Lista I - Probabilidade

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Universidade Federal de Minas Gerais 
Disciplina: EST002 - Estatística II (2º Semestre de 2012). 
Professor: Vinícius D. Mayrink. 
1ª Lista de Exercícios. 
 
1) Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A) = 0.3 e P(B) = 0.5. Calcule: 
a) ( )P A B∩ 
b) ( )P A B∪ 
c) ( | )P A B 
d) ( )CP A 
e) [( ) ]CP A B∪ 
 
2) Se ( ) 0.8P A B∪ = , ( ) 0.5P A = e ( )P B x= , determine o valor de x no caso de: 
a) A e B serem eventos disjuntos. 
b) A e B serem eventos independentes. 
 
3) Uma escola do ensino médio do interior de Minas Gerais tem 40% de estudantes do sexo 
masculino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que, entre as meninas, essa porcentagem é 
de 50%. Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja: 
a) Do sexo masculino e nunca tenha visto o mar? 
b) Do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar? 
 
4) Se ( ) 0.4P B = , ( ) 0.7P A = e ( ) 0.3P A B∩ = ; calcule ( | )CP A B . 
 
5) Uma equipe de futebol ganha com probabilidade 0.7 se chove e com 0.8 se não chove. Em 
setembro a probabilidade de chuva é de 0.3. Esta equipe ganhou uma partida em setembro, qual a 
probabilidade de ter chovido nesse dia? 
 
6) Mostre que se A e B são independentes então CA e CB também são independentes. 
 
7) Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior que a 
probabilidade de sair coroa. Para 2 lançamentos independentes dessa moeda, determinar: 
a) O espaço amostral. 
b) A probabilidade de sair somente uma cara. 
c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara. 
d) A probabilidade de dois resultados iguais. 
 
8) Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum deles é zero, dois são positivos e dois 
são negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números desse conjunto. Determine a 
probabilidade de: 
a) Um deles ser negativo. 
b) O quociente ser negativo. 
c) Os dois números terem o mesmo sinal. 
 
9) Verifique se são válidas as afirmações: 
a) Se 1( ) 3P A = e 3( | ) 5P B A = então A e B não podem ser disjuntos. 
b) Se 1( ) 2P A = , ( | ) 1P B A = e 1( | ) 2P A B = então A não pode estar contido em B. 
 
10) José entrega a seu amigo uma carta, destinada à sua namorada Maria, para ser colocada no 
correio. Entretanto, o amigo pode se esquecer de ir ao correio com probabilidade 0.1. Se ele não se 
esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0.1. Finalmente, se a carta foi 
enviada corretamente pelo correio a probabilidade de que Maria não receba é de 0.1. 
a) Saiba que Maria não recebeu a carta, qual a probabilidade do amigo do José ter esquecido. 
b) Suponha que o conteúdo desta carta é vital para a continuação do namoro de José e Maria. 
Se a carta não chegar a Maria então será o fim do relacionamento. Avalie a possibilidade 
desse namoro continuar. 
 
11) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma locadora de vídeos, 
estão apresentadas na próxima tabela. 
 
Sexo Comédia Romance Policial 
Homens 136 92 248 
Mulheres 102 195 62 
 
Sorteando-se ao acaso uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade de: 
a) Uma mulher ter alugado um filme policial? 
b) O filme alugado ser uma comédia? 
c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance? 
d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem? 
 
12) Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 0.1. Um 
meteorologista da TV acerta suas previsões em 80% dos dias que chove e em 90% dos dias que não chove. 
a) Qual é a probabilidade do meteorologista acertar sua previsão? 
b) Se houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de chuva? 
 
13) Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos que 
tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0.9. Entretanto, 
se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem câncer com probabilidade 0.1. Se o 
exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? 
 
14) Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma universidade. 
Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação das 
medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica: 
 
Fábrica I Subestima Exata Superestima 
Probabilidade 0.01 0.98 0.01 
 
Fábrica II Subestima Exata Superestima 
Probabilidade 0.005 0.98 0.015 
 
Fábrica III Subestima Exata Superestima 
Probabilidade 0.00 0.99 0.01 
 
As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao 
acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: 
a) Haver superestimação de medidas? 
b) Não haver subestimação de medidas efetuadas? 
c) Dando medidas exatas, ter sido fabricado em III? 
d) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas? 
 
15) Em uma pequena cidade, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se 
que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é de 40%. 
Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de: 
a) Não praticar esporte. 
b) Ser alérgico dado que não pratica esportes. 
 
