Comparação entre duas populações

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1 
Comparação entre duas 
populações 
 AMOSTRAS INDEPENDENTES 
2 
Comparação entre 
duas médias 
3 
Na comparação de duas populações, dispomos de duas 
amostras, em que são possíveis as seguintes situações: 
Em aplicações práticas é comum que o interesse seja 
comparar as médias de duas diferentes populações (ambas as 
médias são desconhecidas). 
 variâncias pop. conhecidas 
variâncias pop. 
desconhecidas 

 iguais 
 diferentes 
 2 amostras 
 dependentes 
 independentes 
Discutiremos apenas os testes conhecidos como paramétricos, 
que assumem que as variáveis se comportam segundo um 
modelo Normal. 
Introdução 
4 
Exemplo 1: Um pesquisador deseja comparar o salário de 
profissionais da saúde de ambos os sexos. Para isso, 
selecionou uma amostra aleatória de 50 profissionais, sendo 
22 do sexo feminino e 28 do sexo masculino. Sabe-se, de 
estudos anteriores, que o salário de profissionais da saúde 
segue uma distribuição normal. 
 
Masculino Feminino 
4708 4412 4010 3768 
4603 3868 4122 3939 
4017 4252 4344 4459 
4534 4265 4446 3827 
4402 4377 3938 4197 
4526 4000 4514 4306 
4584 3441 3400 3935 
4594 4172 4264 3748 
4236 4203 3850 3838 
4817 4001 3676 4016 
4008 4464 3604 4274 
4083 4706 
3788 4681 
4009 4729 5 
Exemplo 1 
As duas populações, de onde as amostras são provenientes, 
são independentes e normalmente distribuídas; 
- a população dos salários de profissionais da saúde do sexo 
feminino tem média X e variância X
2 
  X ~ N(X, X
2) 
- a população dos salários de profissionais da saúde do sexo 
masculino tem média Y e variância Y
2 
  Y ~ N(Y, Y
2) 
 Interesse: Comparar as médias das duas populações. 
6 
• Hipóteses estatísticas: 
 da pop. normal com média X e desvio padrão X  extrai-se 
uma a.a. de tamanho n  
 H0: X = Y 
 H1: X  Y 
 ou X > Y 
 ou X < Y 
 H0: X - Y = 0 
 H1: X - Y  0 
 ou X - Y > 0 
 ou X - Y < 0 
ou, equivalentemente, 
usando diferenças  
X
X
Xs
x
 de amostra da padrão desvio
 de amostra da média :
 :
 da pop. normal com média Y e desvio padrão Y  extrai-se 
uma a.a. de tamanho m  
Ys
Yy
Y 
 : 
de amostra da padrão desvio :
de amostra da média
Obs.: note que os números de observações nas 2 amostras, 
n e m, não precisam ser iguais. 7 
grupo 1 grupo 2 
população 
média X
 Y 
desvio padrão X
 Y 
m n tamanho 
sY sX desvio padrão 
média 
amostra 
x y
Situações possíveis com respeito às variâncias X
2 e Y
2: 
1. conhecidas: teste Z 
2. desconhecidas: 
 - iguais: teste-t de duas amostras 
 - diferentes: teste-t modificado 
Obs.: O teste de comparação de variâncias pode ser utilizado 
como um procedimento preliminar em teste de comparação de 
médias, auxiliando a escolha da técnica adequada. 8 
CASO 1: variâncias conhecidas 
(1) Hipóteses estatísticas: 
 H0: X = Y 
 H1: X < Y 
 H0: X - Y = 0 
 H1: X - Y < 0 
ou, equivalentemente, 
usando diferenças  
(2) Estatística de teste 
Considere o Exemplo 1, dos salários de profissionais da saúde. 
Queremos verificar se o salário das mulheres é menor do que o 
dos homens. 
 Como X e Y são 
independentes com distribuição normal, com médias X e Y 
e desvio padrão X
2 e Y
2, respectivamente, então 
• Estimador de X - Y : YX - 
• Distribuição amostral do estimador: 
,






m
σ
n
σ
μμNYX YXYX
22
,~
9 
 Se as variâncias são conhecidas, a estatística de teste é 
dada por 
m
σ
n
σ
YX
Z
YX
22
)(
 


(2) Estatística de teste 
Sob H0, Z ~ N(0,1). 
(3) Nível de significância:  = 5% 
(4) Calcular medidas necessárias: 
 Média 
Masculino 4302,87 
Feminino 4021,68 
Informação dada: 
X= 280 e Y= 300 
 
