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Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática -
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 10 – Transformações Lineares no Plano e no Espaço
1. Determinar as Matrizes (F) na base canônica de IR2.
i) Da Transformação Linear de Reflexão na reta da 2ª Bissetriz: F(x,y)=(-y,-x);
F(1,0)=(0,-1) MF= 0 -1
F(0,1)=(-1,0) -1 0
ii) Da Transformação Linear de Homotetia com k=-2: F(x,y)=(kx,ky);
F(1,0)=(-2.1,-2.0)=(-2,0) MF= -2 0
F(0,1)=(-2.0,-2.1)=(0,-2) 0 -2
iii) Da Transformação Linear de Rotação com θ=135°:F(x,y)=(xcosθ −ysenθ, xsenθ + ycosθ);
F(1,0)=(1.cos135˚-0.sen135˚,1.sen135˚+0.cos135˚)
F(1,0)=(1.- – 0, 1. +0)
F(1,0)=( - )
F(0,1)=(0.cos135˚-1.sen135˚,0.sen135˚+1.cos135˚)
F(0,1)=(0.- – 1., 0. +1.-)
F(0,1)=( - )
MF= -
 -
iv) Da Transformação Linear de Cisalhamento Vertical, com fator b=3: F(x,y)=
(x, bx+y);
Cisalhar é deformá-lo linearmente, ao longo do eixo x ou y, ou os dois eixos.
F(1,0)=(1,3.1+0)=(1,3) MF= 1 3
F(0,1)=(0,3.0+1)=(0,1) 0 1
2. Desenhar no plano a Imagem do quadrado ABCD, quando aplicada a Transformação F(x,y)=(2x+y,x+2y), nos seus vértices A=(0,0); B=(1,0); C=(1,1); e D=(0,1).
F(0,0)=(2.0+0,0+2.0)=(0,0)=A’
F(1,0)=(2.1+0,1+2.0)=(2,1)=B’
F(1,1)=(2.1+1,1+2.1)=(3,3)=C’
F(0,1)=(2.0+1,0+2.1)=(1,2)=D’
y
 C’
 D’
 
D C B’
 
AA’ B x 
3. Desenhar no plano a Imagem do Triângulo ABC, quando aplicada uma Transformação de reflexão no eixo horizontal e em seguida uma transformação de reflexão na reta da 1ª Bissetriz. Os vértices do triângulo são A=(-1,-2); B=(3,5); C=(7,-3).
Transformação no eixo x, F(x,y)=(-x,y)
F(-1,-2)=(1,-2)=A’
F(3,5)=(-3,5)=B’
F(7,-3)=(-7,-3)=C’
Transformação na reta da 1ª Bissetriz, F(x,y)=(y,x)
F(1,-2)=(-2,1)=A’’
F(-3,5)=(5,-3)=B’’
F(-7,-3)=(-3,-7)=C’’
y
 
 
 B’ B
 A’’ 
 x
 A A’
 B’’ C
 C’
 C’’ 
4. Desenhar no plano a Imagem do Triângulo ABC, quando aplicada uma Transformação de reflexão no eixo vertical e em seguida uma transformação de Rotação com θ=120°. Os vértices do triângulo são A=(3,5); B=(7,-3); C=(-1,-2).
Reflexão no eixo y, F(x,y)=(x,-y)
F(3,5)=(3,-5)=A’
F(7,-3)=(7,3)=B’
F(-1,-2)=(-1,2)=C’
Rotação com θ=120° , F(x,y)=(x.cos-y.sen ; x.sen+y.cos)
F(3,-5)=[3.(-0.5)-5.(0.86) ; 3.(0.86)-5.(-0.5)]=(-5.8,5.9)=A’’
F(7,3)=[7.(-0.5)+3.(0.86) ; 7.(0.86)+3.(-0.5)]=(-0.9,4.5)=B’’
F(-1,2)=[-1.(-0.5)+2.(0.86) ; -1.(0.86)+2.(-0.5)]=(2.2,-1.8)=C’’
 y
 A’’ A
 B’’
 B’
 C’
 x 
 
