FENÔMENOS DE TRANSPORTE.doc EXERCÍCIOS PROPOSTOS.doc SOLUÇÕES.doc 05 SET 2016.doc PASSEI DIRETO

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AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – AFONSO CARIOCA 
1. Determinar a força resultante e o ponto de aplicação dessa força, devido à atuação da água sobre: 
a) a área retangular AB (3 m x 6 m) 
b) a área triangular CD (4 m x 6 m) com vértice superior em C 
 
Solução: 
a) Área retangular AB 
liq cgR
F y A   
 
 R RF 9,81 7 3 6 kN F 1236,06 kN     
, que age no centro de pressão situado a uma distância ycp 
do eixo O1 ou seja: 
cg
cg
I
cp cgy A
y y

 
, mas 
4 46³ 31
cg cg cg12 12
I h³b I m I 54m    
 
 cg
cg
I 54
cp cg cp cpy A 7 18
y y y 7 m y 7,43 m
 
      
 
b) Área triangular CD 
   
 
2 2
cg cg3 3
3 4 41 1
cg cg36 36
1 1
2 2
y 3 m h' 3 6 cos 45 m 3 4 0,707 m y 5,828 m
I bh' 4 6 ³ m I 24 m
A bh' 4 6 m² A 12 m²
           
     
     
 
liq cgR R
F y A 9,81 5,828 12 kN F 686,07 kN        
 
cg
5,828
cg
0,707
I 5,82824
cp cg cpy A 0,70712
y y m y 8,49 m
 
 
      
 
 
 
 
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2. A comporta AB da figura a seguir tem 1,22 m de largura e está articulada em A. O manômetro G 
indica – 14.561 Pa e o tanque à direita contém óleo com densidade igual a 0,750. Que força 
horizontal deve ser aplicada em B para estabelecer o equilíbrio em A? 
 
 
Solução: 
Dados: 
1,83h
cg cg cg2 2
4 41 1
cg cg cg12 12
A bh A 1,83 1,22 m² A 2,23 m²
y y m y 0,915 m
I bh³ I 1,22 1,83³ m I 0,623 m
     
    
      
 
Em primeiro lugar vamos determinar as forças atuantes sobre a comporta e localizá-las. Para o lado 
direito temos: 
 
cgóleo óleo óleo óleo
F y A F 0,750 9,81 0,915 2,23 kN F 15,01 kN          
 
 cg
cg
I 0,623
cp cg cp cpy A 0,915 2,23
y y y 0,915 m y 1,22 m
 
      
 
Para o lado esquerdo é necessário converter a pressão negativa devida ao ar para o seu equivalente 
em metros de água: 
 
p 14561
9810
h h m h 1,48 m

      
 
 
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Esta pressão negativa equivale a termos 1,48 m a menos de água abaixo do nível A. Dessa forma, 
devemos empregar uma superfície imaginária de água (IWS) 1,48 m abaixo do nível real e dessa 
forma encontrarmos a força exercida pela água. 
 
     
     
      
       
cg cg
4 41 1
cg cg cg12 12
cgágua água água
A bh A 1,83 1,22 m² A 2,23 m²
OA 2,09 m h 0,915 2,09 m h 3,00 m
I bh³ I 1,22 1,83³ m I 0,623 m
F h A F 9,81 3,00 2,23 kN F 65,63 kN
 
Aplicando o Teorema dos Momentos com os dados da figura abaixo: 
 

        
    
 AM 0 :
1,83F 15,01 1,22 65,63 0,91 0 1,83F 59,72 18,31
41,41
1,83F 41,41 F kN F 22,63 kN
1,83
 
 
 
 
 
 
 
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3. Determinar o empuxo exercido pela água em uma comporta vertical mostrada na figura abaixo, de 
3 x 4 m, cujo topo se encontra a 5 m de profundidade. Determinar, também, a posição do centro de 
pressão (utilizar SI). 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 = 9,8 x 103 N/m3 (água) 
A força pode ser calculada pela fórmula F = .
h
.A 
F = 9,8 x 103 x 6,5 x 12  F = 764.400 N 
 
