Apostila de Estimativa

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7 – Estimativa da Média 
 
A estimativa é um processo em que uma amostra é selecionada, mede-se as estatísticas 
necessárias, como por exemplo, a altura média e desvio padrão da amostra. Então é feita uma 
inferência, ou seja, um processo de generalização, dizendo que a partir da média da amostra 
será possível concluir que ela será a média da população. Em outras palavras, com os dados 
da amostra tira-se conclusão da população. 
 
Neste processo de inferência, quando se retira uma amostra da população, deseja-se 
obter uma amostra que seja representativa da população, então temos dois casos distintos de 
processo de retirada: com reposição e sem reposição. O que mais interessa em inferência é o 
processo de amostragem sem reposição. 
 
No processo de amostragem sem reposição quando o tamanho da amostra é muito 
menor do que o tamanho da população e no processo de amostragem com reposição, 
considera-se o caso de população infinita. Neste caso, de um modo geral, as probabilidades 
de retirada de cada elemento da população se mantêm inalteradas. 
 
No processo de amostragem sem reposição quando o tamanho da amostra é 
considerável em relação ao tamanho da população, considera-se o caso de população finita. 
Neste caso, de um modo geral, as probabilidades de retirada de cada elemento da população 
modificam-se e para corrigir esta distorção, utiliza-se o fator de correção finita. 
 
Existem dois tipos de estimativa, a estimativa pontual e a estimativa intervalar. Por 
exemplo, quando se fala que o brasileiro tem uma altura média de 1,72 m, estamos falando da 
estimativa pontual. Quando se fala que o brasileiro tem uma altura média que está entre 1,70 m 
e 1,74 m, estamos falando da estimativa intervalar. 
 
7.1 – Estimativa Pontual da Média 
 
Na estimativa pontual usamos os dados da amostra para calcular um valor de uma 
estatística que serve como uma estimativa de um parâmetro da população. 
 
A média da amostra 
x
 é um estimador pontual da média populacional . 
 
x
 
 
Exemplo 1 
Vamos supor que para a população de estagiários na área de Administração, tenhamos 
selecionado uma amostra aleatória simples de 12 deles, em que desejamos saber qual a idade 
em que eles conseguiram o seu primeiro estágio em Administração, sabendo-se que a 
população tem um comportamento normal. 
 
20 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 25 
 
Qual a estimativa pontual da média da população? 
 
Solução 
 
Primeiro devemos calcular a média aritmética da amostra, então precisamos de n e x. 
 
n = 12 e 
  269x
 
A média amostral será: 
4,22
12
269
n
x
x 

 
 2 
 
A estimativa pontual da média populacional é de 22,4 anos, ou seja, supõe-se que os 
estagiários fazem o seu primeiro estágio em Administração com uma média de 22,4 anos. 
 
 
7.2 – Estimativa Intervalar da Média 
 
Existem dois casos de estimativa intervalar da média. 
- Quando do desvio padrão da população não é conhecido. 
- Quando do desvio padrão da população é conhecido 
 
Quando se fala em estimativa intervalar, deseja-se criar um intervalo da média da 
população a partir dos dados da amostra. É preciso encontrar o limite inferior da média (Li) e o 
limite superior da média (Ls) para um dado intervalo de confiança, que é a probabilidade da 
média da população estar dentro do intervalo. Os valores de intervalo de confiança mais 
comuns são: 90%, 95% e 99%. O intervalo de confiança é também chamado de nível de 
confiança. 
 
Fixando um nível de confiança: 1 –  (probabilidade da média da população estar dentro 
do intervalo), tem-se que a média populacional estará entre um limite inferior (Li) e um limite 
superior (Ls), e  é o nível de significância (probabilidade da média estar fora do intervalo de 
confiança), conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
O nosso estudo de estimativa intervalar da média será dividido em três etapas: 
 
a) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população 
não é conhecido para pequenas amostras (n ≤ 30): distribuição t 
 
b) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população 
não é conhecido para grandes amostras (n > 30): distribuição normal 
 
c) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população 
é conhecido: distribuição normal 
 
 
a) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da 
população não é conhecido para pequenas amostras (n ≤ 30): distribuição t 
 
Para fazer estimativa intervalar, precisaremos dos seguintes dados da amostra: 
 
- Média da amostra: 
n
x
x


 
 3 
- Desvio padrão da amostra: 
1n
)xx(
S
2



 ou 
1n
n/)x(x
S
22



  
 
- Tamanho da amostra: n 
 
 
Para o caso de tamanho de amostra pequeno, geralmente menor ou igual a 30 e desvio 
padrão da população desconhecido, utiliza-se a distribuição t, que é a distribuição correta 
para este caso em que se tem somente os dados da amostra. 
 
A distribuição t é uma distribuição do tipo normal e existe uma distribuição t para cada 
grau de confiança (1 – α) e grau de liberdade (GL). Quando o tamanho da amostra é maior do 
que 120, pode-se utilizar com uma boa aproximação a distribuição normal. 
 
O Anexo A traz, em forma de tabela, os valores de t em função dos graus de liberdade e 
em função da área . Note que a distribuição t é função de duas variáveis: o número de graus 
de liberdade GL e a área . Neste nosso caso, o número de graus de liberdade é o tamanho da 
amostra menos um (GL = n – 1). Onde GL é o grau de liberdade. A área α é igual a 1 menos o 
intervalo de confiança, ou seja, se o intervalo de confiança vale 95% (0,95), então a área α vale 
0,05. Se o intervalo de confiança vale 99% (0,99), então a área α vale 0,01. 
 
