Resolucao lista 09

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Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática -
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 09 – Matriz de Transformação Linear
1. Dada a Transformação Linear F∈ L( , ) , definida por F(x, y, z) = (z, x+y).
a) Determinar a Matriz F em relação às Bases B = { (1, 1, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 0, 0)} de e C= base canônica de .
F(1,1,1)=(1,2)= (1,0)+ (0,1)
F(1,1,0)=(0,2)= (1,0)+ (0,1)
F(1,0,0)=(0,1)= (1,0)+ (0,1)
F(1,2)=(,0)+(0,)
F(0,2)=(,0)+(0,)
F(0,1)=(,0)+(0,)
F(1,2)=(,)
F(0,2)=(,)
F(0,1)=(,)
=1 ; =2 ; =0 ; =2 ; =0 ; =1
(F) BC = (F) BC=
b) Determinar a Matriz F em relação às Bases B = { (1, 1, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 0, 0)} de e C= { (1, 3) ; (2, 5) }de .
F(1,1,1)=(1,2)= (1,3)+a (2,5)
F(1,1,0)=(0,2)= (1,3)+ (2,5)
F(1,0,0)=(0,1)= (1,3)+ (2,5)
F(1,2)=(,3)+(2,5)
F(0,2)=(,3)+(2,5)
F(0,1)=(,3)+(2,5)
 +2=1 multiplicar L1 por -3 e somar com L2 
 3+5=2
-=-1 +2=1 
 =1 +2=1 
 =-1 
 +2=0 multiplicar L1 por -3 e somar com L2 
 3+5=2
-=2 +2=0 
 =-2 -4=0 
 =4 
 +2=0 multiplicar L1 por -3 e somar com L2 
 3+5=1
-=1 +2=0 
 =-1 -2=0 
 =2 
 -1 4 2
(F) BC =
 1 - 2 -1
2. Representar através da Matriz de Transformação Linear os Operadores Lineares do em relação às Bases indicadas conforme o caso:
a) F(x,y)=(2x, 3y-x) e base canônica de .
F(1,0)=(2,-1) 
F(0,1)=(0 ,3)
 2 0
 (F)=
 -1 3
b) F(x,y)=(3x-4y , x+5y) e a Base B = { (1, 2) ; (2, 3) }.
F(1,2)=(3.1 – 4.2 ; 1 + 5.2)=(-5,11) => a11(1, 2) + a21(2, 3) =(-5,11) =(a11+ 2a21 , 2a11+ 3a21)
F(2,3)=(3.2 – 4.3 ; 2 + 5.3)=(-6,17) => a12(1, 2) + a22(2, 3) =(-6,17) =(a12+ 2a22 , 2a12+ 3a22)
a11+ 2a21=-5 e 2a11+ 3a21=11 => a11= 37 e a21= -21
a12+ 2a22 = -6 e 2a12+ 3a22=17 => a12= 52 e a22= -29
 37 52
 (F)B=
 -21 -29
3. Determinar o Operador Linear F do , cuja Matriz em relação à Base
 B={ (1, 1) ; (1, 2) } é:
 (F)B = 
Sendo (F)B = teremos que a11=1, a12=0, a21=1, a22=2. Assim,
F(1,1)=a11(1, 1) + a21(1, 2) = 1(1, 1) + 1(1, 2) => F(1,1)= (2,3)
F(1,2)=a12(1, 1) + a22(1, 2) = 0(1, 1) + 2(1, 2) => F(1,2)= (2,4)
Considerando a base B, todo vetor d0 , será uma CL dos vetores desta base, assim teremos que:
(x,y)=a(1,1) + b(1,2) => a+b=x e a+2b=y => a=2x-y e b= -x+y. Assim:
(x,y)= (2x-y ) (1,1) + (-x+y)(1,2) e então:
F(x,y)= (2x-y ) F(1,1) + (-x+y)F(1,2), ou seja
F(x,y)= (2x-y ) (2,3) + (-x+y) (2,4) =(4x-2y, 6x-3y) + (-2x+2y, -4x+4y) = (2x , 2x+y), isto é,
F(x,y)=(2x , 2x+y)
4. Determinar a matriz F em relação à base canônica de (usando a fórmula de mudança de base) do Operador Linear cuja matriz em relação à base B={(1, 1) ; (1, -1)} é:
(F)B =
Nota: Fórmula de Mudança de Base para um Operador Linear: (F)C = . (F)B . M onde M é a Matriz Mudança de Base de B para C.
 (1,0)= a(1,1) + b(1,-1) 
 ==> a = ½, b = ½, c = ½ e d= - ½
 (0,1)= c(1,1) + d(1,-1)
 ½ ½
Assim a matriz M = e calculando a matriz inversa de M teremos 
 ½ - ½
M-1 =
Portanto teremos que,
 ½ ½, 
(F)C =.(F)B.M = ( ( = 
 ½ -½ 
5. Considerando os Operadores Lineares do , F: → dado por F(x , y) = (x , x -y) e G: → dado por G(x, y) = (x+y, 2x). Determinar as Matrizes , em relação a Base Canônica B={(1,0), (0,1)} de:
a) F+G ;
(F+G)(x,y)=F(x,y)+G(x,y)
(F+G)(x,y)=(x , x-y)+(x+y , 2x)
(F+G)(x,y)=(2x+y , 3x-y)
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(2,3) M=
F(0,1)=(1,-1)
b) 3F ;
3F(x,y)= 3.(x , x-y)=(3x , 3x-3y)
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(3,3) M=
F(0,1)=(0,-3)
c);
 FoF= → /(FoF)(x,y)=F[F(x,y)]
 = (x,y)=F[x , x-(x-y)]
 = (x,y)=(x , x-(x-y))
 = (x,y)=(x , y) 
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(1,0) M=
F(0,1)=(1,1)
d) FoG.
(FoG)(x,y)=F[G(x,y)]
(FoG) (x,y)=F[x+y , 2x]
(FoG) (x,y)=(x+y , x+y-2x)
(FoG) (x,y)=(x+y , -x+y) 
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(1,-1) M=
F(0,1)=(1,1)
6. Dada B={e1,e2}, uma base de um Espaço Vetorial V e considerando F,G ∈ L(V) definidas por:
 F(e1)=2 e1 -3 e2 e G(e1)=3 e1 +2 e2 
 F(e2)= e1 + e2 G(e2)= e1 - e2
Determinar, em relação à base B as matrizes de:
a) (F)B ; 
(F)B=
b) (G)B ; 
(G)B =
c) (GoF)B ; 
(GoF)B é o produto das matrizes com ,isto é,
 =.=
 3 4
 . =
 7 1
d) (+I) B ; 
(+I) B =(GoG) B +I
 .+= + = 
e) -;
(-)B =(FoFoF) B -(GoG) B= =>
 -7 4 11 2 -18 2
=>=( ( −(=
 -12 -11 4 3 -16 -14 
 Portanto: 
 -18 2
(-)B = 
 -16 -14 
 
 Centro Universitário da FSA
 Prof.: Anastassios H.