10 
(5A) Região crítica 
(6A) Decidir e Concluir 
A região crítica deve ter a forma: RC = { Z ≤ ztab }  ztab = ? 
Da tabela da N(0,1), com  = 5%, ztab= -1,64 
  RC = { Z ≤ -1,64} 
(4) Calcular medidas necessárias: 
415,3
28
300
 
22
280
87,430268,4021




22
)(
obsz
 zobsRC  rejeita-se H0 
(5B) Nível descritivo P 
 P = P(Z ≤ -3,415) = 0,0003. 
(6B) Decidir e Concluir 
 P <   rejeita-se H0 11 
 As médias do salários das mulheres é menor do que a 
dos homens. Quão menor? 
• Intervalo de confiança para a diferença X-Y: 
 


























mn
zYX
mn
zYXP
z
mn
YX
zPzZzP
YX
tabYX
YX
tab
tab
YX
YX
tabtabtab
2222
22
)()( 
)(



 No exemplo: 
 IC(X-Y;10%) = (-281,19-1,6482,33; -281,19+1,6482,33;) 
 = (-416,21;-146,17) 12 
CASO 2: variâncias desconhecidas, iguais 
(1) Hipóteses estatísticas: 
 H0: X = Y 
 H1: X < Y 
 H0: X - Y = 0 
 H1: X - Y < 0 
ou, equivalentemente, 
usando diferenças  
(2) Estatística de teste 
Exemplo 1: salário de profissionais da saúde. Queremos verificar 
se o salário das mulheres é menor do que o dos homens. 
Suponha agora: NÃO conhecemos as variâncias. Temos apenas 
a informação de que são iguais (x= Y= ), mas não sabemos o 
valor. 
Temos que 
,
11
 



















mn
σμμN
m
σ
n
σ
μμNYX
YX
YX
YX
2
22
,~
,~
13 
Assim, 
)( 1 0,
11
)()(
2
N
mn
σ
μμYX
Z YX ~ 









. 
2
1)(1)( 222



mn
smsn
s YXp
Não conhecemos , precisamos estimar por: 
- A estimativa sp
2 combina informação de ambas amostras 
para se produzir uma estimativa mais confiável de 2; 
- Na verdade, sp
2 é média ponderada das duas variâncias 
amostrais sX
2 e sY
2, onde cada variância é ponderada pelos 
seus graus de liberdade associados; 
- Se n é igual a m, sp
2 é a média aritmética simples; caso 
contrário, maior peso é dado à variância da maior amostra. 
14 
(2) Estatística de teste 
)
mn
S
YX
T
p
11
(
)(
2 


(3) Nível de significância:  = 5% 
(4) Calcular medidas necessárias: 
 Média Desvio padrão 
Masculino 4302,87 335,74 
Feminino 4021,68 301,08 
s2p= [(22-1)301,08
2+(28-1)335,742] / (22+28-2) = 103065 
sp = 321,037 
 Sob H0, T ~ t (n+m-2). 
15 
(4) Calcular medidas necessárias: 
, 3,074- 
)
28
1
22
1
(321,037
4302,87)021,68(




4
obsT
(5A) Região crítica 
(6A) Decidir e Concluir 
 A região crítica deve ter a forma: RC = { T ≤ ttab }  ttab = ? 
 Da tabela da t(48 g.l.), com  = 5%, ttab= -1,68 
  RC = {T ≤ -1,68} 
 tobs  RC  rejeita-se H0 
(5B) Nível descritivo P 
 P= P(T ≤ -3,074) = 0,0017 
(6B) Decidir e Concluir 
 P <   rejeita-se H0 16 
• Intervalo de confiança para a diferença X-Y: 
 No exemplo: 
 IC(X-Y; 10%) = 
= (-281,19-1,68321,0370,285; -281,19+1,68321,0370,285) 
= (-434,85;-127,53). 
em que ttab é obtido da tabela t com (n+m-2) graus de 
liberdade. 
17 
CASO 3: variâncias desconhecidas, diferentes 
(1) Hipóteses estatísticas: 
 H0: X = YH1: X < Y 
 H0: X - Y = 0 
 H1: X - Y < 0 
ou, equivalentemente, 
usando diferenças  
(2) Estatística de teste 
Exemplo 1: salário de profissionais da saúde. Queremos verificar 
se o salário das mulheres é menor do que o dos homens. 
Suponha agora: NÃO conhecemos as variâncias e sabemos que 
são diferentes (x  Y ). 
Temos que 







m
σ
n
σ
μμN~YX YXYX
22
, 
18 
Assim, 
)(
22
1 0,
)()(
N
m
σ
n
σ
μμYX
Z
YX
YX ~ 









Não conhecemos X
2 e Y
2  estimamos por sx
2 e sY
2. 
Finalmente, a estatística de teste, sob H0, é 
.
)(
)(
22
m
S
n
S
YX
T
YX 


