Concreto Armado Projeto e Dimensionamento Projeto Final

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Projeto de um Edifício em Concreto Armado 
 
 
Introdução:Bib l iograf ia 
i) NBR 6118/2014 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento, ABNT. 
ii) NBR 6120/1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações, ABNT. 
iii) NBR 6123/1988 – Forças devidas ao Vento em Edificações, ABNT. 
iv) Projeto Estrutural de Edifícios em Concreto Armado – Um exemplo completo, José Milton de Araújo, 3ª ed., Ed. 
Dunas, 2014. 
v) Curso de Concreto Armado, Vol. 1 a 4, José Milton de Araújo, 2ª ed., Ed. Dunas, 2014. 
vi) Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado, Carvalho, R. C.; Figueiredo Filho, 
J. R., 3ª edição, EDUFSCAR, São Carlos, 2013. 
vii) Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado – Carvalho, R.C., Pinheiro, L.M., 
vol. 2, Ed. Pini, São Paulo, 2009. 
viii) Curso de Concreto – Vols. 1 e 2 - José Carlos Süssekind (Ed. Globo). 
ix) Estruturas de Concreto – Solicitações Normais, Fusco, P. B., Ed. Guanabara Dois, 1981. 
x) Prática recomendada IBRACON para estruturas de edifícios nível 1 – Estruturas de Pequeno Porte, 
Comitê Técnico Concreto Estrutural CT-301, IBRACON. 
xi) Comentários técnicos e exemplos de aplicação da NB-1, Comitê Técnico Concreto Estrutural, 
IBRACON, 2007. 
 
 
Dados do Projeto 
1 . Planta de Forma e Elevação 
Conforme desenhos em anexo. 
 
2 . Materia is 
 Aço CA-60: Diâmetro de 5 mm (emprego como armadura de lajes e estribos); 
 Aço CA-50: Diâmetros maiores que 5 mm (emprego como armaduras longitudinais de vigas, 
pilares, escadas, elementos de fundação, etc.); 
 Concreto classe C30 (fck = 30 MPa): para todos os elementos. 
 
3 . Cargas 
 Revestimento: 1,5 kN/m2; 
 Carga Acidental nos pavimentos (sobrecarga de utilização): 2,0 kN/m2. 
 
4 . Cobrimento da Armadura 
 Lajes: 2,0 cm; 
 Vigas e Pilares: 2,5 cm; 
 Elementos de Fundação: 5,0 cm. 
 
5 . Requisitos de Qualidade da Estrutura 
As estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, durante sua construção 
 
 
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e serviço, e aos requisitos adicionais estabelecidos em conjunto entre o autor do projeto estrutural e o 
contratante. 
 
Os requisitos da qualidade de uma estrutura de concreto são classificados, para efeito da NBR 
6118, em três grupos distintos, relacionados em: 
 
 Capacidade resistente: consiste basicamente na segurança à ruptura; 
 Desempenho em serviço: consiste na capacidade de a estrutura manter-se em condições plenas de 
utilização, não devendo apresentar danos que comprometam em parte ou totalmente o uso para o 
qual foi projetada; 
 Durabilidade: consiste na capacidade que a estrutura resiste às influências ambientais previstas e 
definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural e o contratante, no início dos trabalhos de 
elaboração do projeto. 
 
6 . Etapas do Projeto Estrutural 
A primeira etapa do projeto estrutural compreende a interpretação do projeto arquitetônico, para 
efetuar o lançamento da estrutura em cada pavimento. Muitas vezes os arquitetos desenvolvem seus 
projetos arquitetônicos em conjunto com o projetista estrutural, gerando assim uma estrutura com 
segurança e custos reduzidos. Diferentes concepções estruturais poderão ser elaboradas, baseando-se em 
diferentes materiais ou para as diferentes condições de uso que a estrutura será submetida. 
Dentre as etapas do projeto estrutural estão: 
 
 Análise do projeto arquitetônico; 
 Escolha da estrutura mais adequada ao meio em questão; 
 Estudo e lançamento das plantas de formas; 
 Estimativa dos diferentes tipos de carregamento atuantes na estrutura; 
 Análise prévia da estrutura por meio de métodos computacionais, levando em consideração a 
estabilidade global, limite de fissuração e deformações excessivas dos elementos estruturais tais 
como vigas, lajes, pilares, recalque nas fundações; 
 Análise final e cálculo das armaduras de todos os elementos estruturais; 
 Detalhamento da armação de todos os elementos estruturais, assim como o desenho final das 
plantas de forma. 
 Iteração com o engenheiro auditor independente, responsável pela avaliação de conformidade do 
projeto estrutural. 
 Entrega do projeto estrutural e acompanhamento durante a execução da obra. 
 
7 . Lançamento da Estrutura 
O lançamento dos elementos estruturais é realizado tendo como base o projeto arquitetônico, 
levando em conta vários aspectos como: 
 
 Estética: o projetista deve sempre procurar esconder ao máximo a estrutura (viga, pilares, 
consolos) dentro das paredes; 
 Economia: deve-se lançar a estrutura pensando em minimizar o custo da estrutura. A economia 
pode vir da observação de vários itens: 
o Uniformização da estrutura, gerando fôrmas mais simples, menor número de reformas das 
fôrmas (o que reduz o custo com fôrmas e maior velocidade de execução). Em alguns 
casos, é mantida a mesma geometria para uma prumada de pilares reutilizando assim o 
mesmo jogo de formas; 
 
 
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o Compatibilidade entre vãos, materiais e métodos utilizados (ex.: o vão econômico para 
estruturas protendidas é maior do que o de estruturas de concreto armado); 
o Caminhamento o mais uniforme possível das cargas para as fundações. Apoios indiretos, 
de vigas sobre vigas e transições devem ser evitadas ao máximo, pois acarretam um maior 
consumo de material. 
 Funcionalidade: um aspecto funcional importante é o posicionamento dos pilares na garagem. Em 
virtude da necessidade crescente de vagas para estacionamento, deve ser feita uma análise 
minuciosa nos pavimentos de garagem, de modo a aumentar ao máximo a quantidade de vagas, 
sempre procurando obter vagas de fácil estacionamento (considerando vagas com 2,50x5,50m, um 
bom aproveitamento pode ser obtido espaçando os pilares a cada 4,80 ou 5,0m, ou a cada 7,2 a 
7,5m, evitando posicioná-los nas extremidades das vagas); 
 Resistência quanto aos esforços horizontais: ao lançar a estrutura deve-se procurar estabelecer 
uma estrutura responsável por resistir aos esforços horizontais atuantes na estrutura (vento, 
desaprumo da construção, efeitos sísmicos). Esta estrutura pode ser composta por um núcleo 
estrutural rígido composto por pilares de grande inércia, geralmente o das caixas de escadas e 
elevadores, ou por pórticos (planos ou espaciais) formados pela associação entre vigas (ou às 
vezes lajes) e pilares do edifício. 
8 . Normas para Projeto 
Todo e qualquer dimensionamento estrutural deverá ser feito de acordo com a normalização 
vigente na região onde a construção será efetuada. Cada país ou comunidade apresenta sua respectiva 
norma, que leva em conta condições ambientais tais como a existência ou não de abalos sísmicos, 
furacões, grandes variações de temperatura, qualidade dos materiais, tipos de construções, entre outros 
fatores. 
As normas são desenvolvidas para padronização dos critérios de dimensionamento, oferecendo 
condições adequadas de utilização e segurança das estruturas. Elas são elaboradas a partir de inúmeros 
resultados de ensaios experimentais, oferecendo margem de segurança precavendo-se de possíveis falhas 
nos materiais, nas dosagens dos concretos, possíveis imperfeições geométricas durante a execução da 
estrutura ou, até mesmo, compensar pequenos erros de projetos. 
 
