Regressão I

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ANÁLISE DE REGRESSÃO 
- Regressão Linear Simples - 
(I) 
1 
 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
Exemplo 1: Um psicólogo está investigando a relação entre 
o tempo que um indivíduo leva para reagir a um estímulo 
visual (Y) com o sexo (W), idade (X) e acuidade visual (Z, 
medida em porcentagem). 
Y : tempo de reação 
X : idade 
20 30 40
90
100
110
120
130
X
Y
Pelo gráfico: média de 
Y aumenta conforme as 
pessoas envelhecem 
Analisamos utilizando 
ANOVA 
 
Modelo de Regressão 
 
2 
Coeficiente de correlação linear de Pearson: 
 É uma medida que avalia o quanto a “nuvem de pontos” no 
diagrama de dispersão aproxima-se de uma reta. 
 
 
 
 
 
 
sendo que, 
 
 
 
 
 
 
mente.respectiva,e de padrão desvios os são e 
mente,respectiva ,e de amostrais médias as são e
YXSS
YXYX
YX 
 
YX
n
i
ii
SSn
YYXX
r
)1(
))((
1





3 
 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
• Propriedade: -1  r  1 
 
• Casos particulares: 
 r = 1  correlação linear positiva e perfeita 
 r = -1  correlação linear negativa e perfeita 
 r = 0  inexistência de correlação linear 
 
 
 
 
 
20 30 40
90
100
110
120
130
X
Y
No exemplo: Correlação entre Y e X = 0,768 . 
4 
 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
5 
Diagramas de Dispersão 
 Explicar a forma da relação por meio de uma 
função matemática: Y =  + ×X 
 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
Modelo de Análise de Variância 
Modelo estatístico: 
 Observação = parte previsível + erro aleatório (variação indiv.) 
 
Relembrando, temos k populações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O modelo pode ser escrito na forma: 
 yij=i+ eij, i=1, ..., k e j=1, 2, ..., ni. 
 
 
6 
População 1 População 2 . . . População k 
Y1,1 Y2,1 . . . Yk,1 
Y1,2 Y2,2 . . . Yk,2 
... ... ... 
Y1,n1 Y2,n2 . . . Yk,nk 
Modelo estatístico: 
 Observação = parte previsível + erro aleatório (variação indiv.) 
O modelo de regressão linear simples pode ser escrito na forma: 
 yi = +  xi + ei, i=1, ..., n. 
em que a variável resposta Y é a variável dependente e a variável X é 
a variável independente ou explicativa. 
Observe que, para cada indivíduo ou unidade amostral, observamos 
o par (xi, yi). 
PARÂMETROS: 
  : INTERCEPTO 
 : INCLINAÇÃO 
 2: Variância do erro. 
ERRO: ei . 
 
 
7 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
SIGNIFICADO DOS PARÂMETROS: 
 : valor médio (ou valor esperado) da variável resposta Y, 
quando X = 0. 
 : inclinação da reta. 
 e
i
: erro aleatório – espera-se que esse erro seja pequeno. 
 
 e  desconhecidos: precisamos estimá-los e testar hipóteses 
de interesse. 
 Por exemplo: interesse em verificar se  é igual a zero ou não. 
 
SUPOSIÇÕES: 
 ei ~ N (0,
2), independentes, i = 1, ..., n. 
 Essa suposição é equivalente a supor yi ~N( +  xi , 
2 ), 
independentes. 
 
 8 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Modelo de regressão linear simples: 
 yi =  +  xi + ei, i = 1, ..., n. 
 
Erro: 
 ei = yi -  -  xi 
 
ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS: 
 Utiliza-se o método de mínimos quadrados para estimar os 
parâmetros de interesse. 
 
Método de Mínimos Quadrados: encontra estimadores de  
e  que minimizam a soma do quadrado dos erros (ou 
resíduos): 
 
 
 
 



n
1i
2
1
2 )( ii
n
i
i xye 
9 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Pode-se demonstrar que os estimadores de mínimos quadrados 
são dados por 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta de regressão estimada fica dada por: 
 
 
 
Os valores são conhecidos como VALORES AJUSTADOS. 
 
