AP1 CG 2009.1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,0 pt]Construa o triaˆngulo ABC sabendo que AD e´ bissetriz do aˆngulo Aˆ, com
D ∈ BC, Aˆ = 60◦ e Bˆ = 45◦.
Soluca˜o Construa os aˆngulos de 30◦ utilizando AD como lado do aˆngulo (para os dois lados do
segmento). Sobre um ponto qualquer de um dos lados dos aˆngulos constru´ıdos, trace uma trace
um aˆngulo de 45◦. Pelo ponto D trace uma paralela ao lado do aˆngulo de 45◦, que interceptara´
os lados dos aˆngulos de 30◦ nos pontos B e C. O triaˆngulo ABC e´ a soluc¸a˜o do problema.
Questa˜o 2 [2,0 pt]Construa o losango conhecendo um lado e a soma das diagonais.
Soluc¸a˜o: Divida a soma das diagonais ao meio. Na extremidade de um segmento igual a
metade da soma construa um aˆngulo de 45◦ e com centro na outra extremidade construa um
arco de raio igual ao lado dado, que interceptara´ o lado do aˆngulo constru´ıdo no primeiro
segundo ve´rtice, visto que o extremo onde foi constru´ıdo o arco e´ o primeiro ve´rtice. Fazendo
a simetria do segundo ve´rtice em relac¸a˜o a` reta suporte da metade da soma das diagonais
encontramos o terceiro ve´rtice. Fazendo um arco de centro no segundo ve´rtice de raio igual ao
lado interceptamos a reta suporte da metade da soma no quarto ve´rtice.
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Questa˜o 3 [2,0 pt]Construa o pol´ıgono estrelado inscrito na circunfereˆncia de raio 4 cm, de
15 pontas, pulando de 3 em 3 pontas.
Soluca˜o Divida uma circunfereˆncia de raio 4cm em 15 partes iguais pelo processo utilizado
no problema 8 da aula 8. Em seguida, construa o pol´ıgono partindo de um desses pontos e
prosseguindo para o pro´ximo pulando 3 pontos a cada passo.
Questa˜o 4 [2,0 pt]Construir um triaˆngulo retaˆngulo conhecendo-se a hipotenusa e sua altura
relativa.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
Soluc¸a˜o; Todo triaˆngulo retaˆngulo e´
inscrit´ıvel em uma semicircunfereˆncia
cujo diaˆmetro e´ igual a hipotenusa do
triaˆngulo. Assim, constru´ımos um seg-
mento AB igual a hipotenusa dada e
trac¸amos a semicircunfereˆncia de cen-
tro no ponto me´dio e raio igual a
metade da hipotenusa. Em seguida,
trac¸amos uma perpendicular a AB e
na perpendicular marcamos a altura.
Finalmente, pela altura trac¸amos uma
paralela a AB tocando a semicircun-
fereˆncia em dos pontos C e C ′. For-
mando dois triaˆngulos retaˆngulos con-
gruentes.
Questa˜o 5 [2,0 pt]Construa as circunfereˆncias, de raio R, tangentes a` reta r e que tambe´m
tangenciam, internamente, a circunfereˆncia λ.
Sugesta˜o: A distaˆncia entre os centros de duas circunfereˆncias tangentes internamente e´ igual
a` diferenc¸a entre os raios.
Soluca˜o O centro da circunfereˆncias procuradas devem estar a uma distaˆncia de r igual ao raio
dado, ja´ que sa˜o tangentes. Assim, marque numa perpendicular a r um segmento igual ao raio
dado e, pela extremidade do segmento, trace uma reta s, paralela a r. Os centros estara˜o sobre
s. Como as circunfereˆncia pedidas sa˜o tangentes, internamente, a λ, enta˜o o centro das dessas
circunfereˆncias devem estar a uma distaˆncia de C igual a` diferenc¸a entre o raio da circunfereˆncia
dada e o raio da circunfereˆncia pedida. Dessa forma, os centro das circunfereˆncias dadas sa˜o
obtidas pela intersec¸a˜o entre s e a circunfereˆncia de centro em C e raio igual a` diferenc¸a dos
raios. Indicamos por C1 e C2 os centros das circunfereˆncias os pontos tangeˆncias, T1 e T2, esta˜o
alinhados com C e os centros C1 e C2, respectivamente.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