Resistência dos Materiais 5

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Resistência dos 
Materiais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Antônio Carlos F. Bragança Pinheiro
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Tensões na Flexão de Barras
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• Introdução
• Características das Tensões na Flexão de Barras
• Flexão Pura e Flexão não Uniforme de Barras
• Tensão Normal na Flexão de Barras (σX)
• Tensão de Cisalhamento na Flexão de Barras (ΤX)
 · O objetivo desta Unidade é apresentar os conceitos das tensões na flexão de 
barras; calcular a tensão normal e de cisalhamento em barras submetidas à flexão; 
identificar a linha neutra e a posição das maiores tensões atuantes em barras 
sujeitas à flexão.
Iniciaremos nossos estudos conceituando e apresentando as tensões em barras sujeitas à 
flexão e a sua importância no cálculo estrutural. A partir de então, veremos a conceituação 
das tensões normais e as tensões de cisalhamento. Em seguida, aprenderemos a flexão 
pura e a flexão não uniforme em barras.
Aprenderemos também a parametrização das tensões normais em barras flexionadas 
no regime elástico para materiais homogêneos e elástico-lineares. Por fim, é apresentada 
a parametrização das tensões de cisalhamento em barras flexionadas no regime elástico.
É interessante que vocês revejam alguns conceitos de Matemática e de Física, para 
facilitar o entendimento desses conceitos.
Para ajudá-lo(a), realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos e não deixe de assistir, também, a apresentação narrada do conteúdo e de alguns 
exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento(a) às atividades avaliativas propostas e ao 
prazo de realização e envio.
Tensões na Flexão de Barras
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Contextualização
No dimensionamento estrutural, é muito importante a determinação das tensões dos 
elementos estruturais sujeitos à flexão. Essas tensões irão determinar as características 
necessárias dos elementos estruturais para que esses elementos possam ter tensões adequadas 
à sua resistência estrutural.
Assim, a determinação das tensões atuantes nas barras é importante para o dimensionamento 
estrutural. Para a flexão de barras, existem parâmetros associados que conduzem às tensões 
de solicitação. 
Aspectos do dia a dia de nossa vida pessoal ocorrem também nas atividades profissionais. 
Exemplo disso é o nosso trabalho diário. Nele realizamos a escolha de elementos simples, 
como no caso da escolha da seção transversal de uma prateleira. É possível perceber que para 
uma determinada seção transversal da prateleira, ela poderá romper. Isso ocorre também nas 
peças estruturais de grandes dimensões. Em nossa vida pessoal e nas grandes estruturas, é 
necessário prever as deformações das peças estruturais. 
Exemplificando com fatos do cotidiano, como podemos avaliar as dimensões da seção 
transversal da prateleira para que a tensão atuante esteja dentro de limites toleráveis? 
De posse dessa informação, é possível determinar previamente as tensões atuantes na 
prateleira e fazer as adequações necessárias em sua seção transversal. 
O cálculo de sistemas estruturais mais complexos tem muita similaridade com o cálculo de 
uma prateleira, sendo uma grande diferença entre eles a magnitude da ordem de grandeza das 
cargas atuantes. 
Para cada tipo de estrutura, existem questões estabelecidas e eventualidades que devem ser 
consideradas no cálculo estrutural.
As normas técnicas indicam as boas práticas para o cálculo estrutural. Assim, com esse 
exemplo simples de nosso cotidiano, como a determinação das características geométricas de 
uma prateleira, é possível ver a semelhança existente no cálculo de estruturas mais complexas 
presentes em seu dia a dia. 
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Introdução
As cargas transversais ao eixo longitudinal de barras geram tensões em suas seções trans-
versais. As tensões normais devido à flexão surgem nas seções transversais das barras em fun-
ção do momento fletor e as tensões de cisalhamento surgem devido à variação do momento 
fletor ao longo do comprimento da barra.
Assim, em barras prismáticas, as maiores tensões normais ocorrerão nas posições das 
barras nas quais são maiores os momentos fletores. As maiores tensões de cisalhamento irão 
ocorrer nas posições das barras nas quais são maiores as variações de momento fletor, isto é, 
nas posições nas quais são maiores os valores da força cortante. 
Características das Tensões na Flexão de Barras
As tensões que ocorrem na flexão de barras surgem devido à ação de cargas transversais 
ao eixo longitudinal, que geram momentos fletores e forças cortantes.