Distribuição t  função(graus de liberdade; área α) 
 
A área (1 - ) é o intervalo de confiança, onde a verdadeira média deverá estar e a área 
() é onde a média não deverá estar. 
 
Lembrando: GL= n – 1 é o número de graus de liberdade, ou seja, o tamanho da amostra 
menos um. 
 
Intervalo de confiança 
 
Podem ser definidos os intervalos de confiança de 95%, 90% ou outros, mediante o 
emprego da tabela de distribuição t. Dessa maneira, a média da população, , pode ser 
avaliada dentro dos limites de confiança especificados. 
 
Vamos construir o intervalo de confiança. 
 
A estimativa da média da população é a média da amostra mais ou menos o erro. 
 
 
errox 
 
 
 4 
Este erro é chamado de margem de erro ou erro máximo de estimativa, ou seja, é o 
afastamento máximo da média amostral em torno da média populacional. 
 
Margem de erro  
 xerro
 
 
A fórmula acima é a definição geral da margem de erro quando se conhece a média da 
população, mas quando não se conhece a média da população, a margem de erro é dada pela 
fórmula abaixo para o caso de σ desconhecido e n ≤ 30. 
O erro é dado por  
n
S
terro 
 
Então: 
n
S
tx 
 
 
Limite inferior  
erroxLi 
  
n
S
txLi 
 
 
Limite superior  
erroxLs 
  
n
S
txLs 
 
 
Lembrando que na tabela, os seguintes dados de entrada são necessários: 
 
GL = n – 1 é o grau de liberdade e  é a probabilidade de erro na estimação 
 
A distribuição t supõe que a população submetida à amostragem seja normal. 
 
Essa hipótese é particularmente importante para n 

 30. 
 
A probabilidade de a média populacional estar entre o limite inferior (Li) e o limite superior 
(Ls) é o intervalo de confiança (1 – α). 
 
 1)LL(P si
  






 1
n
S
txn
S
txP
 
 
Exemplo 2 
Vamos supor que para a população de estagiários na área de Administração, tenhamos 
selecionado uma amostra aleatória simples de 12 deles, em que desejamos saber qual a idade 
em que eles conseguiram o seu primeiro estágio em Administração, sabendo-se que a 
população tem um comportamento normal. 
 
20 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 25 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira idade média dos 
estagiários. 
b) Calcule o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de 95%. 
 
Tem-se: 
  269X
 
  051.6X2
 n = 12 
 
Média amostral  
4,22
12
269
n
x
x 

 
 
 5 
Desvio padrão amostral  
11
917,20
112
12/269051.6
1n
n/)x(x
S
222







  
 
S = 1,379 
 
a) Intervalo de confiança de 95%. 
 
Estimativa da média  
n
S
tx 
 
 
Só falta encontrar o valor de t que é função de α e do grau de liberdade. 
 
GL = n – 1 = 12 – 1 = 11 
 
Se 1 – α = 0,95, então α = 0,05 
 
Para GL = 11 e α = 0,05, o valor de t = 2,2010. (Anexo A) 
 
Substituindo os valores na estimativa da média, teremos: 
 
12
379,1
2010,24,22 
  
9,04,22 
 
 
Limite Inferior  Li = 22,4 – 0,9 = 21,5 anos 
 
Limite Superior  Ls = 22,4 + 0,9 = 23,3 anos 
 
Para um intervalo de confiança de 95%, a verdadeira idade média dos estagiários de 
administração estará entre 21,5 anos e 23,3 anos, para uma amostra de tamanho 12. 
 
b) Erro máximo de estimativa 
 
9,0
12
379,1
201,2
n
S
terro 
  erro = 0,9 ano 
 
O erro máximo de estimativa é de 0,9 ano, para um intervalo de confiança de 95% e para 
um tamanho de amostra 12. 
 
 
Exemplo 3 
 
A análise de uma substância para produto de beleza, sendo a variável de interesse o pH 
do produto, tem um comportamento normal, em que forneceu os seguintes resultados: 
 
 7,7 8,0 8,5 8,6 
 
a) Construir um intervalo de confiança de 99% para a média dessa população. 
b) Calcular o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de 99%. 
 
a) Intervalo de confiança de 99%. 
 
Neste caso o tamanho da amostra é 4, ou seja, n = 4. 
 
 6 
A média desta amostra será: 
n
x
x


 
 
 
2,8
4
8,32
4
6,85,80,87,7
x 


 
 
 
A variância amostral será:  
1n
n/xx
1n
)xx(
S
222
2






  
 
  8,32x
 e 
  5,269x2
 
 
18,0
14
4/)8,32(5,269
S
2
2 



 
 
O desvio padrão será: 2SS   424,018,0S  
 
1 -  = 0,99 ; então  = 0,01 
GL = n -1 = 4 - 1 = 3 (graus de liberdade) 
2,8x 
 e S = 0,424 
Para  = 0,01 e GL = 3  t = 5,8408 (tabela do Anexo A) 
 
Utilizando a expressão adequada, ou seja, a distribuição t, teremos: 
 
 
4
424,0
8408,52,8 
  
2,12,8 
 
 
Limite Inferior  Li = 8,2 – 1,2 = 7 
 
Limite Superior  Ls = 8,2 + 1,2 = 9,4 
 
Para um intervalo de confiança de 99%, o pH médio de todos os produtos estará entre 7 
e 9,4, para uma amostra de tamanho 4. 
 
b) Erro máximo de estimativa 
 
4
424,0
8408,5erro 
  erro = 1,2 
 
O erro máximo de estimativa é de 1,2, para um intervalo de confiança de 99% e para um 
tamanho de amostra 4. 
 
 
b) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da 
população não é conhecido para grandes amostras (n > 30): distribuição normal 
 7 
 
Quando o desvio padrão da população é desconhecido, então se utiliza o desvio padrão 
da amostra. Para o caso de amostras grandes, geralmente acima de 30 elementos, pode-se 
utilizar a distribuição normal ao invés de utilizar a distribuição t. 
 
