encontrar velocidade inicial através de movimento parabólico e trabalho e energia

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Universidade Federal de Lavras – UFLA 
 
Gabriel Santos Braga 
Kevin Lucio Vitoriano 
Lucas Rodrigues Machado 
 
 
 
 
 
Relatório Final: 
Em Busca Da 
 Velocidade Inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lavras 
2016 
Introdução 
A conservação do momento linear está dividida em quatro tópicos: 
Impulso e momento linear, momento linear de um sistema de partículas, 
conservação do momento linear e Colisões. Todo corpo que possui uma 
massa m e uma velocidade v possui momento linear. O momento linear, também 
chamado de Quantidade Movimento, é uma grandeza vetorial, de mesma 
direção e mesmo sentido do vetor velocidade. A unidade de medida do momento 
linear é kg (m/s). 
Segundo o livro Fundamentos de Física I, Halliday Resnick & Walker, uma 
colisão “é um evento isolado no qual dois ou mais corpos (os corpos que colidem) 
exercem, uns sobre os outros, forças relativamente elevadas por um tempo 
relativamente curto”. No dia-a-dia dizemos que uma colisão é um choque, o 
contato de dois ou mais corpos. Exemplos: Acidente de automóveis, jogo de 
sinuca.... Contudo, não necessariamente há contato entre os corpos para haver 
uma colisão. Por isso, assumiremos que a colisão é uma interação entre 
partículas. 
As colisões são divididas em dois grupos: as Elásticas e as Inelásticas 
(essa subdivida em colisões inelásticas e perfeitamente inelásticas). A colisão 
elástica tem como propriedade o fato de tanto o momento linear como a energia 
cinética do sistema se conservarem. Já a colisão inelástica tem como 
característica o fato do momento linear do sistema se conservar, mas a energia 
cinética do sistema não. 
Nesse experimento será estudado a colisão inelástica já que uma esfera 
metálica lançada por um canhão fica presa a um pêndulo que adquira um 
movimento circular no sentido horário de acordo com a observação e por 
consequência os dois objetos se comportam com uma única partícula, e, 
portanto, adquirem uma mesma velocidade. Porém é sabido que a energia 
cinética (𝐾𝑖) não é conservada, então foi considerado que ela toda foi 
transformada em energia potencial (𝑈𝑓). E logo, foi utilizado esta fórmula para 
calcular a velocidade inicial do conjunto esfera + pêndulo: 
𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 
(𝑚1+𝑚2).𝑣𝑖
2
2
= (𝑚1 + 𝑚2).g.h 
 Em que (𝑚1 + 𝑚2) é a massa do conjunto pêndulo e esfera, (𝑣𝑖) é 
velocidade inicial do conjunto, (g) é a aceleração da gravidade local, e (h) é altura 
relativa entre a posição inicial e final observada, calculada e explicada dessa 
maneira: 
 
 
 
 
 E então com a altura relativa em relação as posições inicial e final foi 
possível calcular a velocidade inicial do conjunto esfera pêndulo. E essa 
velocidade encontrada pode ser entendida como a velocidade final de outro 
sistema. Esse sistema é definido como a colisão inelástica entre a esfera 
metálica, a qual adquiriu velocidade com força exercida pelo canhão, e o pêndulo 
balístico que estava inicialmente em repouso. E assim, com o conhecimento de 
condições inicias e finais foi possível calcular a velocidade inicial da bolinha, pela 
fórmula da conservação do momento linear: 
𝑚1.𝑣𝑖1 + 𝑚2.𝑣𝑖2 = (𝑚1+𝑚2)𝑣𝑓 
Onde: Massa do pendulo (𝑚1), Massa da esfera (𝑚2), Massa total (𝑚1+𝑚2), 
Velocidade inicial (𝑉𝑖), Velocidade final (𝑉𝑓), que é igual a velocidade inicial do 
sistema anterior. 
 É possível, ainda, calcular o erro da velocidade inicial buscada usando a 
seguinte fórmula: 
∆𝑉𝑖=
∆𝑉𝑓(𝑚1 + 𝑚2)𝑚2 + 𝑉𝑓∆(𝑚1 + 𝑚2)𝑚2 − ∆𝑚2𝑉𝑓(𝑚1 + 𝑚2)
𝑚2
2⁄ 
Onde: 
∆𝑉𝑓 = 
2𝛥𝑥
√2. 𝑔. 𝑥⁄
 ; 
Onde: ∆𝑥 = 2cos(ρ) . ∆𝜌 . z + sen(ρ) .∆z; 
Onde: ∆z = 2h . cos(𝛼 2⁄ ) . (
∆𝛼
2⁄ ) + sen(
𝛼
2⁄ ) .∆ℎ 
 
