P2 Cálculo 3 Unicamp 2016.2

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Tendo em vista o post abaixo, gostaríamos de ressaltar que atos que conduzem à corrupção institucionalizada começam com aquelas pessoas que não tem a integridade e a honra de fazer individualmente suas provas ministradas on-line e com aqueles indivíduos que aceitam “recompensas” para resolver a prova de outros.
Contamos com a atitude ética de todos os nossos alunos em seguir as instruções que acompanham a prova.
Departamento de Matema´tica Universidade Estadual de Campinas
2aProva -Vespertino
MA-311 — Ca´lculo III
1oSemestre de 2016
Esta prova tem um total de 7 questo˜es das quais apenas 5 devera˜o ser escolhidas
totalizando 10 pontos. E´ essencial justificar detalhadamente todas as respostas.
A prova devera´ ser feita individualmente, mas com possibilidade de consulta
a livros e notas pessoais. A prova constitui, como sempre, um trabalho
individual e qualquer fraude detectada acarretara´ nota zero para todos os
implicados. As soluc¸o˜es da prova devera˜o ser manuscritas e as pa´ginas
enumeradas. Recomendamos o uso de caneta numa folha branca e sem
pauta. Escreva o seu RA em todas as folhas.
A submissa˜o devera´ ser feita apenas atrave´s do sistema, da seguinte forma:
as pa´ginas manuscritas devera˜o ser digitalizadas (escaneadas ou fotografadas
em boa qualidade iluminac¸a˜o e contraste). E´ responsabilidade de cada aluno
garantir a legibilidade de sua prova e o upload da sua prova pelo Moodle.
ATENC¸A˜O: Os alunos que submeterem a Prova 2 no Moodle ate´ a`s 17h, na˜o
podera˜o fazer a Prova 2 substitutiva (equivalente em n´ıvel de dificuldade a
esta) que sera´ aplicada da forma tradicional (duas horas e sem consulta) em
local, data e hora´rio a serem oportunamente determinados. Informamos que
na˜o ha´, neste momento, qualquer previsa˜o de que dia tal prova podera´ ser
aplicada! Enfatizamos ainda que prefereˆncias pessoais de data na˜o podera˜o
ser acomodadas.
1. (2.0 pontos)
(a) Determine se a se´rie converge ou diverge:
∞∑
k=1
k
3
2 + 3k
8− 3k2 + 2k 52
(b) Encontre o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
1
(2n+ 7)
(x− 2)n. Na˜o esquec¸a
de testar os extremos do intervalo, se for o caso.
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2. (2.0 pontos)
(a) Calcule a soma da se´rie:
∞∑
k=1
6. 2
k
2 + 7
k
3
8k
.
(b) Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias em torno de x = 0 da func¸a˜o
f(x) = x7 ln(1 + x2). sugesta˜o: Utilize o teorema de integrac¸a˜o de se´ries de
poteˆncias:
∫ 2x
(1+x2)
dx.
3. (2.0 pontos)
(a) Encontre a soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s usando o me´todo de
autovalores e autovetores:
x′(t) =
(
3 −4
4 3
)
x(t)
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema linear na˜o-homogeˆneo (cujo sistema ho-
mogeˆneo associado esta´ na parte (a)) utilizando o me´todo de variac¸a˜o de
paraˆmetros:
x′(t) =
(
3 −4
4 3
)
x(t) +
(
e3t
e3t
)
4. (2.0 pontos)
(a) Mostre que x = 0 e´ um ponto ordina´rio para a equac¸a˜o
(x2 + 1)y′′ + 2xy′ − 2y = 0 (∗)
(b) Determine a fo´rmula de recorreˆncia da soluc¸a˜o em se´rie da equac¸a˜o (*);
(c) Encontre as duas soluc¸o˜es linearmente independentes indicando o termo geral
de cada soluc¸a˜o de (*);
(d) Encontre a soluc¸a˜o por se´rie de poteˆncias da equac¸a˜o (*) dado que y(0) = 2 e
y′(0) = 3.
5. (2.0 pontos)
(a) Mostre que x = 0 e´ um ponto singular-regular para a equac¸a˜o
6x2y′′ + 7xy′ − (x2 + 2)y = 0 (∗∗)
(b) Encontre uma soluc¸a˜o por se´rie da equac¸a˜o (**) na forma
y =
∞∑
n=0
anx
n+r, x > 0
com r sendo a maior raiz da equac¸a˜o indicial associada a equac¸a˜o (**).
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(c) Qual o raio mı´nimo de convergeˆncia desta soluc¸a˜o?
6. (2.0 pontos) Seja
f(x) =
{
0 0 < x ≤ 2,
x 2 < x ≤ 3
(a) Encontre uma se´rie de Fourier de cossenos que convirja para a func¸a˜o f(x) (Su-
gesta˜o: considere a extensa˜o par de f(x)); Para que valor converge essa se´rie em
x = 2?
(b) Encontre uma se´rie de Fourier de senos que convirja para a func¸a˜o f(x) (Sugesta˜o:
considere a extensa˜o ı´mpar de f(x)); Para que valor converge essa se´rie em x = 2?
7. (2.0 pontos) Resolva o seguinte problema de conduc¸a˜o do calor usando o me´todo de
separac¸a˜o de varia´veis justificando detalhadamente TODA a ana´lise:
ut = 6uxx 0 ≤ x ≤ 4, t > 0;
ux(0, t) = ux(4, t) = 0;
u(x, 0) = 3 + 6 cos pix+ 7 cos 4pix+ cos 17pix
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