 
16) Dois dados equilibrados são lançados. Calcule a probabilidade de: 
a) Obter o par (3,4), sabendo-se que ocorreu face ímpar no primeiro dado. 
b) Ocorrer face ímpar no segundo dado, sabendo-se que ocorreu face par no primeiro. 
 
17) Dois armários guardam as bolsas de voleibol e basquete. O armário 1 tem 3 bolas de voleibol e 1 de 
basquete, enquanto o armário 2 tem 3 bolas de voleibol e 2 de basquete. Escolhendo-se ao acaso um armário 
e, em seguida, uma de suas bolsas, calcule a probabilidade dela ser: 
a) De voleibol, sabendo-se que o armário 1 foi escolhido. 
b) De basquete, sabendo-se que o armário 2 foi escolhido. 
c) De basquete. 
 
18) Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 
30% da preferência eleitoral, o do centro tem 30% e o da esquerda tem 40%. Em sendo eleito, a 
probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educação e Saúde é de: 0.4, 0.6 e 0.9 para os candidatos 
de direita, centro e esquerda, respectivamente. 
a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? 
b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganhado a eleição? 
 
19) Em certa região a probabilidade de gostar de teatro é 1/3 enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. 
Determine a probabilidade de gostar de teatro e não gostar de cinema, nos seguintes casos: 
a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos. 
b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes. 
c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema. 
d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é 1/8. 
e) Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não gostar de teatro é de 3/4. 
 
20) Sendo X uma variável seguindo o modelo Uniforme discreto, com valores no conjunto {1, 2, 3, ..., 10}, 
pergunta-se: 
a) ( 7)P X ≥ 
b) (3 7)P X< ≤ 
c) ( 2 8)P X X< ∪ ≥ 
d) ( 3 6)P X e X> < 
f) ( 9 | 6)P X X≤ ≥ 
 
21) Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que 
têm essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição 
adicional que julgar necessária, responda qual é a probabilidade de: 
a) Todos serem curados? 
b) Pelo menos 2 não serem curados? 
 
22) Estatísticas de acidentes, num trecho de uma rodovia, indicam probabilidade de 0,05 de haver um 
acidente durante a madrugada (24 às 6 horas). Ocorrendoum acidente neste período, a chance de gerar 
vítimas é de 0,5. Ainda considerando o período acima, se acontece um acidente com vítima, ela será fatal 
com probabilidade 0,1. O serviço de ajuda aos usuários utiliza 2 veículos na inspeção do tráfego naquela 
área. A esse número, acrescentamos mais 2 se houver acidente. Se o acidente tem vítimas, acrescente aos 
anteriores mais 2 veículos e finalmente, acrescente mais 1 se a vítima for fatal. 
a) Encontre a função de probabilidade da variável aleatória número de veículos em serviço de auxílio 
nessa estrada durante a madrugada. 
b) Encontre a função distribuição acumulada da variável aleatória definida no item (a) 
 
 
23) Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição acumulada: 
 
0 se 1;
0,2 se 1 2;
0,5 se 2 5;( )
0,7 se 5 6;
0,9 se 6 15;
1 se 15.
x
x
x
F x
x
x
x
< −

− ≤ <
 ≤ <
=  ≤ <
 ≤ <

≥
 
Determine: 
a) A função de probabilidade de X. 
b) ( 2)P X ≤ 
c) (3 12)P X≤ ≤ 
 
24) Admita a seguinte função de probabilidade para a variável C. 
 
C 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 
ip 0,2 0,3 0,2 0,2 0,1 
 
a) Determine o valor esperado da variável aleatória C. 
b) Determine a variância de C. 
c) Considere a nova variável: R = 0,5 C + 0,1. Calcule o valor esperado e a variância de R. 
 
25) Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas 15 reais. O filho vai pedir para 
comer pipoca com probabilidade 0.7 e, além disso, pode pedir bala com probabilidade 0.9. Esses 
pedidos são atendidos pelo pai com probabilidade 0.5; independentemente um do outro. Se a pipoca 
custa 2 reais e a bala 3 reais, estude o gasto efetuado com a ida ao cinema (escreva a função de 
probabilidade da variável aleatória discreta X = “gasto com a ida ao cinema”). 
 
26) Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição: 
 
0 se 10;
0.2 se 10 12;
( ) 0.5 se 12 13;
0.9 se 13 25;
1 se 25.
x
x
F x x
x
x
<
 ≤ <
= ≤ <
 ≤ <
≥
 
 
Determine: 
a) A função de probabilidade de X. 
b) ( 12)P X ≤ 
c) ( 12)P X < 
d) (12 20)P X≤ ≤ 
e) ( 18)P X >