Análise Combinatória e Probabilidade

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
E 
PROBABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
FLÁVIO TAMBELLINI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I F S P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matão - 2012
 i 
 
 
Sumário 
 
3 – Probabilidade ........................................................................................................................... 1 
3.1 – Introdução ......................................................................................................................... 1 
3.2 – Análise Combinatória ....................................................................................................... 1 
3.3 – Fenômenos e o Modelo Matemático ................................................................................ 7 
3.4 – Definição de Espaço Amostral e Eventos ........................................................................ 7 
3.5 – Operações com Eventos ................................................................................................... 8 
3.6 – Definição de Probabilidade ............................................................................................ 11 
3.7 – Axiomas da Probabilidade ............................................................................................. 11 
3.8 – Principais Teoremas ....................................................................................................... 11 
3.9 – Probabilidades Finitas de Espaços Amostrais Finitos ................................................. 12 
3.10 – Probabilidade Condicional........................................................................................... 14 
3.11 – Eventos Independentes................................................................................................ 16 
Exercícios de Probabilidade ....................................................................................................... 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
3 – Probabilidade 
 
 
3.1 – Introdução 
 
As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI, principalmente na Europa. Era 
comum, os jogadores utilizarem a sua experiência para calcular as probabilidades de ganhar ou perder um 
jogo naquela época. Mesmo hoje ainda há muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como diversos 
tipos de loteria, os cassinos de jogos, as corridas de cavalos e os esportes organizados. Todavia, a utilização das 
probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje os governos, as empresas, as organizações 
profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos na tomada de decisões. 
As probabilidades são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias e tomar decisões mais seguras. 
Assim os investidores sentem-se mais inclinados a aplicarem seu dinheiro se as chances de lucro forem boas; 
uma pessoa ao sair de casa carregará capa ou guarda-chuva se houver grande probabilidade de chover. 
Analogamente, uma empresa pode sentir-se inclinada a investir em novo equipamento se houver boa chance 
de recuperar o dinheiro; ou contratar um novo funcionário que pareça promissor. 
Uma das maneiras de fazer isto é a quantificação de um determinado evento ocorrer, mas antes será 
feito um estudo da análise combinatória, que é o cálculo do número de possibilidades para uma determinada 
situação e para o número de possibilidade do evento ocorrer. Com estes conceitos aprendidos, a próxima 
etapa é o estudo da probabilidade. 
 
 
3.2 – Análise Combinatória 
 
Para a obtenção da probabilidade de eventos complexos, a enumeração de casos é freqüentemente 
difícil. Para facilitar o trabalho, utilizamos os conceitos básicos estudados em análise combinatória. 
Princípios fundamentais de contagem 
 
Se um evento pode acontecer de M modos e se, quando este ocorre, um outro evento pode ocorrer de 
N modos, então o número de maneiras que ambos os eventos podem ocorrer numa determinada ordem será 
M  N. 
 
Exemplo: Se há 3 candidatos a governador e 5 candidatos a prefeito, os dois cargos podem ser 
preenchidos de 3  5 = 15 modos. 
 
Exemplo: Se uma pessoa tem 7 camisas, 5 pares de calças e 3 pares de calçados. De quantos modos 
diferentes esta pessoa poderá se vestir? 
Ela poderá se vestir de 7  5  3 = 105 modos diferentes. 
 
Exemplo: Se uma moeda é lançada 4 vezes, quantos resultados são possíveis? 
O número de resultados possíveis é igual a 2  2  2  2 = 16. 
 
Exemplo: Se um dado é lançado 3 vezes, quantos resultados são possíveis? 
O número de resultados possíveis é igual a 6  6  6 = 216. 
 
Exemplo: Se um dado é lançado uma vez e depois uma moeda é lançada uma vez, quantos resultados 
são possíveis? 
O número de resultados possíveis é igual a 6  2 = 12. 
 
 2 
Exemplo: Se no jogo da loteria federal, o bilhete é constituído de um número de 5 algarismos, quantos 
resultados são possíveis? 
O número de resultados possíveis é igual a 10  10  10  10  10 = 100.000. 
 
Exemplo: Se em um jogo de futebol existem 3 resultados possíveis (vitória, empate ou derrota), quantos 
resultados são possíveis em 4 jogos? 
O número de resultados possíveis é igual a 3  3  3  3 = 81. 
 
Fatorial de n 
 
O fatorial de n, representado por n!, é definido por: 
 
n! = n  (n - 1)  (n – 2)  ...  2  1 [ lê-se: n fatorial ] 
 
Então: 
 
1! = 1 
2! = 2  1 = 2 
3! = 3  2  1 = 3  2! = 6 
4! = 4  3  2  1 = 4  3! = 24 
5! = 5  4  3  2  1 = 5  4! = 120 
 
Por definição 0! = 1 [ O fatorial de zero é um ] 
 
Permutação, Arranjo e Combinação 
Quando quer se encontrar o número total de resultados possíveis em que a ordem dos elementos é 
importante, então temos duas situações: a permutação e o arranjo. Quando a ordem dos elementos não é 
importante, então é o caso da combinação. 
 
Arranjo 
 
Um arranjo de n elementos diferentes, tomados p de cada vez, é um agrupamento de p dos n 
elementos, levando-se em consideração a ordem de sua disposição. Lembrando que p ≤ n. 
 
O número de arranjos de n elementos, tomados p de cada vez, é representado por: 
 
)!pn(
!n
)1pn(...)3n()2n()1n(nA p,n


 
 
Se nós formos arrumar n elementos ou objetos em uma fila com p lugares, no primeiro lugar, nós temos 
n modos diferentes de colocar esses objetos, no segundo lugar sobram (n - 1) objetos para serem colocados, 
no terceiro lugar sobram (n - 2) objetos para serem colocados e no p-ésimo lugar sobram (n - p + 1) objetos 
para serem colocados. 
 
 
 3 
Exemplo 
Quatro times de futebol disputam um torneio, no qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao vice-
campeão. De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos? 
 
Resolução: 
 Seja A = { T1, T2, T3, T4 } o conjunto formado pelos 4 times. Devemos formar, a partir de A, 
agrupamentos com 2 elementos. A ordem em que os elementos aparecerão é importante, uma vez que, se o 
agrupamento (T3, T2) representar o time T3 campeão e o time T2 vice-campeão, o agrupamento (T2, T3) 
representará o time T2 campeão e o time T3 vice-campeão, e a estes agrupamentos correspondem modos 
distintos de serem atribuídos os prêmios. 
 
 O número de modos de atribuir os prêmios é, então, o número de pares ordenados (com elementos 
distintos) que podem ser formados a partir de A, ou seja, é o número de arranjos dos 4 elementos de A, 2 a 2. 
 
 Poderemos ter: 
 
( T1, T2 ) ( T1, T3 ) ( T1, T4 ) 
( T2, T1 ) ( T2, T3 ) ( T2, T4 ) 
( T3, T1 ) ( T3, T2 ) ( T3, T4 ) 
( T4, T1 ) ( T4, T2 ) ( T4, T1 ) 
 
ou seja, 12 possibilidades. 
 
 Utilizando a fórmula de arranjo, teremos: 
 n = 4 (4 times) e p = 2 (2 times receberão os prêmios, o campeão e o vice). 
 
1234
!2
!234
)!24(
!4
A 2,4 




 
 
Outromodo de fazer é: o primeiro lugar tem 4 possibilidades (4 times) e o segundo lugar tem 3 
possibilidades (os 3 times restantes), então 4  3 =12. 
 
O número de possibilidades dos 4 times receberem prêmios para o 1o e 2o lugares é igual a 12. 
 
Exemplo 
De quantos modos 10 pessoas podem se sentar num banco com três lugares? 
 
n = 10 (10 pessoas) e p = 3 (3 lugares) 
 
7208910
!7
!78910
)!310(
!10
A 3,10 




 
 
Outro modo de fazer é: o primeiro lugar no banco pode ser ocupado pelas 10 pessoas, o segundo lugar 
do banco pode ser ocupado pelas 9 pessoas restantes e o terceiro lugar no banco pode ser ocupado pelas 8 
pessoas restantes, então 10  9  8 =720. 
 
O número de possibilidades das 10 pessoas se sentarem no banco é 720. 
 
 
 
 4 
 
Permutação 
 
Permutação é um caso particular do arranjo. Neste caso, temos um conjunto com n elementos e 
utilizamos todos os elementos para sabermos o total de agrupamentos, ou seja, são n elementos, tomados n a 
n, isto é: 
 
!n12...)3n()2n()1n(nPn 
 
 
Exemplo 
Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis? (Não se admitindo empates). 
 
Resolução: 
 Seja A = {C1, C2, C3 } o conjunto formado pelos cavalos. As sucessões que podem ser formadas com 
os 3 elementos de A são: 
 
( C1,C2, C3 ), ( C1, C3, C2 ), ( C2, C1, C3 ), (C2, C3, C1 ), (C3, C1, C2 ), (C3, C2, C1 ). 
 
 Cada terna corresponde a um resultado possível do páreo, por exemplo, podemos determinar que ( 
C3, C1, C2 ) corresponda ao seguinte resultado: C3 em 1o lugar, C1 em 2o lugar e C2 em 3o lugar. 
 
 Aplicando a fórmula de permutação, sendo que neste caso n = 3 (3 cavalos), temos: 
 
 P3 = 3! = 3  2  1 = 6 
 
O número de resultados possíveis é igual a 6. 
 
Exemplo 
Sete corredores disputam uma corrida de 1.500 metros. De quantos maneiras estes 7 corredores podem 
se classificar? 
 
P7 = 7! = 7  6  5  4  3  2  1 = 5.040 
 
Estes 7 corredores podem se classificar de 5.040 modos. 
 
Exemplo 
Qual o número de anagramas da palavra NAVIO? 
 
Observação: anagrama é o número de palavras que podem ser formadas com as letras N A V I O mesmo 
que a palavra não tenha significado no nosso português, mudando-as de lugar. 
 
Eis alguns anagramas com a palavra NAVIO: AIOVN, ONAVI, IVNOA, VANOI, NIOAV, etc. 
 
P5 = 5! = 5  4  3  2  1 = 120 
 
Podemos formar 120 anagramas com a palavra NAVIO. 
 
 5 
Exemplo 
Qual o número de anagramas da palavra ARARAS? 
 
Neste caso, o número total de letras é igual a 6 (n = 6) e as letras que se repetem são a letra A (3 vezes) 
e a letra R (2 vezes). 
 
A fórmula do número de anagramas com letras repetidas é o fatorial do número total de letras da 
palavra dividido pelo fatorial do número de letras repetidas, de cada uma delas. 
 
