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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas Nome: Matr´ıcula: Po´lo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para ponsa´vel; ela reservado. Questa˜o 1 [2,0 pt]Dados os segmentos de medidas a, b e c, obtenha o segmento x = a2 − b2√ b2 + c2 . Soluc¸a˜o: x = a2 − b2√ b2 + c2 ⇔ √ b2 + c2 a− b = a+ b x . Construa os segmentos a−b, a+b e d = √b2 + c2. E finalmente, encontre x atrave´s da quarta proporcional. Questa˜o 2 [2,0 pt]Construa o triaˆngulo ABC conhecendo-se o lado AB e a soma dos outros dois lados e sabendo que o aˆngulo interno em A mede 75◦. Construc¸o˜es Geome´tricas AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2 Soluc¸a˜o:Construa sobre uma reta qualquer o segmento AB dado. Na extremidade A construa um aˆngulo de 75◦. Sobre o lado do aˆngulo constru´ıdo marque um ponto D, tal que AD tenha comprimento igual a soma dos lados dada. Trace a mediatriz dos pontos D e B, que interceptara´ o segmento AD no ponto C. O triaˆngulo ABC e´ a soluc¸a˜o do problema. Questa˜o 3 [2,0 pt]Construa um losango de diagonais proporcionais a 2 e 3, conhecendo-se o lado do losango. Soluc¸a˜o: Construa dois segmentos XY e XZ perpendiculares e de comprimentos iguais a duas unidades e treˆs unidades, respectivamente, com uma unidade qualquer. Na semi-reta −→ Y Z construa um segmento igual ao lado dado. Pela extremidade do segmento constru´ıdo trac¸amos uma paralela ao segmento XY , que interceptara´ ao reta ←→ XZ no ponto A. Com centro em A e Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Construc¸o˜es Geome´tricas AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3 raio igual ao lado dado trac¸amos os arcos de circunfereˆncia que interceptara˜o a reta ←→ XY nos pontos B e D. Com centro em D e mesmo raio trac¸amos outro arco e obtemos C em ←→ XZ. O losango ABCD e´ a soluc¸a˜o do problema. Questa˜o 4 [2,0 pt]Encontre os pontos A ∈ λ e B ∈ r, tais que OA OB = 3 5 . Soluc¸a˜o: Devemos multiplicar a circunfereˆncia λ por 5 3 . Incialmente, multiplicamos o centro C. Para isso, trace por A uma reta qualquer e marque cinco segmentos de comprimentos iguais. Ligue a extremidade do terceiro com C por uma reta e, pela extremidade do quinto segmento, trace uma reta paralela a esta reta. A reta paralela interceptara´ a reta ←→ OC no ponto C ′. A reta que passa pela terceira extremidade e pelo ponto C intercepta λ no ponto P . A reta ←→ OP intercepta a paralela no ponto P ′ que e´ o resultado da multiplicac¸a˜o de P . Construimos a circunfereˆncia λ′ de centro em C ′ passando por P ′, que e´ o resultado da multiplicac¸a˜o de λ por 5 3 . A circunfereˆncia λ′ intercepta a reta r nos pontos B1 e B2. As retas ←−→ OB1 e ←−→ OB2 interceptam a circunfereˆncia λ nos pontos A1 e A2, respectivamente. Os pares (A1, B1) e (A2, B2) sa˜o as soluc¸o˜es do problema. Questa˜o 5 [2,0 pt]Encontre o foco, o ve´rtice da para´bola e a reta diretriz, sendo t o eixo focal, sabendo que r e´ a reta tangente a para´bola e A e´ o seu ponto de tangeˆncia. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Construc¸o˜es Geome´tricas AP3 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4 Soluc¸a˜o: Trace pelo ponto A uma paralela a` reta t. Transfira o aˆngulo formado com r para o seu outro lado, que sera´ o raio focal do ponto A. O raio intercepta t no foco F . A reta diretriz esta´ uma distaˆncia de A igual ao segmento AF e perpendicular a t. Por isso, transfira o comprimento de AF para a reta paralela e na extremidade trace uma perpendicular a t formando a reta diretriz da para´bola. A diretriz intercepta a reta t, o ponto me´dio entre esse ponto e o foco e´ o ve´rtice V da para´bola. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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