A estimativa da média da população é a média da amostra mais ou menos o erro. 
 
errox 
 
 
Este erro é chamado de margem de erro ou erro máximo de estimativa, ou seja, é o 
afastamento máximo da média amostral em torno da média populacional. 
 
O erro é dado por  
n
S
zerro 
 
 
Lembre-se que, neste caso, será utilizada a distribuição normal ao invés da distribuição t. 
Por isto que a variável t foi substituída pela variável z na fórmula do erro. 
 
Então: 
n
S
zx 
 
 
Limite inferior  
erroxLi 
  
n
S
zxLi 
 
 
Limite superior  
erroxLs 
  
n
S
zxLs 
 
 
A probabilidade de a média populacional estar entre o limite inferior (Li) e o limite superior 
(Ls) é o intervalo de confiança (1 – α). 
 
 1)LL(P si
  






 1
n
S
zx
n
S
zxP
 
 
 
Exemplo 4 
 
Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento. Uma amostra de 100 peças 
foram ensaiadas, fornecendo uma duração média de 4.000 horas e um desvio padrão de 200 
horas. 
a) Construa intervalos de confiança de 95% e 90% para a verdadeira média. 
b) Calcule o erro máximo de estimativa para os intervalos de confiança do item a. 
 
O problema não diz que a população tem comportamento normal, mas o tamanho da 
amostra é igual a 100, então quando o tamanho da amostra é maior do que 30, a distribuição 
das médias amostrais terá um comportamento normal (isto decorre do Teorema do Limite 
Central que será comentado logo adiante), sendo possível utilizar a distribuição normal. 
 
 
Dados do problema: 
- desvio padrão  S = 200 h 
- tamanho da amostra  n = 100 peças 
- vida média da amostra  
000.4x 
h 
 
 8 
a) Construção de intervalos de confiança de 95% e 90% para a verdadeira média. 
 
Intervalo de confiança = 95% 
 
Para se encontrar o valor de z, deve-se dividir o intervalo de confiança por dois, então 
encontrar o valor de z correspondente. 
 
1 - α = 0,95, então (1 - α)/2 = 0,475  este é o valor a ser procurado dentro da tabela 
(Anexo B) da distribuição normal padrão para encontrarmos o valor de z. 
 
A tabela do Anexo B fornece o valor de z = 1,96 para o valor tabelado de 0,475. 
Substituindo este valor na equação, teremos: 
 
2,39000.4
100
200
96,1000.4
n
zx 


 
 
Limite inferior  Li = 4.000 – 39,2 = 3.960,8 h. 
 
Limite superior  Ls = 4.000 + 39,2 = 4.039,2 h. 
 
Para um intervalo de confiança de 95%, a verdadeira média estará entre 3.960,8 horas e 
4.039,2 horas, utilizando uma amostra de tamanho 100. 
 
Intervalo de confiança = 90% 
 
1 - α = 0,90, então (1 - α)/2 = 0,45  este é o valor a ser procurado dentro da tabela da 
distribuição normal padrão para encontrarmos o valor de z. 
 
A tabela do Anexo B fornece o valor entre z = 1,64 e z = 1,65. Qualquer um destes dois 
valores pode ser escolhido. Optando pelo valor de z = 1,65 e substituindo-o na equação, 
teremos: 
 
33000.4
100
200
65,1000.4
n
zx 


 
 
Limite inferior  Li = 4.000 – 33 = 3.967 h. 
Limite superior  Ls = 4.000 + 33 = 4.033 h. 
 
Para um intervalo de confiança de 90%, a verdadeira média estará entre 3.967 horas e 
4.033 horas, utilizando uma amostra de tamanho 100. 
 
b) Cálculo do erro máximo de estimativa para os intervalos de confiança do item a. 
 
Erro máximo de estimativa para intervalo de confiança de 95% 
 
2,39
100
200
96,1
n
S
zerro 
  erro = 39,2 
 
Erro máximo de estimativa para intervalo de confiança de 90% 
 
33
100
200
65,1
n
S
zerro 
  erro = 33 
 
 
 9 
O erro máximo de estimativa foi de 39,2 horas para um intervalo de confiança de 95% e o 
erro máximo de estimativa foi de 33 horas para um intervalo de confiança de 90%. 
 
 
c) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desviopadrão da 
população é conhecido: distribuição normal 
 
Quando o desvio padrão da população é conhecido, ao invés de ser utilizado o desvio 
padrão da amostra, será utilizado o desvio padrão da população (

) e, consequentemente, a 
distribuição normal. Caso o tamanho da amostra seja menor ou igual a 30, é necessário que a 
população tenha um comportamento normal. Caso o tamanho da amostra seja maior do que 
30, não é preciso conhecer o comportamento da população, pois a distribuição será normal. 
 
A estimativa da média da população é a média da amostra mais ou menos o erro. 
 
errox 
 
 
Este erro é chamado de margem de erro ou erro máximo de estimativa, ou seja, é o 
afastamento máximo da média amostral em torno da média populacional. 
 