Neste caso, teremos: Número de possibilidades =
60
12
720
62
720
!3!2
!6





 
 
Podemos formar 60 anagramas com a palavra ARARAS. 
 
Exemplo 
Qual o número de anagramas da palavra BANANADA? 
 
Neste caso, o número total de letras é igual a 8 (n = 8) e as letras que se repetem são a letra N (2 vezes) 
e a letra A (4 vezes). 
 
Neste caso, teremos: Número de possibilidades =
840
48
320.40
242
320.40
!4!2
!8





 
 
Podemos formar 840 anagramas com a palavra BANANADA. 
 
Exemplo 
Suponhamos agora a seguinte questão: quantos números, de 4 algarismos distintos, podemos formar 
com os dígitos 3, 4, 5 e 9? 
 
Resolução: 
 Temos o conjunto A = {3, 4, 5, 9} e usando cada elemento de A apenas uma vez em cada um dos 
agrupamentos, devemos formar números com 4 algarismos. 
 
 Teremos que usar todos os elementos de A e formar agrupamentos que serão distinguidos apenas 
pela ordem em que os elementos aparecerão. 
 
 Os agrupamentos serão: 
 
(3, 4, 5, 9), (3, 4, 9, 5), (3, 5, 4, 9), (3, 5, 9, 4), (3, 9, 4, 5), (3, 9, 5, 4), 
 
(4, 3, 5, 9), (4, 3, 9, 5), (4, 5, 3, 9), (4, 5, 9, 3), (4, 9, 3, 5), (4, 9, 5, 3), 
 
(5, 3, 4, 9), (5, 3, 9, 4), (5, 4, 3, 9), (5, 4, 9, 3), (5, 9, 3, 4), (5, 9, 4, 3), 
 
(9, 3, 4, 5), (9, 3, 5, 4), (9, 4, 3, 5), (9, 4, 5, 3), (9, 5, 3, 4), (9, 5, 4, 3). 
 
 Os 24 números são: 3.459, 3.495, 3.549, 3.594, 3.945, 3.954, 4.359, 4.395, 4.539, 4.593, 4.935, 4.953, 
5.349, 5.394, 5.439, 5.493, 5.934, 5.943, 9.345, 9.354, 9.435, 9.453, 9.534, 9.543. 
 
 6 
 Esses agrupamentos são chamados permutações dos 4 elementos de A. 
 
Aplicando a fórmula de permutação, teremos: 
 
P4 = 4! = 4  3  2  1 = 24 
 
Combinação 
 
Uma combinação de n elementos diferentes, tomados p de cada vez, é uma escolha de p elementos dos 
n elementos, não se levando em consideração a ordem de sua disposição. O número de combinações de n 
elementos, tomados p de cada vez, é representado por: 
 
 
 
)!pn(!p
!n
p
n
C p,n








 
 
Exemplo 
Um país, que tem 5 atletas de destaque, deve escolher 3 deles para representá-lo num torneio. Seja A = 
{André, Bruno, Carlos, Diego, Evandro} o conjunto de atletas. Para os três atletas representantes podemos ter: 
 
{ André, Bruno, Carlos } { André, Bruno, Diego } { André, Bruno, Evandro } 
{ André, Carlos, Diego} { André, Carlos, Evandro } { André, Diego, Evandro } 
{ Bruno, Carlos, Diego } { Bruno, Carlos, Evandro } { Bruno, Diego, Evandro } 
{ Carlos, Diego, Evandro } 
 
Esses 10 agrupamentos são as combinações dos 5 atletas, tomados 3 a 3. 
 
Note que os agrupamentos {André, Carlos, Evandro}, {André, Evandro, Carlos}, {Carlos, André, Evandro}, 
{Carlos, Evandro, André}, {Evandro, André, Carlos} e {Evandro, Carlos, André}, todos eles representam um 
mesmo tipo de agrupamento, porque todos são as mesmas três pessoas, pois a ordem não importa. 
 
Utilizando a fórmula para combinação, temos: 
 
 
10
12!3
!345
)!35(!3
!5
3
5











 
 
Exemplo 
São dados 6 pontos A, B, C, D, E e F não colineares (não estão na mesma reta). Quantas retas distintas 
eles determinam? 
 
Resolução: 
Sabemos que dois pontos determinam uma reta, então o número de retas determinadas pelos pontos 
A, B, C, D, E, F é o número de agrupamentos com dois elementos formados a partir de { A, B, C, D, E, F }, sem 
levarmos em conta a ordem em que os elementos aparecem em cada agrupamento pois a reta de A para B e a 
reta de B para A é a mesma reta. 
 
Utilizando a fórmula para combinação, temos: 
 
 7 
15
!412
!456
)!26(!2
!6
2
6











 
 
O número de retas formadas pelos 6 pontos não colineares é igual a 15. 
 
Exemplo 
 
Em uma empresa multinacional trabalha um grupo de funcionários de três nacionalidades diferentes, 
em que 20 são brasileiros, 12 são argentinos e 8 são uruguaios. Deseja formar uma diretoria, com pelo menos 
um de cada nacionalidade, então foi decidido formar uma diretoria com 3 brasileiros, 2 argentinos e 1 
uruguaio. Quantas diretorias são possíveis? 
 
Preste atenção no cálculo. 
 
C20,3  número de diretorias com 3 brasileiros entre 20 brasileiros. 
 
C12,2  número de diretorias com 2 argentinos entre 12 argentinos. 
 
C8,1  número de diretorias com 1 uruguaio entre 8 uruguaios. 
 
 
C20,3 × C12,2 × C8,1 =
920.601866140.1
)!18(!1
!8
)!212(!2
!12
)!320(!3
!20






 
 
O número de diretorias possíveis com 3 brasileiros, 2 argentinos e 1 uruguaio é igual a 601.920. 
 
 
3.3 – Fenômenos e o Modelo Matemático 
 
Fenômeno: qualquer acontecimento natural, sendo que existem dois grandes modelos matemáticospara explicar os fenômenos, o modelo determinístico e o probabilístico. 
 
 Modelo Determinístico: as condições iniciais determinam somente um resultado possível do 
fenômeno. Por exemplo, a queda de uma moeda de uma determinada altura, desprezando-se a resistência do 
ar. É possível calcular a velocidade final, ou seja, a velocidade de impacto com o chão. 
 
 Modelo Probabilístico: não é possível saber qual o será o resultado real a partir das condições iniciais, 
mas é possível conhecer todos os resultados possíveis. Por exemplo, quando se lança um dado equilibrado 
para o alto e o deixa cair, olhando a face que fica para cima. Existem 6 resultados possíveis, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, 
mas não se sabe qual será o resultado real. 
 
 
 
3.4 – Definição de Espaço Amostral e Eventos 
 
 Espaço Amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Exemplos: lançar uma moeda e anotar a face superior, S = {cara, coroa}; lançar duas moedas e anotar as faces 
superiores, S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}; lançar um dado e anotar a face 
 8 
superior, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; num grupo de 5 pessoas {A, B, C, D, E}, escolher duas para formar uma comissão, 
S = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}. 
 
 
 
Exemplo 
Escreva o espaço amostral para o lançamento de um dado duas vezes. 
 
 
{
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
 
 
 
 
 
 
São 36 resultados possíveis, levando em consideração que o resultado (2,5) é diferente do resultado 
(5,2), pois no resultado (2,5), o número 2 saiu na primeira jogada e o número 5 na segunda jogada e no 
resultado (5,2), o número 5 saiu na primeira jogada e o número 2 na segunda jogada. 
 
Exemplo 
Escreva o espaço amostral para duas pessoas que respondem a uma pergunta com três alternativas: 
SIM, NÃO e INDIFERENTE. 
 
Seja: S = SIM; N = NÃO; I = INDIFERENTE. 
 
 {
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
} 
 
 
 Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
Por exemplo, no lançamento de um dado, cujo espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, podemos ter os 
seguintes eventos: 
 
Evento A = números pares  A = {2, 4, 6}; 
Evento B = números múltiplos de 3  B = {3, 6}. 
Evento C = números maiores do que 8  C = { } ou C = . 
Evento D = números inteiros de 1 a 6  D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ou seja, D = S. 
 
 Evento Impossível: é aquele que nunca ocorre, por exemplo, o evento C. 
 
 Evento Certo: é aquele que sempre ocorre, coincide com o espaço amostral, por exemplo, o evento D. 
 
 
3.5 – Operações com Eventos 
 
 Evento Interseção: é o evento que ocorre em A e em B, simultaneamente. 
 
 A  B = {x  S x  A e x  B} 
 9 
 
 Evento União: é o evento que ocorre em A ou em B ou em ambos. 
 
 A  B = {x  S x  A ou x  B} 
 
 Evento Complementar de A: é o evento que não ocorre em A, ou seja, é todo o espaço amostral 
menos o evento A. 
 
 Ac = {x  S x  A} Note que: A  Ac = S 
 
O espaço amostral e os tipos de eventos de um experimento podem ser representados graficamente 
através do diagrama de Venn, conforme as Figuras 3.1, 3.2 e 3.3. 
 
 
Figura 3.1 - Evento interseção entre A e B (A  B). 
 
 
Figura 3.2 - Evento união entre A e B (A  B). 
 
 
 Figura 3.3 - Diagrama de Venn representando os eventos A e Ac. 
 
O evento A é a área do círculo, o espaço amostral S é a área do retângulo e o evento complementar de 
A, Ac, é a área do retângulo menos a área do círculo. 
 10 
 
Em relação ao evento complementar, este consiste em todos os resultados do espaço amostral que não 
façam parte do evento. Assim, o complemento do evento “sair o número 2 no lançamento de um dado” 
consiste em todos os resultados que não sejam o 2, isto é, os números 1, 3, 4, 5 e 6. 
 
Seja o seguinte experimento: lançar uma moeda duas vezes. Sejam os seguintes eventos: 
A = sair coroa no primeiro lançamento; 
B = sair exatamente uma coroa. 
 
Escreva os seguintes eventos: A  B; A  B; Ac; Bc; [A  B]c. 
 
Denotando C = cara e K = coroa, temos: 
 
Espaço amostral  S = { CC, CK, KC, KK } 
 
A = {KC, KK}; B = {CK, KC}; A  B = {KC, KK, CK}; A  B = {KC}; 
 
Ac = {CC, CK}; Bc = {CC, KK}; [A  B]c = {CC}. 
 
 Eventos Mutuamente Excludentes: são eventos, cuja interseção entre eles é vazia, ou seja, eles não 
têm elementos em comum. Por exemplo, seja o seguinte experimento aleatório: lançamento de um dado, 
onde o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; seja o evento A = números ímpares e o evento B = números 
pares. 
 
