Aulas de Fisica Geral III

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Física Geral III 2012 
 
• Objetivos da disciplina Física III: 
 Levar o aluno a compreender os fenômenos gerados por cargas estáticas e suas interações. 
Entender e analisar os efeitos produzidos pela passagem da corrente elétrica em componentes de 
circuitos de corrente contínua. Adquirir conhecimentos sobre os fenômenos magnéticos gerados 
pela corrente elétrica e por materiais magnéticos e suas aplicações em circuitos elétricos. 
 
• Programa da disciplina: 
1. Carga elétrica: Lei de Coulomb. Campo elétrico. Potencial elétrico. 
2. Corrente Elétrica: Resistividade. Resistência. Força eletromotriz. Potência elétrica. Resistores 
em série e em paralelo. Circuitos de corrente contínua. Leis de Kirchhoff. 
3. Capacitância: Capacitores. Dielétricos. Capacitores em série e em paralelo. Circuitos R-C. 
4. Magnetismo: Campo magnético. Força magnética. Torque. Movimento de cargas. 
5. Fontes de Campo Magnético: Lei de Biot-Savart. Lei de Ampère. Aplicações da Lei de 
Ampère. Fluxo Magnético. Corrente de deslocamento. 
6. Indução Magnética: Lei de Faraday. Lei de Lenz. Força eletromotriz produzida pelo 
movimento. Campos elétricos induzidos. Correntes de Foucault. 
7. Indutância: Indutância mútua. Indutores e auto-indutância. Energia do campo magnético. 
8. Materiais Magnéticos: Paramagnetismo. Diamagnetismo. Ferromagnetismo. 
 
• Bibliografia mínima: 
• YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física. São Paulo: Pearson, 2003, v. 3. 
• KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1999, v. 2. 
• NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo: Edgard Blucher, 2002, v. 3 
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1996. v. 3. 
• TIPLER, P.A. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999. v. 2. 
• HENNIES, C. E.; GUIMARÃES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas Experimentais em Física. 
Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2. 
 
• Avaliação: 
• 2 provas escritas (P1 e P2). O assunto abordado no laboratório também faz parte da prova 
escrita. Se o aluno perder uma das duas provas (P1 ou P2), pode requerer, na secretaria, a 
realização de uma prova extra (P3) no final do semestre. Na P3 será abordado todo o assunto 
visto no semestre. 
• Relatórios das práticas realizadas no laboratório. 
• Listas de exercícios. 
• Pesos: Provas: 7. 
 Relatórios: 2. 
 Exercícios: 1. 
• Médias: 
Onde: MD = média da disciplina. 
MP = média das 2 provas. 
 MR = média dos relatórios. 
 ME = média dos exercícios. 
 
Se 0,6MD ≥ o aluno está aprovado na disciplina. 
 Se MD < 4,0 o aluno está reprovado na disciplina. 
Se 0,6MD0,4 <≤ o aluno está de Exame, que é realizado logo após a P3. 
 
• Os arquivos das Notas de Aulas, Roteiros para Laboratório e Listas de Exercícios serão 
disponibilizados no site das Faculdades Integradas Einstein de Limeira (FIEL). 
www.einsteinlimeira.com.br 
 
 
 
10
).2.7( MEMRMPMD ++= 
 2 
A Lei de Coulomb – Força elétrica 
 
• Cargas elétricas. 
Grécia Antiga, 600 a.C., o âmbar quando atritado com a lã, adquiria a propriedade de atrair 
objetos leves. 
• Cargas semelhantes repelem-se; cargas diferentes atraem-se. 
• Prótons: carga elétrica positiva; elétrons: carga elétrica negativa. 
• Corpo elétricamente neutro: a soma algébrica das cargas positivas do núcleo e das cargas 
negativas dos elétrons cancelam-se. 
• Corpo eletrizado: objeto que perdeu ou recebeu elétrons. 
• Condutores e isolantes. Nos condutores, os elétrons livres, mais externos, se movem de uma 
região à outra, o que não ocorre nos isolantes. 
• Eletrização por atrito, por contato ou por indução. 
• Eletrização por indução: 
• Lei de Coulomb: 
 
A interação elétrica entre duas partículas eletrizadas é descrita em termos das forças que elas 
exercem mutuamente. O módulo da força elétrica que a carga 1 exerce na carga 2, separadas por 
uma distância r, é dado por: 
 
2
21
r
qq
kF = 
 
onde F= força de atração ou repulsão entre as cargas, em newtons (N). 
 k=8,98755.109 N.m2.C-2 ≅ 9,0.109 N.m2.C-2 = constante eletrostática. 
 q1, q2 = carga elétrica da partícula, em coulomb (C). 
 r=distância entre as cargas elétricas, em metros (m). 
 A equação pode ser expressa, também, da seguinte forma: 
 