Cálculo do centro de pressão: 
yA
I
yy P

 0
 
4
33
0 m 9
12
34
12





db
I
 
5,612
9
5,6

Py
  yP = 6,615 m 
4. Numa barragem de concreto está instalada uma comporta circular de ferro fundido com 0,20 m de 
raio, à profundidade indicada (figura). Determinar o empuxo que atua na comporta (utilizar sistema 
MKS*). 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
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F = .
h
.A 
 = 1.000 kgf/m3 
h
 = 4,20 m 
A = R2 =  x 0,202 = 0,1257 m2 
F = 1.000 x 4,20 x 0,1257  F = 528 kgf 
5. Uma caixa d´água de 800 litros mede 1,00 x 1,00 x 0,80 m. Determinar o empuxo que atua em 
uma de suas paredes laterais e o seu ponto de aplicação (utilizar sistema MKS*). 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
F = .
h
.A 
 = 1.000 kgf/m3 
h
 = 0,40 m 
A = 0,80 x 1,00 = 0,80 m2 
F = 1.000 x 0,40 x 0,80  F = 320 kgf 
Centro de pressão: 
yA
I
yy P

 0
 
4
33
0 m 043,0
12
8,000,1
12





db
I
 
4,08,0
043,0
4,0

Py
  yP = 0,534 m 
 
6. (Prova) Calcular os módulos e as linhas de ação das componentes do empuxo que age sobre a 
comporta cilíndrica da figura, de 3,28 m de comprimento (utilizar sistema MKS*). 
 
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Solução: 
EH = .
h
.A 
 = 1.000 kgf/m3 
m 98,0
2
96,1
h
 
A = 1,96 x 3,28 = 6,43 m2 
EH = 1.000 x 0,98 x 6,43  EH = 6.300 kgf 
EV = .V 
    322 m 896,928,396,1
4
1
4
1
  LRV
 
EV = 1.000 x 9,896  EV = 9.896 kgf 
Cálculo das linhas de ação: 
96,1
3
2
3
2
 Ry
  y = 1,31 m 
00 M
 
6.300 x 1,31 = 9.896 . x  x = 0,83 m 
 
7. A superfície mostrada, com dobradiça ao longo de A, tem 5 m de largura (w=5 m). 
Determinar a força resultante F da água sobre a superfície inclinada, o ponto de sua aplicação e 
o esforço na dobradiça (utilizar SI). 
 
 
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Solução: 
F = .
h
.A 
 = 9.800 N/m3 
m 00,35,000,4
2
1
00,230sen00,4
2
1
00,2
0 h
 
A = 4,00 x 5,00 = 20,00 m2 
F = 9.800 x 3,00 x 20,00  F = 588.000 N ou 588 kN 
Cálculo do ponto de pressão: 
yA
I
yy P

 0
 
m 00,4
50,0
00,2
30sen
00,2


x
 
y
 = 4,00 + 2,00 = 6,00 m 
4
33
0 m 7,26
12
0,40,5
12





db
I
 
m 22,6
0,60,20
7,26
0,6 

Py
, ou seja, o centro de pressão está a 2,22 m da 
dobradiça, no ponto A . 
 
 
 
Cálculo da força no ponto A: 
0 OM
 
F x 1,78 = FA x 4,00 
588 x 1,78 = FA x 4,00  FA = 262 kN 
 
 
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8. (Prova) Determinar a forçaF para manter a comporta em equilíbrio, desprezando o seu peso 
próprio, devido a atuação da água sobre a área triangular CD de 4m por 8m com vértice em D. 
 
Solução: 
Área Triangular: 
 
h cgF h A  
 
cg cg cg
1
h 6, 4 sen60 4 sen60 h 6, 4 0,866 1,333 0,866 h 6,69 m
3
8 4
A m² A 16m²
2
             

  
 
Substituindo: 
 
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h cg
h h
F h A
F 9,81 6,69 16 kN F 1050 kN
  
    
 
Esta força hidrostática atua a uma distância ycp da superfície livre da água e é medida ao longo do 
plano da área triangular. 
 
 
cg
cp cg
cg
cg cg
4 4
cg cg
cp cp
I
y y
y A
y 6, 4 1,33 m y 7,73 m
8 4³
I m I 14, 22 m
36
A 16 m²
Substituindo :
14, 22
y 7,73 0,115 7,73 7,84m y 7,84 m
7,73 16
 

    

  

      

 
Cálculo de F: 
NA
h cp
M 0
8232
F y 6, 4 F 1050 7,84 6, 4 F F kN F 1286 kN
6, 4

          
 
 
9. Um densímetro de massa 2,2 g tem uma haste superior medindo 6 mm de diâmetro. Qual será a 
diferença de altura de flutuação do hidrômetro em um óleo de densidade d1 = 0,78 e em álcool de 
densidade d2 = 0,821? 
Solução: 
Observe a figura abaixo que representa a situação do problema: 
 
 
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Para o óleo temos: 
 
 

  
 
         
 
