Lista 4 - P2 - MAT 143 - 2012-II

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
Campus Universitário - Viçosa, MG – 36570-000 – Telefone: (31) 3899-2390 – E-mail: dma@ufv.br 
 
 
4ª LISTA DE MAT 143 – 2012/II 
FUNÇÕES VETORIAIS 
 
1. Em quais pontos a curva 2r(t) t (2t t )   i k intercepta o parabolóide 
2 2z x y  ? 
 
2. Em quais pontos a curva r(t) sent cos t t   i j k intercepta a esfera 
2 2 2x y z 5   ? 
 
3. Mostre que a curva com equações paramétricas 2 3x t ,y 1 3t e z 1 t     
passa pelos pontos (1,4,0) e (9,-8,28) mas não passa pelo ponto (4,7,-6). 
 
4. Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais 2 31r (t) (t, t ,t ) , 
2r (t) (1 2t, 1 6t, 1 14t)    . Suas trajetórias se interceptam? 
 
5. Em que ponto as curvas    2 21 2r (t) t, 1- t, 3 t e r (s) 3 s, s - 2, s    se 
interceptam? 
 
6. Determine se r(t) é contínua em t = 0 
 
a) tr(t) e cossec t  i k . 
b) 2tr(t) 5 3t 1 e    i j k . 
 
7. Calcule os limites: 
 
a) 
t
t 0
e 1 1 t 1 3lim , ,
t t t 1
         
 
b) 
2
3t
2t 0
tlim e cos2t
sen t


       
 i j k 
c) 2t
t
ln tlim arctgt e
t


       i j k 
 
 
8. Se 2 3r(t) (t, t , t ) , encontre r’(t), T(1), r’’(t) e r’(t) x r’’(t). 
 
9. Se 2t 2t 2tr(t) (e , e , te ) , determine T(0), r’’(0) e r’(t).r’’(t). 
 
10. Determine a derivada da função vetorial: 
a)  2r(t) tsen t, t , t cos2t 
b) 1 2r(t) sen t 1 t    i j k 
c)  r(t) t X t  i j k 
 
11. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas 
equações paramétricas, no ponto especificado. 
 
a) 2 2x t 1, y t 1, z t 1 em P ( 1,1,1)        . 
b) t t tx e cos t, y e sen t, z e em P (1,0,1)      . 
c) 2x ln t, y 2 t, z t em P (0,2,1)    
 
12. Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva 
 r(t) sen πt, 2sen πt, cosπt nos pontos t = 0 e t = 0,5. 
 
13. Calcule a integral: 
 
a)  te 2t ln t dt  i j k 
b)  2 2
1
t t t 1 t sen(πt) dt   i j k 
c)  π 2 22
0
3sen t cos t 3sen t cos t 2sen t cost dt  i j k 
d) t2 21
1 1 e dt
t 1 t
        i j k 
e) 
2 2
0
t dt t i j 
 
14. Encontre r(t) se t tr '(t) t e te   i j k e r(0)   i j k . 
 
15. Encontre r(t) se 2r '(t) 2t 3t t   i j k e r(1)  i j . 
 
16. Determine uma expressão para  d u(t) v(t) w(t)
dt
   (produto misto). 
 
17. Determine o comprimento da curva dada: 
 
a)  r(t) 2sen t, 5t, 2cos t , 10 t 10    . 
b)  t tr(t) 2 t, e , e , 0 t 1   . 
c)  2 3r(t) 1, t , t , 0 t 1   .