. 
/ 1)]()(1)()[(
)]()[(
22
222



mmsnns
msns
YX
YX
///
//
22

Sob H0, T ~ t(), em que  é o número de graus de liberdade 
dado por 
19 
(3) Nível de significância:  = 5% 
(4) Calcular medidas necessárias: 
 Média Desvio padrão 
Masculino 4302,87 335,74 
Feminino 4021,68 301,08 
 
 , -
,,
,,
tobs 123
28
74335
22
08301
874302684021
22












.147
1)]/(28/28)(335,741)/(22/22)[(301,08
/28)](335,74/22)[(301,08
2222
222
 , 



Assim, usamos   47. 
20 
(5A) Região crítica 
(6A) Decidir e Concluir 
A região crítica deve ter a forma: RC = {T ≤ ttab}  ttab = ? 
Da tabela da t(47 g.l.), com  = 5%, ttab= -1,68 
  RC = { T ≤ -1,68} 
 tobs RC  rejeita-se H0 
(5B) Nível descritivo P 
 P = P(T ≤ -3,12) = 0,0015 
(6B) Decidir e Concluir 
 P <   rejeita-se H0 
21 
• Intervalo de confiança para a diferença X - Y: 
 No exemplo: 
 IC(X-Y;10%) = (-281,19-1,6890,26; -281,19+1,6890,26) 
 = (-432,82; -129,56). 
em que ttab é obtido da tabela t com  graus de liberdade. 
22 
Comparação entre 
duas variâncias 
23 
Um teste de hipóteses importante consiste em verificar se 
duas populações têm a mesma variância. 
Considere uma amostra X1, ...,Xn de uma população com 
distribuição N(X, X
2) e uma amostra Y1, ...,Ym de uma 
população com distribuição N(Y, Y
2). Suponha que as duas 
amostras sejam independentes. 
(1) Hipóteses estatísticas: 
(2) Estatística de teste 
Se SX
2 e SY
2 são as variâncias amostrais respectivas, então a 
estatística do teste é 
2
2
Y
X
S
S
F 
 H0: 
2
X = 
2
Y 
 H1: X
2
  Y
2 ou X
2
 > Y
2 ou X
2
 < Y
2
 
24 
  Qual é a distribuição de probabilidade de F ? 
Se a hipótese nula H0 é verdadeira (X
2 = Y
2), a estatística 
F possui distribuição de probabilidade F de Snedecor com 
n-1 graus de liberdade no numerador e m-1 graus de 
liberdade no denominador. 
  2
)1(~ 

 n
X
X
σ
Sn
U 
2
2
1
Resultado: 
Sejam X ~ N(X, X
2) e Y ~ N(Y, Y
2) independentes. Para 
amostras aleatórias X1, X2, ..., Xn, de X e Y1, Y2, ..., Ym, de Y, 
temos 
  2
)1(~ 

 m
Y
Y
σ
Sm
V 
2
2
1
 
 
)1;1(~
1
1



 mnF
mV
nU
S
S
F
Y
X
2
2
Se X
2 = Y
2, então 
25 
Obtenção dos valores críticos: Teste bilateral 
• Para  fixado, encontre na tabela F(n-1; m-1) um valor f2 
tal que P(F (n-1; m-1) > f2) = /2 e 
• Para  fixado, encontre na tabela F(m-1; n-1) (observe 
que os g.l. foram trocados) um valor g1 tal que P(F (m-1; 
n-1) > g1) = /2 e calculamos f1=1/g1. 
(3) Nível de significância:  
(4) Calcular medidas necessárias: 
Obter SX
2 e SY
2,as variâncias amostrais, e calcular F. 
(5A) Região crítica 
Se H1: X
2
 > Y
2
 , 
Se H1: X
2
 < Y
2
 , 
Se H1: X
2
  Y
2
 , 
RC = {F: F < f } 
RC = {F: F < f1 ou F > f2 } 
RC = {F: F > f } 
26 
tabela 
(5B) Nível Descritivo 
P = P(F(n-1; m-1) < Fobs) 
P = 2  P(F(n-1; m-1) > Fobs) ou 
P = 2  P(F(n-1; m-1) < Fobs) 
P = P(F(n-1; m-1) > Fobs) 
 (6) Decidir e concluir 
 (A) Se Fobs  RC, rejeita-se H0 
 Se Fobs  RC, não se rejeita H0 
 
