atividade estruturada Probabilidade

Prévia do material em texto

Universidade Estácio de Sá 
Engenharia Mecânica 
Probabilidade e Estatística aplicado a engenharia 
Marcia Machado
 
 
 
Atividade estruturada: Probabilidade e Estatística 
Rio de Janeiro
2016
ATIVIDADE 1
Dar cinco exemplos da utilização da estatística. Variáveis qualitativas e quantitativas. Construir as tabelas de frequência para as variáveis criadas utilizando a planilha do Excel. 
A estatística é usada para descobrir a média de idade de pessoas, descobrir a taxa de natalidade em um país, descobrir a probabilidade de uma equipe ganhar um campeonato, entre outras utilizações.
Ex: pegamos um grupo de jovens, afim de saber a média de quantos livros eles costumam ler por mês, para que tivéssemos dados que demonstrasse que alguns jovens tem mais habito de ler do que outros jovens. Foram obtidos os seguintes dados:
	 JOVENS COM UMA CERTA IDADE QUE LEEM UMA CERTA QUANTIDADE DE LIVROS EM MESES
	IDADES
	SEXO
	ESCOLARIDADE
	QTDE LIVROS
	QTDE MESES
	FREQUÊNCIA (f)
	FREQUÊNCIA ACUMULADA (fa)
	 
	 
	 
	 
	
	 
	 
	17|---21
	M
	ENSINO MÉDIO
	15
	4
	19
	19
	21|---25
	F
	ENSINO SUPERIOR
	20
	2
	22
	31
	 
	 
	 
	35
	 
	41
	 
	IDADES
	
	 
	Variável quantitativa contínua 
	17|---21
	
	21|---25
	
	
	
	SEXO
	
	 
	Variável qualitativa nominal
	M
	
	F
	
	
	
	ESCOLARIDADE
	
	 
	Variável qualitativa ordinal
	ENSINO MÉDIO
	
	ENSINO SUPERIOR
	
	
	
	QTDE MESES
	
	 
	
	4
	Variável quantitativa contínua
	2
	
	 
	
	
	
	QTDE LIVROS
	
	 
	
