FENÔMENOS DE TRANSPORTE.doc EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOLUÇÕES EM 09 SET 2016

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE – AFONSO CARIOCA 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. De uma caixa d’água sai um tubo horizontal com diâmetro D1 = 200 mm e pequeno comprimento. Logo após a 
saída, o tubo reduz seu diâmetro para D2 = 75 mm e jorra a água na atmosfera, com vazão Q = 32 l/s. 
Considere as perdas de energia igual a 15% da carga cinética do jato. Determine: 
a) a carga de pressão no início de D1. 
b) a carga total He. 
c) a potência da corrente líquida. 
 
Solução: 
a) A carga de pressão no início de D1. 
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2: 
 
1Z
2 2
1 1 2
2
v p v
0,15 Z
2g 2g
   

2
2 2v p
2g
 

 
2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1p v v v p v v0,15 1,15 I
2g 2g 2g 2g 2g
     
 
 
 
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 
 
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1
22
3 2 21
1 1 1
1 1 1 1 1
2 2
22
3 22
2 2 2
Mas :
Q v A v A Q v A e Q v A
Q v A
Substituindo :
0,2D
Q 0,032 m / s A A m A 0,0314 m
4 4
0,032
Q v A 0,032 v 0,0314 v m / s v 1,02 m / s
0,0314
e
Q v A
Substituindo :
0,075D
Q 0,032 m / s A A m A 0
4 4
    


     
       


      2
2 2 2 2 2
,00442 m
0,032
Q v A 0,032 v 0,00442 v m / s v 7,24 m / s
0,00442
       
 
Substituindo em (I): 
   
2 22 2
1 2 1 1 1 1
7,24 1,02p v v p p p
1,15 1,15 m 3,07 0,053 m 3,017 m
2g 2g 19,62 19,62
          
   
 
 
b) A carga total He. 
Aplicando a Equação de Bernoulli entre 3 e 1, referência em 1: 
 
 
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2 2 2
3 3 2 1 1
3 2
2
3
e
v p v v p
Z 0,15 Z
2g 2g 2g
v
H
2g
     
 
 3
p


2
2
2
v
0,15 Z
2g
 
2
1 2v p
2g
 

   
2 2
1 2 1
e
2 22 2
1 2 1
e e
e e
v v p
H 0,15
2g 2g
Substituindo :
1,02 7,24v v p
H 0,15 H 0,15 3,02
2g 2g 19,62 19,62
H 0,053 0, 4 3,03 m H 3,47 m
  

      

    
 
c) A potência da corrente líquida. 
ot e
ot ot
P QH
Substituindo :
P 9,81 0,032 3,47 kW P 1,09 kW
 
    
 
2. A bomba E eleva a água entre os reservatórios R1 e R2. O eixo da bomba está situado 5,0 m acima da 
superfície livre de R1, ponto A. No ponto final do sistema elevatório (a 50,2 m acima do eixo E), a água 
descarrega na atmosfera. Há o desnível d = 20 cm entre o eixo (entrada) da bomba e a sua saída (ponto C). São 
dados: 
 
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 
 
 
 
2
C
2
AC
2
CF
3
água
D 200 mm diâmetros das tubulações
p 5,45 kgf / cm pressão em C
v
h 6 perda contínua na tubulação AC
2g
v
h 4 perda contínua na tubulação CF
2g
1000 kgf /m


 
 
 
 
a) Esquematize o sistema 
b) Determine a potência da bomba 
c) Determine a vazão da água 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) Esquematize o sistema 
 
 
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Aplicando a Equação de Bernoulli entre C e F, referência em C: 
22
C C F F
C F
C
v p v pv
Z 4 Z
2g 2g 2g
Z
     
 
2
0 v
2g

2 254500 v v
4 50
1000 2g 2g
    F
p


0
2 2 2
2
2
v v 2v 4,5g
54,5 4 50 4 50 54,5 4,5 v
2g 2g g 2
4,5 9,81
v v 4,70 m / s
2
         

   
Aplicando a Equação de Bernoulli entre A e C, referência em A: 
 