A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, então A  B = . 
 
Não é possível que o número seja ímpar e par ao mesmo tempo. 
 
 Eventos Não Excludentes: são eventos, cuja interseção entre eles não é vazia, ou seja, eles têm 
elementos em comum. Por exemplo, seja o seguinte experimento aleatório: lançamento de um dado, onde o 
espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; seja o evento A = números ímpares e o evento B = múltiplos de 3. 
 
A = {1, 3, 5} e B = {3, 6}, então A  B ={3}, ou seja, A  B ≠ . 
 
Neste caso, o número 3 é ímpar e múltiplo de 3 ao mesmo tempo. 
 
Os eventos mutuamente excludentes e não excludentes podem ser representados por diagramas, 
conforme a figura a seguir. 
 
 
 Eventos Mutuamente Excludentes Eventos Não Excludentes 
 
 Figura 3.4 – Eventos mutuamente excludentes e não excludentes. 
 
 11 
 
Eis alguns outros exemplos. Esses eventos devem ser considerados complementares: 
 
1. Cara ou coroa na jogada de uma moeda 
2. Feridos e não feridos num acidente de avião. 
3. Apanhou ou não a bola de vôlei. 
4. Atendeu ou não ao telefone. 
5. Prédio alto e não alto. 
6. Ser humano magro e não magro. 
 
Os eventos que seguem devem ser considerados mutuamente exclusivos: 
 
1. Uma pessoa, ou tem um irmão, ou tem dois irmãos, ou tem três irmãos. 
2. Uma pessoa obtém conceito Ótimo, Bom, Suficiente ou Insuficiente em Português. 
3. As faces de um dado. 
4. As cartas de um baralho. 
5. O resultado de uma partida de futebol: um time pode ganhar, empatar ou perder. 
 
 
3.6 – Definição de Probabilidade 
 
A probabilidade de um evento A, P(A), é definida como a divisão entre o número de resultados do 
evento A, n(A), e o número total de resultados possíveis, N. Lembre-se que nem sempre o número de 
resultados do espaço amostral coincide com o número total de resultados possíveis. 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
3.7 – Axiomas da Probabilidade 
 
Dado um experimento aleatório, E, e o espaço amostral, S, a probabilidade de um evento – P(evento) – 
é uma função definida em S, que associa, a cada evento, um número real, satisfazendo aos seguintes axiomas: 
 
I) A probabilidade de um evento sempre será um valor entre zero e um. 
 
II) A probabilidade do espaço amostral sempre será igual a um. 
 
 
3.8 – Principais Teoremas 
 
1) Se  é um conjunto vazio, então P() = 0. 
 
2) Se Ac é o complemento do evento A, então P(A) + P(Ac) = 1. 
 
3) Teorema da soma: se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
 
 P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
 
Para três eventos quaisquer, a probabilidade da união é: 
 
 P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A  B) – P(A  C) – P(B  C) + P(A  B  C) 
 12 
 
Se A e B forem dois eventos mutuamente excludentes, (A  B = ), então: 
 
 P(A  B) = P(A)+ P(B) 
 
Para três eventos mutuamente excludentes, tem-se: 
 
 P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) 
 
Seja o seguinte experimento aleatório: lançar um dado e observar o resultado. Calcule as seguintes 
probabilidades: 
 
a) de sair o número 3 ou 5; b) de sair um número par; 
c) de sair um múltiplo de 8; d) de sair um número inteiro positivo menor do que 7; 
 
a) P(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 b) P(par) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 
 
c) P(múltiplo de 8) = 0 d) P(x < 7) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 
 
3.9 – Probabilidades Finitas de Espaços Amostrais Finitos 
 
Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}, pode-se associar a cada elemento ai sua 
probabilidade de ocorrência P(ai). Esta associação é a função de probabilidade, com as seguintes propriedades: 
 
a) 0  P(ai)  1 i = 1, 2, 3, ..., n 
 
b)  P(ai) = 1 
 
Exemplo 
No lançamento de 3 moedas, qual a probabilidade de saírem 2 caras e uma coroa. 
 
Montando o espaço amostral, temos: S = { CCC, CCK, CKC, KCC, KKC, KCK, KKC, KKK } 
 
O número de resultados do espaço amostral coincide com o número total de resultados, ou seja: 
 
 n(S) = N = 8. 
 
O evento 2 caras e 1 coroa é: { CCK, CKC, KCC }, portanto n(2caras e 1 coroa) = 3. 
 
A probabilidade é: P = 3/8. 
 
Exemplo: em uma urna, existem 12 bolas brancas e 8 bolas laranja. Retiram-se, com reposição, duas 
bolas. 
 
a) Escreva o espaço amostral e o número de resultados do espaço amostral. 
b) Qual o número total de resultados possíveis? 
c) Calcule todas as probabilidades. 
 
a) Espaço amostral e o número de resultados do espaço amostral. 
 
Bola Branca = B e Bola Laranja = L 
 
 13 
Espaço amostral  S = { BB, BL, LB, LL } 
 
Número de resultados do espaço amostral  n(S) = 4 
 
b) Número total de resultados possíveis 
 
Na primeira vez, existem 20 bolas na urna. Retira-se a primeira bola, mas ela é devolvida na urna, 
ficando, para a segunda vez, 20 bolas novamente, então o número total de resultados possíveis é: 
 
 N = 20 × 20 = 400 
 
c) Probabilidade de cada resultado. 
 
Probabilidade das duas bolas serem brancas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade de a primeira bola ser branca e da segunda ser laranja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade de a primeira bola ser laranja e da segunda ser branca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade das duas bolas serem laranja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma de todas as probabilidades será igual à probabilidade do espaço amostral, ou seja, igual a um. 
 
 P(BB) + P(BL) + P(LB) + P(LL) = 0,36 + 0,24 + 0,24 + 0,16 = 1 
 
 
Exemplo 
Em uma urna, existem 12 bolas brancas e 8 bolas laranja. Duas bolas são retiradas simultaneamente. 
 
a) Escreva o espaço amostral e o número de resultados do espaço amostral. 
b) Qual o número total de resultados possíveis? 
c) Calcule todas as probabilidades. 
 
a) Espaço amostral e o número de resultados do espaço amostral. 
 
Bola Branca = B e Bola Laranja = L 
 
Espaço amostral  S = { BB, BL, LB, LL } 
 
Número de resultados do espaço amostral  n(S) = 4 
 
 14 
b) Número total de resultados possíveis 
 
 (
 
 
) 
 
 ( ) 
 
 
c) Probabilidade de cada resultado. 
 
Probabilidade das duas bolas serem brancas. 
 
 
(
 
 
)
(
 
 
)
 
 
Probabilidade de sair uma bola branca e uma laranja, em qualquer ordem. 
 
 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
Probabilidade das duas bolas serem laranja. 
 
 
(
 
 
)
(
 
 
)
 
 
A soma de todas as probabilidades será igual à probabilidade do espaço amostral, ou seja, igual a um. 
 
 P(2 brancas) + P(1 branca e 1 laranja) + P(2 laranja) = 0,3474 + 0,5053 + 0,1474 = 1 
 
 
3.10 – Probabilidade Condicional 
 
A probabilidade do evento B ocorrer depois da ocorrência do evento A, é chamada probabilidade 
condicional do evento B em relação ao evento A. A seguinte expressão também é usada: a probabilidade de B 
dado que A ocorreu. Neste caso existe uma condição inicial que é a ocorrência do evento A. 
 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 ( ) ( ) ( ) 
 
Neste caso, a ocorrência do evento B é influenciada pela ocorrência do evento A, ou seja, são eventos 
dependentes. 
 
A probabilidade do evento A ocorrer depois da ocorrência do evento B é chamada probabilidade 
condicional do evento A em relação ao evento B. A seguinte expressão também é usada: a probabilidade de A 
dado que B ocorreu. Neste caso existe uma condição inicial que é a ocorrência do evento B. 
 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 15 
Neste caso, a ocorrência do evento A é influenciada pela ocorrência do evento B, ou seja, são eventos 
dependentes. 
 
Exemplo 
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10, então se retira uma bola aleatoriamente. 
 
Sejam os seguintes eventos: 
 
Evento A = retirar as bolas 1, 3 e 4 
 
Evento B = retirar as bolas 3, 4, 8, 9 e 10 
 
Calcule as seguintes probabilidades. 
 
a) P(A) b) P(B) c) P(A  B) d) P(A  B) e) P(A/B) f) P(B/A) 
 
Os eventos A e B serão: A = {1, 3, 4} e B = {3, 4, 8, 9, 10} 
 
a) P(A) = 3/10 b) P(B) = 5/10 c) P(A  B) = 2/10 
 
d) P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 3/10 + 5/10 – 2/10 = 6/10 
 
e) ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
f) ( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade do item e, P(A/B), significa que a probabilidade do evento A ocorrer está condicionada à 
ocorrência do evento B ocorrer primeiro. Já a probabilidade do item f, P(B/A), significa que a probabilidade do 
evento B ocorrer está condicionada à ocorrência do evento A ocorrer primeiro. 
 
Vejamos outro exemplo de probabilidade e probabilidade condicional baseado em fatos históricos. 
Vamos supor que em uma dada festa estejam reunidos homens e mulheres e que entre homens e mulheres 
existam pessoas solteiras, casadas e viúvas, conforme o quadro a seguir. A partir de um dado momento haverá 
um sorteio em que somente uma pessoa ganhará o prêmio, pois cada pessoa ao entrar na festa, deixou o 
nome em uma urna. Vamos calcular a probabilidade de alguém ser sorteado. 
 
 Homens Mulheres Total 
Solteiro 72 40 112 
Casado 30 24 54 
Viúvo 18 16 34 
Total 120 80 200 
 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa solteira ser sorteada? 
b) Qual a probabilidade de uma mulher ser sorteada? 
c) Qual a probabilidade de um homem casado ganhar o prêmio? 
d) Qual a probabilidade do prêmio sair para uma mulher viúva ou para um homem solteiro? 
e) Qual a probabilidade de uma pessoa viúva ou uma mulher ganhar o prêmio? 
f) Dado que foi sorteada uma mulher, qual a probabilidade dela ser casada? 
g) Dado que foi sorteada uma pessoa casada, qual a probabilidade desta pessoa ser mulher? 
h) Dado que foi sorteado um homem, qual a probabilidade dele ser solteiro ou casado? 
 16 
 
a) 
200
112
)solteiro(P 
 b) 
200
80
)mulher(P 
 c) 
200
30
casado) homem(P 
 
 
d) 
200
88
200
7216
)solteiro homem ou viúva mulher(P 


 
 
e) 
200
98
200
16
200
80
200
34
)mulher ou viúva pessoa(P 
 
 
f) 
80
24
)mulher/casada(P 
 g) 
54
24
)casada/mulher(P 
 
 
h) 
120
102
120
3072
)emhom/casadoou solteiro(P 


 
 
 
3.11 – Eventos Independentes e Dependentes 
 
Quando dois eventos ocorrerem, eles serão independentes se a P(B/A) = P(B), ou se P(A/B) = P(A), então 
a probabilidade da interseção entre A e B será: 
 
 
)A(P)B(P)BA(P 
 
 
Quando dois eventos forem dependentes, então a probabilidade da interseção entre A e B será: 
 
)A(P)A/B(P)BA(P  
 
)B(P)B/A(P)BA(P 
 
 
Observação: quando os eventos são independentes, pois as probabilidades não se alteram. 
 