 (B) Se P    rejeita-se H0 
 Se P >   não se rejeita H0 
27 
Se H1: X
2
  Y
2
 , 
Se H1: X
2
 > Y
2
 , 
Se H1: X
2 
 < Y
2
 , 
28 
Intervalo de confiança para o quociente Y
2/X
2 
com coeficiente de confiança  
   
 























2
2
22
2
2
2
1222
22
1
2121
 
1
1
)1;1(
X
Y
X
Y
X
Y
YY
XX
S
S
f
S
S
fPf
S
S
fP
f
mV
nU
fPfmnFfP





29 
Considere o Exemplo 1, dos salários de profissionais da saúde. 
Queremos verificar se a variabilidade do salário das mulheres é 
igual à dos homens. 
(1) Hipóteses estatísticas: H0: M
2
  F
2 
 H1: M
2 
  F
2 
(2) Estatística de teste 
Se SM
2 e SF
2 são as variâncias amostrais respectivas, 
então a estatística do teste é 
27) ;21( ~ 
2
2
F
S
S
F
M
F
(3) Nível de significância  = 5%. 
(4) Calcular as medidas necessárias 
SM = 335,74 e SF = 301,08 804,0 
74,335
08,301
2
2
 obsF
(5A) Região crítica 
RC = {F : F < f1 ou F > f2 }, 
 sendo f1 e f2 obtidos por 
f2 : encontre na tabela F(21; 27) o valor f2 tal que 
P(F(21;27) > f2) = 0,025  f2 = 2,25 (aprox.) e 
f1 : encontre na tabela F(27; 21) um valor g1 tal que 
P(F (27; 21) > g1) = 0,025 e calculamos f1=1/g1=1/2,34 = 0,427 
RC = {F : F < 0,427 ou F > 2,25 }, 
(6) Decidir e concluir 
Fobs = 0,804  RC  não se rejeita H0 
(5B) Nível descritivo 
P = 2  P(F(21; 27) < 0,804) = 2  (1- 0,69) = 0,62 >  
 não se rejeita H0 
30 
Dist F 
31 
Intervalo de confiança de 95% para o quociente Y
2/X
2 : 
 O valor “1”  IC, como esperado. 
Comparação entre duas 
proporções 
32 
Como vimos para a média, muito frequentemente, podemos 
estar interessados na comparação de duas proporções de 
duas populações independentes. 
(1) Hipóteses estatísticas: H0: p1 = p2 
 H1: p1  p2 ou p1 > p2 ou p1 < p2 
 extraímos uma uma a.a. de tamanho n1 de uma população 
com proporção p1; se observamos x1 sucessos na amostra, 
então 
).ˆ 1
1
1
1 de pontual (estimador p
n
X
p 
 Analogamente, selecionamos uma amostra de tamanho n2 
da população com proporção p2 e se observamos x2 sucessos, 
então 
).ˆ 2
2
2
2 de pontual (estimador p
n
X
p 
(2) Estatística de teste 
33 
 
21
2211
nn
pnpn
p



ˆˆ
ˆ
A quantidade é uma média ponderada das duas proporções 
das amostras, e . 
pˆ
21 pp ˆ ˆ
. 
21
2 1
nn
XX



21
ˆ - ˆ pp
 
2
2
1
11
21
2121
))
)ˆˆ
)ˆˆ
n
pp
n
pp
ppVar
ppppE





(1(1
(
(
2 
 

Se a hipótese nula é verdadeira, temos que p1 = p2 = p, os 
dados de ambas as amostras podem ser combinados para 
estimar esse parâmetro comum, por 
34 
)
11
)( - (1
21 nn
pp ˆˆ
Sob a hipótese nula H, o estimador do erro padrão da 
diferença é dado por: 
21 p- p ˆ ˆ
• Estatística do teste: 
)
11
)((1
)(
21
21
nn
pp
pp
Z