22
C cA A
A B C
2
B A
v pv p v
Z 4 h Z
2g 2g 2g
4,70 54500
h 5,2 Z
19,62 1000
      
 
   
0 Av
2g

0
Ap

 
20
B B
4,70
4
19,62
h 5,2 1,126 54,5 4,5 h 65,3 m
 
     
 
 
 
b) Potência da Bomba 
 
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 
2
ot B ot B
22
ot B ot ot
ot ot
D
P Qh P vh
4
Substituindo :
0,2D
P vh P 1000 4,70 65,3 kgf m / s P 9642 kgf m / s
4 4
ou
9642
P cv P 128,56 cv
75

    

          
  
 
 
c) Vazão da Água 
 
22
3 3
0,2D
Q vA Q v Q 4,70 m / s Q 0,1476 m / s
4 4
  
        
 
 
 
 
3. Foram extraídos 51,2 kW de uma turbina, mantida as pressões manométricas em A e em B iguais a 144,4 kPa 
e -34,6 kPa, respectivamente. Considere os diâmetros 
AD 150 mm
 e 
B AD 3 D 
. Determine a vazão da 
água. 
 
Solução: 
Dados: 
A
B
A
B A
P 51,2 kW
p 144,4 kPa
p 34,6 kPa
D 150 mm 0,150m
D 3 D 3 150 mm 450 mm 0,450 m


 
 
     
 
 
 
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Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli: 
 
2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
            
   
 
Mas: 
     
2 2
A A
A A B B A B
2 2
A A B B A B A B A B
D D
Q v S v .S Q v v
4 4
0,450²
v D v D v 0,150 ² v 0,450 ² v v v 9v 2
0,150²
 
       
          
 
Fazendo as substituições em (1) e levando em consideração (2): 
 
   
2 2
A A B B
T A B
B B
T
2
2B B
T T B
v p v p
h Z Z
2g 2g
9v ² 34,6v ²144,4
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
81v v ²
h 1 14,72 3,53 h 19,25 4,08v (3)
19,62 19,62
 
      
   

     
       
 
Da expressão da potência, temos: 
T T
2
B
B T B T B T
T T
B B
P Qh 51,3 9,81 Q h
D 3,14 0,450²
V h 5,23 V h 5,23 0,0,159v h 5,23
4 4
5,23 32,89
h h (4)
0,159v v
     
   
              
  
 
Comparando (3) e (4): 
 
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 
 
 
2 3
B B B
B
3
B B
3
B
3
B
3
B
32,89
19,25 4,08v 4,08v 19,25v 32,89 0
v
v 4,718v 8,061 (5)
Por tentativas:
v 1,2 m / s 1,20 4,718 1,20 8,061 7,3896 8,061
v 1,25 m / s 1,25 4,718 1,25 8,061 7,8506 8,061
v 1,30 m / s 1,30 4,718 1,30 8
     
 
      
      
    
 
 
 
3
B
3
B
3
B
,061 8,3304 8,061
v 1,28 m / s 1,28 4,718 1,28 8,061 8,1362 8,061
v 1,26 m / s 1,26 4,718 1,26 8,061 7,9450 8,061
v 1,27 m / s 1,27 4,718 1,27 8,061 8,040 8,061
 
      
      
      
 

B Av 1,27m / s v 11,43 m / s  
 
2 2
B
A A B
D 3,14 0, 450Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s
4 4
  
           
 
 
 
 4. Um tubo de 150 mm transporta 81,3 l/s de água. Este se bifurca em um tubo de 50 mm de diâmetro e em 
outro de 100 mm de diâmetro. Se a velocidade no tubo de 50 mm é de 12,2 m/s, qual é a velocidade no tubo de 
100 mm? 
Solução: 
Dados: 
3
150
150
50
50
100
100
Q 81,3 l / s 0,0813 m / s
D 150 mm 0,150 m
D 50 mm 0,050 m
V 12,2 m / s
D 100 mm 0,100 m
V ?
 