Dois jogadores de futebol, André e Bruno, costumam cobrar pênaltis para os seus times. André, de 20 
pênaltis cobrados, marcou 14 gols e Bruno, de 20 pênaltis cobrados, marcou 16 gols. 
 
a) Na cobrança de um pênalti, qual é a probabilidade do André marcar gol? 
b) Na cobrança de um pênalti, qual é a probabilidade do Bruno marcar gol? 
c) Na cobrança de um pênalti, qual é a probabilidade do André não marcar gol? 
d) Na cobrança de um pênalti, qual é a probabilidade do Bruno não marcar gol? 
e) Se forem cobrados dois pênaltis, qual é a probabilidade de André marcar o primeiro gol e Bruno 
marcar o segundo gol? 
f) Se forem cobrados dois pênaltis, qual é a probabilidade de André marcar o primeiro gol e Bruno não 
marcar o segundo gol? 
g) Se forem cobrados dois pênaltis, qual é a probabilidade de André não marcar o primeiro gol e Bruno 
marcar o segundo gol? 
h) Se forem cobrados dois pênaltis, qual é a probabilidade de André não marcar o primeiro gol e Bruno 
não marcar o segundo gol? 
 
 
 
 
 17 
a) P(André marcar gol) = 14/20 = 0,7 
 
b) P(Bruno marcar gol) = 16/20 = 0,8 
 
c) P(André não marcar gol) = 1 - 0,7 = 0,3 
 
d) P(Bruno não marcar gol) = 1 - 0,8 = 0,2 
 
O espaço amostral para a cobrança de dois pênaltis, sendo que André cobra o primeiro pênalti e Bruno 
cobra o segundo pênalti é: 
 
 {
( ) ( )
( ) ( )
} 
 
e) P = 0,7 × 0,8 = 0,56 
 
f) P = 0,7 × 0,2 = 0,14 
 
g) P = 0,3 × 0,8 = 0,24 
 
h) P = 0,3 × 0,2 = 0,06 
 
 
Exemplo sobre conjunto 
 
Em uma festa para 70 crianças, 45 tomam refrigerante e 30 crianças tomam suco e 5 crianças não 
bebem refrigerante e não bebem suco. Escolhe-se uma criança aleatoriamente 
 
a) Qual a probabilidade de uma criança tomar refrigerante, mas não tomar suco? 
b) Qual a probabilidade de uma criança tomar refrigerante e tomar suco? 
c) Qual a probabilidade de uma criança tomar refrigerante ou tomar suco? 
d) Qual a probabilidade de uma criança não tomar refrigerante? 
e) Sabendo-se que uma criança toma suco, qual a probabilidade dela tomar refrigerante? 
 
 
 
a) P = 35/70 b) P = 10/70 c) P = 65/70 d) P = 25/70 e) P = 10/30 
 
 
O diagrama ao lado facilita a compreensão do 
exercício. 
Das 70 crianças, 5 não tomam suco e nem 
refrigerante, então 65 crianças tomam suco ou 
refrigerante. 
A soma das que tomam suco e refrigerante é igual a 
75 (30 + 45), o que excede em 10 ( 75 – 65 = 10). O 
que passa, então é a número de crianças que tomam 
suco e refrigerante. 
 
 18 
Exercícios de Probabilidade 
 
Análise Combinatória 
 
3.1 Uma pessoa tem 8 bonés, 11 camisetas, 7 bermudas e 5 tênis. De quantos modos esta pessoa pode 
se vestir? 
 
3.2 Um projeto tem três etapas, a primeira etapa pode durar 2 meses ou 3 meses; a segunda etapa pode 
durar 6 meses, 7 meses, 8 meses ou 9 meses e a terceira etapa pode durar 3 meses, 4 meses ou 5 meses. Qual 
é o número de possibilidades de duração deste projeto? 
 
3.3 Um vendedor de automóveis deseja impressionar os possíveis compradores com o número de 
combinações diferentes possíveis. Um modelo pode ser dotado de quatro tipos de motor, dois tipos de 
transmissão, nove cores externas e três cores internas. Quantas são as escolhas possíveis? 
 
3.4 Um estilista de modas pode combinar cores para um conjunto de roupa feminina, constituída por 
blusa e saia. Para a blusa, ele tem as opções de cores: vermelha, amarela, branca, rosa, laranja, verde e azul 
claro. Para a saia, ele tem as opções de cores: preta, azul, cinza e marrom. De quantas maneiras ele pode 
formar um conjunto composto de blusa e saia. 
 
3.5 Para ir da cidade A até a cidade B existem 5 caminhos e para ir da cidade B até a cidade C existem 6 
caminhos. De quantos modos uma pessoa pode ir da cidade A à cidade C? 
 
3.6 Para ir da cidade A até a cidade B existem 5 caminhos, para ir da cidade B até a cidade C existem 6 
caminhos e para ir diretamente da cidade A até a cidade C existem 2 caminhos. De quantos modos uma pessoa 
pode ir da cidade A à cidade C, passando ou não pela cidade B? 
 
3.7 Antigamente, no nosso país, as placas dos automóveis eram constituídas de duas letras e quatro 
algarismos. Cada letra faz parte do alfabeto de 23 letras mais as letras K, W e Y. Os algarismos são 10, ou seja, 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
a) Qual o número de placas possíveis, admitindo o uso de todas as letras e todos os algarismos? 
b) Qual o número de placas possíveis, supondo que as letras devam ser distintas? 
c) Quantas são as placas possíveis, supondo que os algarismos devam ser distintos? 
d) Quantas são as placas possíveis, supondo-se que as letras e os algarismos devam ser distintos? 
 
3.8 Atualmente, no nosso país, as placas dos automóveis são constituídas de três letras e quatro 
algarismos. Cada letra faz parte do alfabeto de 23 letras mais as letras K, W e Y. Os algarismos são 10, ou seja, 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
a) Qual o número de placas possíveis, admitindo o uso de todas as letras e todos os algarismos? 
b) Qual o número de placas possíveis, supondo que as letras devam ser distintas? 
c) Quantas são as placas possíveis, supondo que os algarismos devam ser distintos? 
d) Quantas são as placas possíveis, supondo-se que as letras e os algarismos devam ser distintos? 
 
3.9 Calcule o número de resultados possíveis para o jogo da loteria esportiva, em que há 14 jogos e cada 
jogo pode dar coluna 1, coluna do meio ou coluna 2. 
 
3.10 Um guarda de trânsito utiliza um apito para sinalização, sendo que ele é constituído de três silvos. 
O silvo pode ser breve ou longo. De quantos modos possíveis podem ser feita a sinalização? 
 
 
3.11 Sejam os seguintes algarismos: 1, 4, 5, 8, 9. 
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? 
 19 
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 
c) Quantos números pares de 3 algarismos podemos formar? 
d) Quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar? 
e) Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar? 
f) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar? 
 
3.12 Sejam os seguintes algarismos: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9. 
a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? 
b) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar? 
c) Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar? 
d) Quantos números ímpares de 4 algarismos podemos formar? 
e) Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar? 
f) Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar? 
 
3.13 Sejam os seguintes algarismos: 0, 1, 4, 5, 6, 8. Lembre-se que o número formado com os algarismos 
0, 1 e 4, respectivamente, constituem um número de dois algarismos, ou seja, o número 14. 
a) Quantos números de um algarismo, nós podemos formar? 
b) Quantos números de dois algarismos, nós podemos formar? 
c) Quantos números de três algarismos, nós podemos formar? 
d) Quantos números de quatro algarismos, nós podemos formar? 
e) Quantos números de dois algarismos distintos, nós podemos formar? 
f) Quantos números de três algarismos distintos, nós podemos formar? 
g) Quantos números de quatro algarismos distintos, nós podemos formar? 
 
3.14 Sejam os seguintes algarismos: 0, 2,3, 5, 7, 9. Lembre-se que o número formado com os algarismos 
0, 2 e 3, respectivamente, constituem um número de dois algarismos, ou seja, o número 23. 
a) Quantos números pares de três algarismos, nós podemos formar? 
b) Quantos números ímpares de três algarismos, nós podemos formar? 
c) Quantos números pares de três algarismos distintos, nós podemos formar? 
d) Quantos números ímpares de três algarismos distintos, nós podemos formar? 
 
3.15 Um cardápio oferece cinco tipos de carne, sete tipos de salada e quatro de legumes. Quantas 
refeições são possíveis, com um tipo de cada, ou seja, um de carne, um de salada e um de legume? 
 
3.16 Uma pessoa deseja fazer uma viagem de uma cidade A à cidade C, mas entre a cidade A e C existe a 
cidade B. Existem três empresas de ônibus que fazem o trajeto da cidade A à cidade B e da cidade B à cidade C, 
o trajeto é feito por duas empresas de trem. De quantos modos esta pessoa pode fazer a viagem da cidade A 
até a cidade C? 
 
3.17 Uma pessoa deseja fazer uma viagem de uma cidade a outra e ela pode ir por uma das três 
empresas de ônibus ou por uma das 2 empresas de trem. De quantos modos esta pessoa pode fazer a viagem? 
 
3.18 Com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7 e 9, vamos formar números com três algarismos. 
a) Quantos números, nós podemos formar com três algarismos? 
b) Quantos números, nós podemos formar com três algarismos distintos? 
c) Quantos números de algarismos distintos, nós podemos formar, menor do que 500? 
d) Quantos números com três algarismos, nós podemos formar, começando pelo algarismo sete? 
e) Quantos números com três algarismos distintos, nós podemos formar, começando pelo algarismo 
sete? 
 