No Brasil, a norma vigente para dimensionamento de estruturas em concreto armado é a NBR 
6118/2014, Projeto de Estruturas de Concreto. 
Dentre as normas estrangeiras, as mais importantes de acordo com seus respectivos países de 
origem são:
 Instituto Americano do Concreto, ACI-318 (EUA) 
 O código do CEB (Comitè Européen Du Beton) 
 Model Code 2010 (UE) 
 
9 . Modelagem do Edifício 
Um edifício pode ser modelado como um pórtico espacial ao qual são acrescentadas 
placas em diversos níveis (ou pavimentos). 
Observa-se na Figura 1 que a estrutura de um edifício é composta por elementos com funções 
estruturais bem definidas, sendo os elementos estruturais básicos: 
 Laje: elemento estrutural bidimensional, geralmente horizontal. Constitui os pisos dos 
compartimentos. Suporta diretamente as cargas verticais do piso, e é solicitado 
predominantemente à flexão (placa). No caso mais usual, as lajes descarregam as cargas verticais 
do piso e o seu peso próprio a vigas de apoio, embora existam casos (lajes cogumelo) onde as 
 
 
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lajes apoiam-se diretamente nos pilares; 
 
 Viga: elemento unidimensional (barra), geralmente horizontal, que vence os vãos entre os pilares 
dando apoio às lajes, às alvenarias de tijolos e, eventualmente, a outras vigas. É solicitado 
predominantemente à flexão. As vigas devem ainda ser dimensionadas para absorver esforços de 
cisalhamento decorrentes de seu carregamento e de esforços devidos à torção se suportarem 
platibandas ou pertencerem a estruturas tridimensionais; 

 Pilar: elemento unidimensional (barra), geralmente vertical, que garante o vão vertical dos 
compartimentos (pé-direito) fornecendo apoio às vigas, e é solicitado predominantemente à 
compressão. 
 
. 
 
 
Figura 1: Estrutura de Concreto Armado de um Edifício 
 
 
Além dos elementos básicos podemos citar também os elementos de fundação (sapatas, radiers e 
blocos sobre estacas) responsáveis pelo encaminhamento da carga total da estrutura para o solo e 
elementos complementares como escadas, caixas de água, muros de arrimo, rampas para acessos de 
veículos, piscinas, etc. 
 
Desta forma, dentro do processo de análise da estrutura, tendo em vista diminuir a complexidade 
da estrutura de forma que possamos modelá-la, o primeiro passo é identificar os elementos principais, 
eliminando do modelo os elementos secundários (em muitos casos substituídos por um sistema de forças 
equivalentes), de menor importância para o comportamento global da estrutura. Resulta então, um modelo 
tridimensional composto por elementos de barra e de placa. A Figura 2 apresentamos o esquema 
 
 
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convencional de estrutura de um edifício, destacando alguns de seus elementos básicos. 
 
Para que o problema possa ser resolvido por sistemas computacionais de estruturas planas, as lajes 
devem ser destacadas da estrutura e modeladas a parte. Após a análise das lajes, seu carregamento deve 
ser transferido para as vigas ou pilares, que podem estar sendo modelados individualmente ou fazer parte 
de uma estrutura plana de contraventamento conforme mostra Figura 2. 
 
 
 
Figura 2: Decomposição do edifício em elementos básicos. 
 
 
 
10. Procedimento para o cálculo das forças devidas ao vento nas edificações 
(NBR 6123) 
 
A consideração do efeito do vento em edificações é obrigatória segundo a NBR 6118. O 
carregamento de vento, um carregamento acidental, deve ser calculado de acordo com a NBR 6123 
(Forças Devidas ao Vento em Edificações). 
 
A velocidade básica do vento, v0 , é a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média uma 
vez em 50 anos, a 10m acima do terreno, em campo aberto e plano. A velocidade básica do vento é obtida 
a partir do gráfico de isopletas mostrado na Figura 3, em função da localização geográfica da edificação. 
Como regra geral, é admitido que o vento básico pode soprar de qualquer direção horizontal. 
 
 
 
 
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Figura 3: Isopletas da velocidade básica do vento Vo (m/s) no Brasil. 
 
Determinação da velocidade característica 
 
A velocidade característica ( vk ) é obtida da multiplicação da velocidade básica pelos fatores s1 
(topográfico), s2 (rugosidade do terreno) e s3 (fator estatístico), dados pela expressão: 
vk  s1 s2 s3 v0 
 
Fator topográfico (Fator s1 ) 
O fator topográfico s1 leva em consideração as variações do relevo do terreno e é determinado de 
acordo com o perfil do terreno, apresentado na Tabela 1 
 
 
 
 
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Onde: z é altura medida a partir da superfície do terreno no ponto considerado, d a diferença de nível 
entre a base e o topo do talude ou morro e θ a inclinação média do talude ou encosta do morro. 
 
 
Figura 4: Fator topográfico s1. 
Rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno: (Fator s2 ) 
O fator s2 considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da velocidade do 
vento com a altura acima do terreno e das dimensões da edificação ou parte da edificação em 
consideração. 
Em ventos fortes em estabilidade neutra, a velocidade do vento aumenta com a altura acima do 
terreno. Este aumento depende da rugosidade do terreno e do intervalo de tempo considerado na 
determinação da velocidade. Este intervalo de tempo está relacionado com as dimensões da edificação, 
pois edificações pequenas e elementos de edificações são mais afetados por rajadas de curta duração do 
que grandes edificações. Para estas, é mais adequado considerar o vento médio calculado com um 
intervalo de tempo maior. 
O fator s2 usado no cálculo da velocidade do vento em uma altura z acima do nível geral do 
terreno é obtido pela expressão: 
 
 
 
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onde b , Fr e p são determinados pela categoria de rugosidade e classe da edificação apresentadas nas 
tabelas a seguir. 
 
Tabela 2: Categoria do relevo. 
_______________________________________________________________ 
Categoria Relevo 
_______________________________________________________________ 
I Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de 
extensão. 
II Terrenos abertos com poucos obstáculos isolados. 
III Terrenos planos ou ondulados com obstáculos. 
IV Terrenos com obstáculos numerosos e pouco espaçados. 
V Terrenos com obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco 
espaçados. 
_______________________________________________________________ 
Tabela 3: Classe da edificação. 
_______________________________________________________________ 
Classe Tamanho da Edificação 
A dimensão horizontal ou vertical < 20m. 
B Maior dimensão horizontal ou vertical entre 20 e 50m. 
C Maior dimensão horizontal ou vertical > 50m. 
_______________________________________________________________ 
Tabela 4: Parâmetros metereológicos. 
_______________________________________________________________ 
Categoria Parâmetro Classes 
A B C 
I b 1,10 1,11 1,12 
p 0,06 0,065 0,07 
II b 1,00 1,00 1,00 
Fr 1,00 0,98 0,95 
p 0,085 0,09 0,10 
III b 0,94 0,94 0,93 
p 0,10 0,105 0,115 
IV b 0,86 0,85 0,84 
p 0,12 0,125 0,135 
V b 0,74 0,73 0,71 
p 0,15 0,16 0,175 
_______________________________________________________________ 
 
 
 
O fator S2 pode também ser obtido na Tabela 4a. 
 
 
 
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_______________________________________________________________ 
Tabela 4a: Fator S2. 
_______________________________________________________________ 
 
 
Fator estatístico ( s3 ) 
O fator estatístico s3 é baseado em conceitos estatísticos, e considera o grau de segurança 
requerido e a vida útil da edificação. Segundo a NBR 6123, a velocidade básica v0 é a velocidade do 
vento que apresenta um período de recorrência médio de 50 anos. A probabilidade de que
a velocidade 
v0 seja igualada ou excedida neste período é de 63%. 
O nível de probabilidade (0,63) e a vida útil (50 anos) adotado são considerados adequados para 
edificações normais destinadas a moradias, hotéis, escritórios, etc. (grupo 2). Na falta de uma norma 
 específica sobre segurança nas edificações ou de indicações correspondentes na norma estrutural, os 
 valores mínimos do fator s3 são os indicados na tabela: 
 
 
 
 
 
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Tabela 5: Valores mínimos do fator estatístico s3. 
 
 
 
11. Modelagem das Lajes 
As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses da NBR 
6118: 
 
 manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas; 
 representação dos elementos por seu plano médio. 
 
Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes 
pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) 
livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. 
 
Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas 
apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, justificando a 
consideração dos apoios como irrecalcáveis (indeslocáveis). Além disso, também a rigidez à torção das 
vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a 
solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção 
inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga 
é responsável pelo equilíbrio da laje. 
 
A figura a seguir mostra a configuração das fissuras de uma laje retangular que suporta uma carga distribuida 
no estado de ruptura. 
 
 
 
 
 
 
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As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e dos 
revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações variáveis (cargas acidentais, ou de utilização). 
 
As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única direção 
podem ser calculadas como vigas de largura unitária. 
Já as lajes armadas em duas direções, podem ter o cálculo por faixas de m com a utilização da Tabela de 
Marcus, observando-se as condições de apoio do bordo. 
 
Os valores dos momentos fletores também podem ser calculados pelas tabelas de: Kalmanock, Barès, 
 Czèrny e Timoshenko. 
 
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, permite-se 
que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados 
através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – 
análise plástica da NBR 6118. Estas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas por retas 
inclinadas (Figura 6), a partir dos vértices com os ângulos (item 14.7.6.1 da norma): 
 
 45° entre dois apoios de mesmo tipo; 
 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; 
 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
 
 
 
 
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Projeto de Um Edifício em Concreto Armado 
Ação do Vento e Instabi l idade Global 
 
 
1 . Introdução 
As estruturas, até mesmo as mais simples, estão sujeitas, além das ações verticais (gravitacionais), 
às ações horizontais (laterais) decorrentes, principalmente, pela ação do vento. 
Os esforços calculados com a geometria inicial da estrutura, sem deformação, são chamados de 
efeitos (ou esforços) de primeira ordem. Os esforços calculados a partir da configuração deformada da 
estrutura são chamados de efeitos (ou esforços) de segunda ordem. 
A consideração dos efeitos de segunda ordem conduz à não-linearidade entre ações e deformações 
(curva F × U). Essa não-linearidade, devido a sua origem, pode ser uma não-linearidade geométrica ou 
física. A não-linearidade geométrica está associada apenas às deformações provocadas diretamente pelas 
forças, enquanto que a não-linearidade física está associada à mudança das propriedades físicas e de 
rigidez dos elementos constituintes da estrutura. Neste último caso, a fissuração e fluência do concreto 
provocariam uma não-linearidade física. 
As deformações existentes nas estruturas permitem calcular os efeitos de segunda ordem que, de 
acordo com a NBR 6118 (item 15.4.1), podem ser classificados em efeitos globais, locais e localizados de 
segunda ordem. 
Considerando o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas horizontais, elas 
podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis: 
 Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais dos nós são 
pequenos e por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos 
respectivos esforços de 1ª ordem); nestas estruturas, basta considerar os efeitos locais e 
localizados de 2ª ordem. 
 Estruturas de nós móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais não são 
pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos 
respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados os 
esforços globais, locais e localizados de 2ª ordem. 
 
Dois processos aproximados são indicados pela NBR 6118 para garantir a rigidez mínima das 
estruturas de nós fixos. Lembramos que a avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para 
todas as combinações de carga aplicadas à estrutura, através de um parâmetro de instabilidade α e 
coeficiente  z . 
Na composição estrutural de um edifício, devem-se identificar sempre elementos que resistam aos 
esforços horizontais formando um sistema (subestrutura) chamado de estrutura de contraventamento. A 
estrutura de contraventamento pode ser formada por pilares de maior rigidez (como caixa de elevadores, 
 
 
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pilar parede), pela associação destes as vigas e a outros pilares, formando conjuntos de pórticos planos em 
cada direção considerada, ou finalmente por todos os pilares e vigas principais do edifício. 
Os demais elementos que não compõem da subestrutura de contraventamento são chamados de 
elementos contraventados. Estes demais elementos deverão ser calculados individualmente. 
 
 
2 . Verificação de Instabi l idade Pelo Parâmetro  
Uma estrutura reticulada poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de 
instabilidade  for menor que o valor 1 definido como: 
 
 
Onde: 
n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável 
do subsolo; 
Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do 
subsolo; 
Nk - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o 
cálculo de Htot ), com seu valor característico. 
EC IC - somatória da rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, 
de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto 
de rigidez EC IC de um pilar equivalente de seção constante. Para EC permite-se adotar, nessa expressão e 
em todas as análises de estabilidade global, o valor do módulo de elasticidade inicial. O valor de IC é 
calculado considerando
as seções brutas dos pilares. 
 
Para determinar a rigidez equivalente ( EC IC ), procede-se da seguinte maneira: 
 Calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento 
horizontal característico; 
 Calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, 
de mesma altura Htot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento 
 no topo da estrutura de contraventamento. 
 
 
 
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O valor limite 1  0,6 prescrito para n  4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de 
edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares parede. Ele pode 
ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e 
deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos. 
 
 
Inicialmente se calculam as ações verticais características existentes na edificação. 
 
 Pavimento Tipo 
Pp,laje = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×0,13×25 = 389,44 kN 
Pp,viga = ((21,4+14,3+12,1+11,7)×(0,20×0,60) + (7,11)×(0,20×0,40) + (3,51+6,90)×(0,20×0,50) + 
+ (3,6)×(0,15×0,35))×25 = 223,47 kN 
Pp,pilar = ((2,8×0,20×0,60)×6 + (2,8×0,20×0,45)×6)×25 = 88,20 kN 
Pp,Rev. = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×1,5 = 179,74 kN 
Pp,Alv. = ((21,4+14,3+12,1+11,7)×(0,20×2,80) + (7,11)×(0,20×2,80) + (6,90)×(0,20×2,80))×18 =741,0 kN 
Sc = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×2,0 = 239,65 kN 
Total = 1861,48 kN 
 
 
 
 
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 Pavimentos Térreo = 1º Pavimento 
Pp,laje = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×0,13×25 = 389,44 kN 
Pp,viga = ((21,4+14,3+12,1+11,7)×(0,20×0,60) + (7,11)×(0,20×0,40) + (3,51+6,90)×(0,20×0,50) + 
+ (3,6)×(0,15×0,35))×25 = 223,47 kN 
Pp,pilar = ((3,5×0,20×0,60)×6 + (3,5×0,20×0,45)×6)×25 = 110,25 kN 
Pp,Rev. = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×1,5 = 179,74 kN 
Pp,Alv. = ((21,4+14,3+12,1+11,7)×(0,20×2,80) + (7,11)×(0,20×2,80) + (6,90)×(0,20×2,80))×18 =741,0 kN 
Sc = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×2,0 = 239,65 kN 
Total = 1883,53 kN 
 
 
 Cobertura 
Pp,laje = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×0,13×25 = 389,44 kN 
Pp,viga = ((21,4+14,3+12,1+11,7)×(0,20×0,60) + (7,11)×(0,20×0,40) + (3,51+6,90)×(0,20×0,50) + 
+ (3,6)×(0,15×0,35))×25 = 223,47 kN 
Pp,pilar = ((2,12×0,20×0,60)×4 + (2,12×0,20×0,45)×2)×25 = 34,98 kN 
Pp,Rev. = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×1,5 = 179,74 kN 
Pp,Alv. = ((21,4+14,3+12,1)×(0,20×1,20) + (7,11)×(0,20×2,12) + (6,90)×(0,20×2,12))×18 =313,42 kN 
Sc = ((7,15×5,95)×2 + (7,10×2,50) + (1,80×2,03) + (3,51×3,80))×2,0 = 239,65 kN 
Maq. = 298,90 kN (considerado) 
Total = 1679,60 kN 
 
 
 Caixa D’água 
Pp,laje,sup = (3,51×3,80)×0,10×25 = 33,35 kN 
Pp,laje,inf = (3,51×3,80)×0,12×25 = 40,0 kN 
Pp,paredes = ((3,51×2+3,80×2)×(1,20×0,15))×25 = 65,8 kN 
Pp,água = (3,51×3,80)×1,20×10 = 160 kN 
Total = 299,15 kN 
 
Logo, a carga Nk total vale: 
Nk = 6×1861,48 + 2×1883,53 + 1679,60 + 299,15 = 16914,7 kN 
 
OBS: 
o Não foram consideradas as ações das escadas; admitiu-se, por simplicidade, que nesta região há 
uma laje normal. 
o No cálculo do peso próprio dos elementos consideraram-se suas dimensões medidas no eixo; e 
 também foram desconsideradas as sobreposições. 
 
 
 
17 
As propriedades geométricas dos elementos constituintes do pórtico valem: 
 
 
 a) Viga “L” 
 
 
Área: A = 1720 cm2 
Inércia à flexão: I =567674,53 cm4 
Coordenada do CG com relação à base: yCG = 37,1 cm 
 
 
b) Viga (20 × 60) 
Área: A = 1200 cm2 
Inércia à flexão: I =360000,0 cm4 
Coordenada do CG com relação à base: yCG = 30 cm 
 
 
c) Pilar (20 × 45) 
Área: A = 900 cm2 
Inércia à flexão: Ix =151875 cm
4
, Iy =30000 cm
4
 
Coordenada do CG com relação à base: xCG = 22,5 cm; yCG = 10 cm 
 
 
d) Pilar (20 × 65) 
Área: A = 1300 cm2 
Inércia à flexão: Ix =457708,33 cm
4
, Iy =43333,33 cm
4
 
Coordenada do CG com relação à base: xCG = 32,5 cm; yCG = 10 cm 
O valor do módulo de elasticidade EC , considerado como sendo o inicial, vale: 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑖 = √𝑓𝑐𝑘 = 5.600√30 = 30.672,5 𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
 
18 
Obs: pela NBR 6118/2014, itens 8.2.8 e 15.5.1 (ver Capítulo 14, item 14.10), deveríamos usar (E = 1,10 x 
Ecs = 30.000 MPa). 
 
A altura total do pórtico considerado vale: Htot  23,8 m 
Vamos considerar o valor de F  150 kN 
 
Cálculo da Rigidez Equivalente Ic,eq,x (direção x) 
Para esta direção, será considerado o pórtico formado pelos pilares P1, P2, P3 e P4. As figuras a 
seguir apresentam, respectivamente, a o pórtico analisado e sua configuração deformada. O valor do 
deslocamento horizontal no topo do pórtico vale  Pórtico  7,3 cm . A análise foi realizada no programa 
FTOLL (Marta, 2008). 
 
 
 
 
19 
 
Assim, com esse deslocamento, basta tomar um pilar engastado na base e livre na outra 
extremidade, com a mesma altura e submetido à mesma força horizontal F do pórtico, e tendo um 
deslocamento  Pilar   Pórtico . O deslocamento horizontal do pilar no topo é dado por: 
 
OBS: 
o O valor da carga total Nk dividida por dois, é porque estamos considerando duas estruturas de 
contraventamento nesta direção. 
 
 
 
 
20 
Cálculo da Rigidez Equivalente Ic,eq,y (direção y) 
Para esta direção, serão considerados dois pórticos, um formado pelos pilares P1e P7 (que é igual 
ao formado pelos pilares P4 e P12) e outro formado pelos pilares P2 e P8 (que é igual ao formado pelos 
pilares P3 e P11). Haja vista que, para esta direção, as inércias dos pilares supracitados são diferentes, 
conforme pode ser observado no desenho da planta de forma em anexo. 
As figuras 5 e 6 apresentam, respectivamente, a o pórtico formado pelos pilares P1 e P7 analisado 
e sua configuração deformada. O valor do deslocamento horizontal no topo do pórtico vale 
Pórtico,P1P7  6,94 cm . 
Logo, Ic, para esta direção, vale: 
 
Como   1  0,6 , para esta direção (y), a estrutura é considerada de nós fixos. 
OBS: 
o O valor da carga total Nk dividida por quatro, é porque estamos considerando quatro estruturas de 
contraventamento nesta direção. 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
Já as figuras 7 e 8 apresentam, respectivamente, a o pórtico formado pelos pilares P2 e P8 
analisado e sua configuração deformada. O valor do deslocamento horizontal no topo do pórtico vale 
 Pórtico,P1P7  5,90 cm . 
Logo, Ic, para esta direção, vale: 
 
 
 
OBS: 
o O valor da carga total Nk dividida por quatro, é porque estamos considerando quatro estruturas de 
contraventamento nesta direção. 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
23 
Conclui-se que, para todas as estruturas de contraventamento consideradas, o parâmetro de 
Instabilidade  ficou abaixo do valor limite 1  0,6 . Pode-se considerar a estrutura de nós fixos. 
3 . Ação de Vento 
 
As forças que aparecem nas estruturas devido à incidência do vento são conhecidas por forças 
aerodinâmicas, que produzirão uma componente na direção do vento chamada de Força de Arrasto (Fa), 
para o cálculo desta força deve-se conhecer um parâmetro aerodinâmico chamado de Coeficiente de 
Arrasto (Ca). 
 
Para a determinação do
Coeficiente de Arrasto em estruturas de edifício, a norma NBR 6123 
apresenta um gráfico, no qual este coeficiente varia em função das relações h/l1 e l1/l2 (aplicado a 
edificações retangulares) em que h é altura da edificação acima do terreno, medida até o topo da 
platibanda ou beiral, l1 é a largura da edificação (dimensão horizontal perpendicular à direção do vento) e 
l2 é a profundidade da edificação (dimensão na direção do vento). 
 
A força de arrasto é dada por: F  Ca qAe 
 
Onde “q” é pressão dinâmica do vento (em kN/m2), sendo (Vk em m/s): 
 
 
 
Ae é a área frontal efetiva, ou seja, a área da projeção ortogonal da edificação, estrutura ou 
elemento estrutural, sobre um plano perpendicular à direção do vento (“área de sombra”). 
 
É importante ressaltar que a pressão do vento q varia em função da altura do ponto considerado. 
Essa variação está implícita no fator S2 e na velocidade Vk. 
 
Dados para o projeto: 
 V0 = 35 m/s (Rio de Janeiro) 
 S1 = 1,0 (terreno plano ou fracamente acidentado) 
 S2 = Categoria III, Classe B (Fr = 0,98; p = 0, 105; b = 0,94) 
 S3 = 1,0 (hotéis, residências, comércio) 
 
No cálculo dos coeficientes de arrasto, para a edificação em estudo, será considerado o ábaco da 
figura 4 da NBR6123, vento de baixa turbulência. 
 
 
 
24 
 
 
 
 
De acordo com as práticas recomendadas do IBRACON, nas estruturas do Nível 1 (estruturas 
muito simples, de até 4 pavimentos, regulares, sem protensão, submetidas a sobrecargas nunca 
superiores a 3 kN/m2, com altura de pilares de até 4 m e vãos não excedendo 6 m), a consideração do 
vento poderá ser omitida, desde que as prescrições para o dimensionamento dos pilares sejam 
rigorosamente obedecidas. Para que isto seja possível, é indispensável a existência de 
contraventamento em duas direções no conjunto estrutural, e a estrutura não pode estar situada em 
ambiente quimicamente agressivo. 
 
 
 
25 
 
 
Com os valores já obtidos para todos os parâmetros, são encontradas as forças de arrasto nos 
níveis da edificação. As tabelas a seguir apresentam as forças atuantes na direção x e y, respectivamente. 
 
 
 
 
 
26 
 
Para análise de esforços globais de 2ª ordem em estruturas reticuladas com pelo menos quatro andares 
pode-se levar em conta a não linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos 
estruturais os seguintes valores (item 15.7.3 da NBR 6118/2014): 
 
Para lajes: (𝐸. 𝐼)𝑠𝑒𝑐 = 0,3 𝐸𝑐𝑖. 𝐼𝑐 
 
Para vigas: (𝐸. 𝐼)𝑠𝑒𝑐 = 0,4 𝐸𝑐𝑖. 𝐼𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝑠
′ ≠ 𝐴𝑠 
 
Para vigas: (𝐸. 𝐼)𝑠𝑒𝑐 = 0,5 𝐸𝑐𝑖. 𝐼𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝑠
′ = 𝐴𝑠 
 
Para pilares: (𝐸. 𝐼)𝑠𝑒𝑐 = 0,8 𝐸𝑐𝑖. 𝐼𝑐 
 
 
No momento de inércia da seção bruta (Ic), se pode incluir, se for o caso, as mesas colaborantes. 
 
 O coeficiente de avaliação da importância dos esforços de 2ª ordem (𝛾𝑍), que é válido somente para 
estruturas de no mínimo quatro andares, vale (item 15.5.3 da NBR 6118/2014): 
 
𝛾𝑍 = 
1
1 − (
∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑
𝑀1,𝑡𝑜𝑡,𝑑
⁄ )
 ≤ 1,1 
Onde: 
M1,tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com 
seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; 
M tot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de 
cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª 
ordem; 
 
Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição  Z  1,1 . 
 
 
27 
Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem 
consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela majoração dos esforços horizontais da 
combinação de carregamento considerada por 0,95 Z , desde que  Z  1,3 . 
Para valores de  Z maiores que 1,3 é necessária a análise de 2ª ordem adequada, permitindo-se a 
adoção do processo P- para a avaliação da não-linearidade geométrica em conjunto com os valores de 
rigidez dados por representativos do efeito da não-linearidade física da NBR 6118/2014. 
 
Para considerar a não-linearidade física de maneira simplificada, vamos adotar a redução da 
inércia dos pilares e das vigas considerando o coeficiente de 0,7 (ver Obs). Assim, tem-se: 
e) Viga “L” 
 
Área: A = 1720 cm2 
Inércia à flexão: I =0,7×567674,53 = 397372,17 cm4 
Coordenada do CG com relação à base: yCG = 37,1 cm 
 
 
f) Viga (20 × 60) 
Área: A = 1200 cm2 
Inércia à flexão: I =0,7×360000,0 = 250000,0 cm4 
Coordenada do CG com relação à base: yCG = 30 cm 
 
 
g) Pilar (20 × 45) 
Área: A = 900 cm2 
Inércia à flexão: Ix =0,7×151875 = 106312,5 cm
4
; Iy =0,7×30000 = 21000 cm
4
 
Coordenada do CG com relação à base: xCG = 22,5 cm; yCG = 10 cm 
 
 
h) Pilar (20 × 65) 
Área: A = 1300 cm2 
 
 
28 
Inércia à flexão: Ix =0,7×457708,33 =320395,83 cm
4
; Iy = 0,7×43333,33 = 30333,33 cm
4 
Coordenada do CG com relação à base: xCG = 32,5 cm; yCG = 10 cm 
 
Obs: esta consideração ( usar 0,7Ec.Ic para vigas e pilares) era prevista na versão de 2003 da NBR 6118, 
mas foi retirada na sua versão atual (item 15.7.3 da NBR 6118/2014). 
 
 
Cálculo dos Deslocamentos devidos à Ação do Vento (direção x) 
Como estamos considerando duas estruturas de contraventamento nesta direção, as ações de vento 
atuantes devem ser divididas por dois. Estes valores estão listados na tabela abaixo. As figuras 10 e 11 
apresentam, respectivamente, o esquema estrutural com a ação de vento e a configuração deformada. 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 A tabela abaixo apresenta os deslocamentos horizontais em cada nível. 
 
 
30 
Tabela 4 – Deslocamentos sofridos no pórtico, direção x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral, pela introdução da ação do vento, deve-se levar em conta sempre duas combinações de 
carga considerando a simultaneidade das ações acidentais verticais e o caráter acidental do vento. 
Segundo a NBR 6118, a primeira combinação considera a carga acidental como ação variável principal e 
a segunda combinação considera carga horizontal de vento como a ação variável principal. As 
combinações são dadas pela expressão: 
 
 
 
31 
 
 
As ações variáveis principais podem ser, ora as sobrecargas verticais, ora o vento, dependendo da 
situação, caso a caso. 
 
𝜓0 = 0,6 (𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑜) 
𝜓0 = 0,5 (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠) 
 
 
 
 
 
 
 
32 
O momento de tombamento ( M1,tot,d ) devido ao vento é obtido multiplicando a força do vento em 
cada andar pela respectiva altura com relação ao nível de fundação (hi). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos Deslocamentos devidos à Ação do Vento (direção y) 
 
Assim como fizemos para a consideração do parâmetro , serão considerados dois pórticos, um 
formado pelos pilares P1e P7 (que é igual ao formado pelos pilares P4 e P12) e outro formado pelos 
pilares P2 e P8 (que é igual ao formado pelos pilares P3 e P11). Como estamos considerando quatros 
estruturas de contraventamento nesta direção, as ações de vento atuantes devem ser divididas por quatro. 
Estes valores estão listados na tabela abaixo. As figuras
12 e 13 apresentam, respectivamente, o esquema 
 estrutural com a ação de vento e a configuração deformada para o pórtico P1 e P7. 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
Tabela 8 – Deslocamentos sofridos no pórtico da direção y – P1 e P7 
 
 
 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta o valor momento de segunda ordem ( M tot,d ). Vale destacar que as 
 
cargas verticais consideradas (um quarto), por existirem quatro estruturas de contraventamento nessa 
direção. 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Tabela 11 – Deslocamentos sofridos no pórtico da direção y – P2 e P8 
 
 
 
Considerando, agora, o pórtico formado pelos pilares P2 e P8, temos os deslocamentos nos níveis 
da edificação apresentados na tabela a seguir: 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta o valor momento de segunda ordem ( M tot,d ). Vale destacar que as 
 
cargas verticais consideradas (um quarto), por existirem quatro estruturas de contraventamento nessa 
direção. 
 
 
37 
 
Logo o valor de  Z , para o pórtico formado pelo pilar P2 e P8, é: 
 
 
 
Na consideração do parâmetro  Z a estrutura, para esta direção, é considerada como de nós fixos. 
OBS: 
o Para a estrutura em questão, podemos dizer, através dos estudos realizados, que não necessidade 
de se efetuar uma análise mais rigorosa (análise não-linear), pois os efeitos de segunda ordem são 
poucos significativos para a estrutura. 
o Outro ponto importante a salientar é que a consideração dos pórticos de contraventamento é 
fundamental para garantir a estabilidade da estrutura. 
 
5 . Consideração das Imperfeições Geométricas Globais 
 
Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser 
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura 14 abaixo (NBR 6118). No 
caso interessam as globais, que podem comprometer a estabilidade da edificação. O deslocamento 
máximo (amáx) no topo do edifício é dado por: 
 
 
 
 
38 
 
 Onde: 
 
 
 
(n) é o número de “PRUMADAS DE PILARES” no pórtico (e não o número de andares). 
(l) é a altura total da edificação, em metros. 
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 = 
1
300⁄ = 0,0033 𝑒𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 
𝜃1,𝑚á𝑥 = 
1
200⁄ = 0,0050 
 
 
 
A consideração do vento e desaprumo deve ser realizada de acordo com os seguintes critérios (NBR 
6118/2014, item 11.3.3.4.1): 
a) Quando 30% da ação do vento for maior que a ação do desaprumo, considera-se somente a ação do 
vento. 
b) Quando a ação do vento for inferior a 30% da ação do desaprumo, considera-se somente a ação do 
desaprumo, respeitando-se a consideração de (𝜃1,𝑚𝑖𝑛), como definido acima. 
c) Nos demais casos, combina-se a ação do vento e o desaprumo, sem necessidade da consideração do 
(𝜃1,𝑚𝑖𝑛). Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações atuando na mesma direção e 
sentido como equivalentes a uma ação do vento, portanto, uma carga variável, artificialmente 
amplificada para cobrir a superposição. 
A comparação pode ser feita com os momentos totais na base da construção e em cada direção e 
sentido da aplicação da ação do vento, com desaprumo calculado com (𝜃𝑎 ), sem a consideração do 
(𝜃1,𝑚𝑖𝑛). 
 
 
39 
 
Resumindo as recomendações da norma, teremos, de acordo com a relação entre os momentos gerados 
na base da edificação pelas duas situações (Figura 15): 
 
 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 < 0,30 . 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑟𝑢𝑚𝑜 − 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠ó 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑟𝑢𝑚𝑜, 𝑐𝑜𝑚 (𝜃1,𝑚𝑖𝑛) 
 
 0,30 . 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑟𝑢𝑚𝑜 ≤ 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 ≤ 3,33 . 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑟𝑢𝑚𝑜 −
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠, 𝑠𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 (𝜃1,𝑚𝑖𝑛) 
 
 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 > 3,33 . 𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑟𝑢𝑚𝑜 − 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠ó 𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
 
_______________________________________________ 
Figura 15: Imperfeição geométrica global e ação do vento 
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 
Os momentos na base da edificação são calculados pelas expressões a seguir: 
𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∑ 𝐹𝑖. 𝑦𝑖 
𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑑𝑒𝑠𝑎𝑝𝑟𝑢𝑚𝑜 = ∑ 𝑁𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑖 
 
O desaprumo não precisa ser considerado para os estados limites de serviço. 
De acordo com as práticas recomendadas do IBRACON, nas estruturas do Nível 1 (estruturas muito 
simples, de até 4 pavimentos, regulares, sem protensão, submetidas a sobrecargas nunca superiores a 3 
kN/m2, com altura de pilares de até 4 m e vãos não excedendo 6 m), a consideração do vento poderá ser 
omitida, desde que as prescrições para o dimensionamento dos pilares sejam rigorosamente obedecidas. 
Para que isto seja possível, é indispensável a existência de contraventamento em duas direções no conjunto 
estrutural, e a estrutura não pode estar situada em ambiente quimicamente agressivo. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
Cálculo do desaprumo global 
𝜃1 = 
1
100 . √ℓ
 𝜃𝑎 = 𝜃1 . √
1 + 1 𝑛⁄
2
 
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 = 
1
300⁄ = 0,0033 𝑒𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖çõ𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑖𝑠 
𝜃1 = 
1
100 . √ℓ
= 
1
100 . √23,8
= 
1
487,85
 ≥ 𝜃1,𝑚𝑖𝑛 =
1
300
 
 
𝜃𝑎,𝑥 = 𝜃1 . √
1 + 1 𝑛⁄
2
= 
1
300
 . √
1 + 1 4⁄
2
= 0,0026 𝑟𝑎𝑑 
 
𝜃𝑎,𝑦 = 𝜃1 . √
1 + 1 𝑛⁄
2
= 
1
300
 . √
1 + 1 2⁄
2
= 0,0029 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
Para cada pavimento o deslocamento é obtido multiplicando-se a pela altura correspondente. 
 
 
Concreto_Armado_-_Projeto_e_Dimensionamento_-_Proj-Final_Formas_e_Armacao.pdf
Planta de fôrmas 
 
 
 
Elevação transversal 
 
Reações das lajes nas vigas 
 
Armadura positiva das lajes 
 
Armadura negativa das lajes 
 
Armadura negativa nos bordos extremos das lajes L1 e L3 
 
Concreto_Armado_-_Projeto_e_Dimensionamento_-_Proj-Final_Lajes.pdf
1 
 
PROJETO FINAL - Memória de Cálculo 
 
 
 
 
1 – Cálculo das Lajes 
 
1.1 – Determinação do carregamento atuante na laje 
 
 Peso próprio: g1 = 0,13 x 2,5 = 0,325 t/m
2
 
 Revestimento: g2 = 0,150 t/m
2
 
 Sobrecarga: q = 0,200 t/m2 
 
 Carga total: p = 0,325 + 0,150 + 0,200 então, p = 0,675 t/m2 
 
 
 
1.2 – Determinação das reações das lajes nas vigas 
 
Laje L1 = Laje L3 
 
 
2 
 
 
 
V1a = V5a = 8,84 x 0,675 / 7,15 = 0,83 t/m 
 
V6 = 9,01 x 0,675 / 6,50 = 0,94 t/m 
 
V7 = 15,67 x 0,675 / 6,50 = 1,63 t/m 
 
 
 
Laje L 2 
 
 
 
 
 
 
V1b = 3,44 x 0,675 / 7,10 = 0,33 t/m 
 
V2 = 8,06 x 0,675 / 3,50 = 1,55 t/m 
 
V3 = V4 = 0,47 x 0,675 / 1,80 = 0,18 t/m 
 
V7 = V10 = 3,80 x 0,675 / 4,525 = 0,57 t/m 
 
V8 = V9 = 1,2 x 0,675 / 3,80 = 0,21 t/m 
 
 
 
A representação das cargas das lajes nas vigas encontra-se em Arquivo Anexo.
3 
 
 
 
1.3 – Determinação dos momentos nas lajes (Tabela de Marcus) 
 
Laje L1 = Laje L3 
 
Tabela 2 
 
Ly / Lx = 6,30 / 6,95 = 0,91 >>>>> mx = 35,04 
nx = 12,67 
my = 35,16 
 
qlx
2 
= 0,675 x 6,95
2 
= 32,60 
 
Momentos positivos: 
 
Mx
+ 
= 32,60 / 35,04 = 0,93 mt/m 
 
My
+ 
= 32,60 / 35,16 = 0,92 mt/m 
 
Momento Negativo: 
 
Mx
- 
= 32,60 /12,67 = 2,57 mt/m 
 
 
Laje L2 
 
Ly / Lx = 2,50 / 7,10 = 0,35 < 2 Armada em uma direção 
q = 0,675 q = 0,675 
Ly = 2,50 
 
 
Momentos positivos: 
 
My
+ 
= ql
2 
/ 8 = 0,675 x 2,50
2
 / 8 = 0,53 mt/m 
 
Mx
+ 
= ql
2 
/ 14,22 = 0,675 x 1,80
2
 / 14,22 = 0,15 mt/m 
 
Momento Negativo 
 
Mx
- 
= ql
2 
/ 8 = 0,675 x 1,802 / 8 = 0,27 mt/m 
4 
 
 
1.4 – Momentos Negativos a serem considerados nas lajes: 
 
Os momentos negativos a serem considerados sobre as vigas será o maior dos valores, entre: 
a) A média dos momentos 
b) 80% do maior 
 
No caso, o negativo da laje L2 com as lajes L1 e L3, tem: 
(2,57 + 0,27) / 2 = 1,42 mt/m 
80% de 2,57 = 2,06 mt/m 
 
1.5 – Cálculo das armaduras das Lajes 
 
As armaduras por faixas de largura unitária (metro) nas lajes serão calculadas com a utilização da 
Tabela de KMD do Capítulo 6, considerando: 
 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 .𝑑2 .𝑓𝑐𝑑
 z = KZ x d 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
 
 
Onde: fcd = 300 / 1,4 = 2143 Kgf / cm2 e fyd = fyk / 1,15 = 4348 Kgf / cm2 
 
Sendo: 
Md = 1,4 x Mk 
bw = 1 m = 100 cm 
d = h – 2cm = 11cm 
 
 
Taxa de Armadura Mínima 
 
As armaduras devem respeitar os valores mínimos recomendados pela NBR 6118/ 2014, 
conforme a tabela: 
 
 
 
ρmin = 0,15%. 
 
Para b = 100 cm h =13cm, vem: 
 
Asmin = 0,15 x 13 = 1,95 cm
2
/m (∅ 6,3 𝑐. 15 𝑐𝑚) 
 
5 
 
Momentos positivos: 
Laje L1 = L3 
Mx
+ 
= My
+ 
= 0,93 mt/m >>>> Md = 1,30 mt/m >>>> As
+ 
= 2,80 cm
2
/m (∅ 8,0 𝑐. 15 𝑐𝑚) 
 
 
 
 
Laje L2 
 
My
+ 
= 0,53 mt/m 
 
 
>>>> 
 
 
Md = 0,74 mt/m 
 
>>>> As
+ 
= 1,59 cm
2
/m < Asmin = 1,70 cm
2
/m 
Mx
+ 
= 0,15 mt/m >>>> Md = 0,29 mt/m >>>> As
+ 
= 0,62 cm
2
/ m < Asmin = 1,70 cm
2
/m 
 
 
Momento Negativo: 
 
Mx
- 
= 2,06 mt/m >>>> Md = 2,88 mt/m >>>> As
- 
= 6,47 cm
2
/m ( 10 – c. 125) 
 
Comprimento horizontal das barras: 25% x ℓ + 10 = 0,25 x 6,30 + 10 x 1,0 = 170 cm, sendo ℓ 
o menor dos menores lados das lajes adjacentes. 
 
Armadura Negativa nos bordos extremos das Lajes L1 e L3: 
 
Asmin = 0,67 x 0,15 x 13 = 1,31 cm
2
/m (∅ 6,3 𝑐. 20 𝑐𝑚) 
 
Comprimento horizontal das barras: 15% x ℓ + 0,15m = 0,15 x 630 + 15 = 110 cm, sendo ℓ 
medido a partir da face da viga. 
 
Armadura será disposta ao longo das três bordas extremas das lajes L1 e L3: 
 
4 x 6,95m + 2x5,6m = 25,1m 25,1m/0,20m = 125 (∅ 6,3 𝑐. 20 𝑐𝑚) 
 
 
1.6 – Detalhamento das armaduras das Lajes 
 
O detalhamento das armaduras das lajes encontra-se em anexo. 
Concreto_Armado_-_Projeto_e_Dimensionamento_-_Proj-Final_Vigas.pdf
 
1 
PROJETO FINAL - Memória de Cálculo 
 
 
2 – Cálculo das vigas 
 
2.1 – Determinação do carregamento atuante nas vigas: 
 
A carga total distribuída nas (vigas carga / metro linear) é a soma do peso próprio, 
com a carga de alvenaria e com a reação da laje. 
Eventualmente podemos ter a carga de escada que se apóia na viga, que é o caso da viga V2 do 
nosso projeto. 
Além da carga distribuída podemos ter na viga cargas concentradas, como é o caso das vigas V7 
e V8, que servem de apoio para a viga V3, e das vigas V9 e V10, que apóiam a viga V4. 
 
 Peso próprio: 
vigas de 20 x 60: 0,20 x 0,60 x 2,5 = 0,30 t/m 
vigas de 20 x 50: 0,20 x 0,50 x 2,5 = 0,25 t/m 
vigas de 15 x 35: 0,15 x 0,35 x 2,5 = 0,13 t/m 
 
 Alvenaria: 0,15 x 2,20 x 1,3 = 0,43 t/m 
 
 Reação da Laje: representada na planta, de arquivo anexo em t/m. 
 