O erro é dado por  
n
zerro


 
 
Então: 
n
zx


 
 
Limite inferior  
erroxLi 
  
n
zxLi


 
 
Limite superior  
erroxLs 
  
n
zxLs


 
 
A probabilidade de a média populacional estar entre o limite inferior (Li) e o limite superior 
(Ls) é o intervalo de confiança (1 – α). 
 
 1)LL(P si
  





 


 1
n
zx
n
zxP
 
 
 
Exemplo 5 
 
Num processo de fabricação, em que se calcula a quantidade média produzida de um 
determinado produto diariamente, sabe-se que o desvio padrão é igual a 5% em torno da 
média. Uma amostra de tamanho 20 foi selecionada, em que a média da amostra obtida é igual 
a 60. 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira quantidade média deste 
produto. 
b) É necessário fazer alguma suposição a respeito da população? Por quê? 
c) Calcule o erro máximo de estimativa. 
 
 
 10 
a) Construção de um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira quantidade média 
deste produto. 
 
Como não sabemos o tamanho da população, é o caso de população infinita. 
Neste caso conhecemos o desvio padrão populacional percentual. 
 
36005,0 
 
99,01 
  
495,0
2
1


  Z = 2,58 (Tabela do Anexo B) 
 
Substituindo este valor na equação, teremos: 
 
7,160
20
3
58,260
n
zx 


 
 
Limite inferior  Li = 60 – 1,7 = 58,3. 
 
Limite superior  Ls = 60 + 1,7 = 61,7. 
 
Para um intervalo de confiança de 99%, a verdadeira quantidade média estará entre 58,3 
e 61,7, utilizando uma amostra de tamanho 20. 
 
b) É necessário fazer alguma suposição a respeito da população? Por quê? 
 
Sim, é preciso que a população tenha um comportamento normal, pois para tamanhos de 
amostra menores do que 30, a distribuição amostral só será normal se a população for normal. 
 
c) Erro máximo de estimativa. 
 
7,1
20
3
58,2
n
ze 


 
 
O erro máximo de estimativa será igual a 1,7. 
 
Um resumo dos três casos de estimativa de média estudados é dado a seguir. 
 
1o Caso: não se conhece o desvio padrão da população, ou seja, têm-se somente os 
dados da amostra e o tamanho dela é menor ou igual a 30, então neste caso utiliza-se a 
distribuição t. 
 
2o Caso: não se conhece o desvio padrão da população, ou seja, têm-se somente os 
dados da amostra e o tamanho dela é maior do que 30, então neste caso utiliza-se a 
distribuição normal padronizada (variável z). 
 
3o Caso: conhece-se o desvio padrão da população, ou seja, têm-se os dados da 
amostra e o desvio padrão da população; neste caso utiliza-se da distribuição normal 
padronizada (variável z). 
 
Para se utilizar a distribuição t ou a distribuição normal padronizada, é necessário que a 
população tenha um comportamento normal. Quando a população não tem um comportamento 
normal, é necessário que o tamanho da amostra seja maior do que 30, pois a distribuição das 
médias amostrais terá um comportamento normal e isto é decorrente do Teorema do Limite 
Central. 
 
 11 
Teorema do Limite Central 
 
1o) População Normal: quando a população tem um comportamento normal, 
independentemente do tamanho da amostra escolhido, a distribuição das médias amostrais 
terá um comportamento normal. 
 
2o) População Não-Normal: quando a população não tem um comportamento normal, a 
distribuição das médias amostrais terá um comportamento normal para tamanhos de amostra 
grandes. 
 
Distribuição das Médias Amostrais: é conjunto formado a partir de uma população com 
N elementos de todas as amostras possíveis de tamanho n. Então se calcula a média de cada 
amostra e monta-se uma tabela da média da amostra e da sua probabilidade de ocorrer 
(freqüência relativa) e com isto, tem-se da distribuição das médias amostrais, que pode ser 
colocado em um gráfico da probabilidade em função da média amostral. A figura a seguir 
mostra o comportamento normal da distribuição das médias amostrais de uma população não 
normal, conforme o tamanho da amostra aumenta. 
 
 
 
 12 
 
Resumo das fórmulas de intervalo de confiança utilizadas em estimativa 
intervalar da média 
 
1)  desconhecido, n ≤ 30, população infinita  
n
S
tx 
 
 
2)  desconhecido, n > 30, população infinita  
n
S
zx 
 
 
3)  conhecido, população infinita  
n
zx


 
 
 
7.3 – Tamanho da Amostra 
 
Muitas vezes, é necessário conhecer o tamanho da amostra, mas qual será o tamanho 
da amostra que será utilizado em uma pesquisa de estimativa de média? 
O tamanho da amostra está relacionado com o erro máximo de estimativa, sendo que se 
pode determinar o tamanho da amostra tanto para o caso de população infinita como para o 
caso de população finita e o desvio padrão populacional pode ser conhecido ou não. Então 
existem quatro casos, mas serão abordados apenas os casos de população infinita. 
 
1o Caso:  conhecido 
 
Quando se conhece o desvio padrão da população deve-se utilizá-lo para o cálculo do 
tamanho da amostra, porém é preciso estimar um intervalo de confiança e a margem de erro. 
 