3.19 Em 7 partidas de futebol, quantos resultados são possíveis? Leve em consideração que há vitória, 
empate ou derrota. 
 20 
 
3.20 Uma impressora de jato de tinta tem opções de 3 tamanhos de papel (carta, A4 e ofício), pode-se 
usar cartucho de tinta colorida ou cartucho de tinta preta (é possível usar as duas juntas) e há três formas de 
qualidade de impressão (excelente, normal e rascunho). De quantas maneiras pode ocorrer uma impressão? 
 
3.21 De quantos modos uma pessoa pode entrar e sair de um cômodo com 4 portas, usando portas 
diferentes? 
 
3.22 Se um torneio de basquete tem 16 times disputando um campeonato, de quantas maneiras podem 
ser conquistados os quatro primeiros lugares? 
 
3.23 Em uma corrida de Fórmula 1, vinte e dois carros disputam uma corrida. De quantos modos podem 
ser conquistados os três primeiros lugares? 
 
3.24 De quantos modos 9 atletas podem chegar em primeiro, segundo e terceiro lugar? 
 
3.25 De quantos modos 8 nadadores podem chegar do primeiro ao último lugar? 
 
3.26 Num grupo de 6 homens e 4 mulheres, desejamos assentar estas pessoas num banco para 3 
lugares. (Observação: é só um lugar para cada pessoa.) 
a) De quantos modos estas pessoas podem sentar-se? 
b) De quantos modos podemos estas pessoas podem sentar-se, supondo que só haja homens? 
c) De quantos modos estas pessoas podem sentar-se, supondo que só haja mulheres? 
d) De quantos modos podemos assentar estas pessoas, supondo que haja um homem e duas mulheres? 
e) De quantos modos podemos assentar estas pessoas, supondo que haja dois homens e uma mulher? 
 
3.27 Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. 
Qual é o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças 
fiquem juntas, uma ao lado da outra? 
 
3.28 Quatro rapazes e quatro moças vão ao circo e desejam sentar-se, os oito, lado a lado, na mesma 
fila. Qual é o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que cada moça 
fique ao lado de um rapaz? 
 
3.29 Uma pessoa dispõe de 9 cds. Se ela deseja ouvir todos os cds, de quantas maneiras esta pessoa 
pode ouvir os cds? Lembre-se que a ordem é importante. 
 
3.30 Quantos são os anagramas da palavra CONTRA? 
 
3.31 Quantos são os anagramas da palavra ESCOLHAS? 
 
3.32 Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA? 
 
3.33 Quantos são os anagramas da palavra PARALELA? 
 
3.34 Quantos são os anagramas da palavra CONTRA que começam com vogal? 
 
3.35 Joga-se uma moeda 4 vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os seguintes resultados? 
a) nenhuma cara b) uma cara c) duas caras d) três caras e) quatro caras 
 
3.36 De quantos modos podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre 11? 
 
 21 
3.37 Um inspetor de vinhos inspeciona garrafas do produto, aceitando ou rejeitando cada garrafa. Cinco 
garrafas foram inspecionadas, de quantas maneiras pode ocorrer cada um dos seguintes casos? (Sugestão: a 
única característica distintiva é aceitação ou rejeição.) 
 
a) zero é aceita b) 1 é aceita c) 2 são aceitas d) 3 são aceitas e) 4 são aceitas f) todas são aceitas 
 
3.38 Num grupo de 4 homens e 3 mulheres, desejamos formar uma comissão com três pessoas. De 
quantos modos podemos formar uma comissão? 
a) Com 3 pessoas. 
b) Somente com 3 homens. 
c) Com 2 homens e 1 mulher. 
d) Com 1 homem e 2 mulheres. 
e) Somente com 3 mulheres. 
f) Verifique se a soma dos resultados dos itens “b”, “c”, “d”, “e” coincide com a resposta do item “a”. 
Isto era de se esperar? Por quê? 
 
3.39 Um firma tem 20 funcionários, 12 homens e 8 mulheres. De quantas maneiras é possível formar 
uma comissão de planejamento estratégico? 
a) Que tenha 5 pessoas. 
b) Que haja 5 homens. 
c) Que haja 4 homens e 1 mulher. 
d) Que haja 3 homens e 2 mulheres. 
e) Que haja 2 homens e 3 mulheres. 
f) Que haja 1 homem e 4 mulheres. 
g) Que haja 5 mulheres. 
h) Verifique se a soma dos resultados do item de “b” ao item “g” coincide com a resposta do item “a”. 
Isto era de se esperar? Por quê? 
 
3.40 A Pizzaria Napolitana oferece os seguintes tipos de pizza: mozzarella, presunto, frango com 
requeijão, napolitana, quatro queijos, portuguesa, lombo canadense e milho com requeijão. A pizzaria oferece 
a opção de pedir um sabor de pizza ou dois sabores, ou seja, a pizza meio a meio. De quantas maneiras as 
pizzas podem ser servidas com os sabores acima? 
 
3.41 Em uma Câmara Municipal, a mesa da Câmara é composta por um Presidente, um Vice-Presidente, 
dois Secretários e três suplentes. Existem 4 vereadores concorrendo a uma vaga de Presidente, 6 outros 
vereadores concorrendo a uma vaga de Vice-Presidente, 8 outros vereadores concorrendo a duas vagas de 
Secretário e 12 outros vereadores concorrendo a três vagas de suplentes. De quantos modos a mesa da 
Câmara pode ser formada? 
 
3.42 No Congresso Nacional de um determinado país, existem 16 Senadores e 24 Deputados Federais. 
Deseja-se forma uma comissão para investigar abuso de poder e para isto, esta comissão será composta de 2 
Senadores e 3 Deputados Federais. De quantos modos podemos formar uma comissão? 
 
3.43 Coloca-se os nomes de 3 rapazes em uma urna e em outra urna, os nomes de 3 moças, onde serão 
extraídos aleatoriamente os nomes dos que devem formar os pares para dançar. (a) Se nós sortearmos 1 par 
de cada vez para dançar, quais serão os pares possíveis? (b) De quantos modos poderemos sortear estes pares 
para dançar? 
 
3.44 Em uma circunferência existem 6 pontos. 
a) Quantas retas, nós podemos formar a partir destes 6 pontos? 
b) Quantos triângulos, nós podemos formar a partir destes 6 pontos? 
c) Quantos quadriláteros, nós podemos formar a partir destes 6 pontos? 
 22 
 
 
Espaço Amostral 
 
3.45 Escreva o espaço amostral para o lançamento de 4 moedas. Qual o número de resultados 
possíveis? 
 
3.46 O experimento consiste em entrevistar 2 pessoas e perguntar qual o nível de satisfação em relação 
à administração pública de determinado prefeito, cuja respostas poderiam ser: Ótimo, Bom, Regular e 
Insatisfatório. Determine o espaço amostraldo experimento. Qual o número de resultados possíveis? 
 
3.47 Dois parafusos são tirados (processo sem reposição) de um lote contendo 50 parafusos, sendo que 
10 são defeituosos. Escreva o espaço amostral e o número de resultados possíveis. 
 
3.48 Entrevistando duas pessoas e perguntando se preferem refrigerante normal ou algum refrigerante 
dietético, se preferirem algum refrigerante dietético, ele pode ser: light ou diet. Escreva o espaço amostral e o 
número de resultados possíveis. 
 
3.49 Retira-se, com reposição, 2 bolas de uma caixa contendo 6 bolas azuis, 4 bolas laranja e 3 bolas 
verdes. Escreva o espaço amostral e o número de resultados possíveis. 
 
3.50 O espaço amostral e o número de resultados possíveis do exercício anterior seriam os mesmos, 
caso as bolas fossem retiradas sem reposição? Por quê? 
 
3.51 Retiram-se, com reposição, 2 bolas de uma caixa contendo 5 bolas amarelas, 3 bolas azuis e 1 bola 
vermelha. Escreva o espaço amostral e o número de resultados possíveis. 
 
3.52 Retiram-se, sem reposição, 2 bolas de uma caixa contendo 5 bolas amarelas, 3 bolas azuis e 1 bola 
vermelha. Escreva o espaço amostral e o número de resultados possíveis. 
 
3.53 Retiram-se, com reposição, 3 bolas de uma urna contendo 5 bolas pretas e 2 bolas brancas. Escreva 
o espaço amostral e o número de resultados possíveis. 
 
3.54 Retiram-se, sem reposição, 3 bolas de uma urna contendo 5 bolas pretas e 2 bolas brancas. Escreva 
o espaço amostral e o número de resultados possíveis. 
 
3.55 Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos leves e 2 com defeitos graves. Duas peças 
são escolhidas ao acaso. Escreva o espaço amostral e o número de resultados possíveis para o caso sem 
reposição. 
 
3.56 No jogo de baralho existem 13 cartas de ouros, 13 cartas de copas, 13 cartas de espadas e 13 cartas 
de paus. Cada naipe (ouros, copas, espadas e paus) é constituído do ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q 
(dama) e K (rei). Suponha que sejam selecionadas somente as figuras, ou seja, os valetes, as damas e os reis. 
Escreva o espaço amostral para a retirada de uma carta entre as figuras. 
 
3.57 Utilizando um baralho de 52 cartas são selecionadas as cartas de copas e as cartas de paus. Escreva 
o espaço amostral para a retirada de uma carta entre estas escolhidas. 
 
3.58 Em um grupo de cinco pessoas (A, B, C, D, E). Escreva o espaço amostral para a escolha de uma 
comissão composta por: 
a) uma pessoa; b) duas pessoas; c) três pessoas; d) quatro pessoas; e) cinco pessoas. 
 
 23 
3.59 Retira-se bolas de uma caixa, contendo 6 bolas azuis e 1 bola branca, até que a bola branca seja 
retirada, ou seja, quando a bola branca for retirada, o processo de retirar as bolas pára. Assumindo o processo 
sem reposição que significa as bolas retiradas não voltam para a caixa. Escreva o espaço amostral. 
 
3.60 Escolhe-se um comitê de 2 pessoas num grupo de 6 (A, B, C, D, E, F). Escreva o espaço amostral. 
 
3.61 Num grupo de 7 funcionários de um setor da empresa (A, B, C, D, E, F, G), escolhe-se 2 deles para 
representar a empresa em uma feira de eventos. Escreva o espaço amostral. 
 
3.62 Num grupo de 6 estudantes, escolhe-se três deles para fazer parte das reuniões da escola. Escreva 
o espaço amostral. 
 
3.63 Um determinado dado tem uma face pintada de azul, duas faces pintada de branco e três faces 
pintadas de vermelho. Lança-se este dado duas vezes. Escreva o espaço amostral e o número de resultados 
possíveis para cada resultado. 
 