 
 

 

 
Vazão no tubo de 50 mm: 
 
3
150
50
50
22
3 350
50 50 50 50
Q 81,3 l / s 0,0813 m / s
D 50 mm 0,050 m
V 12,2 m / s
Mas :
0,050D
Q V Q 12,2 m / s Q 0,02356 m / s
4 4
 
 

    
        
   
   
 
Vazão no tubo de 100 mm: 
 
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3
150
3
50
150 50 100 100 150 50
3 3
100 150 50 100 100
Q 81,3 l / s 0,0813 m / s
e
Q 0,02356 m / s
Logo :
Q Q Q Q Q Q
Substituindo :
Q Q Q Q 0,0813 0,02356 m / s Q 0,05774 m / s
 

    
      
 
 
 
Velocidade no tubo de 100 mm: 
 
3
100
100 100
100 1002 2
100 100
100
100 100 1002 2
100
Q 0,05774 m / s
Assim :
Q 4Q
V V
D D
4
Substituindo :
4Q 4 0,05774
V V m / s V 7,35 m / s
D 0,100

  
 

    
  
 
 
5. Em um tubo curvado tipo S, tem-se os pontos 1 (cota 124,35 m) e 2 (cota 131,78 m). No ponto 1 tem-se uma 
pressão de 2,29 kgf/cm², com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro D2 = 100 mm, a 
água é descarregada na atmosfera com uma vazão de 23,56 l/s. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2. 
(Dado: 
3
água 1000 kgf /m 
). 
Solução: 
Dados: 
 
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 
1
1
2 2
1
2
2
2
3
Z 124,35 m
D 125 mm 0,125 m
p 2,29 kgf / cm 22900 kgf / m
Z 131,78 m
D 100 mm 0,100 m
p 0 atmosfera
Q 23,56 l / s 0,02356 m / s

 
 

 

 
 
Observe a figura a seguir: 
 
Aplicando a Equação de Bernoulli de 1 para 2: 
 
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 
2 2
1 1 2 2
1 2
1
1
2 2
1
2
2
2
2 2
1 1 2 2
1 2
v p v p
Z h Z
2g 2g
Substituindo :
Z 124,35 m
D 125 mm 0,125 m
p 2,29 kgf / cm 22900 kgf / m
Z 131,78 m
D 100 mm 0,100 m
p 0 atmosfera
v p v p
Z h Z
2g 2g
      
 

 
 

 

      
 
 
 
0
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 1 2 2
3
1 12 2
1
v v22900
124,35 h 131,78
2g 1000 2g
v v
124,35 22,9 h 131,78
2g 2g
v v
h 124,35 22,9 131,78
2g 2g
v v
h 15, 47 I
2g 2g
Mas :
Q V A V A
Onde :
Q 0,02356 m / s
Assim :
4Q 4 0,02356
V V m / s
D 0,15
     
     
     
   
   


   
  
 
1
2 2 12 2
2
V 1,92 m / s
e
4Q 4 0,02356
V V m / s V 3,00 m / s
D 0,10


    
  
 
Substituindo essas velocidades na equação (I): 
 
2 2
1 2
2
1 2
22 2 2
1 2
v v
h 15,47
2g 2g
Onde :
V 1,92 m / s V 3,00 m / s g 9,81 m / s
1,92v v 3
h 15,47 h 15,47
2g 2g 2 9,81 2 9,81
h 15,47 0,188 0,459 m h 15,2 m
   
  
        
 
      
 
 
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6. Uma comporta é articulada e tem largura de L = 11 m. A equação da superfície é 
2y
x
4

. A profundidade da 
água à direita da comporta é de h = 5 m. Determine a força aplicada a b = 7,5 m da articulação, necessária para 
manter a comporta em equilíbrio, desprezando-se o seu peso próprio. 
 
 
Solução: 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
Cálculo da Força Horizontal: 
 
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H água cg cg
água
cg cg cg
H água cg
H H
h
F y A Mas : A L h A L h e y
2
onde :
L 11 m h 5,0 m 9,81 kN / m³
Substituindo :
A L h A 11 5 55 m² A 55 m²
h 5
y y m y 2,5 m
2 2
F y A
F 9,81 2,5 55 kN F 1349 kN
        
  
       
    
  
    



 
Localização da Força Horizontal: 
cg
1 cg
cg
3 3
4 4
cg cg cg
cg
1 cg
cg
1 1 1
I
y y
y A
Lh 11 5
I I m I 114,6 m
12 12
Substituindo :
I
y y
y A
114,6
y 2,5 y 0,83 2,5 m y 3,33 m
2,5 55
 


    
 

      

 
 
Cálculo da Força Vertical: h ²
1a
2
V
0
12
2 2
F L h a x dx
onde :
y
x y 4x y 2x
4
 
  
 
 
    

 
 
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 
 
h ²
1a
2
V
0
6,25
3
16,25 2
2
V água água
0
0
6,25
3
1,5
2
V água água
0
V V
Substituindo :
F L h a x dx
x
F 11 5 2x dx 11 5x 2
3
2
4 4
F 11 5x x 11 5 6, 25 6, 25
3 3
F 11 9,81 31, 25 20,83 kN F 107
 
  
 
 
 
  
     
   
   
 
 
            
 
     



 
 
V,9 10, 4 kN F 1122, 2 kN  
 
Localização da Força Vertical 
h ²
1a
2
1
V 0
3
1
L
x x h a x dx
F
Substituindo :
9,81 10
x
 
  
 
 




3
11
1122, 2 10


16,25
2
0
x 5 2x dx
 
 
 
 

 
   
 
16,25
2
1
0
36,25
2
1
0
6,25
5
2 53
2
31
0
1 1 1
x 0,0962 x 5 2x dx
x 0,0962 5x 2x dx
5x 2x 5 6
x 0,0962 96, 2 6, 25 6, 25
52 2 5
3
x 0,0962 97,66 25, 45 m x 0,0962 72, 21 m x 6,95 m
 
  
 
 
 
  
 
 
 
 
 
         
   
 
 
       


 
Somando os momentos em relação a O: 
0M 0
 
 
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 
 
 
1 V 1 H
1 V 1 H
x F h y F bF 0
Substituindo :
x F h y F bF 0
6,95 1122, 2 5 3,33 1349 7,5 F 0
10052,1
7799,3 2252,8 7,5 F 7,5 F 10052,1 F kN F 1340,3 kN
7,5
   
   
      
         
 
 
7. Na tubulação que parte da barragem (veja a figura abaixo), a vazão é de 28 l/s. A carga de pressão no ponto 
(1) é de 29,6 m. Calcular o diâmetro da tubulação desprezando-se as perdas de energia. 
 
 
 
Solução: 
 
Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido do escoamento de (2) para (1), tomando como referência o ponto 
(1), temos: 
 
2 2 2
2 2 1 1 1
2 1
2 2
2 21 1
1 1 1
v p v p v
z z 30 0 0 0 29,6
2g 2g 19,62
v v
30 29,60,4 v 0,4 19,62 v 7,848 v 2,80m / s
19,62 19,62
          
 
          
 
 
Mas sabemos que: 2D
Q v A e A
4

  
 e fazendo as devidas substituições isolando D temos: 
 
 
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D² 4Q 4Q
Q v D² D
4 v v
 
     
  
. Substituindo os valores: 
 
4Q 4 0,028
D D m D 0,113 m
v 3,14 2,8

    
 
 
 
8. A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3 m. Em cada ponto da seção transversal do conduto, a 
velocidade é definida por v = 1,8 – 20 x², sendo x a distância do referido ponto ao centro O da seção (veja a 
figura abaixo). Calcular a vazão. 
 
 
 
Solução: 
Na coroas circular (figura acima), de área elementar dA, estão os pontos que distam x do centro. Assim, 
podemos escrever: 
 
dA 2 xdx 
 (1) 
Mas como cada ponto da coroa está submetido à velocidade v, temos: 
dQ vdA
 (2) 
Fazendo as devidas substituições e integrando: 
 
 
 
0,3
Q 0,3 4
0 0 0
2 4
dQ vdA dQ 1,8 20x² 2 xdx
1,8x² 20x
dQ 2 1,8x 20x³ dx Q 6,28 m³ / s
2 4
Q 6,28 0,9 0,3 5 0,3 m³ / s Q 0,254 m³ / s
    
 
      
 
 
    
  
 
 
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9. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um tubo cônico de 1,83 m de altura. As 
extremidades superior e inferior do tubo têm diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente, como mostra a 
figura abaixo. Se a vazão é de 23 l/s, determinar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. 
 
