Resolucao lista 05

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Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática -
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 05 – Coordenadas e Mudança de Base
1. Determinar as coordenadas do vetor u = ( 4 , −5 , 3 ), em relação às seguintes bases:
a) Base canônica de;
Para determinarmos as coordenadas do vetor u, em relação a base canônica{(1,0,0);(1,0,1);(0,0,1)}, temos que escrever esse vetor como combinação linear desta base, assim teremos:
(4,-5,3)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)
(4,-5,3)= (x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z)
(4,-5,3)= (x,y,z)
X=4, y=-5, z=3
Portanto as coordenadas do vetor u em relação a base canônica será:(4,-5,3).
b) B={ (1 , 1 , 1) , ( 1 , 2 , 0 ) , ( 3 , 1 , 0 ) };
(4,-5,3)=x(1,1,1)+y(1,2,0)+z(3,1,0)
(4,-5,3)= (x,x,x)+(y,2y,0)+(3z,z,0)
(4,-5,3)= (x+y+3z ; x+2y+z ; x)
 x+y+3z=4 3+y+3z=4 y+3z=1 fazer -2(L1)+L2
 x+2y+z=-5 3+2y+z=-5 2y+z=-8 
 x=3
 
-5z=-10 z=2 y+3z=1y+6=1 y=-5
Vetor u=(3,-5,2)
c) C={ (1 , 2 , 1) , ( 0 , 3 , 2 ) , ( 1 , 1 , 4 ) }.
(4,-5,3)=x(1,2,1)+y(0,3,2)+z(1,1,4)
(4,-5,3)= (x,2x,x)+(0,3y,2y)+(z,z,4z)
(4,-5,3)= (x+z ; 2x+3y+z ; x+2y+4z)
 x+z=4 fazer-2(L1)+(L2) x+z=4 fazer –(L1)+(L3) x+z=4
 2x+3y+z=-5 3y-z=-13 3y-z=-13
 x+2y+4z=3 x+2y+4z=3 2y+3z=-1
 x+z=4 
 3y-z=-13 
 11y=-40 y=	 
 3y-z=-13 3()-z=-13 ()-z=-13 z= +13 z=
x+z=4 x+ =4 x=4- x= 
vetor u=( , , )
2. Determinar as coordenadas do vetor V = 1 −2i ∈ C (conjunto dos complexos), em relação à base B = { 1−i , 1+i ) de C sobre IR .
Podemos determinar as coordenadas deste vetor em relação a base B, escrevendo este vetor como C.L. desta base, assim teremos:
1-2i = x(1-i)+y(1+i)
1-2i = (x-xi)+(y+yi)
1-2i = (x+y ; -xi+yi)
 x+y = 1 fazer i(L1)+(L2) x+y = 1
-xi+yi = -2i 2yi = -i
2yi = -i y = y = 
x+y = 1 x+ ) = 1 x=1+ x=
v=( , )
3. Determinar as coordenadas do vetor V = ( 1 , 1 , i ) ∈ C3 (complexos), em relação à base B = {( 1, 0 , 0) , ( 0 , i , 0 ) , ( 1 , i , 1+i )}.
Podemos determinar as coordenadas deste vetor em relação a base B, escrevendo este vetor como C.L. desta base, assim teremos:
(1,1,i)=x(1,0,0)+y(0,i,0)+z(1,i,1+i) x+z=1 
(1,1,i)= (x,0,0)+(0,yi,0)+(z,zi,z+zi) yi+zi=1
(1,1,i)= (x+z ; yi+zi ; z+zi) z+zi=i
 
x+z=1 x=1-z 
 yi+zi=1 yi=1-zi y= y= - z
z+zi=i zi=i-z i= i= -1 i+1= z(i+1)=i z=
x=1-z x=1- x= 
y= - z y= - y= - lembrando que ==-1, então:
y= - y= - y= y=
vetor v=( ; ; )
 
