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III- ANÁLISE COMBINATÓRIA nanci.oliveira@fatec.sp.gov.br ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES Estuda agrupamentos.Os elementos podem aparecer com ou sem repetição. Estudaremos apenas os agrupamentos em que não aparecem elementos repetidos. Os agrupamentos podem ser formados, levando-se em consideração a quantidade e a ordem dos elementos de um conjunto. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 2 INTRODUÇÃO - Problema Em uma empresa com 4 estagiários (Alex, Beatriz, Carlos, Donizete) será formada, ao acaso, uma comissão de 2 pessoas para realizar um trabalho. a) De quantas maneiras a comissão poderá ser formada? b) De quantas maneiras a comissão poderá ser formada se o primeiro estagiário a ser escolhido for o coordenador? FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 3 Solução- Problema a) {A, B, C, D} Possíveis comissões: A, B = B, A B, C = C, B C, D = D, C A, C = C, A B, D = D, B A, D = D, A Portanto, há 6 maneiras de se escolher a comissão. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 4 b) {A, B, C, D} Possíveis comissões: A, B B, A B, C C, B C, D D, C A, C C, A B, D D, B A, D D, A Portanto, há 12 maneiras de se escolher a comissão. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 5 Solução- Problema ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES Combinação simples Arranjo simples Permutação FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 6 COMBINAÇÃO • Quando interessa a natureza dos elementos, sem levar em conta a ordem. • Em símbolo: Cn,p lê-se “combinações simples de n elementos tomados p a p” • O número total de combinações é calculado pela FÓRMULA: 𝐶𝑛,𝑝 = 𝑛! 𝑝! 𝑛−𝑝 ! FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 7 ARRANJO • Quando interessa a ordem dos elementos. • Em símbolo: An,p lê-se “arranjos simples de n elementos tomados p a p” • O número total de arranjos é calculado pela FÓRMULA: 𝐴𝑛,𝑝 = 𝑛! 𝑛−𝑝 ! FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 8 PERMUTAÇÃO • É um caso particular de arranjos, onde o número de elementos dos agrupamentos é igual ao número total de elementos dado no problema (p = n). • Em símbolo: An,p lê-se “arranjos simples de n elementos tomados p a p” • O número total de arranjos é calculado pela FÓRMULA: Dedução da fórmula Pn = n! FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 9 RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO EM UM PROBLEMA 1º) Tomamos uma resposta (um agrupamento) qualquer que satisfaça o enunciado do problema. 2º) Invertemos a ordem de colocação de quaisquer dois elementos desse agrupamento. a) Se surgir uma nova resposta, temos um caso de arranjo. b) Se no arranjo p = n, temos um caso de permutação. c) Se a resposta for a mesma, temos um caso de combinação. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 10 PROBLEMA DA INTRODUÇÃO a) Temos um caso de combinação, pois a ordem dos empregados não importa, pois a comissão será a mesma. b) Temos um caso de arranjo, pois a ordem dos empregados importa, pois trocando a ordem dos empregados, teremos uma nova comissão (o primeiro será o chefe e o segundo, o subordinado). FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 11 EXEMPLO 1 De quantos modos cinco pessoas podem sentar em cinco cadeiras em fila, sabendo que em cada cadeira só pode sentar uma pessoa? Solução: É um caso de permutação: Pn = n! P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 12 EXEMPLO 2 Um aluno recebe instruções para responder cinco de oito questões propostas. De quantas maneiras ele poderá escolher as questões a que responderá? Solução É uma caso de combinação (não importa a ordem): FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 13 EXEMPLO 3 Quantos números de três algarismos distintos (sem repetição) podem ser formados com os algarismos significativos? Solução Os algarismos são dez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Os algarismos significativos são nove: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 É uma caso de arranjo (importa a ordem). Exemplo: 123 132 FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 14 EXEMPLO 4 Em uma empresa há 12 economistas e 20 engenheiros. Quantas comissões podem ser formadas: a) de 3 economistas? b) de 5 engenheiros? c) de 8 pessoas, sendo 3 economistas e 5 engenheiros? FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 15 SOLUÇÃO – EXEMPLO 4 Quantas comissões podem ser formadas: a)de 3 economistas? FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 16 É um caso de combinação (não importa a ordem, as pessoas são as mesmas): Quantas comissões podem ser formadas: b) de 5 engenheiros? FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 17 SOLUÇÃO – EXEMPLO 4 É um caso de combinação (não importa a ordem): Quantas comissões podem ser formadas: c) de 8 pessoas, sendo 3 economistas e 5 engenheiros? FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 