 
 
 
2
1
2
1ˆ
xnx
yxnyx
n
i
i
n
i
ii







 
iyˆ
xy  ˆˆ 
ii xy  ˆˆˆ 
10 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Interpretação de : 
XY  ˆˆˆ 
ˆ
Para cada aumento de uma unidade em X, temos um 
aumento médio (ou esperado) de unidades em Y. 
ˆ



ˆ
)1(ˆ
)ˆˆ()1(ˆˆˆˆ
11
1112



xx
xxyy
11 x1x
2yˆ
1yˆ
ˆ
11 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Exemplo 1: Tempo de Reação 
Indivíduo Y Idade Y2 Idade2 Y*Idade 
1 96 20 9216 400 1920 
2 92 20 8464 400 1840 
3 106 20 11236 400 2120 
4 100 20 10000 400 2000 
5 98 25 9604 625 2450 
6 104 25 10816 625 2600 
7 110 25 12100 625 2750 
8 101 25 10201 625 2525 
9 116 30 13456 900 3480 
10 106 30 11236 900 3180 
11 109 30 11881 900 3270 
12 100 30 10000 900 3000 
13 112 35 12544 1225 3920 
14 105 35 11025 1225 3675 
15 118 35 13924 1225 4130 
16 108 35 11664 1225 3780 
17 113 40 12769 1600 4520 
18 112 40 12544 1600 4480 
19 127 40 16129 1600 5080 
20 117 40 13689 1600 4680 
SOMA 2150 600 232498 19000 65400 
Exemplo 1: Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo que 
um indivíduo leva para reagir a um estímulo visual (Y) e idade (X). 
12 
 
ii xy 0,9080,50





ˆ
80,50300,90107,50ˆ
0,90
302019000
107,5302065400ˆ
2
α
β
Interpretação: aumentando-se 1 ano na idade, o tempo médio de 
reação aumenta 0,90. 
98,50200,9080,50(20)ˆ y
Podemos prever, por exemplo, o tempo médio de reação para 
pessoas de 20 anos  
13 
 
Exemplo 1: Tempo de Reação 
14 
116,5.(40)ˆ 112;(35)ˆ 107,50;(30)ˆ 103;(25)ˆ  y yyy
Vantagem: permite estimar o tempo médio de reação para 
idades não observadas 
 
110,20330,9080,50(33)ˆ y
20 30 40
 90
100
110
120
130
X
Y
Y = 80,5 + 0,9X
R-Sq = 59,0 %
Regression Plot
Exemplo 1: Tempo de Reação 
TESTE PARA  
 Em geral uma hipótese de interesse é 
 H0:  = 0 
 H1:  ≠ 0 
 Observe que, se  = 0, o modelo fica dado por 
 yi =  + ei, i =1, ..., n. (MODELO 0) 
 
 Pode-se demonstrar que, se o MODELO 0 é verdadeiro, o 
estimador de mínimos quadrados de  é dado por 
 
 
 
 
 
 
yα ˆ
15 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Definimos a soma de quadrados total, dada pela soma do 
quadrado dos erros do MODELO 0: 
 
 
Definimos a soma de quadrados residual, dada pela soma do 
quadrado dos erros do MODELO de regressão: 
 
 
Definimos a soma de quadrados da regressão, dada por: 
 
 
 



n
i
i yySQT
1
2)(



n
ii
n
ii yyxySQRes
1i
2
1i
2 )ˆ( )ˆˆ( 



n
i xxSQResSQT-SQReg
1i
22 )(ˆ 
16 
No exemplo, 
SQT= 
SQReg = 
SQRes = 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Definimos os quadrados médios, dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A estatística F é dada por: 
 
2
1
yS
n
SQT
QMT 


2
2
eS
n
SQRes
QMRes 


17 
 Estimativa de 2 
No exemplo, F = 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
1
SQReg
QMReg 
QMRes
QMReg
F 
Podemos organizar os resultados em uma tabela de Análise de 
Variância (ANOVA): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
Fonte de 
Variação 
g.l. 
Soma de 
Quadrados 
Quadrado Médio Teste F 
Regressão 1 SQReg QMReg = SQReg F= QMReg/QMRes 
Resíduo n - 2 SQRes QMRes = SQRes/( n - 2) 
Total n - 1 SQT 
Observações: 
 A estatística F tem distribuição F com 1 grau de liberdade no 
numerador e (n-2) no denominador. 
 A Região Crítica é dada por 
 RC = {F: F ≥ fc}, em que fc é obtido da tabela F(1; n-2). 
 Se FobsRC ou P-valor < , então concluímos que  0. 
 