 
2
21
o r
qq
4
1F
πε
= 
 
 onde 
o4
1
πε
= k = 8,98755.109 N.m2.C-2 ≅ 9,0.109 N.m2.C-2 
 εo = 8,854185.10-12 C2.N-1.m-2 = permissividade do espaço livre (vácuo). 
• Módulo das cargas elétricas do elétron e do próton=1,602192.10-19 C ≅ 1,6.10-19 C. 
• Coulomb: 1 C é a quantidade de carga que passa pela área da seção transversal de um fio 
condutor em 1 segundo, quando circula pelo condutor uma corrente elétrica de 1 A. 
• Se várias forças atuam sobre uma carga elétrica, a força resultante sobre ela é determinada 
através da soma vetorial de todas as forças: 
 
 N321tetansulRe F....FFFF

++++= 
 
 
 3 
O Campo Elétrico 
 
• Campo, de uma maneira geral, é uma grandeza que pode ser associada à posição. Exemplo: a 
temperatura do ar em uma sala tem um valor específico em cada ponto. 
• Campos vetoriais: grandezas vetoriais definidas em cada ponto do espaço. A velocidade do vento 
na atmosfera terrestre e o campo gravitacional da Terra são exemplos de campos vetoriais. 
• Campo elétrico é a região de influência de uma carga elétrica, manifestada através da força 
elétrica que atua sobre uma carga de teste colocada neste campo. Define-se o campo elétrico E

, 
no ponto P, como a força F

 exercida pela carga q sobre a carga de teste q0, dividida por q0. 
 
O campo elétrico no ponto P: 
0q
FE


= 
Módulo do campo elétrico para uma carga puntiforme: 2
i
i
0
2
i
i
i r
q
4
1
r
qkE
πε
== 
 
Campo elétrico resultante num ponto P, devido ao campo elétrico de N cargas geradoras: 
 0i
N
1i
2
0i
i
N21
N
1i
iR rr
qkE......EEEE

∑=+++=∑=
==
 
 
A unidade de campo elétrico, no S.I., é o newton por coulomb (N/C). 
 
Exemplos de Campos Elétricos 
 E (N/C) E (N/C) 
Nos condutores elétricos domésticos 10-2 Num tubo de imagem de TV 105 
Nas ondas de rádio 10-1 No cilindro carregado de uma copiadora 105 
Na baixa atmosfera 102 Num tubo de raios X 106 
Na luz do sol 103 Rigidez dielétrica do ar 3x106 
Próximo a um pente de plástico carregado 103 No elétron de um átomo de hidrogênio 6x1011 
Numa nuvem de tempestade 104 Na superfície de um núcleo de urânio 2x1021 
Num raio 104 
 
Linhas de Campo Elétrico 
 
 As linhas de campo elétrico constituem um auxílio para visualizar o campo. A linha de campo 
é traçada de tal maneira que sua direção e sentido em qualquer ponto são os mesmos que os do 
campo elétrico nesse ponto. A figura a seguir mostra alguns exemplos de linhas de campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Exemplos de linhas de campo elétrico. (a) Partícula com carga positiva; (b) Partícula com carga 
negativa; (c) Dipolo; (d) Duas partículas com mesma carga positiva; (e) Duas partículas com cargas 
+2q e -q; (f) Disco carregado uniformemente. 
 
 
Energia Potencial Elétrica 
 
• Energia potencial de uma partícula de teste no campo elétrico de uma carga puntiforme. 
 
O trabalho realizado pela força elétrica para deslocar a carga de teste qo de a para b, é dado por: 
 
∫ ∫ ∫ 


−=∫====
b
a
b
a
r
r
r
ro
o
r
r
2
oo
2
o
oo
b
a
b
a
b
a r
1
4
qq
r
dr
4
qq
r4
drqqdl.Eqdl.Fw
επεπεπ

 
 






−=
bao
o
r
1
r
1
4
qqw
επ
 
 
 Como o trabalho é uma variação de energia potencial (U) que a carga de teste possui nos pontos 
a e b, temos: 
 






−=−
bao
o
ba r
1
r
1
4
qqUU
επ
 
 
 
 
 
 
 5 
• Energia potencial de uma carga de teste no campo elétrico de várias cargas puntiformes: 
 
 
U = U1 + U2 + U3 + .....+ Ui = ∑
i
i
o
o
r
q
4
q
επ
 
 A unidade de trabalho (w) e energia potencial (U), no S.I., é o joule (J). 
 