	15
	Variável quantitativa discreta
	20
	
ATIVIDADE 2
O aluno deverá calcular as medidas de posição, utilizando a planilha do Excel. Deverá calcular as medidas de dispersão e analisar a variabilidades utilizando as funções da planilha Excel.
ATIVIDADE 3
Exemplificar 5 experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais. Exemplificar também 5 pares de eventos mutuamente excludentes.
Exemplo 1: Qual a probabilidade de se obtermos uma corou em uma única jogada de uma moeda honesta?
S={cara, coroa}
A={deu coroa}
P(A) = ½ ou 50%
Exemplo 2: Qual a probabilidade de se obtermos o total de 6 pontos na jogada de 2 dados honestos?
S={36 resultados possíveis}
A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
P(A) = 5/36
Exemplo 3: Três moedas são lançadas simultaneamente, qual a probabilidade de se obter 2 caras?
S={(CCC), (KKK), (CCK), (KKC), (CCK), (KCK), (KCC), (CKK)}
A={(KKC), (CKK), (KCK)}
P(A) = A/Ω = 3/8
Exemplo 4: Qual a probabilidade de sair uma figura (valete, dama ou rei) na retirada de uma única carta de um baralho comum com 52 cartas?
S={52 resultados possíveis}
A={a carta retirada é uma figura}
P(A) = 12/52
Exemplo 5: Se dois dados são lançados, qual é a probabilidade de que a soma das faces de cima seja igual a 7?
S={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(2,5), (2,6)...(6,6)}
S= 6x6 = 36 
A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
A= 6
P(A)= 6/36 = 1/6
Criar um problema em que a resolução envolva o teorema da soma. Demonstre a solução desse problema criado. 
Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas e, ao mesmo tempo, uma moeda é lançada. Qual a probabilidade de ser obter uma carta carta vermelha ou uma cara?
Devemos considerar 3 casos: 
carta vermelha e cara
carta vermelha e coroa
carta preta e cara
Note que num baralho de 52 cartas há 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas. Logo a probabilidade de tirarmos uma carta vermelha ou carta preta e de 26/52 = ½. 
Considerando que a moeda é honesta, a probabilidade de obtermos cara em um lançamento e de ½ , e a probabilidade de se obtermos coroa também é ½ .
Cada um dos três casos acima tem probabilidade de ocorrência igual a ½ x ½ = ¼. Portanto, a probabilidade pedida é ¼+ ¼ + ¼ = ¾.
Ciar um problema em que a resolução envolva o teorema da probabilidade condicional. Demonstre a resolução desse problema criado.
Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?
Podemos resolver o exercício utilizando o principio fundamental da contagem. Observe que a cartela contem 24 números entre um universo de 75 que serão sorteados. A chance dos três primeiros números dessa cartela serem sorteados nas três primeiras rodadas resta a seguinte ordem: 
P = 24 x 23 x 22 . 75 74 73
 P = 12144 . 405150
 P = 0,03
1º sorteio: 24/75 2º sorteio: 23/74 3º sorteio: 22/73
Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos.
A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela são: 3%
Exemplificar uma situação que envolva eventos independentes.
Suponha que um jogador participa de um torneio de xadrez onde sua probabilidade de vitória é 0,3 contra metade dos jogadores (chame-os do tipo 1), 0,4 contra um quarto dos jogadores (chame-os do tipo 2) e 0,5 contra o um quarto dos jogadores restantes (chame-os do tipo 3). O jogador disputa uma partida contra um oponente selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade dele vencer?
Seja Ai o evento de jogar com um oponente do tipo i. Temos então que:
P(A1) = 0,5; P(A2) = 0,25; P(A3) = 0,25.
Seja B o evento vitória. Então temos:
P(B|A1) = 0,3; P(B|A2) = 0,4; P(B|A3) = 0,5.
Assim pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade de vitória é:
P(B)= P(A1).P(B|A1)+ P(A2).P(B|A2)+ P(A3). P(B|A3)
P(B)= 0,5x0,3+0,25x0,4+0,25x0,5 = 0,375
Ou seja, a probabilidade do jogador vencer a partida é de 37,5%. O teorema da probabilidade total com frequência é usado em conjunto com o seguinte teorema, chamado de Teorema de Bayes, que relaciona probabilidade condicionais da forma P(A|B) com probabilidade condicionais da forma P(B|A), em que a ordem da condicionalidade é reversa.
ATIVIDADE 4
O aluno deverá criar um problema em que envolva a definição de variável aleatória. Construa, para essa variável, a distribuição de probabilidade e as suas respectivas medidas: média e desvio padrão.
Um variável aleatória pode ser entendida como areável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.
Tomando a distribuição de probabilidade dos acidentes com a empresa aérea em 7 acidentes pesquisados aleatoriamente:
Calcule: O número médio de acidentes com a empresa, a variância e o desvio padrão. 
	X
	P
	
	X
	P
	x.P(x)
	x²
	x².P(x)
	0
	0,21
	
	0
	0,21
	0
	0
	0
	1
	0,367
	
	1
	0,367
	0,367
	1
	0,367
	2
	0,275
	
	2
	0,275
	0.550
	4
	1,1
	3
	0,115
	
	3
	0,115
	0,345
	9
	1,035
	4
	0,029
	
	4
	0,029
	0,116
	16
	0,464
	5
	0,004
	
	5
	0,004
	0.020
	25
	0,1
	6
	0+
	
	6
	0+
	0
	36
	0
	7
	0+
	
	7
	0+
	0
	49
	0
	
	
	
	totais:
	∑P(x)=
	∑x.P(x)=
	 
	∑x².P(x)=
	
	
	
	 
	1
	1,398
	 
	3,066
Média: 1,398 acidentes
Variância: 1.1116 acidentes²
Desvio padrão: 1,05 acidentes 
ATIVIDADE 5
Criar um problema cuja solução utilize a Distribuição Binominal. Demonstre a resolução desse problema criado.
Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 11 pacientes realizarem a cirurgia qual a probabilidade de que todos sobrevivam?
n = 11 p = 0,90
q = 0,90 x = 11
P = (x=x) = (n/x).px . qn-x
P = (x=11) = (11/11) . 0,9011 . 0,900
P = 1 x 0,313810 x 1
P = 0,3138 ou 31,38%
Criar um problema cuja solução utilize a Distribuição de Poisson. Demonstre a resolução desse problema criado. 
Considere um processo que têm uma taxa de0,2 defeitos por unidade. Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar 2 defeitos?
Solução: 
X = 2 (número designado de defeitos )
λ = 0,2 (número médio de defeitos por unidades)
P(x) = e- λ . λx
 X!
P(x) = e- 0,2. (0,2)2 = 0,0164 ou 1,63%
 2!
Criar um problema cuja solução utilize a Distribuição Normal. Demonstre a resolução desse problema criado. 
Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
a)Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
1-0,93 = 0,0668.
A probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é 6,68%.