 C’’
 C
 B
 A’
5. Desenhar no plano a Imagem do Triângulo ABC, quando aplicada uma Transformação de Homotetia de k=3 e em seguida uma transformação de Cisalhamento horizontal de fator a=2.
Os vértices do triângulo são A=(2,4); B=(6,-2); C=(0,-1).
Homotetia, F(x,y)=k.(x,y)
F(2,4)=3.(2,4)=(6,12)=A’
F(6,-2)=3.(6,-2)=(18,-6)=B’
F(0,1)=3.(0,-1)=(0,-3)=C’
Cisalhamento a=2, F(x,y)=(x+ay,y)
F(6,12)=(6+2.12,12)=(30,12)=A’’
F(18,-6)=(18+2.-6,-6)=(6,-6)=B’’
F(0,-3)=(0+2.-3,-3)=(-6,-3)=C’’
 y
 _ A’ A’’
 _
 _
 _
 _
 _
 _
 _
 _ A
 _
 _
 _
 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 
 C 
 _ B
C’’ C’ 
 _
 _
 _ 
 B’’ B’
6. Os pontos A=(2,-1), B=(6,1) e C=(x,y), são vértices de um triângulo eqüilátero. Determinar o vértice C, utilizando a matriz de uma Transformação Linear de rotação com θ=60°.
 B
 AC=(C-A)=(x-2,y+1)
 AB=(B-A)=(4,2)
A C
(AC)=(To 60˚).(AB)
 x -2 = cos60˚ -sen60˚ + 4
 y+1 sen60˚ cos60˚ 2
 x -2 = 1/2 -- + 4
 y+1 1/2 2
 x -2 = 2- 
 y+1 2 +1
x-2=2- x=4-
y+1=2 +1 y=2
Portanto C=(4- , 2 )
7. Calcular o vetor resultante quando o vetor v=(3,2) é sujeito seqüencialmente a:
i) Uma reflexão em torno da reta y=x (1ª Bissetriz);
F(x,y)=(y,x)
F(3,2)=(2,3)
ii) Um cisalhamento horizontal de fator 2;
F(x,y)=(x+ay,y)
F(2,3)=(2+2.3,3)=(8,3)
iii) Uma contração (homotetia) na direção do eixo Ou de fator ⅓;
F(x,y)=k.(x,y)
F(8,3)=1/3.(8,3)=(8/3,1)
iv) Uma rotação de 90° no sentido anti-horário.
F(x,y)=(x.cos90˚-y.sen90˚; x.sen90˚+y.cos90˚)
F(8/3,1)=(8/3.0 -1.1 ; 8/3.1 +1.0)
F(8/3,1)=(-1,8/3)
8. Calcular o ângulo α formado pelo vetor v e sua imagem F(v), quando o espaço gira (tem uma rotação) em torno do eixo dos z de um ângulo θ nos seguintes casos:
i) θ=180° e v = (3, 0, 3);
 F(x,y,z)=(x.cos180˚-y.sen180˚ ; x.sen180˚+y.cos180˚; Z)
 v F(3,0,3)=(3.-1 -0 ; 3.0 + 0.-1 ; 3)
 α F(3,0,3)=(-3,0,3)
F(v)
arcocos α = 
arcocos α = 
arcocos α = 
arcocos α = 
α = 90˚
ii) θ=90° e v =().
F()=(.cos90˚ -. sen90˚ ; .sen90˚ + . cos90˚ ; )
F()=(.0 -. 1 ; .1 + . 0 ; )
F()=( ; ; )
arcocos α = 
arcocos α = 
arcocos α = 
arcocos α = 
arcocos α = 
α = 61˚
 Centro Universitário da FSA
 Prof.: Anastassios H.K.

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