As tensões que ocorrem na flexão de barras podem ser:
Tensão Normal Ocorre na seção transversal das barras em função da ação do momento fletor.
Tensão de 
cisalhamento
Ocorre na seção transversal das barras devido à variação do momento 
fletor ao longo do eixo longitudinal.
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Flexão Pura e Flexão não Uniforme de Barras
Flexão Pura
É a flexão causada em barras sujeitas a 
carregamentos que geram momento 
fletor constante (Figura 1). Na flexão 
pura, não há força cortante na barra.
Figura 1. Barra sujeita a Flexão Pura.
Flexão Não uniforme
É a flexão causada em barras sujeitas a 
carregamentos que geram momentos 
fletores variáveis ao longo do comprimento 
da barra, o que conduz a existência de 
força cortante (Figura 2). Na flexão não 
uniforme, existe força cortante.
Figura 2. Barra sujeita a Flexão Não uniforme.
Flexão Pura e Não uniforme
É possível haver situações nas quais 
ocorram na mesma barra flexão pura e 
flexão não uniforme (Figura 3).
Figura 3. Barra sujeita a Flexão Pura e Flexão não uniforme simul-
taneamente.
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Tensão Normal na Flexão de Barras (σX)
Para parametrização das tensões, serão adotados os eixos (X) longitudinal e para a seção 
transversal o eixo (Y) vertical e o eixo (Z) horizontal. 
Para materiais homogêneos e elástico-lineares, a tensão normal (σX) que ocorre em barras 
sujeitas à ação do momento fletor varia linearmente ao longo da seção transversal das barras.
Figura 4. Tensão normal na seção transversal da barra.
 
Equilíbrio na Seção Transversal
Para que se tenha o equilíbrio ao momento fletor (MZ), a seção analisada desenvolve esfor-
ços internos resistentes, cuja tensão normal [σx (y)] é função da distância (Y) da área elementar 
(∆A) até a linha neutra.
A força elementar desenvolvida em cada área elementar é dada pela expressão (1).
∆Fx = σx(y) ∆A ...(1)
O momento estático elementar resistente ao momento fletor é dado pela expressão (2).
∆Mz = ∆Fx Y = Y σx(y) ∆A ...(2)
 
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Assim, para equilíbrio:
 » A resultante da somatória das forças normais deve ser nula:
N = Σ ∆Fx = Σ σx(y) ∆A = 0 ...(3)
 » O momento fletor atuante deverá ser igual à somatória dos momentos estáticos resistentes:
Mz = Σ ∆Mz = Σ Y σx(y) ∆A ...(4)
Deformações na Seção Transversal
Adota-se a hipótese de Navier-Bernolulli de que a seção transversal originalmente plana, 
permanece plana após a deformação (Figuras 5 e 6).
Figura 5. Deformações na seção transversal.
< Imagem OK >
Figura 6. Vista lateral da deformação na seção transversal.
< Imagem OK >
A deformação do material no nível Y será:
ε (Y) = AA’/∆x ...(5)
Mas:
∆θ/∆x = C ...(8) constante
Como o ângulo ∆θ é muito pequeno:
tg ∆θ ~ ∆θ = AA’/ Y
AA’ = Y ∆θ ...(6)
Com (8) em (7):
ε (Y) = Y C ...(9)
Com (6) em (5):
ε (Y) = Y ∆θ/∆x ...(7)
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Relação entre Tensão Normal e Deformação
Da lei de Hooke:
σ = E ε ...(10)
Com (11) em (3):
N = Σ E Y C ∆A = E C (Σ Y ∆A) = 0 ...(12)
Com (9) e (10):
σx(y) = E Y C ...(11)
Sendo o momento estático da seção em relação ao eixo Z:
MSZ = Σ Y ∆A ...(13)
Com (13) em(12):
E C MSZ = 0 ...(14)
A expressão (14) somente será válida se um dos seus termos for nulo. Como E ≠ 0 e C ≠ 0, 
então: MSZ = 0 → somente se o eixo Z passar pelo centro de gravidade da seção transversal.
Com (11) em (4):
Mz = Σ Y E Y C ∆A = E C (Σ Y
2 ∆A) ...(15)
Chamando de momento de inércia da seção em relação ao eixo Z:
IZ = Σ Y
2 ∆A ...(16)
Com (16) em (15):
Mz = EC IZ
C = Mz / (E IZ) ...(17)
De (11):
C = σx(y) / (E Y) ...(18) 
Onde:
Mz → momento fletor na seção;
Iz → momento de inércia da seção;
Y→
distância da linha neutra até a 
fibra considerada.