 
Solução: 
Vamos aplicar a Equação de Bernoulli no sentido indicado: 
 
2 2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 1 1 2
1 2
v p v p
z z
2g 2g
p p v v
z z (1)
2g 2g
    
 
    
 
 
 
 
 
Mas pela Equação da Continuidade, podemos escrever: 
 
 
 
1 1 2 2
22
1
1 1
22
2
2 1
Q v A v A , mas:
3,14 0,05D
A m² A 0,00196 m²
4 4
3,14 0,10D
A m² A 0,00784 m²
4 4
   

   

   
 
Substituindo: 
 
 
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1 1 2 2
1
1 2
2
1 1
2 2
Q A v A v 0,023 m³ / s
0,00196v 0,023
0,00196v 0,00784v 0,023
0,00784v 0,023
0,023
v m / s v 11,73 m / s
0,00196
0,023
v m / s v 2,93 m / s
0,00784
    

   

  
  
 
Substituindo os valores encontrados na Equação (1): 
   
2 2
2 1 1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
p p v v
z z
2g 2g
11,73 2,93p p
0 1,83
19,62 19,62
p p
7,01 0, 438 1,83
p p
4,74 p p 4,74 4,74 9,81 kPa
p p 46,50 kPa
    
 
    
 
   
 
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. A água escoa através de uma turbina. A vazão é de 0,214 m³/s e as pressões em A e B são, 
respectivamente, 147,5 kPa e – 34,5 kPa. Determinar a potência fornecida à turbina pela água. 
 
 
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Solução: 
Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli: 
2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
            
   
 
Mas: 
 
 
2 2
A A
A A B B A B
A A
B B
D D
Q v S v .S Q v v 0,214
4 4
4 0,214
v m / s v 3,03 m / s
3,14 0,3 ²
4 0,214
v m / s v 0,757 m / s
3,14 0,6 ²
 
        

  


  

 
Substituindo os valores em (1): 
 
2 2
A A B B
T A B
T
T T
v p v p
h Z Z
2g 2g
34,53,03² 147,5 0,757²
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
h 1 0,468 15,04 3,52 0,0292 h 20 m
 
      
   

     
      
 
A potência é dada pela expressão: 
TP Qh P 9,81 0,214 20 kW P 41,99 kW       
 
 
 
11. Para a turbina anterior, se forem extraídos 48,3 kW enquanto as pressões manométricas em A e B são, 
respectivamente, 141,3 kPa e – 33,1 kPa, qual será a vazão da água? 
Solução: 
 
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Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli: 
2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
            
   
 
Mas: 
     
2 2
A A
A A B B A B
2 2
A A B B A B A B A B
D D
Q v S v .S Q v v
4 4
0,6²
v D v D v 0,3 ² v 0,6 ² v v v 4v 2
0,3²
 
       
          
 
Fazendo as substituições em (1) e levando em consideração (2): 
   
2 2
A A B B
T A B
B B
T
2
2B B
T T B
v p v p
h Z Z
2g 2g
4v ² 33,1v ²141,3
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
16v v ²
h 1 14,40 3,37 h 18,77 0,764v (3)
19,62 19,62
 
      
   

     
       
 
Da expressão da potência, temos: 
T T
2
B
B T B T B T
T T
B B
P Qh 48,3 9,81 Q h
D 3,14 0,6²
V h 4,92 V h 4,92 0,283v h 4,92
4 4
4,92 17,38
h h (4)
0,283v v
     
   
              
  
 
Comparando (3) e (4): 
 
 
2 3
B B B
B
3
B B
3
B
3
B
17,38
18,77 0,764v 0,764v 18,77v 17,38 0
v
v 24,57v 22,75 (5)
Por tentativas:
v 0,91 m / s 0,91 24,75 0,91 22,75 23,28 22,75
v 0,80 m / s 0,80 24,75 0,80 22,75 20,31 22,75
     
 
      