População Infinita 
 
A margem de erro é dada por: 
n
ze


 
 
O tamanho da amostra é dado por: 
2
22
e
z
n


 
 
2o Caso:  desconhecido (população infinita) 
 
Quando não se conhece o desvio padrão da população deve-se utilizar o desvio padrão 
de uma amostra piloto ou fazer uma estimativa do desvio padrão para o cálculo do tamanho da 
amostra, porém é preciso estimar um intervalo de confiança e a margem de erro. 
 
Utiliza-se uma amostra piloto com um determinado tamanho de amostra (n0), calcula-se o 
desvio padrão desta amostra e determina o tamanho da amostra (n1). 
Se o valor calculado coincidir com o tamanho da amostra piloto (n1 = n0), então este será 
o tamanho da amostra. 
Se o valor divergir (n1 ≠ n0), então utiliza o valor do tamanho da amostra (n1) calculado 
para escolher outra amostra. 
Com esta nova amostra de tamanho n1 calcula-se o desvio padrão e determina o novo 
tamanho da amostra (n2). 
Se este novo valor calculado coincidir com o valor anterior (n2 = n1), então este será o 
tamanho da amostra. 
 13 
Se o valor divergir (n2 ≠ n1), então utiliza o valor do tamanho da amostra (n2) calculado 
para escolher outra amostra e assim sucessivamente até o processo convergir. 
 
 
População Infinita 
 
A margem de erro é dada por: 
n
S
te 
 
 
O tamanho da amostra é dado por: 
2
22
e
St
n


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
EXERCÍCIOS 
 
Intervalo de Confiança – Pequenas Amostras (distribuição t) 
 
7.1 De uma população normal, foi obtida uma amostra aleatória com os seguintes dados: 
7, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 17. 
 
a) Qual é a média da amostra? 
b) Qual é o desviopadrão da amostra? 
c) Qual é a estimativa pontual da média da população? 
d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. 
e) Calcule o erro máximo de estimativa. 
 
7.2 De uma população normal, foi obtida uma amostra aleatória com os seguintes dados: 
5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16. 
 
a) Qual é a média da amostra? 
b) Qual é o desvio padrão da amostra? 
c) Qual é a estimativa pontual da média da população? 
d) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. 
e) Calcule o erro máximo de estimativa. 
 
7.3 Uma amostra de 15 observações de uma população normal resultou em uma média 
amostral de 30 e um desvio padrão amostral de 6. 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. 
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. 
c) Construa um intervalo de confiança de 99% para a média da população. 
d) Calcule a margem de erro para os intervalos de confiança dos itens anteriores. 
e) O que acontece com a margem de erro quando se aumenta o intervalo de confiança. 
 
7.4 Uma amostra de 20 observações de uma população normal resultou em uma média 
amostral de 50 e um desvio padrão amostral de 15. 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. 
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. 
c) Construa um intervalo de confiança de 99% para a média da população. 
d) Calcule a margem de erro para os intervalos de confiança dos itens anteriores. 
e) O que acontece com a margem de erro quando se aumenta o intervalo de confiança. 
 
7.5 Uma amostra constituída de 12 medidas de preço de um determinado produto 
apresentou uma média de R$ 45,48 e um desvio padrão amostral de R$ 10,23. 
 
a) Determinar os limites de confiança de 95% para o verdadeiro preço do produto. 
b) Determinar os limites de confiança de 99% para o verdadeiro preço do produto. 
c) Calcule os erros de estimativa dos itens a e b. 
 
7.6 Registraram-se os valores 6,7; 9,2; 7,6; 8,0 e 5,8 segundos, obtidos em cinco 
medições do tempo de parada no pit stop dos carros de Fórmula 1. Determinar os limites de 
confiança de: (a) 90% e (b) 99%, para o tempo real de parada no pit stop. Calcule os erros de 
estimativa. Leve em consideração que o tempo tem um comportamento normal. 
 
7.7 Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor levou 
em média 31,8 segundos com uma variância amostral de 5,76 segundos ao quadrado. 
Construir os limites de confiança para a média. Dado  = 5%. Calcule as margens de erro. 
 
 15 
7.8 Um teste de QI (quociente de inteligência) foi realizado com 20 estudantes voluntários 
de ensino superior de uma faculdade, apresentando uma média igual a 110 e o desvio padrão 
da amostra foi igual a 22. Nesta faculdade, a população de estudantes é grande e considere 
que o quociente de inteligência tem um comportamento normal. 
 
a) Construa um intervalo de confiança para a verdadeira média com  = 0,01. 
b) Construa um intervalo de confiança para a verdadeira média com  = 0,05. 
c) Calcule os erros de estimativa para os intervalos de confiança dos itens a e b. 
 
7.9 Um restaurante do tipo self-service cobra refeições por peso. Uma amostra aleatória 
de 8 refeições foi selecionada, resultando nos seguintes pesos em gramas. 
 
350 400 560 700 330 550 420 300 
 
a) Calcule o peso médio da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Faça a estimativa pontual do peso médio de todas as refeições. 
d) Determine um intervalo de confiança de 95% para o peso médio das refeições 
servidas. 
e) Calcule o erro máximo de estimação para o intervalo de confiança de 95%. 
 
7.10 Sabendo-se que peso tem uma distribuição normal, foi feita uma amostragem 
aleatória com 11 pacotes de farinha de mandioca, que apresentou os seguintes pesos em 
gramas: 
 
966 964 970 914 972 830 946 994 1010 970 1100 
 
a) Qual a média da amostra? 
b) Qual o desvio padrão amostral? 
c) Qual a estimativa pontual da população? 
d) Construa um intervalo de confiança de 99% para o verdadeiro peso. 
e) Calcule o erro máximo de estimação para o intervalo de confiança de 99%. 
 