  
           
 
2
1 B
2
1 1 1 1 1 B
2 2
1 1 B B
1
D
V V H volume submerso em óleo
4
O Empuxo será :
D
E V E V H
4
Igualando ao peso do densímetro :
D D mg
E W V H mg V H 1
4 4
 
E no caso do álcool temos: 
   
 

   
  
           
 
    
               
 
2
2 B
2 2
2 2 2 2 2 B
2 2 2 2
2 2 B B
2
D
V V H h volume submerso em álccol
4
O Empuxo será :
D D
E V E V H h
4 4
Igualando ao peso do densímetro :
D D D D mg
E W V H h mg V H h 2
4 4 4 4
 
Isolando VB em (1) e substituindo em (2): 
 
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 
      
 
 
    


 

2 2
B B
1 1
2 2
B
2
2
1
D mg mg D
V H V H
4 4
Substituindo :
D D mg
V H h
4 4
mg D
H
4

 
2D
H
4

  

  
     
   
       
            
              
2
2
2
2
1 2
2 1
2 2 2
1 2 1 2 1 2
D mg
h
4
D mg mg 4
h
4 D
4 mg mg 4mg 1 1 4mg
h h h
D D D
 
 

      
            
            
      
   
    
3 3 2
3 3
1 1 1 1 1água
3 3
2 2 2 2 2água
3
2 1
2
1 2
Dados :
m 2,2 g 2,2 10 kg D 6 mm 6,0 10 m g 9,81 m / s
d 0,78 d 0,78 9810 N /m 7652 N /m
d 0,821 d 0,821 9810 N /m 8054 N /m
Substituindo :
4mg 4 2,2 10 9,8
h h
D  


 
 
  



2
3
3
6
1 8054 7652
m
7652 80543,14 6,0 10
86,328 10
h
113,04 10

 6
402
61,629 10
   
 3
34,70
m h m h 4,98 mm
6,97 10
 
 
OUTRA SOLUÇÃO: 
Sabemos que peso do hidrômetro = peso do líquido deslocado. Assim: 
Para a posição 1: 

        
3
3 3 6 3
1 1 1
22 10
22 10 780 v v m v 28,2 10 m
780
 
Para a posição 2: 
 
 
  

 
   


 
           
 
  
      
 
 
        

       
2
3 3 6
1
2
3
3 6
3 3 3 3
3
3
D
22 10 821 v Ah 22 10 821 28,2 10 h
4
6 10
22 10 821 28,2 10 h
4
22 10 23,15 10 0,0232h 0,0232h 23,15 10 22 10
1,15 10
0,0232h 1,15 10 h m h 0,049 m h 4,9 cm
0,0232
 
 
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10. A água sobe ao nível E no tubo localizado no tanque ABCD da figura a seguir. Despreze o peso do 
tanque e do tubo. (a) Determine e localize a força resultante atuante sobre a área AB que tem 3,4 m 
de largura. (b) Determine a força resultante na base do tanque. (c) Compare o peso total da água 
com o resultado obtido em (b) e explique a diferença. (d) Calcule a força resultante em AD. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) Determine e localize a força resultante atuante sobre a área AB que tem 3,4 m de largura. 
 
A profundidade do centro de gravidade da área AB é hcg = 5,15 m abaixo da superfície da água (nível 
E). Assim: 
 
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 
   

   
         
 

  

    
AB cg
cg
2 2
AB cg AB AB
cg
cp cg
cg
2
cg cg
3
3
4 4
cg cg cg
F h A
Onde :
h 5,15 m
A 1,3 3, 4 m A 4, 42 m
Substituindo :
F h A F 1000 5,15 4, 42 kgf F 22763 kgf
Mas :
I
y y
y A
Onde :
y h 5,15 m A 4, 42 m
3, 4 1,3bh
I I m I 0,622 m
12 12
Substituindo
      
 
cg
cp cg cp cp
cg
:
I 0,622
y y y 5,15 m y 5,177 m
y A 5,15 4, 42 
(b) Determine a força resultante na base do tanque. 
A pressão na base BC é uniforme, portanto, a força é dada por: 
   

   
         
BC
cg
2 2
BC BC BC
F h A
Onde :
h 5,80 m
A 5,0 3, 4 m A 17 m
Substituindo :
F h A F 1000 5,80 17 kgf F 98.600 kgf
 
c) Compare o peso total da água com o resultado obtido em (b) e explique a diferença. 
O peso total da água é: 
  
 
       
       
3
3
w V
Onde :
1000 kgf /m
V 5 3, 4 1,3 4,5 3 22,1 13,5 35,6 m
Substituindo :
w V w 1000 35,6 kgf w 35.600 kgf
 
d) Calcule a força resultante em AD. 
 