ˆˆ
ˆˆ
 
 Se n1 e n2 são suficientemente grandes, essa 
estatística, sob H, tem uma distribuição normal com 
média 0 e desvio padrão 1. 
35 
(3) Nível de significância:  
(4) Calcular medidas necessárias 
(5A) Regiãocrítica 
(5B) Nível Descritivo 
 (6) Decidir e concluir 
 (A) Se Zobs  RC, rejeita-se H0 
 Se Zobs  RC, não se rejeita H0 
 
 (B) Se P    rejeita-se H0 
 Se P >   não se rejeita H0 
36 
Exemplo 2 : Para investigar a lealdade de consumidores a um 
determinado produto, sorteou-se uma amostra de 200 homens 
e 200 mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de 
fidelidade 100 homens e 120 mulheres. Os dados trazem 
evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos? 
Em caso afirmativo, construa um intervalo de confiança para a 
diferença. 
 
37 
Sejam: pH: proporção de homens com alto grau de fidelidade 
 pM: proporção de mulheres com alto grau de fidelidade 
H0: pH = pM 
H1: pH  pM , 
(1) Hipóteses estatísticas: 
(2) Estatística do teste 
(3) Fixar o nível de significância do teste :  = 5% 
)
11
)((1
)(
MH
MH
nn
pp
pp
Z



ˆˆ
ˆˆ
 
 
MH
MMHH
nn
pnpn
p



ˆˆ
ˆ
38 
 nH = 200  100 com alto grau de fidelidade 
0,5
200
100
ˆ
Hp
0,6
200
120
ˆ
Mp
 nM = 200  120 com alto grau de fidelidade 
(4) Calcular as medidas necessárias 
• Valor da estatística do teste: 
01,2
200200
55,055,0
6,050










11
)(1
)(
 
,
zobs
0,55



200200
6,02005,0200
pˆ
39 
P = 2 P(Z  -2,01) = 0,044 
(5A) Região crítica 
(5B) Nível Descritivo 
 = 5%  RC = {Z : Z < -1,96 ou Z > 1,96 } 
 (6) Decidir e concluir 
 (A) zobs  RC, rejeita-se H0 
 
 (B) Se P    rejeita-se H0 
 
40 
MH pp ˆ ˆ - 
 fornece uma estimativa por ponto para a 
verdadeira diferença pH – pM das proporções 
populacionais. 
 
ˆˆˆˆ
 ˆˆ







 



M
MM
H
HH
MH
n
pp
n
pp
pp
)(1)(1
1,96 - 
Um intervalo de confiança de 95% para a diferença 
pH - pM, usando a aproximação normal, é 
Note que o erro padrão da diferença das proporções amostrais 
não é o mesmo que aquele usado no teste; 
no teste de hipóteses, o erro padrão empregado foi baseado 
na suposição de que a hipótese nula era verdadeira; essa 
suposição não é necessária no cálculo de um intervalo de 
confiança. 
41 
0,5Hpˆ
No exemplo, como e , um intervalo de 
confiança aproximado de 95% para pH – pM é 
0,6Mpˆ
)03,0 ;197,0(
)097,01,0 ;097,01,0(
200
)6,01(6,0
200
)5,01(5,0
96,1 )6,05,0(









 



Note que, como esperado, o intervalo não contém o valor zero. 
42 
AMOSTRAS DEPENDENTES 
(teste t-pareado) 
43 
 característica das amostras dependentes (pareadas): 
para cada unidade amostral realizamos duas medições. 
 As medidas são tomadas em um único “indivíduo” em dois 
pontos distintos no tempo. 
 Em geral, observações pareadas correspondem a medidas 
tomadas antes e depois de uma dada intervenção -- cada 
indivíduo é examinado antes que um certo tratamento seja 
aplicado e novamente depois que o tratamento foi completado. 
 Outro tipo de emparelhamento: o pesquisador “casa” os 
indivíduos de um grupo com aqueles de um segundo grupo, de 
modo que os membros de um par sejam parecidos (em 
relação a características, tais como, a idade e o gênero). 
44 
 Planejamento empregado na tentativa de se controlar 
fontes de variação que poderiam influenciar os resultados da 
comparação. 
 Se as medidas são feitas no mesmo sujeito uma certa 
variabilidade biológica é eliminada -- não temos que nos 
preocupar com o fato de um sujeito ser mais velho do que 
outro ou se um é homem e o outro é mulher. 
 