7.11 Em um grupo de estudantes, foram anotadas as alturas, em centímetros, de uma 
amostra de 10 estudantes, em que a altura tem um comportamento normal. 
 
175 192 173 177 172 160 182 165 177 197 
 
a) Qual a média da amostra? 
b) Qual o desvio padrão amostral? 
c) Qual a estimativa pontual da população? 
d) Construa um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro peso. 
e) Calcule o erro máximo de estimação para o intervalo de confiança de 95%. 
 
7.12 Sabendo-se que peso tem uma distribuição normal, foi feita uma amostragem 
aleatória com 8 pacotes de milho de pipoca, que apresentou os seguintes pesos em gramas: 
 
512 512 502 508 518 508 516 510 
 
a) Qual a média da amostra? 
b) Qual o desvio padrão amostral? 
c) Qual a estimativa pontual da população? 
d) Construa um intervalo de confiança de 99,5% para o verdadeiro peso. 
e) Calcule o erro de estimação para o intervalo de confiança de 99,5%. 
 
 16 
7.13 Em uma cidade há um grande número de supermercados que comercializam 
determinado produto, cujo preço de venda admite distribuição normal de probabilidades. Uma 
amostra aleatória de preços deste produto levantados em seis supermercados revelou os 
valores em R$: 
 
 6,4 7,3 5,8 6,5 7,0 6,0 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 90% para o preço médio deste produto nestes 
supermercados. 
b) Calcule o erro de estimação para o intervalo de confiança de 90%. 
 
 
7.14 A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por uma determinada máquina 
é normal. Uma amostra de seis parafusos retirada ao acaso da produção apresentou os 
seguintes diâmetros (em milímetros): 
 
 25,4 25,2 25,6 25,3 25,0 25,4 25,5 
 
a) Calcule o diâmetro médio da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Construa intervalos de confiança de 90% e 99,5% para o diâmetro médio da produção 
dessa máquina. 
d) Calcule as margens de erro para os intervalos de confiança do item anterior. 
 
 
7.15 Uma pesquisa feita com algumas marcas de água mineral que existem no mercado 
revelou os seguintes valores de pH da água à temperatura de 25 oC, conforme o quadro 
abaixo. 
 
Marca pH Marca pH 
 Carrefour 5,48 Genuína Lindoya 6,30 
 Schinchariol 7,59 Magna 5,76 
 Fratelli Vita 6,02 Crystal 7,22 
 Levíssima 4,86 Premiata 7,69 
 Minalba 7,80 Acqua Sadia 7,80 
 Prata 5,87 São Lourenço 5,29 
 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 99% para o pH médio das águas minerais. 
b) Calcule o erro de estimativa para o intervalo de confiança de 99%. 
 
 
7.16 Foi feita uma amostragem para verificar a idade média de um grupo de alunos que 
entram em uma determinada faculdade. Para isto, utilizou-se uma amostra aleatória simples, 
com a idade em anos, dada abaixo. Sabe-se por experiência que idade tem um comportamento 
normal. 
 
37 23 19 22 33 34 34 19 20 23 23 21 30 25 36 20 
 
a) Calcule a idade média da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Construa um intervalo de confiança de 95% para a idade média de toda a população. 
d) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 95%. 
e) Nesta amostra, qual é a porcentagem de pessoas com até 23 anos? 
 
 17 
7.17 Um determinado produto tem valor médio amostral de R$ 32,70 e uma variância 
amostral de 21,16 reais ao quadrado. Sabe-se que os preços têm um comportamento normal e 
o tamanho da amostra utilizada é 15. 
 
a) Qual o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de80%? 
b) Construa um intervalo de confiança de 80% para o verdadeiro preço médio do produto 
 
 
7.18 Uma pesquisa foi realizada para verificar ao inflação nos últimos 12 meses, de 
acordo com cada Instituto, sendo que os valores estão na tabela dada a seguir. Considere para 
efeitos de cálculo que os valores abaixo são uma amostra e que a inflação tem um 
comportamento normal. 
 
Instituto Inflação nos últimos 12 meses (%) 
 
INPC 3,12 
IGP-M 4,26 
IGP-DI 3,79 
IPC (FIPE) 3,08 
ICV (Dieese) 2,90 
IPCA (IBGE) 3,02 
CUB 4,33 
 
a) Calcule a inflação média da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Qual a estimativa pontual da média? 
d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a inflação média de toda a 
população. 
e) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 95%. 
 
 
7.19 Uma pesquisa foi realizada para verificar a temperatura máxima em algumas 
cidades do Estado de São Paulo, conforme a tabela abaixo. Considere para efeitos de cálculo 
que os valores abaixo representam uma amostra e que a temperatura tem um comportamento 
normal. 
 
Cidade Temperatura Máxima (oC ) 
Araçatuba 35 
Bauru 34 
Campos do Jordão 26 
Jundiaí 32 
Piracicaba 33 
Ribeirão Preto 33 
Santos 32 
Ubatuba 32 
 
a) Calcule a temperatura média da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Qual a estimativa pontual da média? 
d) Construa um intervalo de confiança de 98% para a temperatura média de toda a 
população. 
e) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 98%. 
 
 
 18 
7.20 Uma pesquisa amostral foi realizada em alguns bancos a respeito das tarifas 
bancárias cobradas. A tabela abaixo mostra os bancos e o valor cobrado pelo talão de cheques 
enviado pelo correio. 
 
