embalagens são feitas enrolando-se o papelão e colocando-se um fundo de
metal. Pela inspeção de uma dessas embalagens, pode-se determinar se, quando cheia,
poderá vazar ao longo da junta lateral do papelão ou em volta da junção do fundo.
Tal embalagem não-conforme tem uma vedação imprópria ou na junção lateral ou na
junção do fundo. Desejamos estabelecer um gráfico de controle para reduzir a fração
de embalagens não-conformes produzidas por esta máquina.
Para estabelecer o gráfico de controle, selecionaram-se 30 amostras com 50 em-
balagens cada, a intervalos de meia hora, por um período de três turnos, no qual a
máquina operou continuamente. Os dados estão mostrados na Tabela 3.
13
Tabela 3: Dados para os limites de controle tentativos. Exemplo 6.
Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi
1 12 0,24 11 5 0,10 21 20 0,40
2 15 0,30 12 6 0,12 22 18 0,36
3 8 0,16 13 17 0,34 23 24 0,48
4 10 0,20 14 12 0,24 24 15 0,30
5 4 0,08 15 22 0,44 25 9 0,18
6 7 0,14 16 8 0,16 26 12 0,24
7 16 0,32 17 10 0,20 27 7 0,14
8 9 0,18 18 5 0,10 28 13 0,269 14 0,28 19 13 0,26 29 9 0,18
10 10 0,20 20 11 0,22 30 6 0,12
Total 105 2,1 Total 109 2,18 Total 133 2,66
A Figura 5 mostra o gráfico de controle para estes dados.
Figura 5: Gráfico p para a fração não-conforme das embalagens de sucos
Observe que existem dois pontos fora dos limites de controle, os das amostras 15
e 23. Estes pontos devem ser investigados para ver se uma causa atribuível pode, ou
não, ser determinada. A análise dos dados da amostra 15 indica que um novo fardo de
papelão foi colocado na produção naquela meia hora. Além disso, duarante a meia hora
durante a qual a amostra 23 foi extraída, um operador relativamente inexperiente foi
temporariamente designado para aquela máquina. Consequentemente, eliminando-se
as amostras 15 e 23 e calculando-se os novos limites de controle, obtemos
p = 0, 2150; LIC = 0, 0407 e LSC = 0, 3893.
14
A Figura 6 mostra a linha central e os limites de controle revistos. Note, que agora
a fração não-conforme da amostra 21 excede o limite superior de controle. No entanto,
a análise dos dados não fornece qualquer causa atributível razoável ou lógica para isso,
e decidimos conservar o ponto. Concluímos portanto, que os novos limites de controle
da Figura 6 podem ser usados para futuras amostras.
Figura 6: Gráfico p para a fração não-conforme das embalagens de sucos excluindo as
amostras 15 e 23
Suponha que baseado nestes dados a empresa tome diretivas que visem melhorar o
desempenho da máquina que embala os sucos. Durante os próximos três turnos que se
seguiram aos ajustes da máquina e à introdução do gráfico de controle, foram coletadas
24 amostras adicionais, com 50 observações cada. A Tabela 4 mostra esses dados e as
frações não-conformes estão plotadas Figura 7.
Tabela 4: Dados das embalagens de suco de laranja concentrado (amostras 31 a 54).
Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi
31 9 0,18 39 7 0,14 47 8 0,16
32 6 0,12 40 6 0,12 48 5 0,10
33 12 0,24 41 2 0,04 49 6 0,12
34 5 0,10 42 4 0,08 50 7 0,14
35 6 0,12 43 3 0,06 51 5 0,10
36 4 0,08 44 6 0,12 52 6 0,12
37 6 0,12 45 5 0,10 53 3 0,06
38 3 0,06 46 4 0,08 54 5 0,10
Total 51 1,02 Total 37 0,74 Total 45 0,9
15
Figura 7: Gráfico p para a fração não-conforme das embalagens de sucos amostras 31
a 54
3.2.2 Gráfico de Controle u
Um item não-conforme é uma unidade do produto que não satisfaz uma ou mais das es-
pecificações para aquele produto. Cada ponto particular em que uma especificação não é
satisfeita, resulta em um defeito ou não-conformidade. Consequentemente, um item
não-conforme conterá pelo menos uma não-conformidade. No entanto, dependendo de
sua natureza e gravidade, é bem possível que um item contenha várias não-conformidades
e não seja classificado como não-conforme. Como exemplo, suponha que estamos fabri-
cando microcomputadores. Cada unidade poderia ter uma ou mais falhas no acabamento
do gabinete, mas como essas falhas não afetam a operação funcional da unidade, essa
unidade poderia ser classificada como conforme. No entanto, se há muitas dessas falhas,
o computador seria classificado como não-conforme, uma vez que as falhas seriam muito
visíveis para o comprador, o que dificultaria sua venda. Há várias situações práticas nas
quais preferimos trabalhar diretamente com o número de defeitos ou não-conformidades do
que com a fração não-conforme. Por exemplo:
• Na fabricação de produtos como geladeiras e automóveis, que são constituídos por
uma série de equipamentos (componentes), sendo normal que alguns deles apresentem
um ou outro componente danificado ou mesmo faltante;
• Nos processos contínuos como de produção de tecidos em que, digamos, ocorram
um ou mais pequenos defeitos em um rolo de 100 metros de tecido, tais defeitos
não o inutilizam, mas a frequência média de ocorrência de defeitos é uma medida de
qualidade;
• Na produção de tubulações com 100 metros para oleoduto, quando o interesse é
analisar o número de soldas defeituosas;
• Na fabricação de asas de aviões, quando se quer analisar o número de rebites que-
brados; etc.
Se o processo estiver sob controle, é de se esperar que as não-conformidades ocorram
de maneira aleatória e com baixa frequência.
16
Seja yi o número total de defeitos no processo de inspeção, numa amostra de tamanho
n de um certo produto e λ o número médio de defeitos por unidade inspecionada neste
processo, i = 1, 2, . . .m. Considere que yi segue (aproximadamente) uma distribuição
de Poisson de média igual a nλ. Sendo λ conhecido, o processo pode ser monitorado
considerando ui = yi/n, i = 1, 2, ...,m o número médio de defeitos por unidade de inspeção
na amostra. Desta forma, os limites de controle da carta u são obtidos por
LIC = µu − 3σu = λ− 3
√
λ
n
, LC = µu = λ e LSC = µu + 3σu = λ+ 3
√
λ
n
. (9)
Se λ é desconhecido, podemos estimá-lo por u o número médio de não-conformidades
por unidade de inspeção em uma amostra de n itens. Assim, os limites de controle do
Gráfico u para λ desconhecido são dados por
LIC = µˆu−3σˆu = u−3
√
u
n
, LC = µˆu = u e LSC = µˆu+ 3σˆu = u+ 3
√
u
n
, (10)
em que
u =
1
m
m∑
i=1
ui =
1
m
m∑
i=1
yi
n
=
1
mn
m∑
i=1
yi.
Exemplo 7. Um fabricante de microcomputadores deseja estabelecer um gráfico de
controle para não-conformidades por unidade na linha de montagem final. O tamanho
da amostra é escolhido como 5 computadores. A Tabela 5 mostra dados sobre o número
de não-conformidades em 20 amostras de 5 computadores cada.
Tabela 5: Dados sobre o número de defeitos em computadores pessoais.
Amostra yi ui Amostra yi ui
1 10 2,0 11 9 1,8
2 12 2,4 12 5 1,0
3 8 1,6 13 7 1,4
4 14 2,8 14 11 2,2
5 10 2,0 15 12 2,4
6 16 3,2 16 6 1,2
7 11 2,2 17 8 1,6
8 7 1,4 18 10 2,0
9 10 2,0 19 7 1,4
10 15 3,0 20 5 1,0
Total 113 22,6 20 80 16
Por esses dados, estimamos o número médio de não-conformidades por unidade
como
u =
20∑
i=1
ui
20
=
38, 6
20
= 1, 93.
17
Portanto, os limites de controle do gráfico u são dados pela expressão (10)
LIC = 1, 93− 3
√
1, 93
5
= 0, 07 e LSC = 1, 93 + 3
√
1, 93
5
= 3, 79.
O gráfico de controle u para estes dados está representado na Figura 8.
Figura 8: Gráfico u para o número de não-conformidades por computador produzido
Exemplo 8. O gerente de uma linha de montagem de placas de circuitos quer contro-
lar estatisticamente seu processo, usando como característica de qualidade o número de
componentes montados erroneamente. Definiu-se a unidade de inspeção como consis-
tindo de 5 placas. A tabela a seguir fornece o número de não conformidades encontradas
nas 20 primeiras amostras:
Tabela 6: Dados sobre o número de componentes montados erroneamente nas placas
de circuito. Exemplo 8.
Amostra yi Amostra yi
1 1 11 0
2 2 12 2
3 0 13 0
4 3 14 2
5 1 15 1
6 1 16 1
7 5 17 2
8 1 18 3
9 0 19 0
10 3 20 2
Encontre os limites de controle para o número médio de não conformidades por
item.
18
3.2.3 Tamanho de Amostra Variável
Em algumas aplicações do gráfico de controle tanto para a fração não-conforme como para
o número de não-conformidades por item, a amostra pode ter tamanhos diferentes. Uma
das abordagens para tratar este problema é considerar um gráfico de controle padronizado.
Tal gráfico de controle tem linha central em zero e limite de controle superior e inferior em
+3 e −3, respectivamente.
Para o gráfico da fração não-conforme, a variável plotada é
Zi =
pˆi − p√
p(1−p)
ni
, i = 1, 2, ...,m, (11)
onde ni é o tamanho do i-ésimo subgrupo e p (ou p, se não for dado qualquer padrão) é a
fração não-conforme do processo sob controle. Quando não for dado nenhum padrão para
a fração não-conforme, esta pode ser estimada através de
p =
m∑
i=1
Di
m∑
i=1
ni
, i =1, 2, ...,m,
onde Di é o número de unidades não conformes da i-ésima amostra de tamanho ni.
Para o gráfico do número de não-conformidades por item (u), a variável plotada é
Zi =
ui − u√
u
ni
, (12)
sendo
u =
m∑
i=1
yi
m∑
i=1
ni
,
em que ni é o tamanho da i-ésima amostra e yi é o número total de defeitos na i-ésima
amostra de tamanho ni, para i = 1, 2, ...,m.
Exemplo 9. Em uma fábrica de acabamento de tecido, pano tingido é inspecionado
procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados. Os dados relativos a
dez rolos de tecido são exibidos na Tabela 7. Usaremos estes dados para estabelecer um
gráfico de controle para não-conformidades por unidade. Para estes dados temos
u =
153
107, 5
= 1, 42.
O gráfico de controle para a variável padronizada está representado na Figura 9.
19
Tabela 7: Ocorrência de não-conformidades em tecido tingido
Amostra Número de m
2 yi ni ui zi
1 500 14 10,0 1,40
2 400 12 8,0 1,50
3 650 20 13,0 1,54
4 500 11 10,0 1,10
5 475 7 9,5 0,74
6 500 10 10,0 1,00
7 600 21 12,0 1,75
8 525 16 10,5 1,52
9 600 19 12,0 1,58
10 625 23 12,5 1,84
153 107,5
Figura 9: Gráfico para o número padronizado de não-conformidades por m
2
de tecido
4 Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle
Os gráficos de controle podem ser comparados com os testes de hipóteses, sendo que no
caso dos gráficos de controle, estamos realizando vários testes simultaneamente. Assim,
como podemos cometer erros nos testes de hipóteses, também estamos sujeitos a cometê-
los quando usamos gráficos de controle. Um dos erros mais comuns é o alarme falso,
ou seja, considerar o processo fora de controle quando, na verdade, o processo está sob
controle. Este erro é semelhante ao erro tipo-I do teste de hipótese. Assim, uma das
formas de analisar o desempenho de um gráfico de controle é através da probabilidade de
um gráfico emitir um alarme falso. Uma outra forma de analisar o desempenho de um
gráfico de controle é através da avaliação da sua habilidade em detectar mudanças nos
parâmetros do processo. Esta habilidade é descrita pelas suas curvas características de
operação (CO).
Existem ainda outras maneiras de verificar a eficácia de um gráfico de controle como,
por exemplo, através do cálculo de alguns índices de capacidade do processo, cuja interpre-
tação deve ser bastante cautelosa.
20
4.1 Especificações
Nesse momento é importante discutir os conceitos de limites de controle e limites de es-
pecificação, a fim de evitar confusões futuras. Os limites de controle são estabelecidos
em função da média e do desvio padrão do processo, e são calculados para as médias dos
subgrupos. Por outro lado, especificações são tolerâncias permitidas em cada produto e,
portanto, são definidas para valores individuais e são estabelecidas pela engenharia de pro-
duto, em função das necessidades do projeto. As especificações são definidas independente
de outras características do processo, enquanto que os limites de controle, a distribuição das
médias, a variabilidade do processo e a distribuição dos valores individuais são dependentes.
O estabelecimento das especificações é feito pela engenharia do produto, independen-
temente da variabilidade do processo. Assim, existem três situações que podem ocorrer
quando se comparam as especificações do produto com a variabilidade do processo: caso I
- quando a variabilidade do processo é menor que a diferença entre as especificações; caso
II - quando a variabilidade do processo é igual à diferença entre as epecificações; e caso III
- quando a variabilidade do processo é maior que a diferença entre as especificações.
• Caso I (6σ < LSE − LIE): Esta situação, onde a variabilidade do processo é
menor do que a diferença entre as especificações, é a mais desejada. Uma vez que
a diferença entre as especificações é apreciavelmente maior do que a variabilidade
do processo, nenhuma dificuldade é encontrada na produção, mesmo quando ocorre
algum deslocamento na média do processo ou algum aumento na sua dispersão. O
caso I é mais vantajoso do ponto de vista econômico, uma vez que, mesmo quando o
processo sai de controle, não ocorre produção de itens defeituosos. Outra vantagem
desta situação é que não são necessários ajustes frequentes e busca de causas especiais
de variação no processo. Esta situação permite que a utilização de gráficos de controle
seja descontinuada ou a frequência de inspeção diminuída.
• Caso II (6σ = LSE −LIE): Neste caso, quando ocorre um deslocamento na média
do processo ou um aumento na sua dispersão, valores individuais ficarão fora das
especificações, acarretando retrabalho ou refugo de itens produzidos. Por outro lado,
se o processo for mantido sob controle, não haverá produção de itens defeituosos.
Esta é a situação em que os gráficos de controle devem ser continuamente aplicados,
de forma que as causas especiais de variação possam ser imediatamente identificadas
e eliminadas do processo.
• Caso III (6σ > LSE − LIE): Quando a variabilidade do processo é maior do que
a diferença entre as epecificações, ocorre uma situação indesejada. Nesta situação,
mesmo com o processo sob controle, alguns valores individuais ficarão fora das espe-
cificações, acarretando retrabalho ou refugo de itens produzidos. Em outras palavras,
o processo não é capaz de produzir conforme as especificações. Uma solução para
este caso é alterar as especificações, tornando-as compatíveis com a variabilidade do
processo. A segunda solução é manter as especificações e realizar inspeção 100% nos
itens produzidos, para separar aqueles fora das especificações. A terceira solução é
atuar no processo de forma a reduzir a sua dispersão, através de mudança no mate-
rial, treinamento do operador ou aperfeiçoamento da máquina. Uma outra solução
21
é deslocar a média do processo, de forma que todos os itens fora das especificações
possam ser retrabalhados.
4.2 Capacidade do processo
A verdadeira capacidade do processo só deve ser determinada após o mesmo ter sido
otimizado e estabilizado. A capacidade do processo é a sua própria variabilidade, depois
que este foi otimizado e está sob controle. Esta otimização, aqui referida, é aquela realizada
sem investimentos significativos.
A fórmula mais conhecida para a capacidade básica do processo é:
Capacidade básica do processo = 6σ,
onde σ é o desvio padrão do processo otimizado e estável (sob controle).
A melhor forma de se verificar a adequação de um processo às necessidades da enge-
nharia de produto é através do estudo de capacidade do processo ou da relação entre a
capacidade básica do processo e a diferença entre os limites de especificação (tolerância
do produto). Esta relação, também conhecida como índice de capacidade ou razão de
capacidade, é dada pela expressão (13):
Cp =
LSE − LIE
6σ
. (13)
Observação: Note que a extensão 6σ do processo é a definição básica da capacidade
do processo, e como σ em geral é desconhecido, temos que estimá-lo. Por exemplo, no caso
do gráfico X podemos usar como estimativa para σ a quantidade σˆ = R/d2, daí podemos
obter uma estimativa Cˆp de Cp.
A análise do índice de capacidade é muito útil na tomada de decisões sobre a adequação
do processo às especificações. Uma regra prática para esta análise é descrita a seguir:
• Processo Vermelho: (Cp < 1) A capacidade do processo é inadequada à tolerân-
cia exigida. Nesta situação, o ideal é realizar o trabalho com outro processo mais
adequado às especificações. Não sendo possível mudar o processo, deve-se tentar
diminuir a sua variabilidade. Por último, resta a possibilidade de se alterar as especi-
ficações do produto.
• Processo Amarelo: (1 ≤ Cp ≤ 1, 33) a capacidade do processo está em torno da
diferença entre as especificações. O tratamento deve ser semelhanteàquele dado ao
processo vermelho. Neste caso, gráficos de controle são muito úteis para manter o
processo sob controle e evitar a produção de itens fora das especificações.
• Processo Verde: (Cp > 1, 33) A capacidade do processo é adequada à tolerância exi-
gida. Se a capacidade do processo está entre três quartos e dois terços da tolerância,
é aconselhável coletar amostras periódicas para acompanhamento do processo. Se a
capacidade do processo é menor do que a metade da tolerância, não é preciso tomar
maiores cuidados com o processo, a menos que se queira reduzir a tolerância para
aumentar a qualidade do produto.
22
Exemplo 10. Anéis de pistão para motores de automóveis são produzidos por um
processo de forja. Vinte e cinco amostras de tamanho 5 foram selecionadas neste
processo, obtendo-se
25∑
i=1
xi = 1850, 28 e
25∑
i=1
Ri = 0, 581. Sabendo-se que os limites
de especificação para os anéis de pistão são 74, 000± 0, 05 mm, estime a capacidade do
processo (Cp).
Solução:
Temos que
R = 0,581
25
= 0, 023 ⇒ σˆ = R
d2
= 0,023
2,326
= 0, 0099.
Daí,
Cˆp =
LSE−LIE
6σˆ
= 74,05−73,95
6(0,0099)
= 0,10
0,0594
= 1, 68 > 1, 33.
Isto significa que os limites de tolerância naturais estão dentro dos limites de es-
pecificação. Consequentemente, um número relativamente baixo de anéis de pistão
não-conformes será produzido.
O índice Cp pode ser interpretado da seguinte forma: a quantidade P =
1
Cp
× 100%
representa a porcentagem da faixa de especificação usada pelo sistema. Para o processo
de produção de anéis de pistão, uma estimativa de P é
Pˆ =
1
1, 68
× 100% = 59, 5%.
Isto é, o processo usa aproximadamente 60% da faixa de especificação.
A fórmula do índice de Capacidade (expressão (13)), considera que o processo está
sempre centrado na média. Na prática, entretanto, isto nem sempre ocorre, e a utilização
da fórmula anterior pode conduzir a conclusões erradas. Para levar em conta a possibilidade
de o processo não estar centrado na média, Kane (1986) propôs a utilização do índice de
Performance, Cpk, cuja fórmula é:
Cpk = min
{
µ− LIE
3σ
,
LSE − µ
3σ
}
. (14)
Exemplo 11. Uma máquina de embalar açúcar produz pacotes cujo peso segue uma
distribuição normal com média de 1010 gramas e desvio padrão de 6 gramas. Sendo a
especificação para o peso 1020 ± 20 gramas, calcule o índice de capacidade e o índice
de performance deste processo e compare-os.
Solução: Cp =
LSE−LIE
6σ
= 1040−1000
36
= 40
36
= 1, 11.
Cpk = min
{
µ−LIE
3σ
, LSE−µ
3σ
}
= min
{
1010−1000
18
, 1040−1010
18
}
= 0, 55.
Este resultado ilustra o fato de que quando o processo não está centrado na média
das especificações, o índice de performance difere do índice de capacidade do processo.
23
4.3 Probabilidade de Alarme Falso
Toda vez que um ponto está fora dos limites de controle, emite-se um sinal informando
que algo está errado no processo. Porém o simples fato de um ponto estar fora dos limites
de controle não quer dizer necessariamente que o processo está fora de controle. Quando
acontece de um ponto estar fora dos limites de controle estando o processo sob controle,
nós dizemos que ocorreu um alarme falso. Em geral, para os gráficos 3-sigma, espera-se que
a probabilidade de ocorrer um alarme falso, seja de 0,27%. O problema é que na construção
dos gráficos de controle, utilizamos fortemente o fato de os dados seguirem distribuição
normal, o que nem sempre é verdade. Desta forma, teoricamente, a probabilidade de alarme
falso seria 0,27%; mas se a distribuição verdadeira dos dados não for normal, este valor pode
estar bastante fora da realidade. Portanto, espera-se que um gráfico de controle 3-sigma
tenha probabilidade de alarme falso em torno do valor nominal 0,27%. Se a probabilidade
de alarme falso estiver muito abaixo do valor nominal, isto quer dizer que o gráfico tende
a aceitar que o processo está sob controle mais do que deveria. Se esta probabilidade é
muito elevada, então o gráfico tende a ser muito restritivo, no sentido de rejeitar mais do
que deveria. Note que tanto uma situação como a outra não são interessantes, o ideal é
que o valor da probabilidade de alarme falso esteja em torno do valor nominal 0,27%.
4.4 Tamanho da Amostra e Frequência de Amostragem
No planejamento de um gráfico de controle, devemos especificar tanto o tamanho da
amostra a ser usada, quanto a frequência de amostragem. Em geral, amostras
maiores tornarão mais fácil detectar pequenas mudanças no processo. Uma maneira de
avaliar as decisões relativas ao tamanho da amostra e frequência de amostragem é através
do comprimento médio da sequência (CMS) do gráfico de controle. Essencialmente,
o CMS é o número médio de pontos que devem ser marcados antes que um ponto indique
uma condição de fora de controle. Supondo que as observações no processo são não-
correlacionadas, o CMS pode ser calculado facilmente por
CMS =
1
p
, (15)
onde p é a probabilidade de que qualquer ponto exceda os limites de controle.
Para um processo sob controle, temos que o CMS, chamado aqui de CMS0, é dado
por
CMS0 =
1
α
,
onde α é a probabilidade de um ponto se situar abaixo de LIC ou acima de LSC. Em
geral, se o processo está realmente sob controle, então é desejável um alto valor de CMS0.
No caso do processo estar fora de controle, o CMS é denotado por CMS1, e temos
que
CMS1 =
1
1− β ,
em que β é a probabilidade de que a próxima amostra seja plotada entre LIC e LSC
quando, na realidade, o processo se encontra fora de controle. Daí, (1−β) é a probabilidade
24
de que uma mudança no processo seja detectada na primeira amostra após a ocorrência
da mudança. Isto é, o processo mudou e um ponto excede LSC ou é inferior a LIC,
sinalizando que o processo está fora de controle. Assim, o CMS1 é o número esperado de
amostras observadas antes que seja detectada uma mudança no processo.
Exemplo 12. Para o gráfico X com os limites 3-sigma, p = 0, 0027 é a probabilidade
de que um único ponto caia fora dos limites, quando o processo está sob controle.
Portanto, o comprimento médio da sequência do gráfico X, quando o processo está sob
controle (chamado CMS0) é
CMS0 =
1
α
=
1
0, 0027
= 370.
Isto é, mesmo que o processo permaneça sob controle, um sinal de fora de controle,
será emitido a cada 370 amostras, em média.
Ocasionalmente, é conveniente expressar o desempenho do gráfico de controle em
termos de seu tempo médio para alerta (TMA). Se as amostras são tomadas a
intervalos fixos de tempo de h horas, então
TMA = CMSh. (16)
Exemplo 13. Estamos usando um gráfico de controle X para monitorar o diâmetro
médio dos anéis de pistão de um motor, que sob controle é igual a 74 mm (σ = 0, 01
mm), cujos limites de controle 3-sigma são dados por LIC = 73, 9865 e LSC =
74, 0135. Suponha que estejamos usando uma amostra de tamanho 5 e que, quando
o processo sai de controle, a média mude para 74,015 mm. Neste caso, a probabilidade
de X estar dentro dos limites de controle é de 0,367 (exercício). Assim, p na expressão
(15) é igual a 0,633, e o CMS fora de controle (chamado CMS1) é dado por
CMS1 =
1
1− β =
1
0, 633
= 1, 58 ' 2.
Isto é, o gráfico de controle exigirá, em média, duas amostras para detectar a mudança
no processo. Se utilizarmos um intervalo de uma hora entre as amostras, o tempo
médio exigido para detectar essa mudança é
TMA = CMS1h = 2(1) = 2 horas.
Suponha que isso seja inaceitável, porque a produção de anéis de pistão com diâmetro
médio de 74,015 mm resulta em um custo excessivo de sucata e retarda a montagem fi-
nal do motor. Como poderíamos reduzir o tempo necessário para detectar uma condição
fora de controle? Um método é extrair amostras mais frequentemente. Por exemplo,
se a cada meia hora extraímosuma amostra, então o tempo médio de sinalização para
esse esquema é
TMA = CMS1h = 2(0, 5) = 1 hora.
Isto é, apenas 1 hora se passará entre a mudança e sua detecção. A segunda possibili-
dade é aumentar o tamanho da amostra. Por exemplo, se aumentarmos para 10 itens
cada amostra, então a probabilidade p = 0, 68082 (exercício) e da expressão (15) temos
CMS1 =
1
0, 68082
= 1, 47 ' 2.
25
e, se extraírmos amostras a cada hora, o tempo médio para alerta será
TMA = CMS1h = 2(1) = 2 horas.
Assim, aumentar o tamanho da amostra não necessariamente permitirá a detecção
da mudança mais rápido.
4.5 A Função Característica de Operação
A curva característica de operação serve para medir a capacidade de um gráfico de controle
em detectar mudanças nos parâmetros (do processo) que estão sendo monitorados, em
função do tamanho da amostra. Vamos considerar alguns gráficos de controle e para cada
um deles iremos construir sua curva de operação (CO).
4.5.1 Gráfico X
Considere a curva CO para um gráfico X com desvio padrão σ conhecido e constante. Se a
média se desloca do valor sob controle � digamos, µ0 � para um outro valor µ1 = µ0 + kσ,
a probabilidade de não se detectar esse deslocamento na primeira amostra subsequente ou
risco β é
β = P
{
LIC ≤ X ≤ LSC|µ 6= µ0
}
= P
{
LIC ≤ X ≤ LSC|µ = µ1 = µ0 + kσ
}
.
Como X ∼ N(µ;σ2/n) e os limites de controle superior e inferior são LSC = µ0 +
Lσ/
√
n e LIC = µ0 − Lσ/
√
n, podemos escrever a expressão anterior como
β = P
[
LIC − µ1
σ/
√
n
≤ Z ≤ LSC − µ1
σ/
√
n
]
= P
[
µ0 − Lσ/
√
n− (µ0 + kσ)
σ/
√
n
≤ Z ≤ µ0 + Lσ/
√
n− (µ0 + kσ)
σ/
√
n
]
= P
[
σ/
√
n(−L− k√n)
σ/
√
n
≤ Z ≤ σ/
√
n(L− k√n)
σ/
√
n
]
= P
[−L− k√n ≤ Z ≤ L− k√n] .
= Φ[L− k√n]− Φ[−L− k√n],
onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão.
Desta forma, temos que
β = P
[−L− k√n ≤ Z ≤ L− k√n] . (17)
26
Exemplo 14. Para ilustrar o uso da expressão (17), suponha que estamos usando
o gráfico X com L = 3 (os limites 3-sigma usuais), tamanho amostral n = 5 e que
queremos determinar a probabilidade de detectar um deslocamento para µ1 = µ0 + 2σ
na primeira amostra depois do deslocamento. Então, da expressão (17) temos
β = P
[
−3− 2
√
5 ≤ Z ≤ 3− 2
√
5
]
= P [−7, 47 ≤ Z ≤ −1, 47] ∼= 0, 07078.
Este é o risco β, ou a probabilidade de não se detectar tal deslocamento. A proba-
bilidade de esse deslocamento ser detectado na primeira amostra subsequente é
1− β = 1− 0, 0708 = 0, 92922.
A quantidade Pd = 1 − β é chamada de poder do teste, e representa o poder de um
alarme verdadeiro. Portanto, o número médio de amostras até um alarme verdadeiro é
dado pela expressão
1
Pd
=
1
1− β .
Para analisar o desempenho dos gráficos, queremos verificar quão eficientes eles são
em detectar mudanças nos parâmetros. Temos que β é a probabilidade de não detectar
as mudanças; então, (1 − β) é a probabilidade de que tais mudanças sejam detectadas.
Portanto, o ideal é que tenhamos valores pequenos para β, o que resulta em valores maiores
de Pd = 1− β.
Para construir a curva CO para o gráfico X, devemos plotar o risco β versus a mag-
nitude do deslocamento que queremos detectar, expressa em unidades de desvio padrão,
para vários tamanhos de amostra n. A curva CO está ilustrada na Figura 10 para o caso
dos limites 3-sigma (L = 3). Esta figura indica que para tamanhos típicos de amostra de
quatro, cinco ou seis, o gráfico X não é particulamente eficiente para detectar pequenos
deslocamentos � digamos, da ordem de 1, 5σ ou menos � na primeira amostra depois do
deslocamento. Por exemplo, se o deslocamento é de 1, 0σ e n = 5, temos que
β = P
[−L− k√n ≤ Z ≤ L− k√n]
= P
[
−3− 1
√
5 ≤ Z ≤ 3− 1
√
5
]
= P [−5, 24 ≤ Z ≤ 0, 76]
= 0, 5 + 0, 27637 = 0, 77637.
Este valor pode ser confirmado na Figura 10. Além disso, a probabilidade de se
detectar o deslocamento na primeira amostra é de apenas 1 − β = 0, 22363. Entretanto,
a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na segunda amostra é β(1 − β) =
0, 77637(0, 22363) = 0, 17362. Enquanto a probabilidade de detecção na terceira amostra é
β2(1−β) = (0, 77637)2(0, 22363) = 0, 13479. Assim, a probabilidade que um determinado
deslocamento seja detectado na r-ésima amostra é simplesmente 1−β vezes a probabilidade
de não detectá-lo em cada uma das r − 1 amostras iniciais, ou
(1− β)βr−1.
27
Figura 10: Curvas características de operação para o gráfico x com limites 3-sigma
Em geral o número esperado de amostras necessárias para se detectar um deslocamento
é simplesmente o comprimento médio da sequência ou
CMS =
∞∑
r=1
rβr−1(1− β) = 1
1− β .
Assim, no nosso exemplo, temos que
CMS =
1
0, 22363
= 4, 47 ' 5.
Em outras palavras, o número esperado de amostras necessárias para detectar um deslo-
camento de 1σ com n = 5 é de 4 amostras. Esta discussão fornece um argumento que
suporta o uso de pequenas amostras no gráfico X. Ainda que pequenos tamanhos de amos-
tra resultem em valores relativamente grandes do risco β, como as amostras são coletadas e
testadas periodicamente, há uma chance muito boa de que o deslocamento seja detectado
rapidamente, embora, talvez, não na primeira amostra subsequente ao deslocamento.
4.5.2 Gráfico p
A função característica de operação (CO) do gráfico de controle para a fração não-conforme
(p) é uma visualização gráfica da probabilidade de aceitação incorreta da hipótese de con-
trole estatístico (i. é, um erro tipo-II ou β) versus a fração não-conforme do processo. A
curva CO fornece uma medida da sensitividade do gráfico de controle � isto é, sua capa-
cidade de detectar mudança na fração não-conforme do processo, do valor nominal p para
28
qualquer outro valor p. A probabilidade do erro tipo-II para o gráfico de controle para a
fração não-conforme pode ser calculada por
β = P [LIC ≤ pˆ ≤ LSC|p = p1]
= P
[
LIC ≤ D
n
≤ LSC|p = p1
]
= P [nLIC ≤ D ≤ nLSC|p = p1] ,
em que D é o número de unidades não conformes dentre as n selecionadas, ou seja, D é
uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Dependendo dos valores de nLIC
e nLSC, o cálculo acima pode se tornar trabalhoso. Uma alternativa é usar a aproximação
da distribuição binomial pela distribuição normal, resultado do Teorema Central do Limite:
β = P [LIC ≤ pˆ ≤ LSC|p = p1]
' P
LIC − p1√
p1(1−p1)
n
≤ Z ≤ LSC − p1√
p1(1−p1)
n
 .
Exemplo 15. A curva CO para um gráfico de controle para a fração não-conforme
com parâmetros n = 50, LIC = 0, 0303 e LSC = 0, 3697 é dada por
β = P{(50)(0, 0303) ≤ D ≤ (50)(0, 3697)|p = p1}
= P{1, 515 ≤ D ≤ 18, 485|p = p1}
= P{2 ≤ D ≤ 18|p = p1}
= P (D = 2|p = p1) + P (D = 3|p = p1) + · · ·+ P (D = 18|p = p1)
=
(
50
2
)
p21(1− p1)48 +
(
50
3
)
p31(1− p1)47 + · · ·+
(
50
18
)
p181 (1− p1)32
ou
β = P [0, 0303 ≤ pˆ ≤ 0, 3697|p = p1]
' P
0, 0303− p1√
p1(1−p1)
50
≤ Z ≤ 0, 3697− p1√
p1(1−p1)
50
 .
A Figura 11 esboça a curva CO obtida pela expressão acima.
Para p1 = 0, 1, por exemplo, temos que
β ' P
0, 0303− 0, 1√
0,1(1−0,1)
50
≤ Z ≤ 0, 3697− 0, 1√
0,1(1−0,1)
50

29
= P [−1, 64 ≤ Z ≤ 6, 36]
= 0, 44950 + 0, 5 = 0, 9495.
Por outro lado, se p1 = 0, 35, por exemplo, temos que
β ' P
0, 0303− 0, 35√
0,35(1−0,35)
50
≤ Z ≤ 0, 3697− 0, 35√
0,35(1−0,35)
50

= P [−4, 74 ≤ Z ≤ 0, 29]
= 0, 5 + 0, 11409 = 0, 61409.
Figura 11: Curva CO para o gráfico p com LIC = 0, 0303 e LSC = 0, 3697
Podemos também calcular os comprimentos médios de sequências (CMS) para o gráfico
de controle para a fração não-conforme. Assim, se o processo está sob controle, o CMS0 é
CMS0 =
1
α
e se está fora de controle, então
CMS1 =
1
1− β .
Estas probabilidades (α, β) podem ser calculdas diretamente da distribuição binomialou lidas na curva CO.
30
4.5.3 Gráficos de controle c e u
As curvas características de operação (CO), tanto para o gráfico c quanto para o gráfico
u podem ser obtidas da distribuição de Poisson. Para o gráfico c, a curva CO plota
a probabilidade β de um erro tipo-II versus o verdadeiro número médio de defeitos por
unidade, c. A expressão para β é
β = P{LIC ≤ Y ≤ LSC|c = c1}, (18)
onde Y é o número médio de defeitos por unidade, ou seja, Y é uma variável aleatória de
Poisson com parâmetro c.
Exemplo 16. Suponha que em um procedimento de qualidade para o numero de de-
feitos obtemos os limites
LIC = 6, 48, LC = 19, 85 e LSC = 33, 22.
Substituindo esses valores na expressão (18), obtemos
β = P{6, 48 ≤ Y ≤ 33, 22|c = c1}.
Como o número de não-conformidades deve ser inteiro, isso é equivalente a
β ' P{7 ≤ Y ≤ 33|c = c1}
= P (Y = 7|c = c1) + P (Y = 8|c = c1) + · · ·+ P (Y = 33|c = c1)
=
e−c1c71
7!
+
e−c1c81
8!
+ · · ·+ e
−c1c331
33!
.
A curva CO para esses dados está plotada na Figura 12.
Para o gráfico u, podemos gerar a curva CO a partir de
β = P
[
LIC ≤ Y
n
≤ LSC|u = u1
]
(19)
= P [nLIC ≤ Y ≤ nLSC|u = u1]
=
[nLSC]∑
x=〈nLIC〉
e−nu1(nu1)y
y!
,
onde 〈nLIC〉 denota o menor inteiro maior do que ou igual a nLIC e [nLSC] denota
o maior inteiro menor do que ou igual a nLSC. Os limites na expressão (19) decorrem
do fato de que o número total de não-conformidades observadas em uma amostra de n
unidades de inspeção deve ser um inteiro. Note que n não precisa ser necessariamente um
inteiro.
31
Figura 12: Curva CO para o gráfico c com LIC = 6, 48 e LSC = 33, 22
32
Lista de Exercícios
1. O gêiser Old Faithful vem sendo monitorado nos últimos 25 anos consecutivos. Em
cada ano registram-se seis intervalos (em minutos) entre erupções, com os resultados
constando na tabela a seguir.
Ano Intervalo (min)
1 65 72 60 69 65 67
2 74 65 60 69 68 59
3 68 66 69 64 70 73
4 73 65 71 77 63 77
5 79 67 64 61 81 77
6 74 76 65 69 76 64
7 70 73 74 77 65 73
8 71 68 70 79 75 82
9 62 63 61 48 59 77
10 60 74 77 57 52 78
11 67 73 47 81 92 57
12 79 84 79 72 61 80
13 83 78 83 74 61 68
14 57 68 72 75 56 79
15 59 76 78 86 64 72
16 63 63 71 77 81 65
17 67 84 72 75 70 70
18 93 83 85 79 90 74
19 81 74 80 65 70 84
20 83 67 71 67 97 88
21 62 61 57 86 70 77
22 67 75 67 89 93 81
23 86 65 70 74 83 74
24 74 67 99 75 41 83
25 97 93 73 81 85 90
a) Construa um gráfico X para o intervalo médio entre erupções usando a amplitude
amostral na estimação da variância de X e determine se a média do processo está
sob controle. Como uma média fora de controle afetaria os turistas? Resp.: LIC =
61, 58; LC = 72, 48; LSC = 83, 38; Processo fora de controle (amostras 18 e 25).
b) Construa um gráfico R e determine se a variação do processo está sob controle.
Como uma variação fora de controle afetaria os turistas? Resp.: LIC = 0; LC =
22, 56; LSC = 45, 21; Processo fora de controle (amostra 24).
c) Construa um gráfico S e verifique se o desvio padrão do processo está sob controle.
Resp.: LIC = 0, 2565; LC = 8, 55; LSC = 16, 8435; Processo sob controle.
d) Compare os limites de controle obtidos no item (a) com os limites obtidos a partir
das expressões (6). Resp.: LIC = 61, 48; LC = 72, 48; LSC = 83, 48; Processo
fora de controle (amostras 18 e 25).
33
2. Um gerente da linha de produção utiliza limites de controle de dois desvios-padrão,
contrariando a sugestão do professor dele que sempre insiste em limites a três desvios-
padrão da média. O gerente fica muito frustrado porque muitas vezes não encontra
causas especiais correspondentes aos pontos fora dos limites de controle. O que está
acontecendo?
3. Gráficos de controle x e S devem ser mantidos para as leituras de torque do rolamento
usado na montagem do atuador de flap da asa. Amostras de tamanho n = 10 devem
ser usadas e sabemos que quando o processo está sob controle, o torque do rolamento
tem distribuição normal com média µ = 80 polegadas-libra e desvio padrão σ = 10
polegadas-libra. Ache a linha central e os limites de controle para esses gráficos de
controle. Resp.: Gráfico X: LIC = 70, 513; LC = 80; LSC = 89, 49; Gráfico S:
LIC = 2, 76; LC = 9, 727; LSC = 16, 69.
4. Amostras de 8 itens são retiradas de um processo de manufatura em intervalos re-
gulares. Uma característica da qualidade é medida e valores de x e R são calculados
para cada amostra. Depois de 50 amostras, obtemos
m∑
i=1
xi = 200 e
m∑
i=1
Ri = 250.
Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída. Calcule os
limites de controle para os gráficos de controle x e R. Resp.: Gráfico X: LIC =
2, 135; LC = 4; LSC = 5, 865; Gráfico S: LIC = 0, 68; LC = 5; LSC = 9, 32.
5. Um gráfico x com limites 3σ tem os seguintes parâmetros: LSC = 104, LC = 100,
LIC = 96 e n = 5. Suponha que a característica da qualidade do processo sendo
controlada seja normalmente distribuída com média verdadeira 98 e desvio padrão 8.
Qual é a probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle exatamente
no terceiro ponto plotado? Resp.: 0,1481.
6. Um gráfico x para uma característica normalmente distribuída deve ser construído
com valores de referência µ = 100, σ = 8 e n = 4. Determine:
a) Os limites de controle dois-sigma. Resp.: LIC = 92; LC = 100; LSC = 108.
b) Os limites de probabilidade 0,005. Resp.: LIC = 88, 76; LC = 100; LSC =
111, 24.
7. Os dados que seguem dão o número de montagens não-conformes em amostras de
tamanho 100. Construa um gráfico de controle para a fração não-conforme para esses
dados. Se algum ponto for plotado fora de controle, suponha que causas atribuíveis
possam ser encontradas e determine os limites de controle revisados.
34
Amostra Di Amostra Di
1 7 11 6
2 4 12 15
3 1 13 0
4 3 14 9
5 6 15 5
6 8 16 1
7 10 17 4
8 5 18 5
9 2 19 7
10 7 20 12
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 585; LSC = 0, 1289; Retirando a 12a amostra: LIC = 0;
LC = 0, 537; LSC = 0, 1213.
8. Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção de todas as unidades
de computadores pessoais produzidas durante os últimos 10 dias. O processo parece
estar sob controle?
Dia Unidades inspecionadas Di pˆi
1 80 4 0,050
2 110 7 0,064
3 90 5 0,056
4 75 8 0,107
5 130 6 0,038
6 120 6 0,050
7 70 4 0,057
8 125 5 0,040
9 105 8 0,076
10 95 7 0,074
Resp.: Sim.
9. Uma companhia compra pequenas braçadeiras de metal em contêineres de 5000 cada.
Dez contêineres chegaram para ser descarregados, e 250 braçadeiras foram selecio-
nadas de cada um. As frações não-conformes em cada amostra são: 0; 0; 0; 0,004;
0,008; 0,020; 0,004; 0; 0 e 0,008. Os dados deste carregamento indicam controle
estatístico?
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 0044; LSC = 0, 0170.
10. Um gráfico de controle para a fração não-conforme indica que a média corrente do
processo é 0,03. O tamanho da amostra é constante, de 200 unidades. Encontre os
limites 3-sigma para este gráfico de controle.
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 03; LSC = 0, 0662.
35
11. Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com linha central 0,10, LSC =
0, 19 e LIC = 0, 01 é usado para controlar um processo. Se são usados limites
3-sigma, ache o tamanho comum da amostra de cada subgrupo para o gráfico de
controle.
Resp.: n = 100.
12. Um gráfico de controle para não-conformidades por unidade de inspeção usa limites
de probabilidade de 0,95. A linha central está em λ = 1, 4. Determine os limites de
controle se o tamanho da amostra é 10.
Resp.: LIC = 0, 67; LC = 1, 4; LSC = 2, 13.
13. O número de não-conformidades de acabamento observado na inspeção final na mon-
tagem de unidades de disco para computador foi tabulado como se mostra aqui.
O processo parece está sob controle?
Dia ni yi
1 2 10
2 4 30
3 2 184 1 10
5 3 20
6 4 24
7 2 15
8 4 26
9 3 21
10 1 8
Resp.: Sim.
14. A produção de computadores pessoais pode ser monitorada através de cartas de
controle para atributos. O tamanho da amostra selecionada é de cinco computadores.
Iremos considerar o número de não-conformidades por tamanho amostral.
a) Com base nos dados, verifique se o processo está sob controle. Resp.: LIC =
0, 066; LC = 1, 93; LSC = 3, 794 (processo sob controle).
b) Construa o gráfico de controle para o numero de não-conformidades por unidade
de inspeção, supondo que o valor de referência é λ = 2, 5. Resp.: LIC = 0, 38;
LC = 2, 5; LSC = 4, 62.
36
Amostra yi ui Amostra yi ui
1 10 2,0 11 9 1,8
2 12 2,4 12 5 1,0
3 8 1,6 13 7 1,4
4 14 2,8 14 11 2,2
5 10 2,0 15 12 2,4
6 16 3,2 16 6 1,2
7 11 2,2 17 8 1,6
8 7 1,4 18 10 2,0
9 10 2,0 19 7 1,4
10 15 3,0 20 5 1,0
Total 113 22,6 20 80 16
15. Um caso particular do gráfico u é quando inspecionamos apenas o número de não-
conformidades em uma única unidade de inspeção. Este gráfico é conhecido como
gráfico c onde c é o número médio de não-conformidades encontrado na unidade
inspecionada. Suponha que defeitos ou não-conformidades ocorram nessa unidade de
inspeção de acordo com a distribuição de Poisson de parâmetro c, ou seja
P (X = x) =
e−ccx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
a) Escreva como seriam os limites de controle 3-sigma para este gráfico supondo o
valor c conhecido. Resp.: LIC = c− 3√c; LC = c; LSC = c+ 3√c.
b) Reescreva os limites do item anterior supondo que o valor c é desconhecido.
Resp.: LIC = c¯− 3√c¯; LC = c¯; LSC = c¯+ 3√c¯.
16. Um fabricante de automóveis deseja controlar o número de não-conformidades em
uma área de submontagem que produz transmissões manuais. A unidade de inspeção
é definida como quatro transmissões, e os dados para 16 amostras (cada uma de
tamanho 4) são mostrados aqui.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ci 1 3 2 1 0 2 1 5 2 1 0 2 1 1 2 3
a) Estabeleça um gráfico de controle para não-conformidades por unidade. Resp.:
LIC = 0; LC = 1, 6875; LSC = 5, 5846.
b) Esses dados provêm de um processo sob controle? Se não, suponha que causas
atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle, e calcule
os novos limites de controle revisados. Resp.: Processo sob controle.
17. Ache os limites 3-sigma para
a) Um gráfico c com média do processo igual a 4 não-conformidades.