Igualando (18) e (17):
σx(y) / (E Y) = Mz / (E IZ)
σx(y) = (Mz / Iz) Y ...(19)
A expressão (19) é uma equação paramétrica de uma reta e determina a expressão da ten-
são normal devido à flexão, em qualquer fibra (Y) da seção transversal.
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Para momentos fletores positivos, tracionam a fibra inferior das barras (representado pela 
regra da mão direita), a tensão normal máxima de tração ocorre na fibra inferior das barras e 
a tensão normal máxima de compressão ocorre na fibra superior (Figura 7). 
Figura 7. Tensão normal causada por momento fletor positivo.
Para momentos fletores negativos, comprimem a fibra inferior das barras (representado 
pela regra da mão direita), a tensão normal máxima de compressão ocorre na fibra inferior das 
barras e a tensão normal máxima de tração ocorre na fibra superior (Figura 8). 
Figura 8. Tensão normal causada por momento fletor negativo.
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Tensão de Cisalhamento na Flexão de Barras (ΤX)
A tensão de cisalhamento (τx) em barras sujeitas à variação do momento fletor varia ao 
longo da seção transversal das barras.
Figura 9. Vista lateral de barra sujeita a variação de momento fletor.
< Imagem OK >
 
As forças resultantes das tensões normais σX(Y) 1 e σX(Y) 2 , em cada lado (1) e (2), para cada 
nível Y0 escolhido, não estão equilibradas.
Figura 10. Seção transversal.
< Imagem OK >
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Do lado (1), somando as forças no intervalo Y0 ≤ Y ≤ Ymáx :
F10 = Σ ∆Fx = Σ σx(y)1 ∆A = Σ (MZ / IZ) Y ∆A = (MZ / IZ) Σ Y ∆A ...(20)
Mas, o momento estático da área A0 em 
relação ao eixo Z é:
Mso = Σ Y ∆A ...(21)
Do lado (2), por analogia:
F20 = [(MZ + ∆MZ)/ IZ] Mso ...(23)
Com (21) em (20):
F10 = (MZ / IZ) Mso ...(22)
Então, a resultante entre as forças que são 
opostas é:
∆ F0 = F20 - F10 ...(24)
Com (22) e (23) em (24):
∆ F0 = (∆MZ/ IZ) Mso ...(25)
A diferença (∆ F0) será resistida por tensões tangenciais ao plano de contato entre a camada 
acima e abaixo de (Y0), de largura (b0) e comprimento (∆X).
Figura 11. Vista lateral da barra com a tensão de cisalhamento.
< Imagem OK >
 
τX(Yo) = ∆ F0 / Acontato ...(26)
Acontato = b0 ∆X ...(27)
Com (25) e (27) em (26):
τX(Yo) = (∆MZ / ∆X) [Mso / (b0 IZ)] ...(28) 
Mas:
V = ∆MZ / ∆X ...(29)
Com (29) em (28):
τX(Yo) = (V Mso/ b0 Iz) ...(30)
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A expressão (30) determina a tensão de cisalhamento em uma seção transversal devido à 
flexão em qualquer fibra (Y) da seção transversal.
Lembrando, de (21):
Mso = Σ Y ∆A
Ou
Mso = A0 d0 ...(31)
Onde: 
V força cortante na seção de análise da tensão de cisalhamento;
Mso momento estático da área (Ao) em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade da seção transversal;
Ao área acima ou abaixo da seção de cisalhamento;
do 
distância do centro de gravidade da área (Ao) até o centro de gravidade da 
seção transversal;
bo largura da seção de cisalhamento;
Iz momento de inércia da seção;
yo posição da seção de cisalhamento.
O valor máximo da tensão de cisalhamento para barras com seção retangular ocorre na po-
sição da linha neutra, isto é, quando yo = 0 (Figura 12).
Figura 12. Tensão de cisalhamento causada por variação do momento fletor.
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
 Exemplo 1 
Uma barra de seção transversal retangular de base b = 20 cm e altura h = 50 cm está apoiada 
nas extremidades em apoios articulados e sujeita a uma carga uniformemente distribuída. 
Os esforços internos solicitantes estão representados pelos diagramas de forças cortantes e de 
momentos fletores. Calcular a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento que 
ocorrem na barra (Figura 13).
