AULA_06

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 6 – Integral Tripla
Conteúdo Programático desta aula
Definição de Integral Tripla;
Propriedades de Integral Tripla;
Interpretação geométrica de Integral de Tripla;
Integração Tripla: Mudança de Variáveis
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla
Definição. Podemos relacionar as integrais simples com funções de uma variável, as duplas com funções de duas variáveis, portanto, quando temos uma Integral Tripla, esta está relacionada a uma função de três variáveis [ f(x,y,z) ].
 w = f(x,y,z)
Variável dependente
Variáveis independentes
- Domínio em R3
- Imagem em R4 (hiper-espaço)
Características
de f(x,y,z)
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla
Considere a figura:
Suponha os volumes elementares
 do DVi = DxiDyiDzi domínio D em 
 três dimensões (R3):
Temos como base cubos que 
 somados formam aproximadamente
 o volume do sólido. Assim sendo:
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla
Calculando o limite quando n tende ao um número infinitamente grande e positivo (uma infinidade de pequenos cubos), tem-se a integral tripla:
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Propriedades
Segue as seguintes propriedades:
1ª)
2ª)
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Propriedades
Segue as seguintes propriedades:
3ª)
4ª)
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Exemplo 1
 Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies cujas equações são x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1 + x + y . 
 Solução: Seja volume escrito da forma
 
 D = {(x, y, z) ∈ R3 / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 + x + y}.
 Temos então a integral tripla
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Exemplo 1
Resolvendo a integral tripla
Temos
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Exemplo 2
 Calcular a integral
 Solução:
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudança de Variáveis
As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e cilíndricas do ponto P estão relacionados por:
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudança de variáveis
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
Assim sendo, feita a devida transformação temos
Lembrar:
Esta mudança é realizada com base em uma transformação e parte desta transformação é dada pelo determinante do Jacobiano da transformação T. 
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
Calcular a integral de onde W é o sólido limitado 
 
 pelas superfícies
 Solução: Sendo (x,y,z)  W o sólido limitado pelas superfícies acima temos que 
onde D é a projeção de W no plano XY.
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
De fato, a interseção das superfícies é a curva cuja equação¸ obtêm-se fazendo 
Portanto, fazendo a projeção desta curva sobre o plano XY obtemos o conjunto 
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
Usando mudança de variáveis cilíndricas observamos que W é a imagem do conjunto Q, onde 
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
 Assim sendo,
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Integração Tripla
Fim
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA