Mecanica dos Sólidos - Transparências do curso - Engenharia Mecânica PUCPR - 04

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MecSol I
Forças em
Vigas
Forças internas nos
elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Mecânica dos Sólidos - I
FORÇAS INTERNAS
Emílio Eiji Kavamura, MSc
PUC PR
ESCOLA POLITÉCNICA
Engenharia Mecânica
MecSol I A, 2014
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MecSol I
Forças em
Vigas
Forças internas nos
elementos
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Cortante e
Momento Fletor
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TÓPICOS
1 Forças em Vigas
Forças internas nos elementos
Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor
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Forças em
Vigas
Forças internas nos
elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
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Forças internas nos elementos - forças paralelas e opostas
Considere uma barra reta AB
submetida a duas forças
paralelas e opostas em A e B.
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elementos
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Cortante e
Momento Fletor
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Forças internas nos elementos - forças paralelas e opostas
Cortando o membro AB em C.
desenhando o diagrama de
corpo livre da porção AC
as forças internas que
existem no membro AB em
C são equivalentes as forças
axiais -F igual e oposta à F.
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elementos
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Forças internas nos elementos - forças múltiplas
ATENÇÃO
Para um membro onde as forças não estão alinhadas com o
eixo, as forças internas se reduzem a um sistema
força-binário e não somente a um sistema simples de forças.
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Forças internas nos elementos - forças múltiplas
Considerando um membro com
múltiplas forças em AD;
Cortando-o em J ;
Desenhando o diagrama de
corpo livre da porção JD;
Conclui-se que as forças internas em
J são equivalentes à um sistema
força-binário consistindo de

uma força axial F,
uma força cortante V,
um momento fletor M.
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Momento Fletor
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Forças internas no corte
No ponto J :
A intensidade da força
cortante mede o
cisalhamento V ,
o momento do binário é o
momento fletor, M.
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Momento Fletor
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DEFINIÇÃO - VIGAs (na Mecânica - Eixos)
São, usualmente, barras
longas prismáticas e retas,
projetadas para suportar
cargas aplicadas em vários
pontos ao longo de seu
comprimento.
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DEFINIÇÃO - VIGAs (na Mecânica - Eixos)
cargas perpendiculares
ao eixo da viga causarão
somente cisalhamento e
flexão;
cargas oblíquas com o
eixo da viga, produzem
também forças axiais.
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DEFINIÇÃO - VIGAs (na Mecânica - Eixos)
As cargas podem ser:
concentradas em pontos
específicos,
distribuídas ao longo de
todo o comprimento, ou
apenas em uma porção
da viga.
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EFEITO DO CARREGAMENTO EM VIGAS
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TIPOS DE APOIOS DE VIGAS
Uma viga pode ser suportada
de diversas maneiras.
Como estamos tratando de
vigas estaticamente
determinadas, a análise é
feita nas vigas
simplesmente apoiadas,
vigas engastadas, e
simplesmente apoiadas
com balanço.
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TIPOS DE APOIOS DE VIGAS
Uma viga pode ser suportada
de diversas maneiras.
Como estamos tratando de
vigas estaticamente
determinadas, a análise é
feita nas vigas
simplesmente apoiadas,
vigas engastadas, e
simplesmente apoiadas
com balanço.
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PROCEDIMENTO PARA DETERMINAÇÃO DAS
FORÇAS INTERNAS
Supondo cargas
perpendiculares ao eixo da
viga (N=O).
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PROCEDIMENTO PARA DETERMINAÇÃO DAS
FORÇAS INTERNAS
Para obter

V
M
em um ponto C da viga:
1 determinar as reações nos suportes considerando o DCL
de toda a viga;
2 cortar a viga em C ;
3 usar o DCL de uma das 2 porções para determinar Ve
M.
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CONVENÇÃO DE SINAIS
A convenção de sinal para a força cortante positiva e para o
momento são mostrados na figura.
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DIAGRAMAS DE FORÇAS INTERNAS
Uma vez que os valores de V e M são determinados para
diversos pontos da viga, portanto é possível esboçar
um diagrama de força cortante V(x) e
umdiagrama de momento fletor M(x)
onde x é a posição ao longo do eixo da viga.
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DIAGRAMAS DE FORÇAS INTERNAS
Exemplo de construção de
diagrama de força cortante e
momento fletor.
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Cortante e
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Exemplo de construção de
diagrama de força cortante e
momento fletor.
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Cortante e
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
Determinar os diagramas de esforços cortante e momento
fletor para o elemento abaixo representado:
eek.edu@outlook.comx
y
2m 3m
F = 50kN
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Cortante e
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
I- Determinar as reações de apoio;
eek.edu@outlook.comx
y
2m 3m
F = 50kN
AyAx
By
∑ Fx = 0 Ax = 0∑MA = 0 −2 · F + 5 · By = 0 By = 20kN∑ Fy = 0 Ay + By − 50 = 0 Ay = 30kN
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
II- Efetuar o corte;
eek.edu@outlook.comx
y
2mAy =30 kN
Ax = 0
N
V
M
x
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Cortante e
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
III- Estabelecer o equilíbrio.
eek.edu@outlook.comx
y
2mAy =30 kN
Ax = 0
N
V
M
x
∑ Fx = 0 Ax + N = 0 N = 0∑Mx = 0 −xAy +M = 0 M = xAy M = 30x kN∑ Fy = 0 −Ay + V = 0 V = 30kN
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
III- Estabelecer o equilíbrio.
eek.edu@outlook.comx
y
2m 3m
F = 50kN
Ay =30 kN
Ax = 0
N
V
M
x
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
III- Estabelecer o equilíbrio.
eek.edu@outlook.comx
y
2m 3m
F = 50kN
Ay =30 kN
Ax = 0
N
V
M
x
∑ Fx = 0 Ax + N = 0 N = 0∑Mx = 0 −xAy + (x − 2)50 +M = 0 M = 100− 20x kN∑ Fy = 0 −Ay + 50 + V = 0 V = −20kN
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Exemplo de determinação dos diagramas V e M
Trecho(m)
Força/
Mo-
mento
Equação
0 ≤ x ≤ 2
N 0
V 30
M 30x
3 ≤ x ≤ 5
N 0
V −20
M 100− 20x
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
N (kN)
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho
Força/
Mo-
mento
Equação
0 ≤ x ≤ 2
N 0
V 30
M 30x
3 ≤ x ≤ 5
N 0
V -20
M 100-20x
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
V (kN)
V
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho
Força/
Mo-
mento
Equação
0 ≤ x ≤ 2
N 0
V 30
M 30x
3 ≤ x ≤ 5
N 0
V -20
M 100-20x
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
M (kNm)
M
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho
Força/
Mo-
mento
Equação
0 ≤ x ≤ 2
N 0
V 30
M 30x
3 ≤ x ≤ 5
N 0
V -20
M 100-20x
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
V (kN)M (kNm)
M
V
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 2 V 30M 30x
3 ≤ x ≤ 5 V -20M 100− 20x
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
V (kN)M (kNm)
30
M
V
θ1
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 2 V 30M 30x
3 ≤ x ≤ 5 V -20M 100− 20x
tan θ1 =
60− 0
2− 0 = 30
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
V (kN)M (kNm)
30
-20
M
V
θ1 θ2
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 2 V 30M 30x
3 ≤ x ≤ 5 V -20M 100− 20x
tan θ1 =
60− 0
2− 0 = 30
tan θ2 =
60− 0
2− 5 = −20
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Momento Fletor
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DIAGRAMAS N, V e M - Força concentrada
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x(m)
V (kN)M (kNm)
30
-20
M
V
θ1 θ2
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Trecho F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 2 V 30M 30x
3 ≤ x ≤ 5 V -20M 100− 20x
tan θ1 =
60− 0
2− 0 = 30
tan θ2 =
60− 0
2− 5 = −20
tan θ = dMdx V =
dM
dx
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ANÁLISE PARA FORÇA CONCENTRADA
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Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
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Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
Determinar os diagramas de esforços cortante e momento
fletor para o elemento abaixo representado:
eek.edu@outlook.comx
y
2m 3m
4 kN/m
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Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
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Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
I- Determinar as reações de apoio;
eek.edu@outlook.comx
y
2m 3m
20kN2.5 m 4 kN/m
AyAx
By
∑ Fx = 0 Ax = 0∑MA = 0 −2.5 · (4 · 5) + 5 · By = 0 By = 10kN∑ Fy = 0 Ay + By − 50 = 0 Ay = 10kN
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Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
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Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
II- Efetuar o corte;
eek.edu@outlook.comx
y
2m
x mx · 4kN
Ay =10 kN
Ax = 0
N
V
M
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Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
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Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
III- Estabelecer o equilíbrio.
eek.edu@outlook.comx
y
2m
x mx · 4kN
Ay =10 kN
Ax = 0
N
V
M
∑Fx = 0 Ax + N = 0 N = 0∑Mx = 0 −xAy + 4x x2 +M = 0 M = 10x − 2x 2 kNm∑Fy = 0 −Ay + 4 · x + V = 0 V = −4x + 10kN
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Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
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Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
Trecho(m) F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 5
N 0
V -4x+10
M −2x2 + 10x
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elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
Trecho(m) F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 5
N 0
V -4x+10
M −2x2 + 10x
tan θ1 =
dM
dx = V
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Vigas
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elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Diagramas N, V e M - carregamento uniforme
Trecho(m) F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 5
N 0
V -4x+10
M −2x2 + 10x
tan θ1 =
dM
dx = V
dV
dx = −4 = −ω
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Vigas
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elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
DIAGRAMAS N, V e M - carregamento uniforme
Trecho
Força/
Mo-
mento
Equação
0 ≤ x ≤ 5
N 0
V 10− 4x
M 10x − 2x2
tan θ1 =
dM
dx = V
dV
dx = −4 = −ω
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Vigas
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elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
DIAGRAMAS N, V e M - carregamento linear
Determinar os diagramas de esforços cortantee momento
fletor para o elemento abaixo representado:
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y
5m
4 kN/m
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Vigas
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elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Exemplo de determinação dos diagramas V e M
Força equivalente do carregamento;
eek.edu@outlook.com x
y
5m
4 kN/m10kN
2
3·5 m
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Forças em
Vigas
Forças internas nos
elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Exemplo de determinação dos diagramas V e M
I- Determinar as reações de apoio;
eek.edu@outlook.com x
y
5m
4 kN/m10kN
2
3·5 m
AyAx By
∑ Fx = 0 Ax = 0
∑MA = 0 −23 ·
(4 · 5)
2 + 5 · By = 0 By =
4
3kN
∑ Fy = 0 Ay + By − 10 = 0 Ay = 263 kN
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elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Exemplo de determinação dos diagramas V e M
II- Efetuar o corte;
eek.edu@outlook.com x
y
5m
x m0.4x
2 kN
Ay = 263 kN
Ax = 0
N
V
M
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Vigas
Forças internas nos
elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Exemplo de determinação dos diagramas V e M
III- Estabelecer o equilíbrio.
eek.edu@outlook.com x
y
5m
x m0.4x
2 kN
Ay = 263 kN
Ax = 0
N
V
M
∑ Fx = 0
Ax + N = 0
N = 0
∑
Mx = 0 −xAy + 410x
2x
3 +M = 0 M =
26
3 x −
4
30x
3 kNm
∑
Fy = 0 −Ay + 410x
2 + V = 0 V = − 410x
2 + 263 kN
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Forças em
Vigas
Forças internas nos
elementos
Diagramas de Força
Cortante e
Momento Fletor
PUC PR
Diagrama de N, V e M
Trecho(m) F ou M Equação
0 ≤ x ≤ 5
N 0
V 263 − 410x2
M 263 x − 430x3
tan θ1 =
dM
dx = V
dV
dx = −ω
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