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EQUAÇÃO DO 2º GRAU SEM COMPLICAÇÃO... Afonso Carioca IDENTIFICANDO OS COEFICIENTES Seja uma equação de 2º grau escrita na sua forma normal: Identifiquemos os coeficientes numéricos “a”, “b” e “c”. Acompanhe no exemplo a seguir: 2 ax bx c 0 2 5x 3x 8 0 Onde : a 5 b 3 c 8 CALCULANDO O DISCRIMINANTE O discriminante da equação de 2º grau é dado pela expressão: No nosso exemplo, temos: 2 b 4ac 2 2 b 4ac Susbtituindo : 3 4 5 8 9 160 169 169 APLICANDO A FÓRMULA DE BHÁSKARA Vamos, agora, aplicar a Fórmula de Bháskara: 1 b x 2a Substituindo : 3 169 3 13 x 2 5 10 Assim : 3 13 16 x 10 2 10 1 2 22 8 8 3 13 10 x e x 1 x 1 5 5 10 10 8 S ,1 5 EXEMPLO 01: 5x² - x - 6 = 0 2 22 1 1 2 5x x 6 0 Coeficientes : a 5 b 1 c 6 Discrimin ante : b 4ac 1 4 5 6 1 120 121 121 Fórmula de Bháskara : 1 121b 1 11 x 2a 2 5 10 Assim : 1 11 10 x 1 x 1 10 10 e 1 11 12 x 10 2 10 22 6 6 x 5 5 EXEMPLO 02: 4x² - 4x + 1 = 0 2 22 4x 4x 1 0 Coeficientes : a 4 b 4 c 1 Discrimin ante : b 4ac 4 4 4 1 16 16 0 0 Fórmula de Bháskara : 4 0b 4 0 4 x 2a 2 4 8 4 8 4 1 2 1 2 1 2 Assim : b 1 x x 0 x x 2a 2 EXEMPLO 03: x² - 4x + 5 = 0 2 22 x 4x 5 0 Coeficientes : a 1 b 4 c 5 Discrimin ante : b 4ac 4 4 1 5 16 20 0 4 Fórmula de Bháskara : b 0 x i, i 1 unidade imaginária 2a 2a Assim : 44b 4 4 2 x i i i 2 i 2 i x 2 i 2a 2a 2 1 2 1 2 2 2 Raízes Complexa 1 2 s Conjugadas : x 2 i e x 2 i RELAÇÕES DE GIRARD Dada uma equação de 2º grau ax² + bx + c = 0, existem duas relações entre suas raízes reais ou complexas e seus coeficientes “a”, “b” e “c”. Assim, temos: Com essas relações podemos compor qualquer equação de 2º grau, uma vez conhecidas suas raízes e também podemos resolver equações de 2º grau sem o emprego da Fórmula de Bháskara. É o que veremos nos próximos slides. 1 2 x e x 1 2 1 2 b x x a c x x a COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU Exemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5. Solução: 2 b b 2 5 3 b 3a a a c c 2 5 10 c 10a a a Fazendo : a 1 b 3 e c 10 Assim : x 3x 10 0 é a equação solicitada. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU Exemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e . Solução: ELIMINANDO2 2 OS DENOMINADORES 2 1 b 9 b 9a 2 b 5 a 5 a 5 1 c 2 c 2a 2 c 5 a 5 a 5 Fazendo : 9 2 a 1 b e c 5 5 Assim : 9 2 x x 0 5x 9x 2 0 5 5 5x 9x 2 0 é a equação solicitada. 1 5 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO D0 2º GRAU Poderíamos resolver os exemplos anteriores de uma outra forma, mas para isso precisamos saber que toda equação de 2º grau que admite raízes racionais (fracionárias ou inteiras) pode ser decomposta em um produto de dois binômios de 1º grau. Assim: Exemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5. Solução: 1 2 x e x 2 1 2ax bx c 0 a x x x x 0 1 2 2 1 2 2 Se x 2 e x 5 x x x x 0 x 2 x 5 0 x 5x 2x 10 0 x 3x 10 0 é a equação solicitada. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU Exemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e . Solução: Analisando os dois métodos de solução, verificamos que o método da decomposição é mais rápido. Mas você deve se sentir à vontade para escolher o método mais adequado ao seu aprendizado. 1 5 1 2 2 1 2 2 2 1 Se x 2 e x 5 1 x 2 x x x x 0 x 2 x 0 x 2x 0 5 5 5 Assim : 5x x 10x 2 0 5x 9x 2 0 é a equação solicitada. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES Analisando os dois exemplos, podemos observar que uma equação de 2º grau possui raízes inteiras se o coeficiente numérico do termo x² for igual à unidade; se este coeficiente for diferente de um, então, a equação de 2º grau apresenta pelo menos uma raiz fracionária. É claro que, nesses casos, também é satisfeita a condição de o discriminante Δ ser maior ou igual a zero. Desta forma, podemos resolver TODA equação de 2º grau onde ∆≥0, usando a Relações de Girad. Para isto devemos analisar os seguintes casos: 1º) Caso: ∆≥0 e a = 1 Resolva a equação de 2º grau sem utilizar a Fórmula de Bháskara. Para resolvermos este exemplo precisamos encontrar dois números que somados sejam iguais a – b, ou seja, sua soma seja igual a 1; e que multiplicados sejam iguais a c, ou seja, o seu produto seja igual a – 30. Observe, se o produto é negativo esses números têm sinais contrários e se a soma é positiva, o número de módulo maior é positivo. Encontrando os divisores de 30, facilmente encontramos + 6 e – 5, como as raízes desta equação. 2 x x 30 0 ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES 2º) Caso: ∆≥0 e a≠1 Resolva a equação de 2º grau sem usar a Fórmula de Bháskara. Para resolvermos esta equação, primeiro devemos escrever a seguinte equação auxiliar: que foi obtida ao multiplicarmos 12 e -2 cujo produto é o novo termo independente; com isso recaímos no caso anterior. Precisamos encontrar dois números inteiros cuja soma seja igual a 5 e o produto seja igual a – 24 e, entre os divisores de 24, encontramos os 8 e -3 que satisfazem essas condições. E para encontramos as raízes da equação original basta dividirmos esses números por 12 e simplificarmos as frações . Assim, obtemos: 2 12x 5x 2 0 2 x 5x 24 0 1 8 x 4 12 24 2 3 e x 3 3 12 3 1 1 2 S ; 4 4 3 ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES Outras simplificações também são importantes na resolução de uma equação do 2º grau sem que seja necessária a aplicação da Fórmula de Bháskara. 1ª) Se a + b + c = 0 Se uma equação do 2º grau apresentar a soma de seus coeficientes igual a zero, então, temos as seguintes raízes: Veja o exemplo a seguir (você pode conferir resolvendo através da Fórmula de Bháskara). 1 2 c x 1 e x a 2 1 2 3x 5x 2 0 a 3 b 5 c 2 Mas : a b c 0 3 5 2 0 Logo : c 2 2 x 1 e x S ;1 a 3 3 ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES É importante notar que toda equação polinomial (de qualquer grau) cuja soma de seus coeficientes seja igual a zero, uma de suas raízes será igual à unidade. Com esta propriedade conseguimos abaixar o grau de uma equação polinomial. 2ª) Se b = a + c Se uma equação do 2º grau apresentar a relação b = a+c, então, ela terá as seguintes raízes: Acompanhe o exemplo a seguir: 2 1 2 3x 5x 2 0 a 3 b 5 c 2 Mas : b a c 5 3 2 Logo : c 2 2 x 1 e x S 1; a 3 3 1 2 c x 1 e x a ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES3ª) Se c = 0 Numa equação do 2º grau cujo termo independente de x esteja ausente, significa que c = 0. Assim, suas raízes são: O exemplo a seguir esclarece esta situação: 1 2 b x 0 e x a 2 1 2 5x 16x 0 a 5 b 16 c 0 Assim : 16b 16 16 x 0 e x S 0; a 5 5 5 ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES 4ª) Se b = 0 Se a equação de 2º grau apresentar o termo de 1º grau nulo, então suas raízes serão simétricas. (i) Se a e c tiverem sinais diferentes, as raízes serão simétricas e reais. (ii) Se a e c tiverem sinais iguais, as raízes serão complexas conjugadas e a solução será vazia, uma vez que estamos trabalhando apenas com números reais. 