 
Potencial Elétrico 
 
• O potencial elétrico V em um ponto P é igual à energia potencial elétrica U de uma carga de teste 
no ponto P dividida pela carga de teste qo. 
 
oq
UV = 
 
• Potencial devido a partículas carregadas. 
 
∑=
i
i
o r
q
4
1V
επ
 
 onde ri é a distância entre a carga i e o ponto P. O potencial elétrico é dado, no S.I., em J/C que 
recebe o nome de volt (V). 
 
• Diferença de potencial. 
 
o
ba
ba q
UUVV −=− 
• Em um campo elétrico constante, a diferença de potencial entre os pontos a e b é dada por: 
 
xEVV ba ∆=− 
 
• Campo elétrico em termos do potencial: 
 
z
VE
y
VE
x
VE zyx ∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−= 
 Estas equações mostram que a unidade de campo elétrico também pode ser o volt/metro (V/m). 
 
• Superfícies Equipotenciais 
 
É uma superfície na qual o potencial é constante. A energia potencial de um corpo eletrizado é a 
mesma em todos os pontos desta superfície. Com isto, não há trabalho realizado para mover o 
corpo eletrizado em tal superfície. Portanto, a superfície equipotencial, em qualquer ponto, deve 
ser perpendicular ao campo elétrico neste ponto. 
 
 
 
 6 
 Figura mostrando as linhas de força do campo elétrico e as superfícies equipotenciais. 
 
Exemplos: 
 
• Lei de Coulomb: 
1. Três cargas puntiformes estão sobre o eixo x. A carga q1 = 25 nC está na origem, a q2 = -10 
nC em x = 2 m e a qo = 20 nC em x = 3,5 m. Determine a força resultante sobre qo exercida 
por q1 e q2. 
2. Uma carga de 5 µC é colocada em x=0, e uma segunda de 7 µC é colocada em x=100 cm. 
Em que posição deve se colocar uma terceira carga para que a força resultante sobre ela, 
devido às outras duas, seja nula? 
• Campo Elétrico: 
3. Quando uma carga de prova de 5 nC é colocada num certo ponto, sofre uma força de 2 x 10-4 
N na direção X. Qual o campo elétrico neste ponto ? 
4. Uma carga positiva q1 = 8 nC está na origem e uma outra carga positiva q2 = 12 nC está em 
x=4 m. (a) Determinar o campo elétrico deste sistema de cargas em x=7 m; (b) Determinar o 
ponto, sobre o eixo dos X, onde o campo elétrico é nulo. 
• Potencial Elétrico: 
5. Uma partícula cuja carga é q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B, ao longo de uma 
linha reta. A distância total é d = 0,5 m. O campo elétrico é uniforme ao longo desta linha, na 
direção de A para B, com módulo E = 200 N/C. Determinar a força sobre q, o trabalho 
realizado pelo campo e a diferença de potencial VA - VB. 
6. Cargas puntiformes de 12x10-9 C e -12x10-9 C são colocadas a 10 cm de distância, como 
indicado na figura. Calcular os potenciais nos pontos a, b e c. 
 7 
Corrente elétrica 
 
• A força motriz (F = qE) sobre uma partícula carregada (q) faz com que esta se mova no mesmo 
sentido da força, com uma velocidade de arrastamento vd (os choques entre as partículas 
produzem aquecimento). 
• Corrente elétrica: carga resultante que flui através da área, por unidade de tempo. 
 
 
dt
dQiou
t
Qi ==
∆
∆
 
 
 No S. I., a corrente elétrica é dada em ampére (A = C/s). 
Seja: 
 n = número de partícula por unidade de volume. 
 vd = velocidade de arrastamento das partículas. 
 vd dt = dl = distância percorrida pela partícula em um tempo dt. 
 A vd dt = volume do cilindro. 
 n A vd dt = número de partículas dentro do cilindro sombreado. 
 q = carga de uma partícula. 
Então: 
 dQ = q n A vd dt 
 dvAnqdt
dQi == 
Generalizando para várias partículas diferentes, temos: 
 ∑=
i
iii vnqAi 
• Densidade de corrente (J): corrente por unidade de área transversal. 
Da equação ∑=
i
iii vnqAi temos: 
 ∑ ==
i
iii JvnqA
i
 
Resistividade 
 
• A densidade de corrente em um condutor depende do campo elétrico E

 e da natureza do 
condutor. Em metais, temos: 
 
 
(a) Corrente elétrica em 
um fio com portadores 
de carga positivos. 
 
