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Curso de Álgebra Linear Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Exercícios de Álgebra Linear - Lista 10 – Transformações Lineares no Plano e no Espaço 1. Determinar as Matrizes (F) na base canônica de IR2. i) Da Transformação Linear de Reflexão na reta da 2ª Bissetriz: F(x,y)=(-y,-x); F(1,0)=(0,-1) MF= 0 -1 F(0,1)=(-1,0) -1 0 ii) Da Transformação Linear de Homotetia com k=-2: F(x,y)=(kx,ky); F(1,0)=(-2.1,-2.0)=(-2,0) MF= -2 0 F(0,1)=(-2.0,-2.1)=(0,-2) 0 -2 iii) Da Transformação Linear de Rotação com θ=135°:F(x,y)=(xcosθ −ysenθ, xsenθ + ycosθ); F(1,0)=(1.cos135˚-0.sen135˚,1.sen135˚+0.cos135˚) F(1,0)=(1.- – 0, 1. +0) F(1,0)=( - ) F(0,1)=(0.cos135˚-1.sen135˚,0.sen135˚+1.cos135˚) F(0,1)=(0.- – 1., 0. +1.-) F(0,1)=( - ) MF= - - iv) Da Transformação Linear de Cisalhamento Vertical, com fator b=3: F(x,y)= (x, bx+y); Cisalhar é deformá-lo linearmente, ao longo do eixo x ou y, ou os dois eixos. F(1,0)=(1,3.1+0)=(1,3) MF= 1 3 F(0,1)=(0,3.0+1)=(0,1) 0 1 2. Desenhar no plano a Imagem do quadrado ABCD, quando aplicada a Transformação F(x,y)=(2x+y,x+2y), nos seus vértices A=(0,0); B=(1,0); C=(1,1); e D=(0,1). F(0,0)=(2.0+0,0+2.0)=(0,0)=A’ F(1,0)=(2.1+0,1+2.0)=(2,1)=B’ F(1,1)=(2.1+1,1+2.1)=(3,3)=C’ F(0,1)=(2.0+1,0+2.1)=(1,2)=D’ y C’ D’ D C B’ AA’ B x 3. Desenhar no plano a Imagem do Triângulo ABC, quando aplicada uma Transformação de reflexão no eixo horizontal e em seguida uma transformação de reflexão na reta da 1ª Bissetriz. Os vértices do triângulo são A=(-1,-2); B=(3,5); C=(7,-3). Transformação no eixo x, F(x,y)=(-x,y) F(-1,-2)=(1,-2)=A’ F(3,5)=(-3,5)=B’ F(7,-3)=(-7,-3)=C’ Transformação na reta da 1ª Bissetriz, F(x,y)=(y,x) F(1,-2)=(-2,1)=A’’ F(-3,5)=(5,-3)=B’’ F(-7,-3)=(-3,-7)=C’’ y B’ B A’’ x A A’ B’’ C C’ C’’ 4. Desenhar no plano a Imagem do Triângulo ABC, quando aplicada uma Transformação de reflexão no eixo vertical e em seguida uma transformação de Rotação com θ=120°. Os vértices do triângulo são A=(3,5); B=(7,-3); C=(-1,-2). Reflexão no eixo y, F(x,y)=(x,-y) F(3,5)=(3,-5)=A’ F(7,-3)=(7,3)=B’ F(-1,-2)=(-1,2)=C’ Rotação com θ=120° , F(x,y)=(x.cos-y.sen ; x.sen+y.cos) F(3,-5)=[3.(-0.5)-5.(0.86) ; 3.(0.86)-5.(-0.5)]=(-5.8,5.9)=A’’ F(7,3)=[7.(-0.5)+3.(0.86) ; 7.(0.86)+3.(-0.5)]=(-0.9,4.5)=B’’ F(-1,2)=[-1.(-0.5)+2.(0.86) ; -1.(0.86)+2.(-0.5)]=(2.2,-1.8)=C’’ y A’’ A B’’ B’ C’ x C’’ C B A’ 5. Desenhar no plano a Imagem do Triângulo ABC, quando aplicada uma Transformação de Homotetia de k=3 e em seguida uma transformação de Cisalhamento horizontal de fator a=2. Os vértices do triângulo são A=(2,4); B=(6,-2); C=(0,-1). Homotetia, F(x,y)=k.(x,y) F(2,4)=3.(2,4)=(6,12)=A’ F(6,-2)=3.(6,-2)=(18,-6)=B’ F(0,1)=3.(0,-1)=(0,-3)=C’ Cisalhamento a=2, F(x,y)=(x+ay,y) F(6,12)=(6+2.12,12)=(30,12)=A’’ F(18,-6)=(18+2.-6,-6)=(6,-6)=B’’ F(0,-3)=(0+2.-3,-3)=(-6,-3)=C’’ y _ A’ A’’ _ _ _ _ _ _ _ _ A _ _ _ l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l C _ B C’’ C’ _ _ _ B’’ B’ 6. Os pontos A=(2,-1), B=(6,1) e C=(x,y), são vértices de um triângulo eqüilátero. Determinar o vértice C, utilizando a matriz de uma Transformação Linear de rotação com θ=60°. B AC=(C-A)=(x-2,y+1) AB=(B-A)=(4,2) A C (AC)=(To 60˚).(AB) x -2 = cos60˚ -sen60˚ + 4 y+1 sen60˚ cos60˚ 2 x -2 = 1/2 -- + 4 y+1 1/2 2 x -2 = 2- y+1 2 +1 x-2=2- x=4- y+1=2 +1 y=2 Portanto C=(4- , 2 ) 7. Calcular o vetor resultante quando o vetor v=(3,2) é sujeito seqüencialmente a: i) Uma reflexão em torno da reta y=x (1ª Bissetriz); F(x,y)=(y,x) F(3,2)=(2,3) ii) Um cisalhamento horizontal de fator 2; F(x,y)=(x+ay,y) F(2,3)=(2+2.3,3)=(8,3) iii) Uma contração (homotetia) na direção do eixo Ou de fator ⅓; F(x,y)=k.(x,y) F(8,3)=1/3.(8,3)=(8/3,1) iv) Uma rotação de 90° no sentido anti-horário. F(x,y)=(x.cos90˚-y.sen90˚; x.sen90˚+y.cos90˚) F(8/3,1)=(8/3.0 -1.1 ; 8/3.1 +1.0) F(8/3,1)=(-1,8/3) 8. Calcular o ângulo α formado pelo vetor v e sua imagem F(v), quando o espaço gira (tem uma rotação) em torno do eixo dos z de um ângulo θ nos seguintes casos: i) θ=180° e v = (3, 0, 3); F(x,y,z)=(x.cos180˚-y.sen180˚ ; x.sen180˚+y.cos180˚; Z) v F(3,0,3)=(3.-1 -0 ; 3.0 + 0.-1 ; 3) α F(3,0,3)=(-3,0,3) F(v) arcocos α = arcocos α = arcocos α = arcocos α = α = 90˚ ii) θ=90° e v =(). F()=(.cos90˚ -. sen90˚ ; .sen90˚ + . cos90˚ ; ) F()=(.0 -. 1 ; .1 + . 0 ; ) F()=( ; ; ) arcocos α = arcocos α = arcocos α = arcocos α = arcocos α = α = 61˚ Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.
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