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ANOVA II

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Análise de Variância Análise de Variância 
ANOVA ANOVA -- Um fator Um fator 
1
Exemplo 3: Tempo de reação
Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo que um
indivíduo leva a reagir a um estímulo visual (Y) e alguns fatores, como
sexo e idade. Na tabela temos os tempos para 20 indivíduos.
Indivíduo Y Sexo Idade
1 96 H 20
2 92 M 20
3 106 H 20
4 100 M 20
5 98 M 25
6 104 H 25
7 110 H 25 ⇒ O tempo médio de reação é 7 110 H 25
8 101 M 25
9 116 M 30
10 106 H 30
11 109 H 30
12 100 M 30
13 112 M 35
14 105 M 35
15 118 H 35
16 108 H 35
17 113 M 40
18 112 M 40
19 127 H 40
20 117 H 40
2
⇒ O tempo médio de reação é 
influenciado pelo sexo do 
indivíduo? E pela idade?
YH: tempo de reação ao estímulo dos homens
YM: tempo de reação ao estímulo das mulheres
Suposição:
YH ~ N(µH, σ2) e YM ~ N(µM, σ2).
Hipóteses:
H : µµµµ = µµµµ
Exemplo 3: Tempo de reação x Sexo
3
H0: µµµµH = µµµµM
H1: µµµµH ≠≠≠≠ µµµµM
⇒ Como podemos testar essas hipóteses?
Duas soluções possíveis:
1.Utilizando o teste t de comparação de médias para 
duas amostras independentes.
2. ANOVA com 1 fator.
1. teste t de comparação de médias (variâncias iguais)
Estatística de teste
)
MH
p
MH
nn
S
YYT
11(
)(
2 +
−
= ⇒ Sob H0, T ~ t nH+nM -2.
−+− 1)(1)( 22 snsn
Exemplo 3: Tempo de reação x Sexo
4
=
−+
−+−
= 
2
1)(1)( 222
MH
MMHH
p
nn
snsn
s
Sexo n Média Variância
Homem 10 110,1 74,54
Mulher 10 104,9 62,99
2. ANOVA
Modelo estatístico: , i = 1, 2 e j = 1, ..., 10 ,
com y1j: tempo de reação do j-ésimo homem,
y2j: tempo de reação da j-ésima mulher,
µ1 = µH : tempo médio de reação dos homens,
µ2 = µM : tempo médio de reação das mulheres,
 
ijiij ey += µ
Exemplo 3: Tempo de reação x Sexo
5
µ2 = µM : tempo médio de reação das mulheres,
eij : efeito aleatório do j-ésimo indivíduo do i-ésimo sexo. 
=−+−=−=∑∑
= =
2
22
2
11
2
2
1
10
1
.
)1()1( )( snsnyySQD
i j
iij
=−=∑
=
2
..
4
1
.
)( yynSQE
i
ii
 )( 2
2
1
10
1
..
=−=∑∑
= =i j
ij yySQT
Fonte de Variação g.l. Soma de Quadrados Quadrado Médio Teste F
Entre grupos k - 1 SQE QME = SQE/( k - 1) QME/QMD
Dentro de grupos n - k SQD QMD = SQD/( n - k)
Total n - 1 SQT
Tabela de ANOVATabela de ANOVA
Exemplo 3: Tempo de reação x Sexo
6
Fonte de Variação g.l. Soma de Quadrados Quadrado Médio Teste F
Entre grupos
Dentro de grupos
Total 
⇒ Quais são as hipóteses testadas pela estatística F da ANOVA?
Modelo estatístico: , i = 1, ..., 5 e j = 1, ..., 4 ,
com
yij: tempo de reação do j-ésimo indivíduo do i-ésimo grupo etário,
µi : tempo médio de reação para indivíduos do i-ésimo grupo etário, 
eij : efeito aleatório do j-ésimo indivíduo do i-ésimo grupo etário. 
 
ijiij ey += µ
Exemplo 3: Tempo de reação x Idade
7
Hipóteses:
H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
H1 : pelo menos uma média é diferente.
Suposição da ANOVA:
yij~ N(µi, σ2 ), independentes.
Resultados: Grupo etário n Média Variância 
20 4 98,5 35,67
25 4 103,25 26,25
30 4 107,75 44,25
35 4 110,75 31,58
40 4 117,25 46,92
Exemplo 3: Tempo de reação x Idade
8
⇒⇒
Hipóteses:
H0: σ12= σ22 = σ32 = σ42 = σ52
H1: pelo menos uma variância é diferente.
Teste de homocedasticidade:
Estatística:
M
Exemplo 3: Tempo de reação x Idade
9
( ) ( )2
1
2 ln)1(ln)( i
k
i
ie SnSknM ∑
=
−−−=






−
−





−−
+= ∑
=
knnk
C
k
i i
1
1
1
)1(3
11
1
H.kC
M
 sob),1(~ 2 −χ
Tabela de ANOVATabela de ANOVA
Fonte de Variação g.l. Soma de Quadrados Quadrado Médio Teste F
Entre grupos
Dentro de grupos
Total 
Exemplo 3: Tempo de reação x Idade
10
Exemplo 3: Tempo de reação x Idade
11
Os intervalos de confiança para as diferenças de médias 
ficam dados por
t(n-k) é obtido da tabela da distribuição t de Student com (n-k) 
graus de liberdade e coeficiente de confiança corrigido.
 