      
 
 
 
 
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 
 
3
B B
B
B
B
v 24,57v 22,75
v 0,86m / s 0,86 ³ 24,57 0,86 22,75 21,92 22,75
v 0,89m / s 0,89 ³ 24,57 0,89 22,75 22,73 22,75
v 0,89 m / s
 
      
      
 
 
B Av 0,89m / s v 3,56 m / s  
 
2 2
A
A A A
D 3,14 0,3
Q v S Q v 3,56 m³ / s Q 0,252m³ / s
4 4
  
         
 
 
 
OBS.: Utilizando O Maple 7.0 
> solve(x^3+24.57*x-22.75=0); 
, ,-.4482957161 5.017260921 I -.4482957161 5.017260921 I .8965914322
 
B Av 0,8966m / s v 3,5864 m / s  
 
 
2 2
A
A A A
D 3,14 0,3
Q v S Q v 3,5864 m³ / s Q 0,253m³ / s
4 4
  
         
 
 
 
 
12. A altura de carga utilizada pela turbina é de 61 m e a pressão em T é de 501 kPa. Para as perdas de 
2
610v2
2g
 
 
 
 
entre W e R e 
2
305v3
2g
 
 
 
 
entre C e T, determine: a) a vazão da água; b) a carga de pressão em R; c) 
traçar a linha energética. 
 
Solução: 
 
A linha energética em T está a 
2
305 T
T
v p
z
2g
 
  
  
 e é bem acima da cota de W, logo a água fluirá de T para W. 
 
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a) a Vazão da água 
Vamos aplicar a Equação de Bernoulli de T para W, com referência D-D 
 
2 2 2 2
305 610 305T w W
T T W
610 305 305 610
v v vp p v
Z 2 3 h z (1)
2g 2g 2g 2g
mas :D 2 D v 4 v (2)
 
        
   
    
 
Substituindo os dados em (1) e levando em consideração (2), temos: 
 
2 2 2 2
305 610 305T w W
T T W
2 2
305 610
2
2 2
610 610
2 2 2
610 610 610
v v vp p v
Z 2 3 h z
2g 2g 2g 2g
v v501
76 2 2 61 46 desp 0
19,62 9,81 19,62
4v v
76 2 51,07 2 61 46
19,62 19,62
16v v 17v
127,07 61 46 127,07 61
9,81 9,81 9,81
 
        
   
      
    
       
2 2 2
610 610 610 610
46
20,07
1,733v 20,07 v v 11,58 v 3, 40 m / s
1,733
      
 
305 305 610 610
2
610
610 610 610
2
Q v S v S
D
Q v S Q v
4
3,14 0,610
Q 3,40 m³ / s Q 0,993 m³ / s
4
   
 
      
 
 

   
 
b) Vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre T e R, com referência R: 
 
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2 2 2
305 305T R R
T T R
610 305 305 610
v vp p v
Z 3 h z (1)
2g 2g 2g
mas :D 2 D v 4 v (2)
      
 
    
 
 
 
   
2 2 2
305 305T R R
T T R
610 305
2 2
305R T R
T T R
2 2
R
R R
v vp p v
Z 3 h z
2g 2g 2g
v 3,40 m / s v 13,6 m / s
vp p v
z 2 h z
2g 2g
13,6 3,40p 501
76 61 30
9,81 9,81 19,62
p p
76 51,07 18,85 91 0,589 16,63 m
      
 
  
     
 
     

      
 
 
c) Linha Energética e Linha Piezométrica 
1º) Linha Energética em T 
2 2
305 T
T T T T
v p 13,6 501
EE z 76 EE 76 9,43 51,07 EE 136,5 m
2g 19,62 9,81
           

 
2º) Linha Energética em C 
2 2
305
C T C
v 13,6
EE EE 3 EE 136,5 3 136,5 28,3 108,2 m
2g 19,62
        
 
3º) Linha Energética em R 
R C T REE EE h 108,2 61 47,2 m EE 47,2 m      
 
4º) Linha Energética em W 
2 2
610
W R W
v 3,40
EE EE 2 47,2 2 47,2 1,2 46 m EE 46 m
2g 19,62
         