Bancos Tarifa (R$) 
 
Banco do Brasil 6,00 
Bradesco 5,80 
Caixa Econômica Federal 4,50 
HSBC não cobra 
Itaú 6,00 
Nossa Caixa não cobra 
Real não cobra 
Safra 3,60 
Santander Banespa 5,95 
 
a) Calcule a tarifa média da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Qual a estimativa pontual da média? 
d) Construa um intervalo de confiança de 99% para a tarifa média de toda a população. 
e) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 99%. 
 
 
Intervalo de Confiança (distribuição normal) 
 
7.21 Foram retiradas 36 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para 
a amostra, uma média de 50 mm e um desvio padrão de 3 mm. 
 
a) Construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. 
b) Calcular os erros de estimação para os níveis de confiança do item a. 
c) Qual o grau de confiança para que a verdadeira média tenha uma medida de 52  0,75 
mm? 
d) Qual a probabilidade da verdadeira média ter uma medida acima 53 mm? 
 
7.22 Uma amostra de 40 alunos forneceu os dados da idade deles em anos, quando 
fizeram a sua primeira faculdade. Os dados estão logo a seguir. 
 
37 23 19 22 33 34 34 19 20 23 23 21 30 25 36 20 20 35 34 38 
25 34 20 25 25 28 22 34 20 37 22 21 23 24 30 20 26 41 43 30 
 
a) Calcule a média da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Faça uma estimativa pontual da idade média dos alunos. 
d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira idade de ingresso dos 
alunos na faculdade. 
e) Calcule o erro de estimativa para o intervalo de confiança de 95%. 
 
7.23 As alturas dos alunos de uma faculdade têm distribuição normal. Foi retirada uma 
amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se 
172x 
 cm e S = 9 cm. 
a) Construir um intervalo de confiança 85% para a verdadeira média. 
b) Construir um intervalo de confiança 92% para a verdadeira média. 
c) Calcule os erros de estimativa para os intervalos de confiança dos itens a e b. 
d) Com que grau de confiança pode-se dizer que a altura média dos alunos será de 172  
1,5 cm, utilizando uma amostra de tamanho 100? 
 19 
e) Para uma amostra de tamanho 100, qual a probabilidade da média amostral estar cima 
de 173 cm? 
f) Qual a probabilidade da verdadeira média estar abaixo de 174 cm? 
 
7.24 As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 60 rolamentos produzidos 
por uma determinada máquina, apresentaram uma média de 20 milímetros e um desvio padrão 
de 1 milímetro. 
a) Qual a estimativa pontual dos diâmetros dos rolamentos? 
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio de todos os 
rolamentos. 
c) Construa um intervalo de confiança de 99% para o diâmetro médio de todos os 
rolamentos. 
d) Calcule os erros de estimativa para os intervalos de confiança dos itens b e c. 
e) Qual a probabilidade de uma amo 
 
7.25 Suponha que você deseja estimar a média do valor de vendas, por estabelecimento 
varejista, durante o último ano, de um determinado produto. O número de estabelecimentos 
varejistas é bastante grande. Determinar o intervalo de confiança de 95%, dado que os valores 
de vendas são considerados normalmente distribuídos, sendo que foi utilizada uma amostra de 
tamanho 49, com média de R$ 3.425,00 e desvio padrão de R$ 400,00. 
 
7.26) Uma amostra de 40 alunos de uma população muito grande de alunos forneceu os 
dados da altura deles em cm. Os dados estão logo a seguir. 
 
174 160 153 163 160 169 174 152 156 159 
170 165 176 180 172 177 164 186 169 180 
175 175 174 173 163 159 165 173 164 163 
153 158 173 177 155 156 170 185 170 170 
 
a) Calcule a média da amostra. 
b) Calcule o desvio padrão da amostra. 
c) Faça uma estimativa pontual da idade média dos alunos. 
d) Construa um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira altura dos alunos na 
faculdade. 
e) Calcule o erro de estimação para o intervalo de confiança de 90%. 
 
7.27) O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informou que o 
tempo de execução de tarefas que envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa. 
Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra aleatória do tempo de 
execução de 50 destas novas tarefas forneceu o valor médio de 15 minutos e um desvio 
padrão de 3 minutos. 
 
a) Determine um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução desta 
nova tarefa. 
b) Determine o erro de estimação. 
c) Calcule a probabilidade desta nova tarefa ter um tempo médio superior a 16 minutos. 
d) Calcule a probabilidade desta nova tarefa ter um tempo médio entre 14,5 minutos e 
15,5 minutos 
 
7.28) Procurando dimensionar a ajuda de custo para seus vendedores, uma empresa 
acompanhou os gastos de 64 vendedores e verificou uma despesa média de R$ 180,00 e um 
desvio padrão de R$ 36,00. 
 
a) Determine um intervalo de confiança de 98% para o gasto médio dos vendedores 
desta empresa. 
b) Determine o erro de estimação. 
 20 
c) Determine o gasto mínimo e máximo para que ele esteja a 2 desvios padrões da 
média. 
d) Qual a probabilidade de um gasto médio ser superior a R$ 172,00, supondo que se 
utilize uma amostra de tamanho 64. 
 