(b) Corrente em um fio 
com portadores de 
carga negativo. O 
sentido da corrente é 
para a direita em 
ambos os casos. 
 8 
 
J
E
=ρ onde ρ = resistividade do material (Ω.m) 
• Quanto maior a resistividade, maior será a intensidade do campo elétrico necessária para 
estabelecer uma dada densidade de corrente (característica do material). 
• A resistividade ρ é constante para temperatura constante (Lei de Ohm). Para condutores 
metálicos, temos: 
 
 [ ])TT(1 ooT −+= αρρ 
 onde: Tρ = resistividade à temperatura T (Ω.m). 
 oρ = resistividade à temperatura To (referência: 0 
oC ou 20 oC). 
 α = coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1). 
 
 
 Coeficientes de temperatura da resistividade (α) e Resistividade (ρ) à temperatura ambiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1 a 92 K 
 9 
Resistência 
 
• Consideremos um segmento de um fio condutor dado pela figura abaixo: 
A diferença de potencial V, entre as extremidades, é dada por: 
 
 LEV = E

= campo elétrico uniforme ao longo do condutor. 
 E
L
V
= 
Como 
J
E
=ρ , temos que, JE ρ= , então: 
 J
L
V
ρ= como 
A
iJ = temos: 
 i
A
LV
A
i
L
V ρ
ρ =⇒= 
 Onde 
A
Lρ
 para uma amostra particular de um material, é chamada de resistência R, ou seja, 
 
A
LR ρ= 
 Então, 
 
 iRV = (Lei de Ohm) 
 
 onde: V = diferença de potencial (V). 
 R = resistência elétrica do condutor, em ohm (Ω). 
 i = intensidade da corrente elétrica através do condutor, em ampére (A). 
 
• A resistência elétrica de um condutor é constante para temperatura constante. Para intervalos 
pequenos de temperatura, temos: 
 
 [ ])TT(1RR ooT −+= α 
 onde: RT = resistência do condutor à temperatura T (Ω). 
 Ro = resistência à temperatura To (0 oC ou 20 oC). 
 α = coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1). 
 
 
 10 
Força eletromotriz 
 
• Para a fonte (gerador) em circuito aberto abaixo, a diferença de potencial (ddp) entre as 
extremidades igual à força eletromotriz: 
Vab = ε 
• A força eletromotriz é uma característica da fonte, em muitos casos, uma constante independente 
da corrente elétrica. 
• No circuito fechado, abaixo, temos: 
Vab = ε - r.i 
 
 
 A corrente i no circuito é dada por: 
 VR = Vab 
 R i = ε - r i 
 R i + r i = ε 
 i (R + r) = ε 
 
)rR(
i
+
=
ε
 
 Se os terminais da fonte forem curto-circuitados com um condutor de resistência nula ou 
desprezível (R =0), a corrente de curto-circuito será igual a: 
 
r
icc
ε
= 
 
e a ddp entre os terminais será: 
 Vab = ε - r iccVab = ε - r 
r
ε
 = ε - ε 
 Vqb = 0 
 Gráfico característico de uma fonte (gerador) (Vab = ε - r i) 
 
 11 
Potência Elétrica 
 
• 
 
 A taxa de ganho ou perda de energia é chamada de potência (P), ou seja, 
 
 iv
t
wP ab== ∆
 ou P = V i 
 
 A unidade de potência, no S.I., é o joule por segundo (J/s) que é chamado de watt (W). 
 
 O trabalho também pode ser expresso da seguinte maneira, 
 
 tPw ∆= 
 Se a potência for expressa em quilowatt (kW) e o tempo em horas (h), o trabalho será expresso 
em quilowatt-hora (kWh). 
 
 Como V = R i, a potência dissipada por uma resistência será dada por: 
 
 P = V i = R i i ⇒ P = R i2 
 
ou, fazendo 
R
Vi = , temos: 
 
 ⇒=
R
VVP P = 
R
V 2
 
 
Resistores 
 
• Resistores são dispositivos que convertem parte da energia elétrica recebida em energia térmica 
(efeito joule). 
 
• Resistores em série: 
 
- A corrente elétrica i é a mesma em todos os resistores. 
- A diferença de potencial V é dada por: V = V1 + V2 + V3 
- Como V = R i, temos: 
R i = R1 i + R2 i + R3 i ⇒ R = R1 + R2 + R3 , onde R = resistor equivalente. 
 
 
 
 
tiVQVw abab ∆∆ == 
 
w = trabalho = variação 
de energia potencial da 
carga circulante. 
 