 
 ANOVA do Modelo de Regressão Linear Simples 
Exemplo 1: Tempo de Reação 
Reta estimada: 
 
 
Hipóteses: 
 H0:  = 0 
 H1:  ≠ 0 
 
ANOVA 
ii xy 0,9080,50ˆ
Fonte de Variação gl SQ QM F Valor p 
Regressão 1 810 810,00 25,90 <0,0001 
Resíduo 18 563 31,28 
Total 19 1373 
Portanto, rejeita-se H0. 
19 
Uma medida de avaliação do modelo é dada pelo coeficiente 
de determinação ou de explicação, calculado por: 
 
 
 
 
• Observe que 0  R2 1. 
• Quanto menor o valor de R2, mais evidências se tem de que 
o modelo não é adequado. 
• R2 = r2 = (corr(X, Y))2 
No exemplo: 
 R2 = 810/1373=59%. 
20 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
 
SQTot
SQRes-SQTot
SQTot
SQReg
R2 
TESTE PARA  
 Pode-se ter interesse em testar 
 H0:  = 
(0) 
 H1:  ≠ 
(0) 
Resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística de teste: 
 
 
 
 
 
 
 
















n
i
i
n
i
i
2
xxn
x
;N~α
1
2
1
2
)(
ˆ









n
i
i
n
i
i
e x
xxn
S
t
1
2
1
2
)0( )()ˆ( 

Sob H0, t tem distribuição t com (n-2) graus de liberdade. 
A RC é dada por: RC={t: t ≤-tc ou t ≥ tc}. 
 
 
21 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Intervalo de Confiança para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






n
i
i
n
i
i
e
xxn
x
StγαIC
1
2
1
2
)(
ˆ ) ;(
 
No exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77,14
000.19
100020
59,5
5,80


t
Nível de significância de 5% e g.l.= 18  RC={t: t ≤-2,101 
ou t ≥2,101}. Portanto, rejeita-se H0. 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de Confiança de 95%: 
 
 
 
 
)95,91 ; 05,69(
45,115,80
201000
000.19
59,5101,25,80950



) ;( ,αIC
22 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
TESTE PARA : 
Pode-se ter interesse em testar 
H0:  =  
(0) 
H1:  ≠  
(0) 
Resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 














n
i
i
2
xx
;N~
1
2)(
ˆ


Estatística de teste: 
 
 
 
 
 
 
 





n
i
i
e
xx
S
t
1
2
)0(
)(
)ˆ( 

Sob H0, t tem distribuição t com (n-2) graus de liberdade. 
A RC é dada por: RC={t : t ≤-tc ou t ≥tc}. 
 
 
 
23 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Intervalo de Confiança para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




n
i
i
e
xx
StγβIC
1
2)(
1ˆ
) ;(
No exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09,5000.1
59,5
90,0
t
Nível de significância de 5%, g.l.=18  RC={t: t ≤-2,101 ou 
t ≥2,101}. Portanto, rejeita-se H0. 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de Confiança de 95%: 
 
 
 
 
),201 ; 60,0(
30,090,0
1000
1
59,5101,290,0950

) ;( ,αIC
Observação: t
2 =25,90 = F. 
 
 
24 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Intervalo de confiança para a média da variável 
resposta Y, para um dado valor de X 
O modelo de regressão linear é escrito na forma: 
 yi = +  xi + ei, i =1, ..., n. 
 
SUPOSIÇÕES: 
 ei ~ N(0, 
2) independentes. 
 Essa suposição é equivalente a yi ~N( +  xi , 
2 ), indep. 
ii xx 
ˆˆ)(ˆ  
25 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Seja E (Y|xi) =  (xi)=  +  xi . 
 
Queremos construir um IC para (xi). 
 
 Estimador de (xi): 
 
Intervalo de Confiança para a Média  (xi) 





























n
i
i
i2
iii
xx
xx
n
;xN~xx
1
2
2
)(
)(1
 ˆˆ)(ˆ 
 
)(
)(1
 ) ˆˆ() );(( 
1
2
2





n
i
i
i
eii
xx
xx
n
StxxIC 
26 
Resultado: 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Exemplo 1: Tempo de Reação 
27 
105,7820,9080,50)28(ˆ(28)ˆ  y
20 30 40
 90
100
110
120
130
X
Y
Y = 80,5 + 0,9X
R-Sq = 59,0 %
Regression Plot
,ˆ ii xy 0,9080,50
Reta estimada: 
sendo Y o tempo de reação e 
X a idade. 
Para x = 28, 
108,4) ;0,103(7,2 105,7 
1000
)3028(
20
1
59,5101,2)289,05,80()95,0 ; )28((
2


IC
4035302520
130
120
110
100
90
Idade
Y
S 5,59265
R2 59,0%
Regressão
IC 95%
Reta Ajustada
Y = 80,50 + 0,9000 Idade
28 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Intervalo de Predição 
No modelo de regressão linear escrito na forma: 
 yi = +  xi + ei, i=1, ..., n, 
 
 queremos construir um IC para uma futura observação. 
 
Futura observação: conhecemos xf . 
 
• Objetivo: Estimar yf = +  xf + ef. 
 
 
29 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
30 





























n
i
i
i2
fff
xx
xx
n
xN~xy
1
2
2
)(
)(1
1 ; ˆˆˆ 
0 ˆˆˆ ˆˆˆ  ffff xexy 
• Estimador de yf : 
 
Resultado: 
Intervalo de Predição 
 





n
i
i
i
eff
xx
xx
n
StxyIP
1
2
2
)(
)(1
1 ) ˆˆ();( 
No exemplo: 
 
 )17,81 ; 6,93(1,127,105
1000
)3028(
20
1
159,5101,2)2890,05,80()95,0 );28((
2


fyIP
 Modelo de Regressão Linear Simples 
4035302520
130
120
110
100
90
80
Idade
Y
S 5,59265
R2 59,0%
Regressão
IC 95%
IP 95%
Reta ajustada
Y = 80,50 + 0,9000 Idade
31 
 Modelo de Regressão Linear Simples 
Análise de Resíduos 
32 
O modelo de regressão linear pode ser escrito na forma: 
 yi = +  xi + ei, i =1, ..., n. 
 
SUPOSIÇÕES: 
 ei ~ N (0, 
2) independentes. 
Reta estimada: 
 
 
 
Os resíduos são dados por 
 ei = yi -  -  xi , i =1, ..., n. 
 
Os resíduos podem ser estimados por 
 
 ...., ,1 , ˆˆˆ nixye iii  
ii xy 
ˆˆˆ  
33 
 Análise de Resíduos 
Definimos: 
 RESÍDUO PADRONIZADO: 
 
 
 RESÍDUO ESTUDENTIZADO: 
 
 
 
Espera-se que em torno de 95% dos resíduos 
padronizados/estudentizados estejam entre os limites –2 e 2. 
e
i
i
S
e
z
ˆ
ˆ 
 
 




n
i
i
i
ii
xx
xx
n
1
2
2
/1
iie
i
i
S
e
r


1
ˆ
ˆ
34 
 Análise de Resíduos 
Podemos construir gráficos dos resíduos (padronizados/estudentizados) 
em função dos valores de xi e dos valores ajustados. 
É necessário verificar: 
 Os pontos estão dispersos aleatoriamente no gráfico (ausência de 
tendências)? 
 A variância parece constante (aumenta/diminui com o aumento de x)? 
 Existem muitos pontos atípicos (“outliers”)? 
Análise de Resíduos 
35 
Exemplo 1: Tempo de Reação 
Indivíduo Y Idade Resíduos 
Resíduos 
Padronizados 
Resíduos 
Estudentizados 
1 96 20 -2,5 -0,45 -0,48 
2 92 20 -6,5 -1,16 -1,26 
3 106 20 7,5 1,34 1,45 
4 100 20 1,5 0,27 0,29 
5 98 25 -5 -0,89 -0,93 
6 104 25 1 0,18 0,19 
7 110 25 7 1,25 1,30 
8 101 25 -2 -0,36 -0,37 
9 116 30 8,5 1,52 1,56 
10 106 30 -1,5 -0,27 -0,28 
11 109 30 1,5 0,27 0,28 
12 100 30 -7,5 -1,34 -1,38 
13 112 35 0 0,00 0,00 
14 105 35 -7 -1,25 -1,30 
15 118 35 6 1,07 1,12 
16 108 35 -4 -0,72 -0,74 
17 113 40 -3,5-0,63 -0,68 
18 112 40 -4,5 -0,80 -0,87 
19 127 40 10,5 1,88 2,04 
20 117 40 0,5 0,09 0,10 
36 
IdadeyíduoRes i  9,05,80
Exemplo 1: Tempo de Reação 
37 
Exemplo 2: dados fictícios 
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 
10 8,04 10 9,14 10 7,46 8 6,58 
8 6,95 8 8,14 8 6,77 8 5,76 
13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 7,71 
9 8,81 9 8,77 9 7,11 8 8,84 
11 8,33 11 9,26 11 7,81 8 8,47 
14 9,96 14 8,1 14 8,84 8 7,04 
6 7,24 6 6,13 6 6,08 8 5,25 
4 4,26 4 3,1 4 5,39 19 12,5 
12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 5,56 
7 4,82 7 7,26 7 6,42 8 7,91 
5 5,56 5 4,74 5 5,73 8 6,89 
Considere 4 conjuntos de dados fictícios: 
38 
39 
Exemplo 2: dados fictícios 
Dados 2 
 