Eventos 
 
3.64 Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos: 
 
Evento A Evento B 
a) chover fazer sol 
b) chover não chover 
c) tira 8,0 em Química tirar 6,0 no mesmo teste 
d) dirigir um carro andar a pé 
e) dirigir um carro falar 
f) nadar sentir frio 
g) ganhar em um jogo perder em um jogo 
h) ganhar em um jogo empatar em um jogo 
i) ouvir música estudar 
 
3.65 Seja o experimento: lançamento de 1 moeda 3 vezes. 
a) Escreva os seguintes eventos: 
Evento A: coroa no primeiro lançamento; 
Evento B: pelo menos uma coroa. 
b) Escreva os seguintes eventos: A  B e A  B. 
c) Escreva os seguintes eventos: Ac e Bc. 
d) Escreva os seguintes eventos: (A  B)c e (A  B)c. 
 
3.66 Seja o experimento: lançamento de 2 dados. 
a) Circule e marque os seguintes eventos: 
Evento A: as faces são iguais; 
Evento B: a soma das faces é igual a 7; 
b) Estes eventos sã mutuamente exclusivos? 
c) Escreva os seguintes eventos: A  B e A  B. 
 
3.67 Seja o seguinte experimento aleatório: lançar uma moeda e depois um dado. Escreva o espaço 
amostral. 
a) Circule e marque os seguintes eventos: 
Evento A: sair múltiplos de 3. 
Evento B: sair coroa. 
 24 
b) Estes eventos são mutuamente exclusivos? 
c) Escreva os seguintes eventos: Ac e Bc . 
d) Escreva os seguintes eventos: A  B e A  B. 
 
3.68 Liste todos os oitos subconjuntos do espaço amostral S = {a, b, c}. 
 
3.69 Em conexão com uma viagem à Europa feita por alguns homens de negócio, considere os seguintes 
eventos, evento P que eles visitam Londres, evento Q que eles levaram dinheiro a mais para compras e o 
evento R que eles têm tempo de sobra, então descreva os eventos de 1 a 7, conforme o seguinte diagrama. 
 
 
3.70 Entrevistando duas pessoas e perguntando se gostaram de um certo filme, as possíveis respostas 
poderiam ser: Sim, Não e Indiferente. Qual é o complemento do evento que consiste nas três respostas Sim 
Sim, Não Não, Indiferente Indiferente? 
 
3.71 No lançamento de dois dados, sejam os eventos: A = soma divisível por 3 e B = soma divisível por 4. 
Eles são mutuamente exclusivos? Por quê? 
 
3.72 Lança-se uma moeda três vezes. 
a) Escreva os seguintes eventos: 
Evento A = sair uma cara. 
Evento B = sair coroa na segunda vez. 
b) Estes eventos são mutuamente exclusivos? 
c) Escreva os seguintes eventos: (A  B) e (A  B). 
d) Escreva os seguintes eventos: Ac e Bc . 
e) Escreva os seguintes eventos: (A  B)c e (A  B)c . 
 
Probabilidade 
 
3.73 Joga-se um dado equilibrado uma vez. Determine a probabilidade de obter: 
a) um cinco; b) dois ou seis; c) três ou oito; 
d) um número primo; e) um número menor do que 4 f) dois e quatro. 
 
3.74 Dez fichas são numeradas de 0 a 9 e colocadas em uma urna. Escolhida uma ficha aleatoriamente, 
determine a probabilidade de sair: 
a) o número 3; b) um número ímpar; c) um número menor do que 4; d) o número 10. 
 
 
 
 
 25 
3.75 Há 60 bolas numa urna, distribuídas como segue: 
 
Cor Quantidade 
 Vermelha 21 
 Amarela 19 
 Verde 13 
 Azul 7 
Total 60 
 
Misturam-se as bolas e escolhe-se uma aleatoriamente. Determine a probabilidade de a bola escolhida 
ser: 
a) vermelha; b) azul; c) azul ou amarela; d) não rosa; 
e) vermelha e verde; f) amarela; g) não amarela. 
 
3.76 De um lote de 80 componentes eletrônicos, um é testado. Determine a probabilidade de um 
componente eletrônico ser defeituoso se: 
a) 1 componente eletrônico é defeituoso; b) 2 componentes eletrônicos são defeituosos; 
c) 3 componentes eletrônicos são defeituosos; d) 4 componentes eletrônicos são defeituosos. 
 
3.77 Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 48, 49, 50. Qual a 
probabilidade de: 
a) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5? 
b) Qual a probabilidade do número ser primo? 
c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 6 ou por 8? 
d) Qual a probabilidade do número ser divisível por 3 e 4? 
e) Dado que saiu um número múltiplo de 7, qual a probabilidade dele ser menor do que 21? 
 
3.78 Joga-se uma moeda 3 vezes. 
a) Qual é a probabilidadede aparecer exatamente uma cara? 
b) Qual é a probabilidade de aparecer pelo menos duas caras? 
c) Qual é a probabilidade de aparecer coroa no primeiro lançamento e cara no segundo lançamento? 
d) Qual a probabilidade de aparecer coroa primeiro lançamento ou cara no segundo lançamento? 
 
3.79 No lançamento de 2 dados, qual é a probabilidade de se obter a soma maior do que 10 ou a soma 
divisível por 6? 
 
3.80 Retiram-se, sem reposição, 2 bolas de uma caixa contendo 5 bolas amarelas, 3 bolas azuis e 1 bola 
vermelha. Calcule a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor. 
 
3.81 Retiram-se, com reposição, 3 bolas de uma urna contendo 5 bolas pretas e 2 bolas brancas. Calcule 
a probabilidade de que duas bolas sejam pretas e uma bola seja branca. 
 
3.82 No lançamento de 2 dados, calcule as seguintes probabilidades: 
a) a soma das faces ser menor do que 5; 
b) a soma das faces ser maior do que 6 e menor do que 10; 
c) a soma das faces ser igual a 1 ou igual a 7 ou igual a 12. 
 
3.83 Joga-se uma moeda 2 vezes e depois um dado. 
a) Qual a probabilidade de aparecer coroa nas 2 vezes ou número ímpar? 
b) Qual a probabilidade de aparecer cara e coroa não necessariamente nesta ordem e número par? 
c) Qual a probabilidade de aparecer múltiplos de 3? 
 
 26 
3.84 Verificou-se que uma moeda é viciada, pois após 1.000 lançamentos saíram 600 coroas e 400 caras. 
Lançando esta moeda duas vezes, calcule as seguintes probabilidades: 
a) de saírem duas caras; b) de saírem uma cara e uma coroa; c) de saírem duas coroas. 
 
3.85 Um baralho é composto de 52 cartas, 13 cartas de copas, 13 cartas de espadas, 13 cartas de ouros 
e 13 cartas de paus. Retira-se uma carta aleatoriamente. 
 
a) Qual a probabilidade de sair um rei? 
b) Qual a probabilidade de sair uma figura? 
c) Qual a probabilidade de sair uma carta de 
ouros? 
d) Qual a probabilidade de sair um sete de 
paus ou um cinco de copas? 
e) Qual a probabilidade de sair uma carta de 
espadas ou um dois? 
 
 
As cartas são: 
Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de copas. 
Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de espadas. 
Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de ouros. 
Ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K de paus. 
As figuras são J (valete), Q (dama) e K (rei). 
Então temos 12 figuras, sendo três figuras de 
cada naipe. 
 
3.86 Uma carta é retirada de um baralho composto de 52 cartas. 
a) Qual a probabilidade de sair um ás ou uma dama? 
b) Qual a probabilidade de sair uma carta de espadas ou uma carta de copas? 
c) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou um oito ou um seis? 
d) Sabe-se que a carta que saiu é uma carta de ouros, qual a probabilidade que ela seja uma figura? 
 
3.87 Uma carta é retirada de um baralho composto de 52 cartas. 
a) Qual a probabilidade de sair um cinco de ouros ou um cinco de espadas? 
b) Qual a probabilidade de não sair um cinco? 
c) Qual a probabilidade da sair uma figura ou uma carta de paus? 
d) Sabe-se que saiu uma figura, qual a probabilidade de ser uma carta de copas? 
 
3.88 Em um dado viciado, a probabilidade de sair o número 1 e o número 3 é o dobro de saírem os 
outros números, isto é, P(1) = P(3) = 2·P(2) = 2·P(4) = 2·P(5) = 2·P(6). Lançando o dado uma vez, qual a 
probabilidade de sair número ímpar? 
 
3.89 Dois parafusos são retirados aleatoriamente, um de cada vez, de um lote de 50 parafusos, 10 dos 
quais estão com defeito. Vamos considerar o processo com reposição. 
a) Qual a probabilidade dos dois parafusos serem perfeitos? 
b) Qual a probabilidade do primeiro parafuso ser perfeito e o segundo ser defeituoso? 
c) Qual a probabilidade dos dois parafusos serem defeituosos? 
d) Qual a probabilidade de um parafuso ser perfeito e o outro defeituoso? 
e) Dado que o primeiro parafuso é perfeito, qual a probabilidade do segundo ser perfeito? 
 
3.90 Refaça o exercício 3.89, considerando o processo sem reposição. 
 
3.91 Um estatístico em uma tarde observou as pessoas que passavam em frente a uma loja de roupas, 
sendo que 240 pessoas passaram pela loja e destas, 48 entraram na loja. Das 48 que entraram na loja 10 
compraram alguma roupa. 
a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa que passa em frente à loja, entre na mesma? 
 27 
b) Qual é a probabilidade de que uma pessoa que passa em frente à loja, entre na loja e compre alguma 
roupa? 
c) Dado que a pessoa entrou na loja, qual é a probabilidade de que ela compre alguma roupa? 
d) Qual é a probabilidade de que uma pessoa que passa em frente à loja, não entre na mesma? 
e) Qual é a probabilidade de que uma pessoa que passa em frente à loja, entre na loja e não compre 
roupa? 
f) Dado que a pessoa entrou na loja, qual é a probabilidade de que ela não compre roupa? 
 
3.92 Uma moeda é lançada 4 vezes, calcule as seguintes probabilidades: 
a) de sair uma cara; b) de saírem duas caras; c) de saírem três caras; 
d) de saírem quatro caras; e) de não sair nenhuma cara. 
 
3.93 Um tipo de pneu, que é utilizado em veículos com 4 rodas, tem uma vida útil que excede 40.000 km 
com probabilidade de 85%. 
a) Qual é a probabilidade de um carro (com 4 rodas) durar mais do que 40.000km? 
b) Qual a probabilidade de somente um pneu durar mais de 40.000 km entre os quatro pneus do carro? 
 