 
 
 12 
• Resistores em paralelo: 
 
- A ddp é a mesma em todos os resistores 
 - A corrente elétrica total i é dada por: i = i1 + i2 + i3 
 - Como V = R i, temos: i = V/R, então: 
 
 
321 R
V
R
V
R
V
R
V
++= ⇒ 
321 R
1
R
1
R
1
R
1
++= , onde R = resistor equivalente 
 
 - Para dois resistores em paralelo, temos: 
 
 
21
21
21
12
21 RR
RRR
R.R
RR
R
1
R
1
R
1
+
=⇒
+
=+= , onde R = resistor equivalente 
 
 - Para n resistores iguais em paralelo: 
 
 
n
RR
R
...111...
R
1
R
1
R
1
R
1 1
1111
=⇒
+++
=+++= , onde R = resistor equivalente 
 
Exemplos 
 
1. Um fio de cobre tem 80 m de comprimento e seção transversal de 0,4 mm2. A resistividade do 
cobre é 1,72.10-8 Ωm. Determine a resistência desse fio. 
 
2. Deseja-se projetar um aquecedor elétrico que seja capaz de elevar a temperatura de 100 kg de 
água de 20oC a 56oC em duas horas. (a) Que potência deve ter esse aquecedor?; (b) Se o 
aquecedor for projetado para ser ligado em 220 V, que valor de resistência deverá ser utilizado? 
(considere o calor específico da água = 4,2 J/goC) 
 
3. No circuito a seguir, determine a potência dissipada pelo resistor de 20 Ω, na Fig.1. 
 Figura 1 Figura 2 Figura 3 
4. Da Fig.2: (a) Calcular a resistência equivalente no circuito; (b) Determinar a ddp entre os pontos 
x e y, se a corrente elétrica no resistor de 8 Ω for 0,5 A. 
 
5. Cada um dos três resistores na Fig.3 tem resistência igual a 2 Ω e pode dissipar um máximo de 
18 W, sem ficar excessivamente aquecido. Qual é a potência máxima que o circuito pode 
dissipar? 
 13 
As Leis de Kirchhoff 
 
 
• São aplicadas quando não for possível reduzir um circuito em combinações simples em série e 
paralelo. 
 
Definições: 
 
Nó: é o ponto onde três ou mais condutores estão ligados. Exemplos no circuito acima: Pontos a, 
b, d, e. 
 
 Malha: é qualquer caminho condutor fechado. Exemplos de possíveis malhas: aceda, defbd, 
hadbgh, hadefbgh, etc. 
 
• Regra das Malhas (Primeira Regra de Kirchhoff): Quando se percorre uma malha fechada de um 
circuito, as variações de potencial em cada um dos elementos do circuito tem uma soma 
algébrica igual a zero. 
 
• Regra dos Nós (Segunda Regra de Kirchhoff): Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se 
divide, a soma das correntes que chegam para o nó é igual à soma das correntes que saem do 
nó. 
 
• Procedimento para resolver um problema : 
 
1. Em um circuito, nomear e escolher um sentido para a corrente em cada um dos ramos 
(ramo=trecho do circuito entre dois nós). 
2. Utilizar a regra dos Nós para minimizar o número de variáveis. 
3. Escolher uma malha fechada no circuito e um sentido para percorrê-la (horário ou anti-
horário). 
4. Percorrer a malha no sentido escolhido, aplicando a Regra das Malhas. Contar positivamente 
a fem de uma fonte quando atravessá-lo no sentido do (-) para o (+) e negativamente quando 
do (+) para o (-). No resistor, a diferença de potencial Ri será negativo se o resistor for 
atravessado no mesmo sentido que o suposto para a corrente, e positivo se no sentido 
oposto. Igualar a soma à zero. 
5. Se necessário, escolher outras malhas para obter uma relação diferente entre as incógnitas, e 
continuar até obter um número igual de equações e incógnitas, ou até que cada elemento do 
circuito tenha sido incluído em, pelo menos, uma das malhas escolhidas. 
6. Resolver as equações a fim de obter os valores das incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
Exemplos: 
 
1. Determine a corrente em cada ramo do circuito na figura a seguir. 
 
 
2. Determine a corrente em cada ramo do circuito e a diferença de potencial entre os pontos a e c 
(Vac) na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
CAPACITORES 
 
• Capacitores são dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente, carga elétrica e 
energia em circuitos. São constituídos por dois condutores, isolados entre si, mas muito próximos 
um do outro, que quando estão carregados, tem cargas elétricas iguais, porém, de sinais opostos. 
 
• Utilizados em flash de máquina fotográfica; para amortecer as ondulações da corrente alternada, 
quando se converte esta corrente em corrente contínua; para sintonia de rádio ou televisão, etc. 
 