 
 
 
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13. A água escoa de A para B. A vazão é de 0,37 m³/s e a carga de pressão em A é de 6,74 m. Admitindo que 
não haja perda de energia de A para B, determine a carga de pressão em B. Trace a linha de energia. 
Dados: ZA = 3,05 m; ZB = 7,62 m; DA = 305 mm; DB = 610 mm 
 
Solução: 
Da Equação da Continuidade, temos: 
A A B B
A A B B
2 2
A B
A B
A A A
B B B
Q V S V S
V S V S 0,37
D D
V V 0,37
4 4
3,14 0,305² 0,37
V 0,37 V m / s V 5,07 m / s
4 0, 073
3,14 0, 610² 0,37
V 0,37 V m / s V 1, 27 m / s
4 0, 292
 
   
   
   
      
   
   
 
     
 
 
     
 
 
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos A e B, temos: 
 
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   
2 2
A A B B
A B
B B B
B B
V p V p
Z Z
2g 2g
Substituindo :
5,07 ² 1, 27 ² p p p
3,05 6,74 7,62 3,05 1,31 6,74 7,62 0,082 11,1 7,70
19,62 19,62
p p
11,1 7,70 3, 40 m
    
             
   
 
  
 
 
 
 
14. A água circula no tubo tronco-cônico; nas seções (1) e (2) as pressões são p1 = 800 kgf/m² e p2 = 450 
kgf/m². Calcular a perda de carga entre as seções. Dados: D1= 0,6 m, D2 = 0,4 m, Q = 0,3 m³/s e  = 1000 
kgf/m³. 
 
 
Solução: 
Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido de (1) para (2): 
1 2 1 2
1
As pressões são p = 800 kgf/m² e p = 450 kgf/m². D = 0,6 m, D = 0,4 m, Q = 0,3 m³/s e = 1000 kgf/m³. 
Z

2
1 1
12 2
V p
h Z
2g
    

 
2
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
12 12
2 2
1 2
12
V p
2g
Substituindo :
V V V V800 450 800 450
h h
2g 1000 2g 1000 2g 1000 2g 1000
V V350
h I
2g 1000 2g
 
          
   

 
 
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Aplicando a Equação da Continuidade 
1 1 2 2Q = A V A V
: 
 
 
1 1 2 2
1 1 1 1 12 2
1 1 1
1 1 12 2
1
2 2 2 2 22 2
2 2 2
2 2 22 2
2
Q = 0,3 m³/s Q = A V A V
Assim :
Q Q 4Q
Q A V V V V
A D D
4
Substituindo :
4Q 4 0,3
V V m / s V 1,06 m / s
D 0,6
e
Q Q 4Q
Q A V V V V
A D D
4
Substituindo :
4Q 4 0,3
V V m / s V 2,39 m
D 0, 4
 
      

    

      

    

 
 
 
 
/ s
 
 
 
   
1 2
2 22 2
1 2
12 12
12 12
Substituindo V 1,06 m / s e V 2,39 m / s :
1,06 2,39V V350 350
h h m
2g 1000 2g 19,62 1000 19,62
h 0, 0573 0,350 0, 291 m h 0,116 m
 
        
     
 
 
15. A vazão de 1,44 m³/s de água ocorre em uma instalação contendo uma bomba que fornece 400 CV de 
energia à corrente líquida. São dados: A1 = 0,36 m², A2 = 0,18 m², Z1 = 9,15 m, 
2Z 24, 4 m
, 
1p 14 m

 e 
2p 7 m

. Calcular a perda de carga entre as seções (1) e (2). 
 