3.94 Uma gaveta contém 10 tampas vermelhas, 8 tampas azuis e 4 tampas pretas. Retira-se, 
aleatoriamente 2 tampas, processo sem reposição. Calcule as seguintes probabilidades: 
a) das duas tampas serem vermelhas; 
b) de uma tampa ser azul e a outra ser preta; 
c) de não sair tampa vermelha. 
 
3.95 Na carteira, você possui 3 moedas de R$ 1,00, 5 moedas de R$ 0,50 e 8 moedas de R$ 0,25. Calcule 
as seguintes probabilidades de pegar duas moedas, processo sem reposição: 
a) duas moedas de R$ 1,00; 
b) uma moeda de R$ 0,25 e uma moeda de R$ 0,50. 
 
3.96 Na inspeção de um produto, o controle de qualidade tem verificado que nos itens verificados no 
produto, o índice de rejeição é de 8%. (a) Qual a probabilidade de que os três produtos não sejam rejeitados? 
(b) Qual a probabilidade de dois produtos serem aceitos? (c) Qual a probabilidade de que no mínimo dois 
produtos sejam aceitos? 
 
3.97 Na produção de garrafas de vidro, a fração delas com defeitos tem sido igual a 4% e o processo é 
controlado de hora em hora através da retirada de 2 garrafas produzidas. Calcule as seguintes probabilidades: 
a) nenhuma garrafa ter defeito; 
b) uma garrafa ter defeito e a outra não; 
c) as duas garrafas com defeito. 
 
3.98 Se P(A) = 3/8, P(B) = 4/7 e A e B são mutuamente exclusivos, calcule: 
a) P(Ac) b) P(Bc) c) P(A  B) 
 
3.99 Se P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 e P(A  B) = 1/4. Calcule: 
a) P(Bc) b) P(Ac) c) P(A  B) d) P[(A  B)c] e) P[(A  B)c] 
 
3.100 As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol de pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, 
respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez. Considere que os eventos são independentes. 
a) Qual a probabilidade de todos acertarem? 
b) Qual a probabilidade de um acertar? 
c) Qual a probabilidade de dois acertarem? 
d) Qual a probabilidade de todos errarem? 
 
 28 
3.101 Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 moedas de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao 
retirarmos 2 moedas, obtermos R$1,50? 
 
3.102 As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, ou 5 acidentes num dia de semana entre 6 e 18 horas são, 
respectivamente, 0,20; 0,25; 0,15; 0,12; 0,11 e 0,09. Determine as seguintes probabilidades para um dia 
qualquer da semana entre 6 e 18 horas: 
a) menos de dois acidentes; 
b) até dois acidentes; 
c) exatamente dois acidentes; 
d) nenhum acidente; 
e) mais de quatro acidentes; 
f) dois ou cinco acidentes. 
 
3.103 Um lote é formado por 13 peças perfeitas, 5 com defeitos leves e 2com defeitos graves. Uma 
peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: (a) ela não tenha defeitos graves, (b) ela não tenha 
defeitos e (c) ela seja perfeita ou tenha defeitos graves. 
 
3.104 Um lote é formado por 13 peças perfeitas, 5 com defeitos leves e 2 com defeitos graves, retira-se 
duas peças sem reposição. Qual a probabilidade de que: (a) ambas sejam perfeitas, (b) pelo menos uma seja 
perfeita, (c) não tenha defeito grave, d) ambas não sejam perfeitas; (e) uma seja perfeita e a outra tenha 
defeito leve? 
 
3.105 Uma urna contém 4 bolas brancas e 8 bolas pretas. Três bolas são retiradas (processo sem 
reposição). Calcular a probabilidade de: (a) todas as bolas serem pretas; (b) exatamente uma bola ser branca, 
(c) exatamente uma bola ser preta; (d) todas as bolas serem brancas; (e) ao menos uma bola ser preta. 
 
3.106 Uma urna contém 6 bolas azuis, 3 bolas brancas e 1 bola vermelha. Retira-se, sem reposição 2 
bolas. Qual a probabilidade: (a) das duas bolas serem azuis, (b) das duas bolas serem brancas, (c) uma bola ser 
azul e a outra bola ser vermelha, (d) uma bola branca, (e) de uma bola ser azul ou vermelha? 
 
 3.107 De um grupo de 200 funcionários, 85 falam Inglês fluentemente, 105 tem curso de graduação e 
40 não falam Inglês fluentemente e nem tem curso de graduação. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 
funcionários. 
a) Qual a probabilidade de que o funcionário selecionado tenha curso de graduação ou fale Inglês 
fluentemente? 
b) Qual a probabilidade de que o funcionário selecionado tenha curso de graduação e fale Inglês 
fluentemente? 
c) Qual a probabilidade de que o funcionário selecionado fale Inglês fluentemente, mas não tenha curso 
de graduação? 
d) Qual a probabilidade de que o funcionário selecionado tenha curso de graduação, mas não fale Inglês 
fluentemente? 
e) Dado que um funcionário fala Inglês fluentemente, qual a probabilidade dele ter curso de graduação? 
f) Dado que um funcionário tem curso de graduação, qual a probabilidade dele falar Inglês 
fluentemente? 
g) Qual a probabilidade de que o funcionário selecionado não tenha curso de graduação? 
h) Qual a probabilidade de que o funcionário selecionado não fale Inglês fluentemente? 
 
3.108 Júlia é uma adolescente que gosta de sair nos finais de semana e ela tem três amigas com as quais 
costuma sair. Ana geralmente convida Júlia para ir ao cinema e a probabilidade de Ana convidá-la é de 80%. 
Beatriz geralmente convida Júlia para tomar sorvete e a probabilidade de Beatriz convidá-la é de 60%. Carolina 
geralmente convida Júlia para ir ao shopping e a probabilidade de Carolina convidá-la é de 70%. Supondo que 
os convites sejam feitos de forma independente, calcule as seguintes probabilidades a respeito de Júlia: 
 29 
a) ser convidada pelas três amigas no mesmo final de semana; 
b) não ser convidada pelas três amigas no mesmo final de semana; 
c) de ser convidada somente por uma das três amigas no mesmo final de semana; 
d) de ser convidada por duas amigas no mesmo final de semana. 
 
3.109 As probabilidades de 2 jogadores de basquete acertarem uma cesta são 0,75 e 0,85, 
respectivamente. Se cada arremessar a bola ao cesto uma única vez. 
a) Qual a probabilidade de todos acertarem? 
b) Qual a probabilidade de um acertar? 
c) Qual a probabilidade de todos errarem? 
 
3.110 De um grupo de 300 estudantes, 90 usam óculos, 120 usam relógio e 140 não usam óculos e nem 
relógio. Seleciona-se, ao acaso, um dos 300 estudantes. 
a) Qual a probabilidade de que o estudante selecionado use óculos ou relógio? 
b) Qual a probabilidade de que o estudante selecionado use óculos e relógio? 
c) Qual a probabilidade de que o estudante selecionado use relógio, mas não use óculos? 
d) Qual a probabilidade de que o estudante selecionado use óculos, mas não use relógio? 
e) Dado que um estudante usa óculos, qual a probabilidade dele usar relógio? 
f) Dado que um estudante usa relógio, qual a probabilidade dele usar óculos? 
g) Qual a probabilidade de um estudante não usar relógio? 
h) Qual a probabilidade de um estudante não usar óculos? 
 
3.111 Numa pesquisa realizada com 400 pessoas, constatou-se que exatamente 160 pessoas usam o 
produto A e que somente 120 pessoas usam o produto B, mas apenas 40 pessoas usam os dois produtos. 
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa usar somente um dos dois produtos? 
b) Qual é a probabilidade de uma pessoa usar o produto A ou o produto B? 
c) Qual a probabilidade de uma pessoa não usar o produto B? 
d) Qual a probabilidade de uma pessoa não usar o produto A e nem o B? 
 
3.112 Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol, mas não praticam vôlei e há 8 alunos que 
praticam vôlei, mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que 
não praticam futebol. 
a) Qual o número total de alunos da classe? 
b) Qual a probabilidade de um aluno praticar futebol e vôlei? 
c) Qual a probabilidade de um aluno praticar futebol ou vôlei? 
d) Dado que um aluno pratica futebol, qual a probabilidade dele praticar vôlei? 
e) Qual a probabilidade de um aluno não praticar nem futebol e nem vôlei? 
 
3.113 Um empresa tem os seguintes dados sobre idade e o estado civil de 160 clientes. 
 
 Estado Civil 
Idade Solteiro Casado Divorciado 
Menos de 30 20 12 7 
Entre 30 e 40 13 22 10 
Entre 40 e 50 9 28 5 
Mais de 50 6 24 4 
 
a) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro? 
b) Qual a probabilidade de um cliente ter entre 30 e 40 anos? 
c) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro e ter entre 30 e 40 anos? 
 30 
d) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro ou ter entre 30 e 40 anos? 
e) Qual a probabilidade de um cliente ser casado ou ter mais de 50 anos? 
f) Qual a probabilidade de um cliente ser divorciado ou casado, mas ter entre 40 e 50 anos? 
g) Dado que um cliente escolhido entre 40 e 50 anos, qual a probabilidade dele ser casado? 
h) Dado que um cliente é casado, qual a probabilidade dele ter entre 40 e 50 anos? 
i) Dado que um cliente tem menos de 30 anos, qual a probabilidade dele ser solteiro ou casado? 
j) Dado que um cliente é casado ou divorciado, qual a probabilidade dele ter mais do que 50 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
Respostas dos exercícios 
 
Análise Combinatória 
3.1) 3.080 3.2) 24 3.3) 216 3.4) 28 3.5) 30 3.6) 32 
3.7) a) 6.760.000 b)6.5000.000 c) 3.407.040 d) 3.276.000 
3.8) a) 175.760.000 b) 156.000.000 c) 88.583.040 d) 78.624.000 
3.9) 4.782.969 3.10) 8 3.11) a) 125 b) 60 c) 50 d) 75 e) 24 f) 36 
3.12) a) 2.401 b) 840 c) 1.029 d) 1.372 e) 360 f) 480 
3.13) a) 6 b) 30 c) 180 d) 1.080 e) 25 f) 100 g) 300 
3.14) a) 60 b) 120 c) 36 e) 64 
3.15) 140 3.16) 6 3.17) 5 3.18) a) 216 b) 120 c) 60 d) 36 e) 20 
3.19) 2.187 3.20) 27 3.21) 12 3.22) 43.680 3.23) 9.240 3.24) 504 3.25) 40.320 
3.26) a) 720 b) 120 c) 24 d) 216 e) 360 3.27) 48 3.28) 1.152 3.29) 362.880 
3.30) 720 3.31) 20.160 3.32) 5.040 3.33) 3.360 3.34) 240 
3.35) a) 1 b) 4 c) 6 d) 4 e ) 1 3.36) 462 3.37) a) 1 b) 5 c) 10 d) 10 e) 5 f) 1 
3.38) a) 35 b) 4 c) 18 d) 12 e) 1 f) Sim, coincide. Isto era de se esperar, pois o resultado do item a é a 
soma de todas as possibilidades dos outros itens. 
3.39) a) 15.504 b) 792 c) 3.960 d) 6.160 e) 3.696 f) 840 g) 56 h) Sim, coincide. Isto era de se esperar, 
pois o resultado do item a é a soma de todas as possibilidades dos outros itens. 
3.40) 28 3.41) 147.840 3.42) 242.880 
3.43) Sendo: Rapazes – R1, R2, R3 e Moças – M1, M2, M3 
a) PARES POSSÍVEIS 
R1M1, R2M2, R3M3 R1M1, R2M3,R3M2 R1M2, R2M1, R3M3 
R1M2, R2M3, R3M1 R1M3, R2M1, R3M2 R1M3, R2M2, R3M1 
 
b) 3! = 6 
3.44) a) 15 b) 20 c) 15 
Espaço Amostral 
3.45) Adotando as faces da moeda como: C = cara e K = coroa, teremos: 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }
 
 
 
 
 Número de resultados possíveis é igual a 16. 
 