Reta Ajustada: 
ii xy 0,503  0,ˆ
R2= 0,667. 
Dados 3 
 
Reta Ajustada: 
ii xy 0,503  0,ˆ
R2= 0,667. 
Dados 4 
 
Reta Ajustada: 
ii xy 0,503  0,ˆ
R2= 0,667. 
Dados 1 
 
Reta Ajustada: 
ii xy 0,503  0,ˆ
R2= 0,667. 
40 
Exemplo 2: dados fictícios 
Fonte de variação gl SQ MQ F Valor p 
Regressão 1 27,51 27,51 17,9899 0,0022 
Resíduo 9 13,7627 1,5292 
Total 10 41,2727 
ANOVA ( para os 4 conjuntos de dados fictícios) 
41 
Exemplo 2: dados fictícios 
42 
Exemplo 2: dados fictícios 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
 Pesquisa: avaliar a performance de um novo método de 
laboratório para determinar a concentração de arsênico 
em amostras de água - que é muito mais barato do que o 
método usual. 
 
 Se esse novo método for aceito, ele será usado para 
avaliar a qualidade da água despejada por indústrias. 
 
 Estudo: amostras de água com quantidade conhecida de 
concentração de arsênico. Essas amostras são submetidas 
à análise pelo novo método e os resultados obtidos são 
anotados. 
 
Os dados obtidos foram: 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS 
Concentração medida 
(Y) 
Concentração verdadeira 
(X) 
1 0,17 0 
2 0,25 0 
3 0,01 0 
4 0,12 0 
5 1,25 1 
6 0,86 1 
7 1,25 1 
8 1,1 1 
9 2,01 2 
10 2,03 2 
11 2,14 2 
12 1,74 2 
13 3,18 3 
14 2,99 3 
15 3,23 3 
16 3,37 3 
17 3,91 4 
18 3,9 4 
19 3,61 4 
20 4,27 4 
21 4,88 5 
22 5,33 5 
23 4,96 5 
24 4,98 5 
25 6,09 6 
26 6,17 6 
27 6,07 6 
28 5,97 6 
29 6,67 7 
30 7,02 7 
31 7,14 7 
32 7,3 7 
Diagrama de Dispersão
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Concentração de arsênico
Va
lo
r m
ed
id
o
44 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS 
Concentração medida 
(Y) 
Concentração verdadeira 
(X) 
Y2 X2 XY 
1 0,17 0 0,03 0,00 0,00 
2 0,25 0 0,06 0,00 0,00 
3 0,01 0 0,00 0,00 0,00 
4 0,12 0 0,01 0,00 0,00 
5 1,25 1 1,56 1,00 1,25 
6 0,86 1 0,74 1,00 0,86 
7 1,25 1 1,56 1,00 1,25 
8 1,1 1 1,21 1,00 1,10 
9 2,01 2 4,04 4,00 4,02 
10 2,03 2 4,12 4,00 4,06 
11 2,14 2 4,58 4,00 4,28 
12 1,74 2 3,03 4,00 3,48 
13 3,18 3 10,11 9,00 9,54 
14 2,99 3 8,94 9,00 8,97 
15 3,23 3 10,43 9,00 9,69 
16 3,37 3 11,36 9,00 10,11 
17 3,91 4 15,29 16,00 15,64 
18 3,9 4 15,21 16,00 15,60 
19 3,61 4 13,03 16,00 14,44 
20 4,27 4 18,23 16,00 17,08 
21 4,88 5 23,81 25,00 24,40 
22 5,33 5 28,41 25,00 26,65 
23 4,96 5 24,60 25,00 24,80 
24 4,98 5 24,80 25,00 24,90 
25 6,09 6 37,09 36,00 36,54 
26 6,17 6 38,07 36,00 37,02 
27 6,07 6 36,84 36,00 36,42 
28 5,97 6 35,64 36,00 35,82 
29 6,67 7 44,49 49,00 46,69 
30 7,02 7 49,28 49,00 49,14 
31 7,14 7 50,98 49,00 49,98 
32 7,3 7 53,29 49,00 51,10 
SOMA 113,97 112 570,8611 560 564,83 
45 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
 Os parâmetros estimados são dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coeficientes estimados 
Intercepto 0,105 
Concentração verdadeira (X) 0,988 
xy 988,0105,0ˆ 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Co
nc
en
tra
çã
o 
m
ed
ida
 (Y
)
Concentração verdadeira (X)
Reta Ajustada
Concentração medida (Y)
Previsto(a) Concentração 
medida (Y)
46 
 A reta ajustada fica dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
 Hipóteses: 
H0: = 0 
H1:  ≠ 0 
 