18 SOLUÇÃO – EXEMPLO 4 É um caso de combinações (não importa a ordem): EXEMPLO 5 Quantos anagramas (letras diferentes implicam em fonemas diferentes) podemos formar com as letras da palavra MAIOR? Solução n = 5 letras diferentes É um caso de permutação: P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 19 EXEMPLO 6 Quantos anagramas da palavra MAIOR: a) Começam por M? b) Possuem o grupo MA, nessa ordem? c) Possuem o grupo MA, em qualquer ordem (MA ou AM)? Solução: a) M _ _ _ _ (A letra M fica fixa no começo, e permutamos as 4 seguintes) P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 b) MA _ _ _ (MA conta como se fosse uma letra, permutando com as outras 3. Logo, temos permutação de 4 elementos ou letras) P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 c) MA _ _ _ ou AM _ _ _ (ou é considerado como união (), portanto é soma da permutação de 4 elementos com permutação de 4 elementos. Ver item b anterior). P4 + P4 = 4! + 4! = (4x3x2x1) + (4x3x2x1) = 24 + 24 = 48 FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 20 EXEMPLO 7 Quantos são os anagramas da palavra BONECA? Solução: ANAGRAMAS são palavras (com significado ou não) extraídas de uma palavra qualquer, que também já é um anagrama. a) BONECA inverte-se a ordem: OBNECA b) n = p = 6 permutação simples c) P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 Portanto, permutando entre si as letras da palavra BONECA podemos formar ao todo 720 anagramas. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 21 EXEMPLO 8 Quantos são os anagramas da palavra FREVO iniciados por V? Solução: V F R E O inverte-sea ordem: V R F E O (V é fixo, não permuta) Temos um caso permutação simples, onde: n = p = 4 P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 Portanto, podemos formar ao todo 24 anagramas. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 22 EXEMPLO 9 Quantos são os anagramas da palavra MODERNA em que as letras R e N aparecem juntas? Solução: M O D E RN A ou M O D E NR A inverte-se a ordem: RN M O D E A ou NR M O D E A (a ordem de RN pode ser trocada também, mas sempre estando juntas na permutação, com se formassem uma única letra) Temos um caso de uma soma de permutações simples, com: n = p = 6 P6 + P6 = 6! 6! = (6x5x4x3x2x1) x (6x5x4x3x2x1) = 720 + 720 = 1440 Portanto, podemos formar ao todo 1440 anagramas. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 23 EXEMPLO 10 Quantos são os anagramas da palavra MODERNA em que as letras R e N aparecem juntas, nesta ordem? Solução: M O D E RN A inverte-se a ordem: RN M O D E A Temos um caso de permutação simples, onde: n = p = 6 P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 Portanto, podemos formar ao todo 720 anagramas. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 24 EXEMPLO 11 Quantas comissões de quatro indivíduos podem ser formadas com um conjunto de nove pessoas? Solução: É um caso de combinação (a ordem não importa). FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 25 EXEMPLO 12 Quantos são os números formados por 3 algarismos ímpares, sem repetição? Solução: Existem 5 algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9 É uma caso de arranjo (importa a ordem), pois 135 153 Portanto, podemos formar ao todo 60 números. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 26 EXEMPLO 13 De quantas maneiras diferentes podemos arrumar numa estante 3 livros de História e 4 de Matemática de modo que livros da mesma matéria permaneçam juntos? Solução: H H H e M M M M ou M M M M e H H H (Permutação de História e permutação de Matemática) ou (permutação de Matemática e permutação de História) (P3 P4 ) + (P4 P3 )= (3!4!) + (4!3!) = = (6 x 24) + (24 x 6) = 144 + 144 = 288 Portanto, podemos arrumar os livros de 288 maneiras diferentes. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 27 EXEMPLO 14 De quantas maneiras 5 pessoas podem se arrumar num automóvel com dois lugares na frente e três atrás, sendo que apenas uma é motorista? Solução: Fixamos o motorista e permutamos as outras 4 pessoas: P4 = 4! = 24 Portanto, 5 pessoas podem se arrumar num automóvel de 24 maneiras diferentes. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 28 EXEMPLO 15 De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar num automóvel com 2 lugares na frente e 3 atrás, se apenas 2 são motoristas? Solução: Fixamos o 1º motorista e fazemos permutação de 4 (4 pessoas para 4 lugares restantes) ou fixamos o 2º motorista e fazemos permutação das outras 4 pessoas (para 4 lugares restantes). Portanto, as 5 pessoas podem viajar de 48 maneiras. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 29 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA GOULART, Márcio Cintra; Art-Ciência Matemática, Vol. 2, CG Editora, São Paulo, 1995, p. 161. FATEC 2013 – Profa. Nanci - Tecnólogo em: Logística / Gestão da Produção Industrial 30
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