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A força resultante em AD é dada por:  
   
    
     
           
AD BC DE
2 2 2
BC BC DE
AD BC DE AD AD
F h A A
Onde :
A 5 3, 4 m A 17 m A 3,0 m h 4,5 m
Substituindo :
F h A A F 1000 4,5 17 3 kgf F 63.000 kgf
 
O peso total da água é igual à diferença entre as forças FBC e FAD. Como mostra o diagrama de corpo 
livre abaixo: 
 
 
 
 
 
 
11. Uma caixa retangular aberta (7,5 m x 3,0 m de base por 3,6 m de altura) pesa 34 toneladas e 
está mergulhada em água. (a) Qual a altura submersa? (b) Se a água tem 3,6 m de profundidade, 
qual o peso de pedras colocadas na caixa causará o repouso da mesma no fundo? 
Solução: 
 
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a) Qual a altura submersa? 
Sabemos que peso da caixa = peso deslocado de água. Assim: 
   
P 34 ton 34000 kgf
P V 34 000  1000         
34
7,5 3 h 22,5h 34 h m h 1,51 m
2,5
 
b) Se a água tem 3,6 m de profundidade, qual o peso de pedras colocadas na caixa causará o 
repouso da mesma no fundo? 
Sabemos que peso da caixa, mais peso das pedras = peso do líquido deslocado. Assim: 
 
 
         
    
pedras pedras
pedras pedras
P 34 ton 34000 kgf
P W V 34000 W 1000 7,5 3,0 3,6
W 81000 34000 47000 kg W 47000 kgf
 
12. (Prova) O tanque contém óleo, d = 0,85 e água. Calcule a força resultante e o ponto de 
aplicação no lado ABC que tem 1,40 m de largura. Altura do óleo, AB = 4,23 m e da água, BC = 2,08 
m. 
 
Solução: 
A força hidrostática na superfície ABDE é dada por: 
 
   
    

1 cgóleo
1
1
h
4,23
h 2
h
F h A
F 0,85 9,81 1,4 4,23 kN
F 104,44 kN
 
O ponto de aplicação dessa força será dado por: 
 
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


 
    
   

      
cg
1 cg
33
1 1
I
c cgh A
1,40 4,23 4 4bh
cg cg cg12 12
2 2
cg
8,83
c c2,11 5,92
y h
I I m I 8,83m
A 1,40 4,23m A 5,92m
h 2,11m
substituindo :
y 2,11 0,707 2,11 2,82m y 2,82m de A
 
A força hidrostática em BCFE é devido não só ao esforço da água, mas também ao óleo que está 
acima da água. Dessa forma qualquer líquido acima da água pode ser convertido em equivalente 
profundidade de água. E a altura equivalente de água é dada por: 
     água óleo óleo águah d h h 0,85 4,23 3,59m
, conforme mostra a figura abaixo: 
 
Então, a força hidrostática em BCFE é: 
   
   
    
    
2
2
2 2
h cgágua
2,08
h 2
h h
F h A
F 9,81 3,59 1,40 2,08 kN
F 9,81 4,63 2,91 kN F 132,20 kN
 
O centro dessa força é dado por: 
 
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 



 
    
   
   
      
cg
2 cg
33
2 2
I
c cgy A
1,40 2,08 4 4bh
cg cg cg12 12
2 2
2,08
cg cg2
1,05
c c5,27 2,91
y y
I I m I 1,05m
A 1,40 2,08m A 2,91m
y 4,23 m y 5,27 m
substituindo :
y 5,27 0,068 5,27 5,34m y 5,34m de A
 
A força hidrostática resultante será dada por: 
       
1 2h h h h h
F F F F 104,44 132,20 236,64 kN F 236,64 kN
 
Essa força estará atuando no centro de pressão para área total. E para localizar o seu ponto de 
aplicação devemos ter em mente que: “o momento da força resultante é igual à soma dos momentos 
forças componentes, em relação a um mesmo ponto”. 
Tomando como referência o ponto A, temos: 
    
  
     
cp
cp
1000,5
cp cp cp236,64
236,64 y 104, 44 2,82 132,20 5,34
236,64 y 294,52 705,95
236,64 y 1000,5 y m y 4,23m de A
 
 
13 (Prova) A viscosidade da água é de 1 Pa.s, se o volume é de 100 ml e a massa é 99,8 g . 
Determine a viscosidade cinemática da água. 
 Solução: 
Dados: 
1 Pa.s 
 