Tabela de ANOVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte de Variação gl SQ QM F Valor p 
Regressão 
Resíduo 
Total 
47 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
48 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
Hipóteses 
H0:  = 0 
H1:  ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
817,1
560
989,16732
179,0
105,0


t
Nível de significância de 5% e g.l.=30  
 RC={t: t ≤-2,042 ou t ≥2,042}. 
Portanto, NÃO se rejeita H0. 
 
 
Estatística de teste 
 
 
 
 
 
 






n
i
i
n
i
i
e x
xxn
S
t
1
2
1
2)(
ˆ

49 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
Intervalo de Confiança para : 
 
 
 
 






n
i
i
n
i
i
e
xxn
x
StγαIC
1
2
1
2
)(
ˆ );(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
),2281 ; 018,1(
123,1105,0
32989,167
560
179,0042,2105,00,95 (



);IC
50 
 Exemplo 3: Concentração Arsênico 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES: reta passando pela origem 
O modelo de regressão linear pode ser escrito na forma: 
 yi =  xi + ei, i =1, ..., n. 
 
PARÂMETROS: 
 : INCLINAÇÃO 
 2: Variância do erro. 
ERRO: ei . 
Método de Mínimos Quadrados: encontra estimador de  
que minimiza a soma do quadrado dos erros: 
 
 
 



n
i
ii
n
i
i xye
1
2
1
2 )( 
51 
Pode-se demonstrar que o estimador de mínimos 
quadrados para  é 
 
 
 
 
 
 
A reta de regressão estimada fica dada por: 
 
 
 
 
 ˆ 
1
2
1




n
i
i
n
i
ii
x
yx

iyˆ
ii xy ˆˆ 
52 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES: reta passando pela origem 
 O parâmetro estimado é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coeficiente estimado 
Concentração verdadeira (X) 1,009 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 2 4 6 8
Co
nc
en
tr
aç
ão
 m
ed
id
a 
(Y
)
Concentração verdadeira (X)
Reta Ajustada
Concentração medida (Y)
Previsto(a) Concentração 
medida (Y)
xy 009,1ˆ 
Exemplo 3: Concentração Arsênico - reta passando pela origem 
53 
 A reta ajustada fica dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Regressão linear no Rcmdr 
Como fazer a análise de regressão linear no Rcmdr: 
 
Estatísticas Ajuste de modelos  Regresão linear 
 
Para obter gráficos de resíduos: 
 
Modelos Gráficos Diagnósticos Gráficos Básicos 
 
Alternativa: 
Na planilha EXCEL construir os resíduos; 
Fazer diagrama de dispersão entre resíduos versus valores 
ajustados ou resíduos versus X 
54