Funcao-exponencial-e-logaritmica_notas-de-aula

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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
DEFINIÇÃO: Chama-se função exponencial qualquer função f: R→R dada por uma lei da forma f(x) =ax, em que a é 
um número real dado, a>0 e a≠1. 
 Exemplos: y = 2x ; f(x)=(1/3)x; f(x) = (1 + x)1/x 
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Esse gráfico representa uma função exponencial crescente onde a > 1. 
 
 
Esse gráfico representa uma função exponencial decrescente onde 0 < a < 1. 
 
Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes: 
1) O gráfico (curva) de uma função exponencial nunca irá interceptar o eixo x, pois esta função não possui raiz. 
2) O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão 
positivos. 
3) O domínio natural de cada função exponencial é (-∞, + ∞) e a imagem de f(x) = ax é (0, + ∞) , admitindo por 
suposição que o gráfico de y = ax seja uma curva sem quebras, lacunas ou buracos. 
A função exponencial natural (ex) é utilizada para modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Sua 
base é número e, que é 2,718281828 para nove casas decimais. 
A função exponencial mais simples é a função 
 . Cada ponto do gráfico é da forma pois a 
ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x. 
 
O domínio da função é e a imagem é o conjunto 
 . 
PROBLEMAS: 
1) Duas populações, designadas por F e G, têm os respectivos crescimentos expressos por f(t) = 36 + t2 e g(t) = 
10(2t), sendo t o número não negativo que representa o tempo em meses. Então analise as seguintes afirmações: 
a) A população G duplica a cada mês. 
b) g(51) – g(50) = g(50) 
c) Quando t=1 a população F é menor do que a população G. 
d) Em nenhum tempo a população F será igual à população G. 
2) (Uneb-BA) A expressão P(t) = k . 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função 
do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, 
ela possuia no ano 2 000? 
a) 352 200 b) 401 000 c) 423 000 d) 439 000 e) 441 000 
3) (UFPA) Uma reserva florestal possui 10 000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores 
estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é y(t) = 10 000 . 2-t. 
 
4) Esboce o gráfico de e de , comparando-os com o gráfico de . 
5) Esboce o gráfico da função . 
6) Resolva as equações exponenciais: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine o conjunto solução da desigualdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LOGARITMOS e FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Do grego: logos (razão) + arithmos (número) 
 
Definição 
Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de a na base b é o expoente a que b deve ser elevado 
para que o resultado seja a. Em símbolos: 
 
 
Dizemos que b é a base e a é o logaritmando. 
É importante, contudo, definir algumas restrições à base e ao logaritmando: 
i) A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é 
impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes 
inteiros estão definidas para bases negativas. 
ii) A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único 
logaritmando possível (com base 1) seria 1. 
iii) O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências 
negativas. 
 
CCOONNSSEEQQUUEENNCCIIAASS 
 
- O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0. 
log a 1 = 0, pois a0 = 1 
- O logaritmo da base, qualquer que seja ela é igual a 1. 
log a a = 1, pois a1 = a 
 
- A potência de base a e expoente log a b é igual a b. 
a log a b = b 
Pois o logaritmo de b na base a é justamente o expoente que se deve dar à base a para que a 
potência fique igual a b. 
 
- Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais. 
log a b = log a c ⇒ b = c 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
log 2 4 
log 3 81 
log 2 1/8 
log 7 7 
log 5 1 
log 1/5 125 
8 log 8 5 
log 5 (2x+1) = log 5 (x+3) 
log 16 0,25 
 log 2 5 = 2,32 
log 5 = 0,699 
 
 
O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é chamado logaritmo natural, já que 
a função é a inversa da função exponencial natural ex. É comum denotar o logaritmo natural 
de x por ln x. Assim: 
ln 1 = 0 ln e = 1 ln 1/e = -1 ln (e²) = 2 ln(ex) = x ou e ln x = x 
 
 
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS LLOOGGAARRIITTMMOOSS 
 LOGARITMO DO PRODUTO: Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números 
reais e positivos é igual à soma dos logaritmos dos números. 
 log a (b. c) = log a b + log a c 
 