Para provar essa teoria foi proposto o cálculo da velocidade inicial da 
bolinha por outra maneira. Utilizando do movimento parabólico. 
O movimento parabólico é descrito como sendo um movimento 
bidimensional, uma vez que é caracterizado por dois movimentos, uma na 
vertical e outro na horizontal, que são perpendiculares entre si e agem de forma 
simultânea. Tomando como base o Princípio da Independência, enunciado por 
Galileu Galilei, temos que quando um objeto realiza um movimento composto 
bidimensional, cada um dos movimentos decompostos se realiza como se o 
outro não existisse, ou seja, o movimento realizado na horizontal não depende 
do movimento realizado na vertical. 
 
 
 
 
 
Na vertical há uma única interação entre o objeto e a Terra, já que o objeto 
está sujeito à aceleração da gravidade, considerada uma constante. Isto implica 
um movimento uniformemente variado na vertical. Já na direção horizontal não 
há força sendo aplicada no objeto, o que implica uma aceleração nula e uma 
velocidade constante, com isso o movimento na horizontal é descrito como 
movimento uniforme. 
 
Desta forma utilizando a fórmula abaixo, podemos calcular a velocidade 
inicial com a qual o canhão lança a bolinha: 
𝑉𝑖 =
𝐷
√
2ℎ
𝑔
 
Onde: D é a média dos alcances, h é a altura do canhão em relação ao chão. 
Já a erro da velocidade inicial é possível ser encontrado pela fórmula: 
∆𝑉𝑖 = √
𝑔
2
(
∆𝐷
√ℎ
+
𝐷 ∗ ∆ℎ
2√ℎ3
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo 
O objetivo do experimento é encontrar a velocidade inicial do projétil 
(esfera metálica), sujeito a uma força inicial exercida por um canhão, por duas 
formas diferentes, afim de comprovar a exatidão dela. Uma das maneiras é 
utilizando o movimento parabólico a qual sua trajetória está sujeita, e a outra 
utilizando o teorema trabalho- energia e momento linear. 
 
 
Materiais 
 
Kit Pendulo Balístico 
 
Trena 
 
Régua 
 
Bolinha de metal 
 
Caderno 
 
Papel Carbono 
 
 
 Kit pêndulo balístico. 
Procedimento 
 
A priori, foi montado o Kit de Pendulo Balístico. Logo após, foi pesada a 
massa (𝑚2) da bolinha e a massa (𝑚1 + 𝑚2) do conjunto pêndulo-esfera. 
A fim de determinar a velocidade inicial com a qual a uma esfera de metal 
é lançada através de um canhão, foi feito o seguinte experimento: 
 O canhão de lançamento foi posicionado com angulação de 0º em relação 
a horizontal. Logo após, foram feitos 10 disparos da bolinha e o ângulo que o 
pêndulo variava era marcado por um dispositivo parecido com um transferidor. 
Com esse ângulo e utilizando as fórmulas já descritas para conservação de 
momento linear, por ser uma colisão inelástica, e de conservação da energia foi 
possível calcular a velocidade (𝑉0) de lançamento do projétil, pelo canhão. 
Visando verificar a veracidade de tal velocidade inicial, foi realizado um 
novo experimento, o de movimento parabólico, que foi efetuado da seguinte 
forma: 
O canhão novamente foi posicionado com angulação de 0º em relação a 
horizontal. Foi colocado um caderno a uma distância e a uma altura (h) do 
canhão. Em cima do caderno, foi colocado um papel carbono, para a marcação 
dos alcances os quais a bolinha iria alcançar. Então, foram feitos 10 lançamentos 
como o canhão que foram marcados no caderno, através do papel carbono. Após 
isso, foram anotados o maior e o menor alcance. Depois, foi calculada a média 
dos alcances (D) e o seu erro (ΔD). Através das fórmulas já citadas 
anteriormente para movimento parabólico, foi possível determinar novamente a 
velocidade inicial de lançamento da bolinha, pelo canhão. Os erros das 
respectivas medidas foram calculados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados 
Tabela 1- Dados obtidos pela conservação de energia. 
Conservação de energia 
𝜶 
(+/-(π/360))h 
(+/-0,00005m) 
Z 
(m) 
∆Z 
(m) 
X 
(m) 
∆X 
(m) 
𝑽𝒇 
(m/s) 
∆𝑽𝒇 
(m/s) 
5π/36 0,29900 0,129 0,003 0,028 0,002 0,739 0,005 
 
Fonte: Dados obtidos em laboratório. 
 
