Resolucao lista 01

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Exercícios Lista 01 -Matrizes , Determinantes e Sistemas Lineares
1.Dadas as matrizes A, B=, C, D= e E=, determine:a)2A+3C=
2 + 3 = + = 
b) AxB=
 x , como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de A por todas as colunas de B.
 = 
c) AxD=
 x , como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de D, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de A pela coluna de D.
 =
d) CxE=
 x , como o número de colunas de C é diferente ao número de linhas de E, não é possível fazer a multiplicação.
e)BxD=
 x, como o número de colunas de B é igual ao número de linhas de D, é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de B pela coluna de D.
 = 
f)(-E)x = , a linha vira coluna)
 x , como o número de colunas de -E é igual ao número de linhas de , é possível fazer a multiplicação, multiplicando cada linha de -E pelas colunas de .
 = 
g)= 
 x , como o número de colunas de é igual ao número de linhas de , é possível fazer a multiplicação, multiplicando a linha de pelas colunas de .
 = 
h)=
Primeiro vamos fazer ,
 x =
 = 
Agora vamos fazer (AxB),
 x =
 = 
Agora vamos fazer = x =
 x = 
 =
2. Determinar matriz X de ordem 2 x 3 , definida para cada caso como segue:
a) A=, xij = aij para i = j e xij = 1 para i ≠ j,
 
b) B=, xij = 0 para i ≠ j e xij = − bij para i = j,
 
c) C=, xij = cij para i ≥ j e xij = −cij para i < j,
 
d) D=, xij = 0 para i≤j e xij = dij para i > j,
 
e) E=, xij = dij para i =1 e xij = −eij para i =2,
 
3. Quais os valores de x e y que satisfazem a equação matricial:
 + = 
 = 
x+3y=4, -2+7=5, 4+1=5 e 2x-y=1, então:
x+3y=4 
2x-y=1
x=4-3y, substitui o valor de x na segunda: 
2.(4-3y)-y=1 8-6y-y=1 -7y=-7 y=1
substitui o valor de y: 
x=4-3y x=4-3.(1) x=1
resposta x=1 e y=1
4. Dada a matriz M=, determinar o valor de x tal que M + = x. M
Primeiro vamos calcular , pela propriedade de matrizes sabemos que Mx=I,
 x = , resolvendo a equação:
-1. a+0.c=1 -a=1 a=-1
-1. b+0. d=0 -b=0 b=0
0. a+1.c=0 c=0 c=0
0. b+1. d=1 d=1 d=1
Então = 
Se M + = x. M, então:
 + = x.
 = 
-2=-x, 0=0, 0=0, 2=x, portanto x=2
5. Dada a matriz A= , obter a matriz X = 2A + 
x=2.+ x=+x= 
6. Seja A=, considerando que = A, determinar o valor de x e em seguida .
Se = A, então:
 = 
2=2
2x-1=
=2x-1
0=0
Então ;
 =2x-1 -2x -1=0 resolvendo esta equação temos x=1
Temos A=, = A . =I
 x = 
2.a+1.c=1 2a+c=1
2.b+1.d=0 2b+d=0
1.a+0.c=0 a=0
1.b+0.d=1 b=1
Substituindo o valor de a e b achamos c e d,
2a+c=1 2b+d=0
c=1 d=-2
Então =
7. Calcular x + y + z sabendo que:
2.+3.	= 4.
+=
 = 
8=8, 16=4x, 8=8, 4=4, 8=4y, 4=4z.
4x=16x=4, 8=4yy=2, 4=4zz=1
Então x+y+z=4+2+1=7
8. Resolver os sistemas de equações, nas variáveis x, y, z, pelos métodos da regra de Cramer e de triangularização de Gauss:
a) 2x-y+3z=11 pelo método de Cramer temos: x=, y= e z=
 x+y+z=6 
 3x+y+z=4
 Primeiro vamos achar a determinante,
 = -8
Agora, DX= = 8, Dy==-16, Dz==5
Então temos: x==-1, y==2, z= =5
Pelo método de Gauss temos:
 2x-y+3z=11 temos que zerar este triângulo, operando com as linhas,
 X+y+ z= 6 
 3x+y+z= 4
Substituir L2 por L1-2.L2 2x-y+3z=11
 -3y+z = -1
 3x+y+z=4
Substituir L3 por 3.L1-2.L3 2x-y+3z=11
 -3y+z = -1
 -5y+7z=25
Substituir nova L3 por 5.NovaL2-3.novaL3 2x-y+3z=11
 -3y+z = -1
 -16z =-80 
Temos: 16z=-80 z=5
 -3y+z=-1-3y+5=-1y=2
 2x-y+3z=11 2x-2+15=11 x=-1
b) x+y+z=3 pelo método de Cramer temos:x=, y= e z=
 2x-y+z=11
 x+y-2z=-7
Primeiro vamos achar a determinante,
 = 9
Agora, DX= = 22, Dy==-25, Dz==30
Então temos: x=, y=, z= 
Pelo método de Gauss temos:
 x+y+z=3 
 2x -y+z=11 temos que zerar este triângulo, operando com as linhas,
 x+y -2z=-7
Substituir L2 por -2.L1+L2 x+y+z=3
 -3y-z=5
 x+y-2z=-7 
 Substituir L3 por –L1+L3 x+y+z=3
 -3y-z=5
 -3z=-10 
Temos: -3z=-10 z=10/3
 -3y-z=5-3y-10/3=5y=-25/9
 x+y+z=3 x-25/9+10/3=3 x=22/9
c) x+2y+z=4 
 2x-3y+4z=3 
 3x-y+z=3
pelo método de Cramer temos: x=, y= e z=
Primeiro vamos achar a determinante,
 = 28
Agora, DX= = 28, Dy==28, Dz==28
Então temos: x=, y=, z=
Pelo método de Gauss temos:
 x+2y+z=4
 2x -3y+4z=3 temos que zerar este triângulo, operando com as linhas,
 3x-y +z=3
Substituir L2 por -2.L1+L2 x+2y+z=4
 -7y+2z=-5
 3x-y+z=3
Substituir L3 por -3.L1+L3 x+2y+z=4
 -7y+2z=-5
 -7y-2z=-9
Substituir nova L3 por nova L2+nova L3 x+2y+z=4
 -7y+2z=-5
 -14y=-14
Temos: -14y=-14y=1
 -7y+2z=-5 -7.1+2z=-5 z=1
 x+2y+z=4 x+2.1+1=4 x=1
9. Resolver os sistemas lineares, utilizando o método de triangularização de Gauss (escalonamento):
a) x + y + 2z – t = 12 
 x + 2y + z + t = 7
 2x + y + z – 2t = 23
 2x – y – z + 4t = 3
Temos que zerar este triângulo, operando com as linhas,
Substituir L2 por L1-L2 
 x + y + 2z – t = 12 
 -y+ z - 2t = 5
 2x + y + z – 2t = 23
 2x – y – z + 4t = 3
Substituir L3 por -2.L1+L3 
 x + y + 2z – t = 12 
 -y+ z - 2t = 5
 -y -3z = -1
 2x – y – z + 4t = 3
 
