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GABARITO AP3 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 2016/1 Cederj

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,0 pt]Dados os segmentos de medidas a, b e c, obtenha o segmento x =
a2 − b2√
b2 + c2
.
Soluc¸a˜o: x =
a2 − b2√
b2 + c2
⇔
√
b2 + c2
a− b =
a+ b
x
. Construa os segmentos a−b, a+b e d = √b2 + c2.
E finalmente, encontre x atrave´s da quarta proporcional.
Questa˜o 2 [2,0 pt]Construa o triaˆngulo ABC conhecendo-se o lado AB e a soma dos outros
dois lados e sabendo que o aˆngulo interno em A mede 75◦.
Construc¸o˜es Geome´tricas AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Soluc¸a˜o:Construa sobre uma reta qualquer o segmento AB dado. Na extremidade A construa
um aˆngulo de 75◦. Sobre o lado do aˆngulo constru´ıdo marque um ponto D, tal que AD tenha
comprimento igual a soma dos lados dada. Trace a mediatriz dos pontos D e B, que interceptara´
o segmento AD no ponto C. O triaˆngulo ABC e´ a soluc¸a˜o do problema.
Questa˜o 3 [2,0 pt]Construa um losango de diagonais proporcionais a 2 e 3, conhecendo-se o
lado do losango.
Soluc¸a˜o: Construa dois segmentos XY e XZ perpendiculares e de comprimentos iguais a
duas unidades e treˆs unidades, respectivamente, com uma unidade qualquer. Na semi-reta
−→
Y Z
construa um segmento igual ao lado dado. Pela extremidade do segmento constru´ıdo trac¸amos
uma paralela ao segmento XY , que interceptara´ ao reta
←→
XZ no ponto A. Com centro em A e
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
raio igual ao lado dado trac¸amos os arcos de circunfereˆncia que interceptara˜o a reta
←→
XY nos
pontos B e D. Com centro em D e mesmo raio trac¸amos outro arco e obtemos C em
←→
XZ. O
losango ABCD e´ a soluc¸a˜o do problema.
Questa˜o 4 [2,0 pt]Encontre os pontos A ∈ λ e B ∈ r, tais que OA
OB
=
3
5
.
Soluc¸a˜o: Devemos multiplicar a circunfereˆncia λ por
5
3
. Incialmente, multiplicamos o centro
C. Para isso, trace por A uma reta qualquer e marque cinco segmentos de comprimentos iguais.
Ligue a extremidade do terceiro com C por uma reta e, pela extremidade do quinto segmento,
trace uma reta paralela a esta reta. A reta paralela interceptara´ a reta
←→
OC no ponto C ′. A
reta que passa pela terceira extremidade e pelo ponto C intercepta λ no ponto P . A reta
←→
OP
intercepta a paralela no ponto P ′ que e´ o resultado da multiplicac¸a˜o de P . Construimos a
circunfereˆncia λ′ de centro em C ′ passando por P ′, que e´ o resultado da multiplicac¸a˜o de λ por
5
3
. A circunfereˆncia λ′ intercepta a reta r nos pontos B1 e B2. As retas
←−→
OB1 e
←−→
OB2 interceptam
a circunfereˆncia λ nos pontos A1 e A2, respectivamente. Os pares (A1, B1) e (A2, B2) sa˜o as
soluc¸o˜es do problema.
Questa˜o 5 [2,0 pt]Encontre o foco, o ve´rtice da para´bola e a reta diretriz, sendo t o eixo focal,
sabendo que r e´ a reta tangente a para´bola e A e´ o seu ponto de tangeˆncia.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4
Soluc¸a˜o: Trace pelo ponto A uma paralela a` reta t. Transfira o aˆngulo formado com r para
o seu outro lado, que sera´ o raio focal do ponto A. O raio intercepta t no foco F . A reta
diretriz esta´ uma distaˆncia de A igual ao segmento AF e perpendicular a t. Por isso, transfira o
comprimento de AF para a reta paralela e na extremidade trace uma perpendicular a t formando
a reta diretriz da para´bola. A diretriz intercepta a reta t, o ponto me´dio entre esse ponto e o
foco e´ o ve´rtice V da para´bola.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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