Tabela 2- Dados obtidos pela conservação do momento linear. 
Conservação do momento linear 
(𝒎𝟏) 
(+/-0,00001Kg) 
 (𝒎𝟐) 
(+/-0,00001Kg) 
 (𝒎𝟏+𝒎𝟐) 
(+/-0,00001) 
 (𝑽𝒊) 
(m/s) 
 (∆𝑽𝒊) 
(m/s) 
0,13002 0,02376 0,15378 4,78 0,03 
 
Fonte: Dados obtidos em laboratório. 
 
Tabela 3- Dados obtidos pelo movimento parabólico. 
Movimento parabólico 
(h) 
(+/-0,0005m) 
 (𝑫𝒎𝒊𝒏) 
 (+/-0,0005m) 
(𝑫𝒎𝒂𝒙) 
 (+/-0,0005m) 
 (D) 
(m) 
(∆D) 
(m) 
 (𝑽𝒊) 
(m/s) 
(∆𝑽𝒊) 
(m/s) 
1,0650 1,979 2,055 2,017 0,038 4,32 0,08 
 
Fonte: Dados obtidos em laboratório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análises e conclusões 
Na tabela 1, pode se observar o valor encontrado da velocidade inicial do 
conjunto pêndulo-esfera, a importância dessa medida se dá, pois, ela coincide 
com a velocidade final do sistema de conservação de momento, analisado 
posteriormente. 
 Sobre as medidas diretas, tamanho da haste (h) e ângulo (α): pode-se 
dizer que não houve erros por parte do operador, pois os instrumentos foram 
manuseados adequadamente e por isso tais medidas foram precisas. Já o erro 
por parte dos instrumentos não é tão considerável devido a diferença de casas 
entre esse e sua medida advinda. E o erro por parte da dinâmica do experimento 
também não é considerável já que tais medidas foram aferidas de forma que se 
aproximaram da realidade. 
Já sobre as medidas indiretas, Z, X e a Velocidade Final (Vf) : como Z e 
X foram encontrados apenas usando relações trigonométricas, seus erros estão 
associados às medidas do ângulo e tamanho da haste, portanto não possuem 
erros relevantes. Já o erro velocidade final é obtido pela propagação do erro das 
medidas ditas anteriormente. E pode-se inferir que não possui erro aparente. 
Obs.: É importante citar que a dinâmica do experimento possui um erro ao não 
considerar a energia perdida pelo atrito do pêndulo com o ar. 
 Na tabela 2, foi possível encontrar a velocidade inicial, por conservação 
do momento linear, da esfera metálica utilizando a velocidade final encontrada 
pelo sistema de conservação de energia. 
 Sobre as medidas diretas, 𝑚1 e 𝑚2: foram medidas em uma balança 
analítica de precisão obtendo erros relativamente pequenos para serem 
relevantes às medidas. Não há também erro de operador ou seque por meio da 
dinâmica do experimento. 
 Já sobre a medida indireta, 𝑉𝑖: foi buscada desde o início do experimento, 
compreende-se como a velocidade inicial da esfera metálica imposta pelo 
canhão. O erro da velocidade se deu pela formula da propagação de erro 
descrita na introdução. 
 Na tabela 3, é possível observar novamente a determinação da 
velocidade inicial da bolinha, imprimida pelo canhão. Utilizando-se do seu 
movimento parabólico é possível encontrar a velocidade com fórmulas já citadas. 
 Sobre medidas diretas: diferente da primeira maneira utilizada para 
determinação da grandeza buscada, essa apresenta um maior erro dinâmico do 
experimento devido à imprecisão dos alcances da esfera, assim como o método 
de medi-los, utilizando uma trena que possui um erro relativamente considerável. 
Analogamente a aferição da altura, que também foi medida com uma trena. 
 Já com relação a medida indireta buscada a qual compreende-se como 
a velocidade inicial é possível inferir que, já que seu erro advém das medidas 
diretas, possui erro considerável devido a dinâmica do experimento assim como 
o erro dos instrumentos utilizados, tornando a medida imprecisa, porém com 
notável grau de exatidão. 
 Para finalizar, quando se compara as velocidades iniciais da esfera 
metálica encontrada pelos dois métodos diferentes, vê-se que tal grandeza 
aferida no experimento é dotada de um alto grau de exatidão, pois estão bem 
próximas uma da outra. Consequentemente, é possível inferir que a velocidade 
inicial buscada e calculada se aproxima da realidade, ou seja, é possível concluir 
que o experimento está bem próximo da teoria, em outras palavras, tal 
velocidade inicial está bem perto da real velocidade em que a bolinha está 
sujeita. Portanto, dentre outras coisas, é inevitável dizer que o experimento, em 
sua totalidade, foi um sucesso.