• Símbolos: 
 
• Tipos: 
 
Capacitores: de poliéster metalizado, cerâmica, eletrolítico Capacitor variável 
 
 
Construção de dois tipos de capacitores: (a) Duas folhas de dielétrico (isolante) e 
duas lâminas de metal são comprimidas e enroladas sob forma de um cilindro; 
(b) Um capacitor eletrolítico utiliza um eletrólito (solução condutora) com uma 
"placa" e uma lâmina de metal como outra placa. O dielétrico é constituído por 
uma camada delgada de óxido na lâmina de metal. 
 
 
 
 16 
• Capacitância (C): é a medida da capacidade de armazenamento de carga para uma 
determinada diferença de potencial nos terminais do capacitor. 
 
V
QC = 
 
 No S.I., a unidade de capacitância é o farad (F): 1 F = 1 C/V. 
 
• Capacitor de placas paralelas: Sejam duas placas planas, paralelas, de área A cada uma, 
eletrizadas e separadas por uma distância d. 
 
Da Lei de Gauss, temos que: 
 
 ∫ =⇒= A
QEQdAE
oo
n εε
 
 
Do potencial elétrico, temos: Vab = E d , substituindo a expressão do campo elétrico nesta 
equação: 
 
 
d
AC
d
A
V
Q
A
dQV oo
abo
ab
εε
ε
=⇒=⇒= 
 
onde: C = capacitância do capacitor. 
 A = área de cada placa. 
 d = distância entre as placas. 
 
• Dielétricos: 
 
Um material não-condutor, como vidro, papel ou madeira, é um dielétrico. Quando o espaço 
entre os dois condutores de um capacitor for ocupado por dielétrico, a capacitância do capacitor 
aumenta por um fator K, característico do dielétrico, e denominado de constante dielétrica. A 
razão deste aumento está na diminuição do campo elétrico, entre as placas do capacitor, 
provocado pela presença do dielétrico. Assim, para uma dada carga elétrica nas placas, a 
diferença de potencial fica diminuída e a razão Q/V fica aumentada. 
 Um dielétrico enfraquece o campo elétrico entre as placas de um capacitor, pois, na presençade um campo elétrico externo, as moléculas no dielétrico são polarizadas, resultando numa carga 
superficial nas faces do dielétrico, produzindo um campo elétrico adicional na direção oposta à do 
campo externo. 
 Se o campo elétrico entre as placas de um capacitor sem dielétrico for Eo, o campo com o 
dielétrico é: 
 
K
EE o= 
 
 17 
onde K é a constante dielétrica. Num capacitor de placa planas e paralelas, com uma separação d, 
a diferença de potencial entre as placas é: 
 
 
K
V
K
dEdEV oo === 
 
onde V é a diferença de potencial com o dielétrico e Vo = Eo d é a diferença de potencial sem o 
dielétrico. A nova capacitância é: 
 
 o
oo
CKCou
V
QK
K/V
Q
V
QC ==== 
 
A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas, com um dielétrico de constante 
dielétrica K é então: 
 
 o
o Konde
d
A
d
AKC εεεε === é a permissividade do dielétrico 
 
 
 (a) (b) (c) 
 Figura: (a) Campo elétrico entre as placas de um capacitor sem dielétrico; 
(b) Moléculas polarizadas em um material dielétrico devido a um campo 
elétrico; (c) Campo elétrico entre as placas de um capacitor com dielétrico. A 
carga superficial no dielétrico enfraquece o campo original entre as placas. 
 
 
 
Tabela - Constantes Dielétricas e Rigidez Dielétrica de diversos materiais 
Material Constante dielétrica K Rigidez dielétrica (kV/mm) 
Água (a 20o C) 80 
Ar 1,00059 3 
Baquelite 4,9 24 
Mica 5,4 10-100 
Neoprene 6,9 12 
Óleo de transformador 2,24 12 
Papel 3,7 16 
Parafina 2,1-2,5 10 
Plexiglass 3,4 40 
Poliestireno 2,55 24 
Porcelana 7 5,7 
Vidro Pyrex 5,6 14 
 
 
 
 18 
• Capacitor cilíndrico: Cabo coaxial 
 
• Associação de capacitores em série: 
 
• Associação de capacitores em paralelo: 
Carga total na associação: Q = Q1 = Q2 
1
ca1 C
QVVV =−= 
2
bc2 C
QVVV =−= 
)VV()VV(VVV bccaba −+−=−= 






+=+=+=
2121
21 C
1
C
1Q
C
Q
C
QVVV 
21 C
1
C
1
Q
V
+= 
 
....
C
1
C
1
C
1
21eq
++= 
 (capacitor equivalente série) 
VCQ 11 = 
VCQ 22 = 
 
Carga total na associação: Q = Q1 + Q2 
 
Q = C1 V + C2 V = (C1 + C2) V 
 
21 CCV
Q
+= 
 
Ceq = C1 + C2 + ... 
 (capacitor equivalente paralelo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capacitância de um cabo 
coaxial de comprimento L, 
com condutor interno de 
raio Ra e condutor externo 
de raio Rb. 
 