Resp.: LIC = 0; LC = 4; LSC = 10.
b) Um gráfico u, com c = 4 e n = 4. Resp.: LIC = 0; LC = 1; LSC = 2, 5.
37
18. Deve-se estabelecer um gráfico de controle para não-conformidades junto com a
inspeção final de um rádio. A unidade de inspeção deve ser um grupo de dez rádios.
O número médio de não-conformidades tem sido, no passado, de 0,5 por rádio. Ache
os limites de controle 3-sigma para um gráfico c com base nesse tamanho de unidade
de inspeção.
Resp.: LIC = 0; LC = 5; LSC = 11, 71.
19. A viscosidade do CMC (Carboxi-Metil-Celulose) para uso em fluidos de perfuração
de poços tem especificação mínima de 150 cp. A análise da produção do CMC
durante vários dias revelou que o processo é estatisticamente estável e que os valores
individuais apresentam uma distribuição normal com média igual a 216 cp e desvio
padrão 16,5 cp. Este processo é capaz de atender à especificação?
20. Considere o gráfico X para o Exemplo 13 do anel de pistão. Considere que o diâmetro
do anel é normalmente distribuído e que o tamanho da amostra é igual a 5.
a) Ache os limites de controle 2-sigma para esse gráfico. Resp.: LIC = 73, 9911;
LC = 74; LSC = 74, 0089.
b) Suponha que tenha sido sugerido o uso dos limites 2-sigma, em vez dos limtes
típicos 3-sigma. Que efeito isso teria na ocorrência de alarmes falsos? Resp.: A
probabilidade de alarme falso aumenta de 0,27% para 4,55%.
c) Que efeito o uso dos limites 2-sigma teriam sobre o CMS0 e o CMS1 (µ = 74, 015)?
Qual o tempo médio de detecção de mudança na média no processo, para cada caso,
supondo que a cada meia hora será retirada uma amostra? Resp.: Usando limites
2-sigma: CMS0 = 21, 978; CMS1 = 1, 095; TMA0 ' 11 horas; TMA1 ' 33
minutos. Usando limites 3-sigma: CMS0 ' 370, 37; CMS1 = 1, 570.
21. Gráficos de conrtole x e R devem ser mantidos para controlar a força de resistência de
uma peça metálica. Suponha que a força de resistência seja normalmente distribuída.
Trinta amostras de tamanho 6 são coletadas durante um período com os seguintes
resultados:
m∑
i=1
xi = 6000 e
m∑
i=1
Ri = 150.
a) Calcule os limites para os gráficos x e R. Resp.: Gráfico x: LIC = 197, 585;
LC = 200; LSC = 202, 415. Gráfico R: LIC = 0; LC = 5; LSC = 10, 02.
b) Ambos os gráficos exibem controle. As especificações para a força de resistência
são 200 ± 5. Quais são as suas conclusões sobre a capacidade do processo? Resp.:
Cˆp = 0, 8447.
c) Para os gráficos x e R acima, ache o risco β quando a verdadeira média do processo
é 199. Resp.: 0,96799.
22. Um gráfico X é usado para controlar a média de uma carcterística da qualidade
normalmente distribuída. Sabe-se que σ = 6, 0 e n = 4. Os limites de controle são
LC = 200, LSC = 209 e LIC = 191. Se a média do processo se desloca para 188,
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ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra
subsequente. Resp.: 0,84134.
23. Gráficos de controle x e R com n = 4 são usados para monitorar uma característica
da qualidade normalmente distribuída. Os parâmetros dos gráficos de controle são:
Gráfico x Gráfico R
LSC = 815 LSC = 46, 98
LC = 800 LC = 20, 59
LIC = 785 LIC = 0
Ambos os gráficos exibem controle. Qual é a probabilidade de um deslocamento
na média do processo para 790 ser detectado na primeira amostra subsequente ao
deslocamento? Resp.: 0,15866.
24. Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com n = 400, tem os seguintes
parâmetros:
LIC = 0, 0191, LC = 0, 0500 e LSC = 0, 0809.
a) Ache a largura dos limites de controle em unidades de desvio padrão. Resp.:
L = 2, 8356
b) Quais seriam os limites correspondentes para um gráfico de controle equivalente
com base no número de itens não-conformes? Resp.: LIC = 7, 64, LC = 20 e
LSC = 32, 36.
c) Qual é a probabilidade de uma mudança para 0,03 na fração não-conforme do
processo ser detectada na primeira amostra após a mudança? Resp.: 0,10027.
25. Um gráfico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com linha
central de 0,01 e limites de controle 2-sigma.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser
não-nulo? Resp.: n ≥ 397.
b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na segunda
amostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item anterior? Resp.:
0,0207.
c) Qual deve ser o tamanho da amostra, se desejamos que a probabilidade de detectar
a mudança para 0,04 na primeira amostra subsequente seja de 0,50, no caso em que
LIC = 0? Resp.: n = 44.
26. Deve-se construir um gráfico de controle para não-conformidades com c = 2, 0,
LIC = 0 e LSC tal que a probabilidade de um ponto se localizar fora dos limites de
controle, quando c = 2, é de apenas 0,005. Ache o LSC. Resp.: LSC=6.
27. Deve-se estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz geladeiras.
A unidade de inspeção é uma geladeira, e vai ser usado um gráfico comum para
não-conformidades. Como dados preliminares, foram contadas 16 não-conformidades
na inspeção de 30 geladeiras.
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a) Quais são os limites de controle 3-sigma? Resp.: LIC = 0, LC = 0, 533 e
LSC = 2, 7242.
b) Qual é o risco α para esse gráfico de controle? Resp.: α = 0, 017.
c) Qual é o risco β, se o número médio de defeitos é, realmente, dois (i. é, c = 2, 0)?
Resp.: β = 0, 6767.
d) Ache o comprimento médio da sequência se o número médio de defeitos é realmente
dois. Resp.: CMS1 = 3, 093.
28. Um processo está sendomonitorado por um gráfico de controle para a fração não-
conforme. A média apresentada no processo foi de 0,07. Os limites de controle
3-sigma são usados, e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400
itens.
a) Calcule os limites de controle superior e inferior. Resp.: LIC = 0, 0317, LC =
0, 07 e LSC = 0, 1083.
b) Se a média do processo mudasse repentinamente para 0,10, qual a probabilidade
de que a mudança fosse detectada na primeira amostra subsequente? Resp.: 0,29116.
c) Qual é a probabilidade de que a mudança da parte (b) fosse detectada na primeira
ou segunda amostra tomada após a mudança? Resp.: 0,49755.
29. No planejamento de um gráfico de controle para a fração não-conforme com linha
central em p = 0, 20 e limites de controle 3-sigma, qual é o tamanho da amostra
exigido para resultar em um limite inferior de controle positivo? Resp.: n ≥ 37.
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