Substituir L4 por -2.L1+L4
 x + y + 2z – t = 12 
 -y+ z - 2t = 5
 -y -3z = -1
 -3y -5z +6t = -21
 
Substituir nova L3 por –nova L2+nova L3
 x + y + 2z – t = 12 
 -y+ z - 2t = 5
 -4z +2t = -6
 -3y -5z +6t = -21
Substituir nova L4 por -3.novaL2+novaL4
 x + y + 2z – t = 12 
 -y+ z - 2t = 5
 -4z +2t = -6
 -8z +12t = -36
Substituir nova L4 por -8.novaL3+4.novaL4
 x + y + 2z – t = 12 
 -y+ z - 2t = 5
 -4z +2t = -6
 32t = -96
Temos:
32t =-96 -4z+ 2t=-6 -y+z-2t=5 x+y+2z-t=12
 t=-3 -4z-6=-6 -y+0+6=5 x+1+0+3=12
 z= 0y=1 x=8
b) a + b + c + d = 0
 a + b + c – d = 4
 a + b – c + d = -4
 a – b + c + d = 2
Temos que zerar este triângulo, operando com as linhas,
Substituir L2 por L1-L2 
 a + b + c + d = 0
 2 d = -4
 a + b – c + d = -4
 a – b + c + d = 2
Substituir L3 por L1-L3 
 a + b + c + d = 0
 –2 d = -4
 2 c =4
 a – b + c + d = 2
Substituir L4 por L1-L4 
 a + b + c + d = 0
 –2 d = -4
 2 c =4
 2 b = - 2
2b=-2 2c=4 2d=-4 a+b+c+d=0
 b=-1 c=2 d=-2 a-1+2-2=0 a=1
10. Considerando as matrizes abaixo, determinar , e , usando o método de Gauss/Jordan:
a) = substituímos L2 por -2L1+L2 e L3 por L1-L2
 Invertemos L2 com L3
 Substituímos L1 por 3L3+4L1
 Substituímos L1 por L2+L1
 Dividimos L1por8, L2 por-4 e L3 por -4
 , então =
b)= substituímos L2 por -2L1+L2
 Substituímos L3 por L1-L3
 Substituímos L3 por L2+(-L3)
 Substituímos L2 por L3+2L2
 Substituímos L1 por L3+(-4L1)
 Substituímos L1 por -8L2+6L1
 Dividimos L1por-24, L2 por-6 e L3 por 4
 , então 
c) substituímos L2 por L1+(-2L2)
 Substituímos L3 por L2-L3
 Substituímos L4 por L1+2L4
 Substituímos L4 por L2-L4
 Substituímos L4 por-2L3+L4
 Substituímos L3 por -3L4+2L3
 Substituímos L2 por –L4+L2
 Substituímos L2 por –L3+L2
 Substituímos L1 por L2+L1
 Dividimos L1 por 2, L2 por -1, L3 por 2 e L4 por -2
 , então