 
 32 
3.46) Adotando: O = ótimo, B bom, R = regular e I = insatisfatório. 
 
 {
 
 
 
 
} 
Número de resultados possíveis é 
igual a 16 
3.47) Denominação: P = parafuso perfeito e D = parafuso defeituoso 
S = { PP, PD, DP, DD} e número de resultados possíveis: N = 50 × 49 = 2.450 
3.48) N = refrigerante normal; D = refrigerante diet e L = refrigerante light 
S = (NN, NL, ND, LN, LL, LD, DN, DL, DD} 
3.49) A = bola azul, L = bola laranja e V = bola verde 
S = {AA, AL, AV, LA, LL, LV, VA, VL, VV} e número de resultados possíveis = 13 × 13 = 169. 
3.50) O espaço amostral é o mesmo do exercício anterior, mas o número de resultados possíveis é igual 
a 13 × 12 = 156. 
3.51) Seja: Am = bola amarela, Az = bola azul e V = bola vermelha. 
S = {(Am,Am),(Am,Az),(Am,V), (Az,Am),(Az,Az),(Az,V), (V,Am),(V,Az),(V,V)} 
O número de resultados possíveis é igual a 9 × 9 = 81. 
3.52) Seja: Am = bola amarela, Az = bola azul e V = bola vermelha. 
S = {(Am,Am),(Am,Az),(Am,V), (Az,Am),(Az,Az),(Az,V), (V,Am),(V,Az) } 
O número de resultados possíveis é igual a 9 × 8 = 72. 
3.53) Seja B = bola branca e P = bola preta 
S = {PPP, PPB, PBP, BPP, BBP, BPB, PBB, BBB} e o número de resultados possíveis é igual a 7 × 7 × 7 = 
343. 
3.54) Seja B = bola branca e P = bola preta 
S = {PPP, PPB, PBP, BPP, BBP, BPB, PBB} e o número de resultados possíveis é igual a 7 × 6 × 5 = 210. 
3.55) Seja B = peças boas, L = peça com defeitos leves e G = peças com defeitos graves 
S = {BB, BL, BG, LB, LL, LG, GB, GL, GG} e o número de resultados possíveis é igual a 16 ×15 = 240. 
3.56) S = {J, Q, K, J, Q, K, J, Q, K, J, Q, K} 
3.57) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9, 10, J, Q, K} 
3.58) a) Uma pessoa: S = {A, B, C, D, E} 
 b) Duas pessoas: S = {AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE} 
 c) Três pessoas: S = {ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE} 
 d) Quatro pessoas: S = {ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE} 
 e) Cinco pessoas: S = {ABCDE} 
3.59) Seja A = bola azul e B = bola branca, S = {B, AB, AAB, AAAB, AAAAB, AAAAAB, AAAAAAB} 
3.60) S = {AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF} 
 33 
3.61) S = {AB, AC, AD, AE, AF, AG, BC, BD, BE, BF, BG, CD, CE, CF, CG, DE, DF, DG, EF, EG, FG} 
3.62) Estudantes = A, B, C, D, E, F. 
S = {ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF, CDE, CDF, CEF, 
DEF} 
3.63) A = face azul, B = face branca e V = face vermelha 
S = (AA, AB, AV, BA, BB, BV, VA, VB, VV}. Número de resultados possíveis é igual a 36. 
Eventos 
3.64 Eventos mutuamente exclusivos: b, c, d, g, h. 
3.65) Seja: C = cara e K = coroa. 
a) A = {KC, KK} e B = (KC, CK, KK} b) A  B = {KC, KK} e A  B = {KC, CK, KK} 
c) Ac = {CK, CC} e Bc = {CC} d) (A  B)c ={CC} e (A  B)c = {CK, CC} 
3.66) a) A = (11, 22, 33, 44, 55, 66} e B = {16, 25, 34, 43, 52, 61} 
b) Sim. c) A  B = (11, 22, 33, 44, 55, 66, 16, 25, 34, 43, 52, 61} e A  B =  
3.67) Espaço amostral S = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6} 
a) Evento A = {C3, K3, C6, K6} e evento B = {K1, K2, K3, K4, K5, K6} 
b) Não 
c) Ac = (C1, C2, C4, C5, K1, K2, K4, K5} e Bc = {C1, C2, C3, C4, C5, C6} 
d) A  B = {C3, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6} e A  B = {K3, K6} 
3.68 {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c},  
 
3.69) 
Evento 1: visitaram Londres, não levaram dinheiro a mais para compras e não têm tempo de sobra. 
Evento 2: visitaram Londres e levaram dinheiro a mais para compras, mas não têm tempo de sobra. 
Evento 3: não visitaram Londres, levaram dinheiro a mais para compras e não têm tempo de sobra. 
Evento 4: não visitaram Londres, levaram dinheiro a mais para compras e têm tempo de sobra. 
Evento 5: não visitaram Londres e não levaram dinheiro a mais para compras, mas têm tempo de sobra. 
Evento 6 = visitaram Londres, não levaram dinheiro a mais para compras e têm tempo de sobra. 
E vento 7: visitaram Londres, levaram dinheiro a mais para compras e têm tempo de sobra. 
3.70 Seja: S = sim, N = Não e I = Indiferente, Evento = {SN, NS, SI, IS, NI, IN} 
3.71) Não, porque existe o evento A  B = {6,6} 
3.72) Seja: C = cara e K = coroa 
a) A = (CKK, KCK, KKC} e B = (CKC, KKC, CKK, KKK} 
b) Não. 
c) (A  B) = {CKK, KKC} e (A  B) = {KCK, CKC, KKC, CKK, KKK} 
d) Ac = {KKK, KCC, CKC, CCK, CCC} E Bc = {CCC, CCK, KCC, KCK} 
 34 
e) (A  B)c = {CCC, CCK, CKC, KCC, KCK, KKK} e (A  B)c = {CCC, KCC, CCK} 
Probabilidade 
 
3.73) a) 1/6 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/2 e) 1/2 f) 0 3.74) a) 1/10 b) 1/2 c) 2/5 d) 0 
3.75) a) 7/20 b) 7/60 c) 13/30 d) 1 e) 0 f) 19/60 g) 41/60 
3.76) a) 1/80 b) 1/40 c) 3/80 d) 1/20 3.77) a) 1/5 b) 3/10 c) 6/25 d) 4/50 e) 2/7 
3.78) a) 3/8 b) 1/2 c) 1/4 d) 3/4 3.79) 2/9 3.80) 13/36 3.81) 120/343 
3.82) a) 1/6 b) 5/12 c) 2/9 3.83) a) 5/8 b) 1/4 c) 1/3 3.84) a) 0,16 b) 0,48 c) 0,36 
3.85) a) 1/13 b) 3/13 c) 1/4 d) 1/26 e) 4/13 3.86) a) 8/52 b) 1/26 c) 19/52 d) 3/13 
3.87) a) 2/13 b) 12/13 c) 11/26 d) 1/4 3.88) 5/8 3.89) a) 16/25 b) 4/25 c) 1/25 d) 8/25 e) 4/5 
3.90) a) 156/245 b) 40/245 c) 9/245 d) 16/49 e) 39/49 
3.91) a) 48/240 b) 10/240 c) 10/48 d) 192/240 e) 38/48 
3.92) a) 4/16 b) 6/16 c) 4/16 d) 1/16 e) 1/16 3.93) a) (0,85)4 = 0,5220 b) 4·0,85·(0,15)3 = 0,0115 
3.94) a) 90/462 b) 64/462 c) 132/462 3.95) a) 6/240 b) 80/240 3.96) a) 0,7787 b) 0,2031 c) 0,9818 
3.97) a) 0,9216 b) 0,0736 c) 0,0016 3.98) a) 5/8 b) 3/7 c) 53/56 
3.99) a) 2/3 b) 1/2 c) 7/12 d) 3/4 e) 5/12 3.100) a) 56/150 b) 25/150 c) 66/150 d) 3/150 
3.101) 40/72 3.102) a) 0,45 b) 0,60 c) 0,15 d) 0,2 e) 0,17 f) 0,24 3.103) a) 18/20 b) 13/20 c) 15/20 
3.104) a) 156/380 b) 338/380 c) 358/380 d) 224/380 e) 130/380 
3.105) a) 336/1.320 b) 672/1.320 c) 288/1.320 d) 24/1.320 e) 1.296/1.320 
3.106) a) 30/90 b) 6/90 c) 12/90 d) 42/90 e) 84/90 
3.107) a) 160/200 b) 30/200 c) 55/200 d) 75/200 e) 30/85 f) 30/105 g) 95/200 h) 115/200 
3.108) a) 0,3366 b) 0,024 c) 0,188 d) 0,452 3.109) a) 0,6375 b) 0,325 c) 0,0375 
3.110) a) 160/300 b) 50/300 c) 70/300 d) 40/300 e) 50/90 f) 50/120 g) 180/300 h) 210/300 
3.111) a) 200/400 b) 240/400 c) 280/400 d) 160/400 
3.112) a) 44 b) 7/44 c) 35/44 d) 7/27 e) 9/44 
3.113) a) 48/160 b) 45/160 c) 13/160 d) 80/160 e) 96/160 
 f) 33/160 g) 28/42 h) 28/86 i) 32/39 j) 28/112