2 2 2 224 6x 24 0 6x 24 x 4 x 4 x 4 x 2 6 EQUAÇÕES BIQUADRADAS Toda equação redutível à forma: com a ≠ 0 é denominada Equação Biquadrada e pode ser reduzida à Equação de 2º Grau, mediante uma mudança de variável. Observe: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 EQUAÇÕES BIQUADRADAS 2 2 2 2 Re solvendo ay by c 0 b 0 y x y x y, y 0 2a b b 4ac 0 y x y x y, y 0 2a 0 y x EQUAÇÕES BIQUADRADAS EXEMPLO 01: Resolva a equação biquadrada Solução: 4 2x 5x 4 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x 5x 4 0 x 5x 4 0 Fazendo : x y Substituindo : y 5y 4 0 Re solvendo : a 1 b 5 c 4 b 4ac 5 4 1 4 25 16 9 9 Aplicando a Fórmula de Bháskara : 5 3 8 y 4 y 4 b 5 9 5 3 2 2 y y 2a 2 1 2 5 3 2 y 1 y 2 2 2 1 2 1 Re tornando à var iável x : x y x y, y 0 Assim : S PORQUE y 4 e y 1 valores negativos Equações Biquadradas Exemplo 02: Resolva a equação biquadrada Solução: 4 2x 5x 4 0 2 4 2 2 2 2 2 22 1 1 2 2 x 5x 4 0 x 5x 4 0 Fazendo : x y Substituindo : y 5y 4 0 Re solvendo : a 1 b 5 c 4 b 4ac 5 4 1 4 25 16 9 9 Aplicando a Fórmula de Bháskara : 5 3 2 y 1 y 1 5 9b 5 3 2 2 y y 2a 2 1 2 5 3 8 y 4 y 4 2 2 2 2 2 2 2 Re tornando à var iável x : x y x y, y 0 Assim : x y x y x 1 x 1 x 1 e x y x y x 4 x 4 x 2 Conjunto Solução : S 2, 1,1,2 Equações Irracionais Denominamos Equações Irracionais toda equação redutível à forma: Sujeita às seguintes condições de existência de suas raízes: Uma vez resolvida a equação irracional, as raízes que não satisfazem essas condições de existência devem ser descartadas. Nesse primeiro estudo, a nível fundamental, resolveremos apenas as equações irracionais que tenham raízes quadradas. E o método de resolução é bem simples, elevam-se ambos os membros ao quadrado e recaímos em uma equação ou de 1º grau ou de 2º grau, que nós sabemos resolver. f x g x f x 0 CE : g x 0 Equações Irracionais Exemplo 01: Resolva a equação irracional Solução: 2x 8 5 2 2 2x 8 5 Elevando ao quadrado ambos os membros : 2x 8 5 2x 8 25 Re solvendo : 33 2x 8 25 2x 25 8 2x 33 x 2 Verificando as condições de existência : 2x 8 0 2 33 2 8 0 33 8 0 25 0 verdadeiro Conjunto Solução : 33 S 2 Equações Irracionais Exemplo 02: Resolva a equação irracional Solução: 2x 16 x 2 2 2 2 2 2 22 8x 16 x Elevando ao quadrado ambos os membros : 8x 16 x 2x 16 x 8x 16 x 0 1 x 8x 16 0 Re solvendo x 8x 16 0 : a 1 b 8 c 16 b b 4ac 8 4 1 16 64 64 0 0 x Raiz Dupla 2a Fórmula de Bháskara : 8b 8 x 4 2a 2 1 2 x 4 Verificando as condições de existência : 8x 16 0 8 4 16 0 32 16 0 16 0 verdadeiro x 0 4 0 verdadeiro Conjunto Solução : S 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU Definição: Todo sistema de equações lineares (de 1º grau) redutível a forma Existem vários métodos de resolução, vamos estudar dois métodos: Substituição e Adição. 