Aula 7 - Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 7 – Integral Tripla
Conteúdo Programático desta aula
Integração Tripla: Mudança de Variáveis
Comprimento de arco;
Integral de linha;
Integral de linha de função escalar.
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Integração Tripla: Mudança de Variáveis
As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e esféricas do ponto P estão relacionados por:
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Integração Tripla: Mudança de variáveis
 
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Assim sendo, feita a devida transformação temos
Lembrar:
Esta mudança é realizada com base em uma transformação e parte desta transformação é dada pelo determinante do Jacobiano da transformação T. 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
Calcular a integral onde W é o sólido no 
 
 primeiro octante limitada pela esfera
 
 e os cones e 
 Solução: Sendo (x,y,z)  W o sólido limitado pelas superfícies a seguir: 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
Temos que 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis
Temos que 
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Integração de linha
Seja C uma curva em R3 parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Qual é o comprimento desta curva quando t varia de a até b?
Definição. O comprimento da curva C ⊂ R3 é definido por
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Integração de linha de função escalar
Sejam f : R3 → R uma função real e C uma curva em R3 que é parametrizada por 
 α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]
Definição. A integral de linha ao longo da curva C ⊂ R3 é definido por
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Integração de linha de função escalar
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Integração de linha de função escalar
Calcule ,onde C é o quarto de círculo do primeiro 
 quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, π ].
 Solução: Sendo α(t) de classe C1, temos
 Logo, 
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Integração de linha de função escalar
Calcule ,onde C é o quarto de círculo do primeiro 
 quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, π ].
 Solução: Sendo f contínua, temos
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Integração de linha de função escalar
Seja f : R3 → R definida por
 
 e o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular
 Solução: Uma parametrização deste segmento é 
 r (t) = (t, t, t), t ∈ [0, 1] 
 Então, 
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Integração de linha de função escalar
Seja f : R3 → R definida por
 
 e o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular
 Solução: Sendo a integral,
 Temos como solução
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Integração de linha de função escalar
Calcule , onde C é a hélice parametrizada pela
 função α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π] .
 Solução: Sendo α(t) de classe C1, temos 
 Logo, 
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Integração de linha de função escalar
Calcule , onde C é a hélice parametrizada pela
 função α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π] .
 Solução: Como f é contínua então
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Integração Tripla
Fim
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