 
)R/R(ln
L2C
ab
oεπ= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Energia elétrica armazenada em um capacitor 
 
• Quando uma bateria carrega um capacitor, realiza trabalho ao transferir portadores de carga de 
uma placa para outra, elevando a energia potencial dos portadores. Essa energia potencial 
aumentada dos portadores de carga constitui a energia elétrica armazenada em um capacitor. 
 
Como o potencial elétrico V é dado por: 
q
UV = , onde U é a energia potencial elétrica, temos 
que a variação de energia potencial de um sistema quando a carga dq é transferida pela bateria é 
 
 dU = V dq 
 
para determinarmos a energia potencial total U armazenada no capacitor ao carregá-lo de zero 
até Q, fazemos a seguinte integração: 
 
 ∫=∫=∫=
Q
0
Q
0
Q
0
dqq
C
1dq
C
qdqVU 
 
 
C2
QU
2
= 
 Utilizando a definição de capacitância, 
V
QC = , temos as seguintes expressões para a energia 
potencial elétrica de um capacitor carregado: 
 
 
2
VQU
2
VCU
C2
QU
22
=== 
 
Exemplos: 
 
1. Constrói-se um capacitor de placas paralelas comprimindo-se fortemente uma folha de papel de 
0,14 mm de espessura entre folhas de alumínio (constante dielétrica do papel igual a 3,7). As 
dimensões laterais das folhas são 15 mm por 480 mm. Determine: (a) a capacitância do 
capacitor; (b) a diferença de potencial máxima que pode ser estabelecida através dele sem 
ruptura dielétrica. Despreze os efeitos de borda. 
 
2. No circuito, C1=4 µF, C2=6 µF e C3=5 µF e a ddp entre a e b igual a 65 V. (a) Qual é a capacitância 
equivalente da combinação?; (b) Qual é a ddp em cada capacitor?; (c) Qual é a carga em cada 
capacitor?; (d) Qual é a energia potencial elétrica armazenada em cada capacitor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Circuitos RC 
 
• Carregando um capacitor: 
 
Consideremos um capacitor de capacitância C ligado em série com um interruptor S, um 
resistor de resistência R e uma bateria de f.e.m. ε. Inicialmente, o capacitor está sem carga e o 
interruptor S, aberto, de modo que não existe corrente. Quando se fecha S, a bateria começa a 
transferir carga de uma placa do capacitor para outra, passando a existir uma corrente no circuito. 
 
Se i é a corrente no circuito e seu sentido é o sentido horário, então, 
 
 
dt
dq
=i 
 
onde q é a carga instantânea na placa positiva do capacitor. Isto é, a corrente no circuito 
corresponde à taxa na qual a carga é transferida de uma placa para a outra. Consequentemente, 
a corrente é igual à taxa na qual o capacitor é carregado. A soma das diferenças de potencial ao 
percorrer a malha no sentido horário (lei de Kirchhoff), começando pelo ponto a, é 
 
 (Vb - Va) + (Vc -Vb) + (Va - Vd) = 0 
 
 ε - 
C
q
 - R i = 0 
 ε - 
C
q
 - R
dt
dq
 = 0 
dt
dqR
C
qC
dt
dqR
C
q
=
−ε
⇒=−ε⇒ 
 
 
qC
dq
CR
dt
−ε
= 
 
 Fazendo: u = ε C - q , temos du = -dq . Substituindo na equação acima: 
 
 tetancons
CR
tuln
CR
dt
u
du
u
du
CR
dt
+−=⇒∫−=∫⇒∫−=∫ 
 
 tetancons
CR
t)qC(ln +−=−ε 
 
 Para determinar a constante de integração, fazemos: para t=0, q=0, substituímos na equação 
acima e obtemos: 
 
 ln (ε C) = constante 
 
Com este resultado temos: 
 
 
 21 
 
CR
t)C(ln)qC(ln)C(ln
CR
t)qC(ln −=ε−−ε⇒ε+−=−ε 
 
 
 CR
t
e
C
qC
CR
t
C
qCln
−
=
ε
−ε
⇒−=





ε
−ε
 
 
 CR
t
CR
t
CeCqeCqC
−−
ε−ε=⇒ε=−ε 
 
 )e1(C)t(q CR
t
−
−ε= Equação para a carga em um capacitor sendo carregado. 
 
onde τ=CR = constante de tempo. 
 A carga em um capacitor em carregamento, em função do tempo, é dado pelo gráfico a 
seguir. 
 
