AP1 CG Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Primeira Avaliac¸a˜o Presencial de Construc¸o˜es Geome´tricas - Gabarito
Questa˜o 1 Construa os pontos equ¨idistantes dos pontos A e B e tambe´m pelos quais se pode observar
o segmento CD sob um aˆngulo de 45◦.
Soluc¸a˜o: Os pontos sa˜o as intersec¸o˜es da me-
diatriz dos pontos A e B com o arco capaz
de 45◦ do segmento CD.
Questa˜o 2 Construa um triaˆngulo retaˆngulo conhecendo-se a hipotenusa e sua altura relativa.
Soluc¸a˜o: Todo triaˆngulo retaˆngulo e´ inscrit´ıvel
em uma semicircunfereˆncia cujo diaˆmetro e´
igual a hipotenusa do triaˆngulo. Assim, con-
stru´ımos um segmento AB igual a hipotenusa
dada e trac¸amos a semicircunfereˆncia de cen-
tro no ponto me´dio e raio igual a metade da
hipotenusa. Em seguida, trac¸amos uma per-
pendicular a AB e na perpendicular marcamos
a altura. Finalmente, pela altura trac¸amos uma
paralela a AB tocando a semicircunfereˆncia em
dos pontos C e C ′. Formando dois triaˆngulos
retaˆngulos congruentes.
Questa˜o 3 Construa um pol´ıgono estrelado de 8 pontas pulando 2 a 2 ve´rtices de um octo´gono
regular, sabendo que o segmento que liga duas pontas mede 6cm.
Soluc¸a˜o: Construa um segmento AB de 6cm de
comprimento. O pol´ıgono estrelado e inscrit´ıvel
em um circunfereˆncia de centro O tal que OAˆB =
OBˆA =
45◦
2
. Por isso, trac¸amos a mediatriz
do segmento AB e constru´ımos pelo ponto A um
aˆngulo de
45◦
2
para encontrarmos o ponto O. Em
seguida, constru´ımos a circunfereˆncia de centro em
O e raio OA e em tal circunfereˆncia constru´ımos o
pol´ıgono desejado.
Questa˜o 4 Encontre os pontos de se pode construir, simultaneamente, segmentos tangentes a`s duas
circunfereˆncias dadas, de comprimentos iguais a 3, 5cm.
Obs: Dado um ponto P externo a uma circunfereˆncia, consideramos o segmento tangente a`
circunfereˆncia como o segmento formado pelos pontos P e T , sendo T o ponto de contato da reta
tangente a` circunfereˆncia que conte´m P .
Sugesta˜o: Lembre que todos os pontos que formam segmentos tangentes, de comprimento
3, 5cm, pertencem a um circunfereˆncia conceˆntrica a` circunfereˆncia dada.
Soluc¸a˜o: Construa em
relac¸a˜o a cada circun-
fereˆncia um segmento tan-
gente de 3, 5cm de compri-
mento. Construa as cir-
cunfereˆncias conceˆntricas
a`s circunfereˆncias dadas
passando pe las extremi-
dades dos respectivos seg-
mentos tangentes. Os
pontos procurados sa˜o as
intersec¸o˜es dessas circun-
fereˆncias.
Questa˜o 5 Construa um triaˆngulo equ¨ila´tero sabendo que sua altura mede exatamente
√
15cm, sem
aproximac¸o˜es.
Soluc¸a˜o: Note que
√
15 =
`
√
3
2
, isto e´, ` =
2
√
5, onde ` corresponde ao lado do triaˆngulo
equ¨ila´tero. O segmento de comprimento
√
5cm
e´ a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo de
catetos 1cm e 2cm.