V = 100 mL = 0,1 L = 0,1 dm³ = 0,0001 m³ 
m = 99,8 g = 0,0998 kg 
kg kg
m³ m³
m 0,0998
998
V 0,0001
      
 
A viscosidade cinemática é dada por: 
1
m² / s
998

    

   = 0,001 m²/s 
 
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14 (Prova) Calcule a depressão aproximada do mercúrio e da água num tubo capilar de 3,0 mm de 
diâmetro. A tensão superior do mercúrio é 0,514 N/m e da água é 0,0728 N/m . A densidade do 
mercúrio é 13,6. 
Solução: 
Para o mercúrio: 
 = 0,514 N/m 
D = 3,0 mm = 0,003 m 
d = 13,6  Hg = 13,6 x 9810 = 133416 N/m³ 
h = ? 
4 4 0,514
h h m h 0,050 m h 50 mm
D 13600 0,003
 
      
 
 
Para a água: 
 = 0,0728 N/m 
D = 3,0 mm = 0,003 m 
d = 1  Hg = 9810 = 9810 N/m³ 
h = ? 
4 4 0,0728
h h m h 0,097 m h 97 mm
D 1000 0,003
 
      
 
 
 
15 (Prova) Qual a leitura do manômetro A que fará a glicerina subir para o nível B? A densidade do 
óleo e da glicerina são 0,824 e 1,261, respectivamente. 
 
 
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Solução: 
Desprezando-se o peso específico do ar A pressão do manômetro A pode ser considerada a mesma 
pressão obtida na cota 762 cm, porém, se for considerado o peso específico do ar os nossos cálculos 
serão diferentes. 
 
 
 
 
 
Observando a figura a seguir: 
 
 
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Resolvemos as seguintes equações: 
1 Bp p    
   
   
   
 
   
0
glicerina
1 2 glicerina
2 A óleo
1 A glicerina óleo
glicerina A glicerina óleo
glicerina glicerina
9,14 1,52 1
P p 3,66 1,52 2
p p 7, 62 3,66 3
2 3 :
p p 2,14 3,96 4
1 4 :
7,62 p 2,14 3,96
mas :
1, 261 9,81 12,37



 
  
 
  
   
   

    

     
   
óleo óleo
glicerina A glicerina óleo
A
A
A A
kN / m³
0,824 9,81 8,08 kN / m³
Substituindo :
7,62 p 2,14 3,96
7,62 12,37 p 2,14 12,37 3,96 8,08
p 7,62 12,37 2,14 12,37 3,96 8,08
p 94, 26 26, 47 32,0 kPa p 35, 79 kPa
 
  
   
     
     
     
    
 
 
 
 
 
 
 
16 (Prova) Os reservatórios R1 e R2 contêm água. Supõe-se que a pressão atmosférica é a mesma 
nos dois níveis. A densidade do líquido manométrico é 0,7. Calcular a diferença de níveis entre as 
superfícies livres dos dois reservatórios. 
 
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Solução: 
Seja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A partir dela podemos escrever: 
 
 
0 1 água
2 1 líq
3 2 água
0 3 água
1
p p z 1
p p 0, 20
p p z 0, 20
p p y
Somando membro a membro :
p




     

  

   

  
0p água
2
z
p
  
1p líq
3
0, 20
p
 
2p  água
0
z 0, 20
p
  
3p água
água
y
0 z








 
   líq água0, 20 z     água água0, 20 y
0 0, 20 0,7 9,81 0, 20 9,81 9,81y
0,589
0 1,373 1,962 9,81y 9,81y 0,589 y m y 0,06 m
9,81
   
     
        
 
17. A figura abaixo apresenta um balão contendo gás, conectado a um tubo aberto de mercúrio. Se a 
pressão atmosférica local é a normal, determine a pressão do gás em A. 
Dados: p0 = 1,0.105 Pa (pressão atmosférica normal) 
5 3
Hg 1,334 10 N /m  
 
 
Solução: 
 
 
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Aplicando a Lei de Stevin no sentido de A para 2: A 1p p gás
1
h
p
  
2 Hg
A 0 Hg gás
5 5
A gás
p H
p p H h
p 1,013 10 1,334 10 0,24 h
   
      
       
0
5 5 5
A Ap 0,3202 10 1,0 10 p 1,3202 10 Pa      
 
OBS.: Estou considerando o peso específico do gás desprezível e isto implica que a pressão em 1 é a 
mesma em A.