ji
eknji
nn
styy 11)( )( +±− −
Exemplo 3: Tempo de reação x Idade
12
⇒ Correção de Bonferroni:
5 grupos � m= 10 intervalos 
Coeficiente de confiança global: 90%
IC individuais: γ = 1- 0,10/10 = 0,99.
Médias comparadas L.I. L.S.
µ1 - µ2 -17,41 7,91 0 ∈ IC
µ1 - µ3 -21,91 3,41 0 ∈ IC
µ1 - µ4 -24,91 0,41 0 ∈ IC
µ1 - µ5 -31,41 -6,09 0 ∉ IC
Intervalos com de Bonferroni, com confiança global 90%:
Exemplo 3: Tempo de reação x idade
µ1 - µ5 -31,41 -6,09 0 ∉ IC
µ2 - µ3 -17,16 8,16 0 ∈ IC
µ2 - µ4 -20,16 5,16 0 ∈ IC
µ2 - µ5 -26,66 -1,34 0 ∉ IC
µ3 - µ4 -15,66 9,66 0 ∈ IC
µ3 - µ5 -22,16 3,16 0 ∈ IC
µ4 - µ5 -19,16 6,16 0 ∈ IC
13
⇐⇐
Como analisar pelo R?
Pelo R
Estatísticas →→→→ médias →→→→ ANOVA (1 fator): 
selecionar variável resposta e fator 
Observação: 
o fator precisa ser variável qualitativa. Se não for, precisa 
transformá-lo:
14
transformá-lo:
Dados →→→→ Modificação de variáveis →→→→ converter variável 
numérica para fator.
Análise de Variância Análise de Variância 
ANOVA ANOVA -- Dois fatores Dois fatores 
15
ANOVA ANOVA -- Dois fatores Dois fatores 
→ Variável resposta: número de horas de alívio dos 
sintomas.
Exemplo 4: Um laboratório desenvolveu um novo
componente para alívio dos sintomas em casos agudos
de alergia. Num experimento com 36 voluntários, as
quantidades de dois ingredientes ativos do componente
variaram em três níveis cada um (pouco, médio e muito).
16
sintomas.
Fator : Ingrediente 1
3 níveis
pouco
médio
muito
tratamentos
17
Fator: Ingrediente 2
3 níveis
pouco
médio
muito 9 tratamentos
 Ingrediente 2 
Ingrediente 1 Pouco Médio Muito 
Pouco 
2,4 4,6 4,8 
2,7 4,2 4,5 
2,3 4,9 4,4 
2,5 4,7 4,6 
5,8 8,9 9,1 
Dados: número de horas de alívio dos sintomas de 36
pacientes voluntários
18
Médio 
5,8 8,9 9,1 
5,2 9,1 9,3 
5,5 8,7 8,7 
5,3 9,0 9,4 
Muito 
6,1 9,9 13,5 
5,7 10,5 13,0 
5,9 10,6 13,3 
6,2 10,1 13,2 
 
Exemplo 3: Tempo de reação (cont.)
Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo que um
indivíduo leva a reagir a um estímulo visual (Y) e alguns fatores, como
sexo e idade. Na tabela temos os tempos para 20 indivíduos.
Indivíduo Y Sexo Idade
1 96 H 20
2 92 M 20
3 106 H 20
4 100 M 20
5 98 M 25
6 104 H 25
7 110 H 25 ⇒ O tempo médio de reação é 7 110 H 25
8 101 M 25
9 116 M 30
10 106 H 30
11 109 H 30
12 100 M 30
13 112 M 35
14 105 M 35
15 118 H 35
16 108 H 35
17 113 M 40
18 112 M 40
19 127 H 40
20 117 H 40
19
⇒ O tempo médio de reação é 
influenciado pelo sexo do 
indivíduo? E pela idade?
Exemplo 3: Tempo de reação
Podemos estudar a relação entre o tempo de reação ao estímulo e os
fatores sexo e idade conjuntamente.
Sexo
Idade
20 25 30 35 40
20
Homem 
96 104 106 118 127
106 110 109 108 117
Mulher 
92 98 116 112 113
100 101 100 105 112
Nível 1 Nível 2 . . . Nível a
. . .
y211
y212
.
.
.
y21r
Nível 1
Fator ANo geral:
ya11
ya12
.
.
. 
ya1r
y111
y112
.
.
.
y11r
.
21
y21r
. . .
Nível b
Fator B
ya1ry11r
y1b1
y1b2
.
.
.
y1br
y2b1
y2b2
.
.
.
y2br
yab1
yab2
.
.
.
yabr
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Temos agora amostras de tamanho r de a×b populações 
(grupos ou tratamentos) → n = r×a×b observações.
No Exemplo 4 (Horas de alivio):
a = b = 3 e r = 4 ⇒ n = 4×3×3 = 36 observações
No Exemplo 3 (Tempo de reação):
22
a=5, b=2 e r=2 ⇒ n = 20 observações
As hipóteses nulas de interesse são:
H1: As médias da variável resposta são iguais nos
diferentes

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