 A intenção do emparelhamento é, portanto, fazer uma 
comparação mais precisa. 
45 
Exemplo 3: Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de 
dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus 
trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número 
de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma 
semana com intervalo. Os resultados sugerem se há ou não melhora 
na produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo 
médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica? 
Xi : número de peças produzidas pelo operário i na semana sem 
intervalo 
Operário 1 2 3 4 5 6 
Sem intervalo 23 35 29 33 43 32 
Com intervalo 28 38 29 37 42 30 
Yi : número de peças produzidas pelo operário i na semana com 
intervalo 
46 
Efeito do emparelhamento: 
eliminar quaisquer distorções que poderiam ser introduzidas 
ao se comparar indivíduos que diferem com relação a outras 
variáveis, como idade, sexo, peso, etc. 
Suponha que os dois grupos de observações possam ser 
dispostos como a seguir: 
Variável de interesse: D = Y – X e uma amostra de D é 
d1, d2, ...dn 
Amostra 1 Amostra 2 
x1 y1 
x2 y2 
... ... 
xn yn 
di = yi - xi 
d1 = y1 - x1 
d2 = y2 - x 2 
... 
dn = yn - xn 
47 
H0: D = 0 
H1: D  0 ou 
 D < 0 ou 
 D > 0 
O efeito produzido para o i-ésimo indivíduo pode ser 
representado pela variável diferença Di = Yi - Xi (“com”–“sem”) 
Supondo Di  N(D, D
2), para i = 1, ..., n, 
 
numa situação geral, queremos testar as hipóteses: 
 a pausa para o café não produz efeito 
 
A pausa aumenta a 
produtividade 
 a pausa para o café produz algum efeito 
48 
O parâmetro D é estimado pela média amostral das diferenças: 
Como não temos informação sobre a variância das diferenças, 
estimamos seu valor por SD
2, dado por: 



n
i
iD
n
D
1
1
2
1
2 )(
1
1
DD
n
S i
n
i
D 

 

Estatística do teste: 
nS
D
T
D

Sob H0, T tem distribuição t-Student com n-1 graus de 
liberdade. 
49 
• A média da amostra fornece uma estimativa por ponto para a 
verdadeira diferença das médias das populações D  Y - X. 
• Em geral supomos que X e Y têm distribuição normal e, 
consequentemente, podemos considerar que a distribuição 
das diferenças tem distribuição normal. 
Obs.: no caso geral, é necessário uma verificação da 
suposição de normalidade da diferença Y-X pela análise gráfica 
e/ou testes de hipóteses. 
Comentários 
50 
Voltando ao exemplo, 
gostaríamos de saber se há alguma evidência estatística de 
que a pausa para o café aumenta a produtividade. 
(1) Hipóteses: 
H0: D = 0 
H1: D > 0 
que equivale a 
H0: X = Y 
H1: X < Y 
(2) Estatística de teste: 
. ,~ 0)1( Ht
nS
D
T n
D
sob
(3) Nível de significância:  = 5%. 
51 
Amostra de pares  di = yi - xi: 5, 3, 0, 4, -1, -2 
 
 (média amostral das diferenças) 
 
 
 (desvio padrão das diferenças) 
 
51
6
9
6
6
1 ,
d
d i
i



88,2
)(
6
1
2
 




1-6 
i
i 
D
dd
s
(4) Calcular medidas necessárias 
2761
6882
51
,
,
,
tobs 
Sob a hipótese nula H0, 
T tem distribuição t-Student com 6 -1 = 5 graus de liberdade. 
(5A) Região Crítica 
 = 5%  RC = {T : T  2,015 } 52 
(5B) Nível descritivo: 
 P(T  1,276)  0,15 (valor exato: 0,129) 
 não há evidência experimental para concluirmos que a 
a pausa para um cafezinho melhora a produtividade 
média. 
 (6) Decidir e concluir 
 (A) tobs  RC  não se rejeita H0 
 
 (B) P >   não se rejeita H0 
53 
Se a hipótesenula H0 é rejeitada: 
Interesse: Encontrar um intervalo de confiança para D 
 
esperado. como ,zero"" o contem caso, neste que,
), 3,87 0,87; - ( 
) 2,371,5 ; 2,371,5 ( 
)
6
2,88
2,0151,5 ;
6
2,88
2,0151,5 (90%) ;(


DμIC
)(%)(
n
s
td
n
s
tdμIC Dn
D
nD 1- 1- ; ; 
54 
55 
volta 
56 
volta 
57