7.29) Suponha que o gerente de controle de qualidade de uma indústria de lâmpadas de 
filamento precisa ter segurança a respeito da vida útil das lâmpadas, para isto, retira uma 
amostra de 50 lâmpadas, obtendo uma vida útil média de 4.000 horas e um desvio padrão de 
200 horas. 
 
a) Desenvolva uma estimativa do intervalo de confiança de 99% para a verdadeira média 
de vida útil das lâmpadas. 
b) Calcule o erro de estimativa máximo para o intervalo de confiança de 99%. 
c) Qual deverá ser a vida média útil mínima e máxima, utilizando um tamanho de amostra 
igual a 50, para que a vida útil média esteja a 1,6 desvio padrão em torno da média 
populacional? 
d) Utilizando uma amostra de tamanho igual a 50, qual é aprobabilidade de uma média 
amostral ser menor do que 4.040 horas? 
 
7.30) Uma amostra aleatória simples de 50 itens resultou em uma média amostral de 35 
e o desvio padrão da população é igual a 10. 
 
a) Qual é a margem de erro para um intervalo de confiança de 90%? 
b) Construa um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira média da população. 
c) Qual a probabilidade de uma média amostral ser superior a 37, para uma amostra de 
tamanho 50? 
d) Qual a probabilidade de uma média amostral ser inferior a 38, para uma amostra de 
tamanho 50? 
 
7.31) Uma amostra aleatória de tamanho 20 resultou em uma média amostral 30 e desvio 
padrão populacional 10. Suponha que a população tenha um comportamento normal. 
a) Construa um intervalo de confiança de 99% para a média da população. 
b) Calcule a margem de erro para um intervalo de confiança de 99%. 
c) Qual a probabilidade de uma média amostral ser inferior a 33, para uma amostra de 
tamanho 20? 
d) Qual a probabilidade de uma média amostral ser inferior a 28, para uma amostra de 
tamanho 20? 
 
7.32) Os ganhos médios mensais de pessoas que trabalham em vários setores foram de 
R$750,00. O resultado desta pesquisa foi baseado em uma amostra de tamanho 300 e que o 
desvio padrão da amostra vale R$ 100,00. 
 
a) Desenvolva um intervalo de confiança de 90% para o ganho média da população. 
b) Desenvolva um intervalo de confiança de 95% para o ganho média da população. 
c) Desenvolva um intervalo de confiança de 99% para o ganho média da população. 
d) Discuta o que acontece com a margem de erro quando o intervalo de confiança 
aumenta. 
 
 
Tamanho da amostra 
 
7.33) Determine o tamanho da amostra para um erro máximo de estimativa de 8. 
Considere que o desvio padrão da população é 40. 
 
a) Suponha um intervalo de confiança de 90%. 
b) Suponha um intervalo de confiança de 95%. 
 21 
c) Suponha um intervalo de confiança de 99%. 
 
7.34) Sabendo-se que o desvio padrão da população é igual a 25 e o intervalo de 
confiança é de 95%. 
 
a) Presumindo que a margem de erro deve ser igual a 2, qual deve ser o tamanho da 
amostra? 
b) Se a margem de erro for igual a 3, qual deve ser o tamanho da amostra? 
 
7.35) Acredita-se que os salários de uma determinada categoria de profissionais tenham 
um desvio padrão de R$ 1.000,00. Considere que se deseja uma estimativa por intervalo de 
confiança de 95% do salário médio desta categoria. Qual o tamanho da amostra se a margem 
de erro for igual a: 
 
a) R$ 300,00? 
b) R$ 250,00? 
c) R$ 100,00? 
 
7.36) Que tamanho de amostra será necessário para uma margem de erro de 1 e um 
desvio padrão populacional igual a10 para os seguintes intervalos de confiança: 
 
a) 90%? 
b) 95%? 
c) 99%? 
 
7.37) Para um processo de amostragem, qual deverá ser o tamanho da amostra, 
supondo que o desvio padrão seja igual a 4 e a margem de erro igual a 0,2 para um intervalo 
de confiança de 86%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
Anexo A – Distribuição t 
 
 
Esta tabela fornece os valores de t que 
correspondem a uma área () - área da 
cauda direita mais a área da cauda 
esquerda e a um número específico de 
graus de liberdade (GL = n – 1). 
 
Graus de Área  
Liberdade 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 
1 3,0777 6,3137 12,706 31,821 63,656 127,32 318,29 636,58 
2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 14,089 22,329 31,600 
3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 7,4532 10,214 12,924 
4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5,5975 7,1729 8,6101 
5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 5,8935 6,8685 
6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 5,2075 5,9587 
7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 4,0294 4,7853 5,4081 
8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008 5,0414 
9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6896 4,2969 4,7809 
10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437 4,5868 
11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 4,0248 4,4369 
12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296 4,3178 
13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 3,8520 4,2209 
14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874 4,1403 
15 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 3,2860 3,7329 4,0728 
16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,2520 3,6861 4,0149 
17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458 3,9651 
18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105 3,9217 
19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 3,5793 3,8833 
20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518 3,8496 
21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,5271 3,8193 
22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,5050 3,7922 
23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,1040 3,4850 3,7676 
24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 3,0905 3,4668 3,7454 
25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502 3,7251 
26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,4350 3,7067 
27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,4210 3,6895 
28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,0470 3,4082 3,6739 
29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,0380 3,3963 3,6595 
30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,0298 3,3852 3,6460 
40 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 3,3069 3,5510 
60 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 3,2317 3,4602 
120 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 3,1595 3,3734 
 1,2816 1,6449 1,9600 2,3264 2,5759 2,8071 3,0903 3,2906 
 
 
 
 
 23 
Anexo B – Tabela de Distribuição Normal 
 
Esta tabela fornece os valores da distribuição normal padronizada de z = 0 até z = Z. 
 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,49760,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
 
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 
3,6 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000