AP1 CG 2007.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,0 pt]Construir um triaˆngulo ABC sendo dados as altura h1 e a mediana m1
relativas aos lados AC e AB, respectivamente, e a medida do lado BC.
Soluc¸a˜o: Trace uma reta r e um segmento perpendicular a r de comprimento igual a altura.
No extremo do segmento trace uma paralela a r. De centro no mesmo extremo, que indicamos
por B, trace um arco de circunfereˆncia de raio BC interceptando r no ponto C. Com centro em
C trace um arco de raio igual ao dobro da mediana que interceptara´ a reta paralela a r no ponto
P . Ligue os pontos P e C. Marque a mediana nesse segmento a partir de C obtendo o ponto
M , que sera´ o ponto me´dio do lado AB. Assim, ligue os pontos B e M que no prolongamento
sobre r obtemos o ponto A.
Questa˜o 2 [2,0 pt]Construa o trape´zio conhecendo as duas diagonais, a base menor e uma
lateral.
Soluc¸a˜o: Sobre uma reta qualquer construa um segmento AB de comprimento igual a` base
menor. Com centro em A e raio igual a` lateral construa um arco de circunfereˆncia. Com centro
em B e raio igual uma das diagonais(nessa soluc¸a˜o utilizamos a menor) trac¸amos outro arco
que interceptara´ o primeiro arco no ponto D. Trace uma paralela a AB passando por D. Com
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
centro em A e raio igual a segunda diagonal trac¸amos um arco que interceptara´ a paralela no
ponto C. O quadrila´tero ABCD e´ uma soluc¸a˜o.
Questa˜o 3 [2,0 pt]Construa as circunfereˆncias tangentes a reta r de raio igual a R que passam
pelo ponto B.
Soluc¸a˜o: Trace um segmento PQ perpendicular a r no ponto P e de comprimento igual ao
raio dado. Pelo ponto Q trac¸amos uma paralela a` reta r. Com centro em B e raio R trac¸amos
um arco que interceptara´ a paralela nos pontos C1 e C2 que sa˜o os centros das circunfereˆncias
pedidas. Basta agora construir as circunfereˆncias de centros nesses pontos e raios iguais a R.
Questa˜o 4 [2,0 pt]Dados os segmentos de comprimento a, b e c, construa o segmento
x =
a2 − c2
b
√
10
.
Soluc¸a˜o: Construa o segmento y = b
√
10. Para isso, construa um triaˆngulo retaˆngulo de catetos
b e 3b. Nesse caso, a hipotenusa e´ o segmento y. Note que
x =
a2 − c2
b
√
10
⇔ x = (a+ c)(a− c)
b
√
10
⇔ b
√
10
(a+ c)
=
(a− c)
x
.
Isto e´, x e´ a quarta proporcional entre os segmentos y, a + c e a − c. Assim, para encontrar
o segmento x construimos duas retas concorrentes e, partir do ponto de concorreˆncia, sobre a
primeira reta construimos dois segmentos consecutivos de comprimentos y e a− c e na segunda
reta um segmento de comprimento igual a a+ c. Unimos os extremos de y e a+ c por uma reta
e pelo extremo final de a− c trac¸amos uma paralela a essa reta, que interceptara´ a reta conte´m
o segmento a+ c formando um segmento consecutivo a este de comprimento x.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
Questa˜o 5 [2,0 pt]Obtenha o ponto equ¨idistante dos pontos A e B, de onde podemos observar
o segmento CD sob um aˆngulo de 75◦.
Soluc¸a˜o: Trace a mediatriz dos pontos A e B. Construa o arco capaz do segmento CD
relativamente ao aˆngulo de 75◦. A mediatriz e o arco capaz se encontrara˜o em dois ponto P e
Q que sera˜o soluc¸o˜es para a questa˜o.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