 LOGARITMO DO QUOCIENTE: Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois 
números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o 
logaritmo do divisor. 
 log a b/c = log a b - log a c 
 
 LOGARITMO DA POTÊNCIA: Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real 
e positiva é igual ao produto dos expoentes pelo logaritmo da base da potência. 
 log a br = r. log a b 
 
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS LLOOGGAARRIITTMMOOSS 
1) log 2 (3. 4) = log 2 3 + log 2 4 
2) log 210 
3) log 2 ¾ 
4) log 6/5 
5) log 2 37 
6) log 3 1/16 
 
MMUUDDAANNÇÇAA DDEE BBAASSEE: Converter um logaritmo de certa base para outra base. 
log a b = log c b/ log c a 
 
 
 
 
 
FFUUNNÇÇÃÃOO LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAA 
 
Dado um número real a (com 0<a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a a função de dada pela 
lei: 
 f(x) = log a x. 
Exemplos: y = log 2 x, y = log 10 x e y = log e x. 
 
Principais Características 
 Função logarítmica 
0 < a < 1 
Função logarítmica 
a > 1 
 g: lR+ lR 
 x loga x 
 
 ● Domínio = lR+ 
 ● Contradomínio = lR 
 ● g(x) = 0 <=> x = 1 
 ● A função é estritamente decrescente. 
 ● x = 0 é assíntota vertical 
g: lR+ lR 
 x loga x 
 
 ● Domínio = lR+ 
 ● Contradomínio = lR 
 ● g(x) = 0 <=> x = 1 
 ● A função é estritamente crescente. 
 ● x = 0 é assíntota vertical 
 
 
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma 
(x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
 
 
O domínio da função ln é 
 e a imagem é o conjunto . 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. 
 
 
FFUUNNÇÇÃÃOO LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAA -- aapplliiccaaççããoo 
 
LLEEII DDOO RREESSFFRRIIAAMMEENNTTOO DDEE NNEEWWTTOONN 
A temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte 
relação: 
T = T0 + ke-ct 
Nesta relação, T é a medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em 
que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. 
 
 
PPRROOBBLLEEMMAASS 
1) Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100º C, colocada numa sala de temperatura 
20º C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. 
Calcule a temperatura do café 50 minutos depois após a xícara ter sido colocada na sala. 
Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter 
sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 
2) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é o que o 
número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezeso 
inicial? (Use log 2= 0,30) 
a) 1 ano e 8 meses b) 2 anos 3 meses c) 2 anos e 6 meses d) 3 anos e 2 meses e) 3 anos e 4 meses 
3) A expressão N(t) = 1500 . 20,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma 
cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t=0). Após quantas horas da primeira 
observação haverá 250 000 bactérias nessa cultura? 
Dados: log 2 = 0,30; log 3 = 0,48. 
 
4) Na escala Richter, a violência de um terremoto de intensidade I é dada por 
 
 
. 
(a) Determine a intensidade do terremoto de 1908 em San Francisco, que atingiu 8,3 na escala 
Ritchter. 
(b) Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1908 em San Francisco que o terremoto de 1995 
em Kobe, no Japão, que atingiu 7,1 na escala Richter. 
 
5) Encontre x tal que: 
a) b) ln(x+1)=5 c) 5x = 7 
 
 
6) Resolva 
 
 
 para x. 
 
 
7) Use as propriedades dos logaritmos para reescrever a expressão em termos de r, s e t onde 
 
a) b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
8) Resolva para x: 
 
a) e) ln 4x – 3 ln (x²) = ln 2 
 
b) 
 f) 3x = 2 
 
c) ln ( x²) = 4 g) 5-2x = 3 
 
d) 
 h) 
 =7 
 
9) Esboce o gráfico de y=2. ln x e o gráfico de 
 
10) No sistema cartesiano abaixo, estão representadas as funções y = 3, onde a é número real 
diferente de zero. Determine o valor de a.