Figura 13. Barra do exemplo 1.
< Imagem OK >
Solução:
Características geométricas
Iz = bh
3/12 = (20 x 503/12) x 10-8 = 2,08 x 10-3 m4
Esforços solicitantes máximos
Vmáx = 50 kN
Mmáx = 62,5 kNm 
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Tensão Normal (σx)
Como o momento fletor da barra é positivo, as tensões de tração na barra ocorrerão na 
região abaixo da linha neutra e as tensões de compressão ocorrerão acima da linha neutra 
(Figura 14). Os maiores valores das tensões normais ocorreram nas extremidades inferior e 
superior da barra.
Figura 14. Diagrama de tensão normal do exemplo 1.
σxmáx (+) = + (Mz/Iz) ymáx inferior = + (62,5 x 10
3 /2,08 x 10-3) x (50/2) x 10-2 
σxmáx (+) = + 7,51 MPa 
Posição: x = 2,50 m; y = - 0,25 m
σxmáx (-) = - (Mz/Iz) ymáx superior = - (62,5 x 10
3 /2,08 x 10-3) x (50/2) x 10-2 
σxmáx (-) = - 7,51 MPa
Posição: x = 2,50 m; y = 0,25 m
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Tensão de Cisalhamento (τx)
As maiores forças cortantes estão junto aos apoios (A) e (B) e nessas posições ocorrerão as 
maiores tensões de cisalhamento. Nessas seções transversais retangulares, o maior valor da 
tensão de cisalhamento ocorrerá na posição do centro de gravidade (Figura 15).
Figura 15. Diagrama de tensão de cisalhamento do exemplo 1.
τmax(Yo = 0) = (Vmáx Mso) / (bo Iz) 
Mso = Ao x do = (b x h/2) x (h /2 / 2) = (20 x 50 / 2) x (50 / 2 / 2) x 10
-6 
Mso = 6,25 x 10
-3 m3
τmax(Yo = 0) = (50 x 103 x 6,25 x 10-3 ) / (20 x 10-2 x 2, 08 x 10-3) 
τmax(Yo = 0) = 0,75 MPa
Posição: x = 0 (apoio A) e x = L (apoio B); y = 0
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Exemplo 2
Uma barra de seção transversal retangular de base b = 12 cm e altura h = 80 cm está apoia-
da nas extremidades em apoios articulados e sujeita a uma carga concentrada no centro do 
vão. Os esforços internos solicitantes estão representados pelos diagramas de forças cortantes 
e de momentos fletores. Calcular a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento 
que ocorrem na barra (Figura 16).
Figura 16. Barra do exemplo 2.
Solução:
Características geométricas
Iz = bh
3/12 = (12 x 803/12) x 10-8 = 5,12 x 10-3 m4
Esforços solicitantes máximos
Vmáx = 50 kN
Mmáx = 150 kNm 
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Tensão Normal (σx)
Como o momento fletor da barra é positivo, as tensões de tração na barra ocorrerão na 
região abaixo da linha neutra e as tensões de compressão ocorrerão acima da linha neutra 
(Figura 17). Os maiores valores das tensões normais ocorreram nas extremidades inferior e 
superior da barra.
Figura 17. Diagrama de tensão normal do exemplo 2.
< Imagem OK >
σxmáx (+) = + (Mz / Iz) ymáx inferior = + (150 x 10
3 / 5,12 x 10-3) x (80 / 2) x 10-2 
σxmáx (+) = + 11,72 MPa 
Posição: x = 3,00 m; y = - 0,40 m
σxmáx (-) = - (Mz/Iz) ymáx superior = - (150 x 10
3 /5,12 x 10-3) x (80/2) x 10-2 
σxmáx (-) = - 11,72 MPa
Posição: x = 3,00 m; y = 0,40 m
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Tensão de Cisalhamento (τx)
As maiores forças cortantes estão junto aos apoios (A) e (B) e nessas posições ocorrerão as 
maiores tensões de cisalhamento. Nessas seções transversais retangulares, o maior valor da 
tensão de cisalhamento ocorrerá na posição do centro de gravidade (Figura 18).
Figura 18. Diagrama de tensão de cisalhamento do exemplo 2.