 
Para obtermos a corrente elétrica, deriva-se a equação obtida em função tempo: 
 
 )e(
CR
1C)e1(C
dt
d
dt
dqi CR
t
CR
t
−−
−





−ε=





−ε== 
 
 τ
−−
=
ε
=
t
o
CR
t
eie
R
)t(i Corrente elétrica no circuito de um capacitor 
carregando. 
 
 A corrente elétrica no circuito de um capacitor em processo de carga é dado pelo gráfico a 
seguir, onde io é a corrente inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
• Descarregando um capacitor: 
 
Consideremos um capacitor de capacitância C colocado em série com um interruptor S e um 
resistor de resistência R. Inicialmente o capacitor tem carga Qo e o interruptor está aberto, de 
modo que não existe corrente no circuito. 
 
 
 
No instante em que S é fechado, passa a existir corrente. Se i é a corrente com sentido anti-
horário, então 
 
 
dt
dqi −= 
 
 O sinal negativo deve ser incluído porque a carga diminui com o tempo. Partindo do ponto a, 
somamos as diferenças de potencial (lei de Kirchhoff) percorrendo a mallha em sentidoanti-horário e 
obtemos: 
 
C
qiR0
C
qiR =⇒=+− 
 
Substituindo a expressão da corrente na equação acima, temos 
 
 ∫ ∫−=⇒−=⇒=− dtCR
1
q
dqdt
CR
1
q
dq
C
q
dt
dqR 
 
 tetancons
CR
tqln +−= 
 
Para determinarmos a constante de integração, fazemos: para t = 0, q = Qo. Substituindo na 
equação acima, temos: 
 
 constante = ln Qo 
 
Com isto, temos: 
 
 
CR
t
Q
qln
CR
tQlnqlnQln
CR
tqln
o
oo −=





⇒−=−⇒+−= 
 
 CR
t
o
CR
t
o
eQ)t(qe
Q
q −−
=⇒= Equação da carga em um capacitor sendo 
 
descarregado. 
 O gráfico a seguir mostra a carga em função do tempo em um capacitor em regime de 
descarga. 
 
 23 
 
 
 Durante a descarga de um capacitor, a corrente elétrica no circuito é dada por: 
 
 CR
t
oCR
t
o eCR
QeQ
dt
d
dt
dqi
−−
=





−=−= 
 Como o
o V
C
Q
= = diferença de potencial inicial, temos: 
 
 τ
−−
==
t
o
CR
t
o eie
R
V)t(i Corrente elétrica em um circuito com um capacitor 
 
sendo descarregado. 
 
 
Exemplos: 
 
1. Uma bateria de 6 V, de resistência interna desprezível, é usada para carregar um capacitor de 2 
µF através de um resistor de 100 Ω. Determinar: (a) a corrente inicial; (b) a carga final no 
capacitor; (c) o tempo necessário para a carga atingir 90% do seu valor final. 
 
2. Um capacitor de 4 µF está carregado a 24 V e é ligado a um resistor de 200 Ω. Determinar: (a) a 
carga inicial no capacitor; (b) a corrente inicial no resistor de 200 Ω; (c) a constante de tempo; 
(d) a carga no capacitor depois de 4 ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	O Campo Elétrico
	Linhas de Campo Elétrico
	Energia Potencial Elétrica
	A unidade de trabalho (w) e energia potencial (U), no S.I., é o joule (J).
	Potencial Elétrico
	 Potencial Elétrico:
	5. Uma partícula cuja carga é q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B, ao longo de uma linha reta. A distância total é d = 0,5 m. O campo elétrico é uniforme ao longo desta linha, na direção de A para B, com módulo E = 200 N/C. Determinar a força ...
	Corrente elétrica
	 A força motriz (F = qE) sobre uma partícula carregada (q) faz com que esta se mova no mesmo sentido da força, com uma velocidade de arrastamento vd (os choques entre as partículas produzem aquecimento).
	 Corrente elétrica: carga resultante que flui através da área, por unidade de tempo.
	Exemplos de Campos Elétricos
	Tabela - Constantes Dielétricas e Rigidez Dielétrica de diversos materiais
	Resistividade
	Coeficientes de temperatura da resistividade (() e Resistividade (() à temperatura ambiente
	Resistência
	Força eletromotriz
	Potência Elétrica
	Resistores
	Exemplos
	As Leis de Kirchhoff
	CAPACITORES
	 Capacitores são dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente, carga elétrica e energia em circuitos. São constituídos por dois condutores, isolados entre si, mas muito próximos um do outro, que quando estão carregados, tem cargas elétrica...
	 Símbolos:
	Energia elétrica armazenada em um capacitor
	Circuitos RC