Para a reação da escada na viga V2 foi considerado uma carga total na escada de 800 Kgf/m2, 
que dá na viga: 2 x (0,800 x 4,00 / 2) = 3,2 t/m. 
 
- Viga V1 – 20 x 60 
 
 1,56 t/m 1,06 t/m 1,56 t/m 
 
 (P1) 4,66 t 6,48 t (P2) 3,76 t 3,76 t (P3) 6,48 t 4,66 t (P4) 
 
 
- Viga V2 – 20 x 50 
 
 5,00 t/m 
 
(P5) 8,95 t L = 3,5 m (P6) 8,95 t 
 
 
- Viga V3 = V4 – 15 x 35 
 
 0,31 t/m 
 
(V7) 0,28 t L=1,80m (V8) 0,28 t 
 
 
2 
- Viga V6 = V11 – 20 x 60 
 
 1,67 t/m 
 
(P7) 5,05 t L=6,05m (P1) 5,05 t 
 
 
- Viga V7 = V10 – 20 x 60 
 
 V3 = 0,28 t 2,93 t/m 
 
(P8) 8,78 t L=5,85m (P2) 8,64 t 
 
 
- Viga V8 = V9 – 20 x 50 
 
 V3 = 0,28 t 0,89 t/m 
 
(P9) 1,68 t L=3,45m (P5) 1,66 t 
 
 
2.2 – Determinação dos esforços nas vigas 
 
- Viga V1 – 20 x 60 
 
 M- = 6,66 mt M- = 6,66 mt 
 
 (P1) 4,66 t 6,48 t (P2) 3,76 t 3,76 t (P3) 6,48 t 4,66 t (P4) 
 
 M+ = 6,96 mt M+ = 0,01 mt M+ = 6,96 mt 
 
 
 
- Viga V2 – 20 x 50 
 
 
(P5) 8,95 t M+ = 7,65 mt (P6) 8,95 t 
 
 
- Viga V3 = V4 – 15 x 35 
 
 
(V7) 0,28 t M+ = 0,13 mt (V8) 0,28 t 
 
- Viga V6 = V11 – 20 x 60 
 
3 
 
 
(P7) 5,05 t M+ = 7,64 mt (P1) 5,05 t 
 
 
- Viga V7 = V10 – 20 x 60 
 
 
(P8) 8,78 t M+ = 12,74 mt (P2) 8,64 t 
 
 
- Viga V8 = V9 – 20 x 50 
 
 
(P9) 1,68 t M+ = 1,54 mt (P5) 1,66 t 
 
 
2.3 – Cálculo das Armaduras das Vigas 
 
2.3.1 – Armaduras de flexão 
 
As armaduras das vigas serão calculadas com a utilização da Tabela de KMD do Capítulo 6, 
considerando: 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 .𝑑2 .𝑓𝑐𝑑
 z = KZ x d 
 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑧 . 𝑓𝑦𝑑
 
 
 
Onde: fcd = 300 / 1,4 = 2143 Kgf / cm2 e fyd = fyk / 1,15 = 4348 Kgf / cm
2 
 
Sendo: 
Md = 1,4 x Mk 
 
A armadura mínima de flexão é obtida da Tabela 6.5 (Capítulo 6). No caso do nosso projeto 
que tem fck = 300 Kgf /cm2 (30 MPa), a armadura mínima de flexão é Asmin = 0,15% b h. 
 
Armadura das vigas: 
 
Viga V1 - 20 x 60 
M - = 6,66 mt e M + = 6,96 mt > >>> Md = 9,74 mt >>>> As = 4,18 cm2 (Asmin = 1,8 cm
2) 
 
Viga V2 - 20 x 50 
M + = 7,65 mt > >>> Md = 10,95 mt >>>> As + = 5,9 cm2 (Asmin = 1,5 cm
2) 
 
 
 
4 
Viga V3 = V4 - 15 x 35 
M + = 0,13 mt >>>> Asmin = 0,15% x 15 x 35 = 0,8 cm
2 
 
 
Viga V6 = V7 = V10 = V11 – 20 x 60 
M + = 12,74 mt > >>> Md = 17,84 mt
>>>> As + = 8,0 cm2 
 
 
Viga V8 = V9 – 20 x 50 
M + = 1,54 mt > >>> Md = 2,16 mt >>>> Asmin = 1,5 cm
2 
 
 
Obs: As vigas V6, V7, V10 e V11, que formam os pórticos transversais para combater o efeito 
do vento, terão armaduras em suas faces superiores nas ligações com os pilares. 
 
 
2.3.2 – Armaduras de cisalhamento 
 
Inicialmente verificamos se há esmagamento da biela de concreto: 
 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
 
Onde 
 
VRd2 = 0,27 . 𝛼v2 . fcd . bw . d 
 
onde 𝛼v2 = (1 – fck/250) (fck em MPa) 
 
 
 
O esforço cortante máximo ocorre nas vigas V7 = V10, onde VSd = 1,4 x 8,64 = 12,1 t 
 
VRd2 = 0,27 . 𝛼v2 . fcd . bw . d = 0,27x(1–30/250)x2.143x0,20x0,56 = 57,0 t 
 
VSd = 12,1 t << VRd2 = 57,0 t biela comprimida OK 
 
 
Vc = Vco = 0,6 . fctd . bw . d = 0,6 x 203 x 0,20 x 0,56 = 13,6 t 
 
 
fctd = fctk,inf / c = 0,7 fctm / c = 0,7 x 0,3 √𝑓𝑐𝑘2
3 / c = 2,03 MPa 
 
VSd = 12,1 t < Vc = Vco = 13,6 t Armadura mínima de cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
2.3.3 – Armadura de pele (costelas) 
 
Para vigas de altura h = 60 cm, podemos dispensar a armadura de pele. 
 
 
 
3 – Cálculo dos pilares 
 
3.1 – Reação das vigas nos pilares 
 
As reações das vigas nos pilares estão mostradas nos esquemas de cálculo do tiem 2.1, fls. 1 a 
3. 
 
 
3.2 – Mapa de carga dos pilares 
 
Para a obtenção das cargas nos pilares faz-se o somatório das cargas, em cada pavimento, 
somando com o peso próprio do pilar. 
 
 No caso dos pórticos temos que obter, em cada pavimento, os valores dos momentos devidos 
ao vento. 
 
No caso do pilar P2 (20 x 65), a carga do pavimento tipo é N = 6,84 + 3,76 + 8,64 = 19,24 t, e 
o peso próprio 0,20 x 0,65 x 2,80 x 2,5 = 0,91 t. 
 
 
3.3 – Dimensionamento dos pilares 
 
Para o dimensionamento dos pilares podemos empregar os Ábacos do Montoya. Conforme 
Capítulo 14, os parâmetros de entrada 𝜈 𝑒 𝜇, e a armadura Astot são obtidos pelas expressões 
abaixo: 
 
𝜐 = Nd 
 Ac x fcd 
 
𝜇 = Nd x e0 
 Ac x h x fcd 
 
Astot = Ac x fcd x 𝜔 
 fyd