4. Determinar as coordenadas do polinômio , em relação a base de P3 (IR)
B = { 1 , 2 − t , 1 + , 1 + t + }.
Considerando que os polinômios de P3 (IR) são to tipo xt0 + yt1 + z t2 + w t3 , podemos representá-los pelos vetores cujas coordenadas são os coeficientes da variável t Assim t3 = ( 0,0,0,1) e a base B = { 1 , 2 − t , 1 + t2 , 1 + t +t3} será B={(1,0,0,0), (2,-1,0,0), (1,0,1,0), (0,1,0,1)}. Escrevendo então o polinômio (vetor) t3= ( 0,0,0,1), como Combinação Linear dos vetores da base teremos: 
(0,0,0,1)=x(1,0,0,0)+y(2,-1, 0,0)+z(1,0,1,0)+w(1, 1, 0, 1) 
(0,0,0,1)=(x+2y+z+w , -y+w , z , w)
x+2y+z+w=0
 -y+w=0
 Z=0
 W=1
W=1 z=0 -y+w=0 x+2y+z+w=0
 Y=1 x+2+0+1=0
 X=-3
 ( (-3 , 1 , 0 , 1 )= -3+t+t3
5. Determinar a Base vetorial B sabendo que a matriz mudança de base de B do IR2 para a base C = ( ( 1 , 1 ) , ( 0 , 2 ) } desse mesmo espaço é: 1 0
 2 3
Como temos MBC, vamos achar MCB, que é a inversa.
MCB== det = 
Portanto MCB=, logo a base B é uma C.L. da matriz com a base C.
(x,y)=1(1,1)-(0,2) (x,y)=0(1,1)+(0,2) 
(x,y)=(1,1)+(0,) (x,y)=(0,0)+(0,)
(x,y)=(1,- ) (x,y)=(0, )
Portanto a base B={(1,- ); (0, )} 
6. A matriz mudança de base { 1 + t , 1 − } para uma base C ambas do mesmo sub-espaço de P2 (IR)é:
 1 2
 1 −1 , determinar a Base C.
Temos B={(1,1,0);(1,0,-1)}, Obs:{(1,t,0);(1,0,−)} ={(1,1,0);(1,0,-1)}
Temos C={(x1,y1,z1) ; (x2,y2,z2)}
A base C é uma C.L. da matriz com a base B.
(x1,y1,z1)=1(1,1,0)+1(1,0,-1) (x2,y2,z2)= 2(1,1,0)-1(1,0,-1) 
(x1,y1,z1)= (1,1,0)+(1,0,-1) (x2,y2,z2)= (2,2,0)+(-1,0,1) 
(x1,y1,z1)= (2,1,-1) (x2,y2,z2)= (1,2,1)
Assim a base C={(2,1,-1),(1,2,1)}
7. Considerando as bases B = { e1 , e2 , e3 } e C = { f1 , f2 , f3 } de IR3 , sendo:
 f1 = e1 − e2 − e3
 f2 = 2 e2 +3 e3
 f3 = 3e1 + e3
Determinar: a) As matrizes de mudança de base de B para C e de C para B.
 1 0 3
 MBC = -1 2 0
 -1 3 1
MCB==
 1 0 3 1 0 0 
 -1 2 0 0 1 0 substituir L2 por L1+L2 e L3 por L1+L3 
 -1 3 1 0 0 1
 
 1 0 3 1 0 0 
 0 2 3 1 1 0 substituir L3 por -3(L2)+2(L3) 
 0 3 4 1 0 1
 1 0 3 1 0 0 
 0 2 3 1 1 0 substituir L1 por 3(L3)+(L1) e L2 por 3(L3)+(L2) 
 0 0 -1 -1 -3 2
 1 0 0 -2 -9 6 
 0 2 0 -2 -8 6 dividir L2 por 2 e L3 por -1
 0 0 -1 -1 -3 2
 1 0 0 -2 -9 6 -2 -9 6
 0 1 0 -1 -4 3 portanto MCB= -1 -4 3 
 0 0 1 1 3 – 2 1 3 -2
b) As coordenadas na base C do vetor V = ( 1 , 2 , 3 ), representado na Base B.
Vc MCB VB 
 X -2 -9 6 1
 Y = -1 -4 3 . 2
 Z 1 3 -2 3
X=-2(1)+(-9)2+6(3)=-2
Y=-1(1)+(-4)2+3(3)=0
Z=1(1)+3(2)+(-2)3=1 portanto Vc=(-2,0,1)
8. Considerando as bases F = ( f1 , f2 , f3 ) e G = ( g1 , g2 , g3 ), sendo:
 g1 = f1 − f2
 g2 = f1 − f3
 g3 = f1 + f3
Determinar a Matriz de Mudança de Base MG→F e determinar as coordenadas do vetor V base G, sendo VF = ( 3 , 1 , 2).
MGF=:
 1 1 1
MFG=-1 0 0 , =
 0 -1 1
 1 1 1 1 0 0
-1 0 0 0 1 0 substituir L2 por L1+L2
 0 -1 1 0 0 1
 1 1 1 1 0 0
 0 1 1 1 1 0 substituir L3 por L2+L3
 0 -1 1 0 0 1
 1 1 1 1 0 0
 0 1 1 1 1 0 substituir L2 por L3+(-2)(L2)
 0 0 2 1 1 1
 1 1 1 1 0 0
 0 -2 0 -1 -1 0 substituir L1 por (L3)+(-2)(L1) 
 0 0 2 1 1 1
-2 -2 0 -1 1 1
 0 -2 0 -1 -1 1 substituir L1 por -1(L2)+(L1) 
 0 0 2 1 1 1
-2 0 0 0 2 0
 0 -2 0 -1 -1 1 dividir L1 e L2 por (-2) e L3 por 2 
 0 0 2 1 1 1
 1 0 0 0 -1 0
 0 1 0 - 
 0 0 1 
 0 -1 0
 Portanto MGF = - 
 