τmax(Yo = 0) = (Vmáx Mso) / (bo Iz) 
Mso = Ao x do = (b x h/2) x (h/2 / 2) = (12 x 80/2) x (80/2 / 2) x 10
-6Mso = 9,60 x 10
-3 m3
τmax(Yo = 0) = (50 x 103 x 9,60 x 10-3 ) / (12 x 10-2 x 5,12 x 10-3) 
τmax(Yo = 0) = 0,78 MPa
Posição: 0 < X < 3,00 m; y = 0
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Exemplo 3
Uma barra de seção transversal retangular de base b = 12 cm e altura h = 40 cm está 
apoiada em um engaste em uma de suas extremidades, sendo a outra extremidade livre. Ela 
está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre, que conduz aos esforços internos 
solicitantes que estão representados pelos diagramas de forças cortantes e de momentos 
fletores. Calcular a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento que ocorrem 
na barra (Figura 19).
Figura 19. Barra do exemplo 3.
 
Solução:
Características geométricas
Iz = bh
3/12 = (12 x 403/12) x 10-8 = 7,68 x 10-3 m4
Esforços solicitantes máximos
Vmáx = 40 kN
Mmáx = 120 kNm 
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Tensão Normal (σx)
Como o momento fletor da barra é negativo, as tensões de compressão na barra ocorrerão 
na região abaixo da linha neutra e as tensões de tração ocorrerão acima da linha neutra (Figura 
20). Os maiores valores das tensões normais ocorreram nas extremidades inferior e superior 
da barra.
Figura 20. Diagrama de tensão normal do exemplo 3.
< Imagem OK >
σxmáx (-) = - (Mz/Iz) ymáx inferior = - (120 x 10
3 /7,68 x 10-3) x (40/2) x 10-2 
σxmáx (-) = - 3,13 MPa 
Posição: x = 0; y = - 0,20 m
σxmáx (+) = + (Mz/Iz) ymáx superior = + (120 x 10
3 /7,68 x 10-3) x (40/2) x 10-2 
σxmáx (+) = + 3,13 MPa
Posição: x = 0; y = 0,20 m
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Tensão de Cisalhamento (τx)
As maiores forças cortantes estão ao longo do comprimento da barra e em todo comprimen-
to ocorrerão as maiores tensões de cisalhamento. Nessas seções transversais retangulares, o 
maior valor da tensão de cisalhamento ocorrerá na posição do centro de gravidade (Figura 21).
Figura 21. Diagrama de tensão de cisalhamento do exemplo 3.
τmax(Yo = 0) = (Vmáx Mso) / (bo Iz) 
Mso = Ao x do = (b x h/2) x (h/2 / 2) = (12 x 40/2) x (40/2 / 2) x 10
-6 
Mso = 2,40 x 10
-3 m3
τmax(Yo = 0) = (40 x 103 x 2,40 x 10-3 ) / (12 x 10-2 x 7,68 x 10-3) 
τmax(Yo = 0) = 0,10 MPa
Posição: 0 < x < 3,00 m; y = 0
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Material Complementar
Para aprofundar seus conhecimentos, consulte: 
Livros:
NASH, William A.; POTTER, Merle C. Resistência dos Materiais. 5.ed. Co-
leção Schaum. (ebook: Bookman);
Sites:
ABCEM – Associação Brasileira de Construção Metálica. Artigos diversos. 
Disponível em: <http://www.abcem.org.br/artigos-tecnicos.php>. Acesso em: 25 abr. 2015;
ABPE – Associação Brasileira de Pontes e Estruturas. Revista Engenharia 
Estudo e Pesquisa. Disponível em: <http://www.revistaeep.com/>. Acesso em: 25 
abr. /2015.
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Unidade: Tensões na Flexão de Barras
Referências
ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos Materiais. Campinas: UNICAMP, 2010. v.1
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; EISENBERG, E. R.; CLAUSEN, W. E. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros – Estática. 7.ed. Porto Alegre: Bookman- Artmed, 2006.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; DEWOLFE, J. T. Resistência dos Materiais. 4.ed. 
Porto Alegre: Bookman-Artmed, 2006.
CRAIG JR., R. R. Mecânica dos Materiais. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
GERE, James M. MECÂNICA DOS MATERIAIS São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
HIBBELER, R. C. Estática. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
______ Resistência dos Materiais. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
RILEY, W. F.; STURGES, L. P.; MORRIS, D. H. Mecânica dos Materiais. 5.ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003.
SHEPPARD, S. D.; TONGUE, B. H. Análise e Projeto de sistemas em Equilíbrio – 
Estática. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
UGURAL, Ansel C. Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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Anotações