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c Exemplos : 2x 3y 5 x 3y 10 3x 4y 7 i ii iii 3x 2y 10 4x 3y 10 5x 3y 2 Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Substituição Consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituir na outra, resolvendo a Equação de 1º Grau, retorna-se à equação inicial e determina-se o valor da outra incógnita. Acompanhe os exercícios resolvidos. Exercício 01: Resolva o sistema de equações de 1º grau Solução: 2x 3y 5 3x 2y 10 5 2x 2x 3y 5 3y 5 2x y 3 3x 2y 10 Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Substituição Exercício 01 (continuação) 5 2x Susbtituindo y na equação 3x 2y 10 : 3 5 2x 3x 2y 10 3x 2 10 3 3 3 3x 3 5 2x 2 3 3 10, simplificando : 9x 2 5 2x 30 9x 10 4x 30 9x 4x 30 10 Assim : 40 13x 40 x 13 Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Substituição Exercício 01 (continuação) 40 5 2x Susbtituindo x em y : 13 3 40 80 5 13 805 2 5 5 2x 13 13 13y y 3 3 3 3 65 80 15 15 1 1513 13y 3 3 13 3 3 39 3 5 5 y 13 13 Conjunto Solução : 40 5 S ; 13 13 Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Exercício 02: Resolva o sistema de equações de 1º grau Solução: x 3y 10 4x 3y 10 x 3y 10 x 10 3y 4x 3y 10 Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Exercício 02 (continuação) Susbtituindo x 10 3y na equação 4x 3y 10 : 4x 3y 10 4 10 3y 3y 10 40 12y 3y 10 40 15y 10 15y 10 40 15y 30 1 30 15y 30 y 2 y 2 15 Substituindo y 2 em x 10 3y : x 10 3y x 10 3 2 10 6 4 x 4 CinjuntoSolução : S 4;2 Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Adição Consiste em multiplicarmos convenientemente as equações do sistema linear, de modo tornar os coeficientes de uma das incógnitas simétricos. A regra para tornar simétricos os coeficientes da incógnita escolhida é trocá-los ao multiplicarmos as equações. Acompanhe os exercícios resolvidos. Exercício 01: Resolva o sistema de equações de 1º grau Solução: 3x 4y 7 5x 3y 2 4 4 3 Eliminando y 3x y 7 9x 12y 21 20x 12y 85 y 23x Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Adição Exercício 01 (continuação) 9x 12y 21 20x 12y 8 Somando as equações : 9 x 20 x 12 y 12 y 29 21 8 29x 29 x 1 x 1 29 Eliminando x x 4y 7 15x 20y 35 15x 9y 6x 3y 2 Subtraindo as equações : 1 3 5 5 5x 3 15x 20y 9y 35 6 20y 9y 29 29y 29 Assim : 29 y 1 y 1 29 Conjunto Solução : S 1;1 Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Adição Exercício 02: Resolva o sistema de equações de 1º grau Solução: 2x 3y 5 3x 2y 10 Eliminando y 2x y 5 4x 6y 10 9x 6y 303x y 10 2 2 3 3 Sistemas de Equações de 1º Grau Método da Adição Exercício 02 (continuação) 4x 6y 10 9x 6y 30 Somando as equações : 4 x 9 x 6 y 6 y 40 40 10 30 13x 40 x x 13 13 Eliminando x x 3y 5 6x 9y 15 6x 4y 20x 2y 10 Subtraindo as 2 2 equações : 6x 3 3 6x 5 9y 4y 15 20 9y 4y 5 13y 5 y 13 Conjunto Solução : 40 5 S ; 13 13 Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Um sistema é dito do 2º grau quando pelo menos uma de suas incógnitas está elevada ao quadrado; ou quando existe produto de variáveis diferentes. O procedimento corrente para a resolução é o método da substituição ou o emprego de alguns artifícios, usados em alguns sistemas. O método da substituição consiste em isolarmos uma das incógnitas numa equação e substituí-la na outra; resolve-se a equação formada e em seguida retornamos à variável isolada e a determinamos. Acompanhe os exercícios resolvidos. Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Exercício 01: Resolva o sistema de 2º grau Solução: 2 2 2x y 7 x y 13 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2x y 7 1 x y 13 2 Isolando y em 1 : 2x y 7 y 7 2x 3 Substituindo 3 em 2 : x y 13 x 7 2x 13 a b a 2ab b x 7 2 7 2x 2x 13 x 49 28x 4x 13 0 Assim : 5x 28x 36 0 Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Exercício 01 (continuação) 2 22 1 1 2 2 1 1 2 Re solvendo 5x 28x 36 0 a 5 b 28 c 36 b 4ac 28 4 5 36 784 720 64 64 28 8 20 x 2 x 2 28 64b 28 8 10 10 x 2a 2 5 10 28 8 36 18 18 x x 10 10 5 5 Substituindo em 3 : y 7 2 2 7 4 3 y 3 y 7 2x 1 y 7 2 2 8 36 7 5 36 35 36 1 1 7 y 5 5 5 5 5 5 Conjunto Solução : 18 1 S 2;3 ; ; 5 5 Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Exercício 02: Resolva o sistema de 2º grau Solução: 2x y 5 xy 42 2 2 2x y 5 1 xy 42 2 Isolando y em 2 : 42 xy 42 y , x 0 3 x Substituindo 3 em 1 : 42 2x y 5 2x 5 2x 42 5x 2x 5x 42 0 x Sistemas de Equações de 2º Grau Método da Substituição Exercício 02 (continuação) 2 22 1 1 2 2 1 Re solvendo 2x 5x 42 0 a 2 b 5 c 42 b 4ac 5 4 2 42 25 336 361 361 5 19 14 7 7 x x 5 361b 5 19 4 4 2 2 x 2a 2 2 4 5 19 24 x 6 x 6 4 4 Substituindo em 3 : 42 2 84 y 42 7 7 7 42 y 2 x 1 2 2 12 y 12 42 y 7 y 7 6 Conjunto Solução : 7 S ; 12 ; 6;7 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Resolva as Equações de 2º Grau 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a) x 10x 16 0 b) x 4x 5 0 c) x 10x 16 0 d) 3x 17x 10 0 e) 5x 17x 12 0 f) 2x 3x 1 0 g) 15x 11x 2 0 h) 4x 20x 21 0 i) 3x 2x 65 0 j) 5x 4x 7 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2. Resolva as Equações Biquadradas 4 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 a) 4 x 25x 144 0 b) x 32x 256 0 c) x 58x 441 0 d) 3x 41x 400 0 e) x 68x 256 0 f) 4x 6x 8 0 g) 3x 30x 27 0 h) x 4x 5 0 i) 7x 47x 40 0 j) 5x 4x 9 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3. Resolvas Equações Irracionais 2 2 2 a) 2x 1 x b) 3x 1 1 c) x 7 2x 1 d) x 1 x 1 e) x 1 2x 3 f) 4x 7 2x 8 g) 4x 7 2x 8 h) x 1 3 x i) 2x 1 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4. Resolva os sistemas de equações de 1º grau pelo método da substituição e em seguida pelo método da adição x y 5 a) 3x 2y 0 x y 2 b) 2x 3y 19 2x y 10 c) 5x 4y 26 x 3y 10 d) 3x 5y 12 x y 9 e) 2x 3y 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5. Resolva os sistemas de 2º grau 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 8 x y 25 a) b) x y 34 xy 12 x y 7 x y 2 c) d) xy 63x y 21 x y 1 e) x y 8 3x y 31 e) xy 15 CONSIDERAÇÕES FINAIS O objetivo dessa aula é apresentar a Equação do 2º Grau de uma forma descomplicada e que incentive todos que tenham dificuldade em resolver este tipo de equação que procure resolver o maior número possível de exercícios, seguindo os passos apresentados nesses slides. Espero que este material seja útil em seus estudos e toda comunicação de eventuais erros ou dúvidas deverão ser dirigidas para os seguintes endereços eletrônicos: afonsocarioca@hotmail.com afonsocarioca@gmail.com Muito Obrigado! AULAS PARTICULARES EM GOIÂNIA AFONSO CARIOCA – AULAS PARTICULARES RUA 96 Nº 285 – SETOR SUL – GOIÂNIA – GO FONES: (62) 3095-4964/ 99469-8239 / 98109-4036
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