As coordenadas do vetor V base G, sendo VF = ( 3 , 1 , 2):
 VG MGF VF
 X 0 -1 0 3
 Y = - . 1
 Z2
X=0(3)+(-1)1+0(2)=-1
Y= (3)+ (1)+(- )2=1
Z= (3)+(1)+ (2)=3 portanto VF=(-1,1,3)
9. Considerando as bases E=(e1,e2,e3), F=(f1,f2,f3) e G=(g1,g2,g3), sendo:
e1=2f1+f2 g1=e1-e2
e2= f1-f2 g2=e1-e3
e3= f1+f3 g3=e1+e3
Determinar as matrizes mudança de base:
a)M F 
 
b)M E
 
c)M E: M E = M
Pela propriedade de matrizes sabemos que .I
M F Identidade
 x = 
2a+d+g=1 2b+e+h=0 2c+f+i=0
 a-d =0 b-e =1 c-f =0
 g=0 h=0 i=1
Ficamos com três sistemas com três equações e três variáveis, como já temos o valor das ultimas linhas é só substituir nas primeiras.
2a+d+0=1 2b+e+0=0 2c+f+1=0
 a-d =0 b-e =1 c-f =0
somando a primeira linha com a segunda :
3a=1 3b=1 3c=-1
a=1/3 b=1/3 c=-1/3
substituindo os valores achados nas equações correspondentes:
a-d=0 b-e=1 c-f=0
1/3-d=0 1/3-e=1 -1/3-f=0
d=1/3 e=-2/3 f=-1/3
M E= 
d)M G: M G = M
M E Identidade
 x = 
a+d+g=1 b+e+h=0 c+f+i=0
-a =0 -b =1 -c =0
 -d+g=0 -e+h=0 -f+i=1
Temos a=0, b=-1 e c=0, substituindo nas primeiras equações:
 d+g=1 -1+e+h=0 f+i=0
-d+g=0 -e+h=0 -f+i=1
somando a primeira linha com a segunda :
2g=1 -1+2h=0 2i=1
g=1/2 h=1/2 i=1/2
substituindo os valores achados nas equações correspondentes:
d+g=1 -e+h=0 f+i=0
d+1/2=1 -e+1/2=0 f+1/2=0
d=1/2 e=1/2 f=-1/2
M G= 
e)M F
Temos primeiro que escrever G em função de f : 
 g1=e1-e2 g1 = (2f1+f2)-(f1-f2) g1 = f1+2f2
 g2=e1-e3 = g2 = (2f1+f2)-(f1+f3) = g2 = f1+f2-f3
 g3=e1+e3 g3 = (2f1+f2)+f1+f3) g3 = 3f1+f2+f3
M FG = 
f)M G : M G = M
M F Identidade
x = 
a+d+3g=1 b+e+3h=0 c+f+3i=0
2a+d+g=0 2b+e+h=1 2c+f+i=0
 -d+g=0 -e+h=0 -f+i=1
Multiplica a primeira linha por -2 e soma com a segunda:
a+d+3g=1 b+e+3h=0 c+f+3i=0
 -d-5g=-2 -e-5h=1 -f-5i=0 
 -d+g=0 -e+h=0 -f+i=1
Multiplica a segunda linha por -1 e soma com a terceira:
a+d+3g=1 b+e+3h=0 c+f+3i=0 
 -d-5g=-2 -e-5h=1 -f-5i=0
 6g=2 6h=-1 6i=1
g=1/3 h=-1/6 i=1/6
-d-5/3=-2 -e+5/6=1 -f-5/6=0
d=1/3 e=-1/6 f=-5/6
a+1/3+1=1 b-1/6-3/6=0 c-5/6+3/6=0
a=-1/3 b=2/3 c=1/3
M G =
10. Considerando as bases E = ( e1 , e2 , e3 ), F = ( f1 , f2 , f3 ) , sabendo que a matriz Mudança de Base de F para E é :
 2 1 1
MF→E = 0 −1 2 , determinar as coordenadas dos vetores abaixo na base indicada:
 1 0 1
a) UE = ( 2 , −1, 3)
U F MF→E UE
 = x 
 
x=2.2+1.(-1)+1.3=6
y=0.2-1.(-1)+2.3=7
z=1.2+0.-1+1.3=5
U F = (6 ,7 , 5)
 
 
b) V E = ( 1 , 1, 1)
V F MF→E V E
 = x 
x=2.1+1.1+1.1=4
y=0.1-1.1+2.1=1
z=1.1+0.1+1.1=2
U F = (4,1,2) 
c) W F = ( 3 , 3 , 2)
W F MF→E W E
 = x 
2x+y+z=3 
 -y+2z=3 
x +z=2
L1-2.L3
2x+y+z=3 
 -y+2z=3 
 y-z=-1
L2+L3
2x+y+z=3 
 -y+2z=3 
 z=2
z=2 -y+2z=3 2x+y+z=3 
 -y+4=3 2x+1+2=3
 y=1 x=0
W E = ( 0, 1, 2 )
d)T F = (19 , 7, 10)
T F MF→E T E
 = x 
2x+y+z=19
 -y+2z=7
x +z=10
L1-2.L3
2x+y+z=19
 -y+2z=7
 y -z=-1
L2+L3
2x+y+z=19
 -y+2z=7
 z=6
z=6 -y+2z=7 2x+y+z=19
 -y+12=7 2x+5+6=19
 y=5 x=4
T E = ( 4, 5, 6 )
 
 Centro Universitário da FSA
 Prof.: Anastassios H.K.