 
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Solução: 
Sabemos que: 
B B
B B
QH 1000 1, 44H
P 400 1440H 30000 H 20,83 m
75 75

      
 
Escrevendo a Equação da Continuidade: 
1 1 2 2
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2
2
Q = A V A V
Q 1, 44
Q A V V V m / s V 4,00 m / s
A 0,36
e
Q 1, 44
Q A V V V m / s V 8,00 m / s
A 0,18

      
      
 
 
 
Aplicando a Equação de Bernoulli de (1) para (2) e substituindo os valores encontrados anteriormente: 2 2
1 1 2 2
1 B 12 2
2 2
12
12 12
12 12
p v p v
Z H H Z
2g 2g
4 8
9,15 14 20,83 H 24, 4 7
19,62 19,62
9,15 14 0,815 20,83 H 24, 4 7 3, 26 44,795 H 34,66
H 44,795 34,66 10,1 m H 10,1 m
      
      
         
    
 
 
 
16. Um jato de água de 150 mm de diâmetro é descarregado por um bocal. A velocidade do jato é de 36 m/s. 
Determine a potência do jato. 
 
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Solução: 
Da Equação de Bernoulli, temos: 
2 2
2 2
3 3
v 36
H H m H 66,06 m
2g 19,62
E da Equação da Continuidade :
D v 3,14 0,15 36
Q v A Q Q m / s Q 0,636 m / s
4 4
Assim a potência do jato é dada por :
P QH P 9810 0,636 66 W P 412 kW
    
 
       
      


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPORTA ARTICULADA – DEDUÇÃO DE FÓRMULAS 
A comporta é articulada e tem largura de L. A equação da superfície é 

2y
x
a
, onde x e y são expressos em 
metros. A profundidade da água à direita da comporta é h. Determine a força 
F
 para mantera comporta em 
equilíbrio, despreze o peso próprio da comporta. 
 
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Roteiro: 
 Diagrama de Corpo Livre da Comporta: 
 
 
Temos que: 
(1) 
H água cg cg
h
F y A onde : A L h y
2
     
 
(2) 
3
cg
1 cg cg
cg
I Lh
y y ,onde : I
y A 12
  

 
(3) 
h²
1a
2
V
0
F L h ax dx
 
  
 
 

 
 
Resolvendo a integral (3): 
 
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2
2
h
h ² 3 a
1 1a 2
2 2
V V
0
0
h 3
1 3 12 2a 2
2 2 2
V V
0
213
2
V
x
F L h a x dx F L hx a
3
2
2 h 2 h
F L hx a x F L h a
3 a 3 a
h
h 2
F L a
a 3
 
 
   
      
    
 
  
   
    
                  
    
   
 
 

 
3
2 1 33
32 2
V3
2
3 3 3 3 3 3
3 1
V V V V
h 2
F L a h a
a 3
a
h 2 h 2h 3h 2h Lh
F L h a F L F L F
a 3 a 3a 3a 3a


 
   
        
     
 
     
             
          


  
 
 
Assim, a força vertical para o perfil 2 3
V
y Lh
x é F
a 3a
 
. 
(4) 
h²
1a
2
1
V 0
L
x x h a x dx
F
 
  
 
 

 
Resolvendo a integral (4): 
2
2
h² h
1 3a a
2 2
1 1
V V0 0
h
1 5 1 5a
2
2 2 22 2 2 2
1 1
V V
0
L L
x x h a x dx x hx a x dx
F F
L hx a x L h h 2a h
x x
5F 2 F 2 a 5 a
2
   
       
   
   
 
   
      
             
      
   
 
 
 
  
 
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1 2
4 2
1 2
V
h
L h h 2a
x
F 2 5a
   
  
5
2
1 5
5 52 2
15 2
V
2
5 2 5 5 5 5 5
1 1 12 2 2 2 2
V V V
5 5 5
1 12 2
V V
3
V
L h 2a h a
x
F 52a
a
L h 2a h L h 2h L h 2h
x x x
F 5 F F2a 2a 5a 2a 5a
L 5h 4h L h
x x
F F10a 10a
Mas :
Lh
F
3a
S


 
  
       
    
  
     
                 
     
   
          
   


  
 

5 5
1 1 12 3 2
V
ubstituindo :
LL h L h
x x x
F 10a Lh 10a
3a
   
            
   
 

3 a
1

L 3h
5
h

2
h
2
10 a
2
1a
3h
x
10a
 
 
Assim, a localização da força vertical 3
V
Lh
F
3a

 é 
2
1
3h
x
10a

. 
Somando os momentos em relação a O: 
(5) 
0M 0
 
(6) 
 1 V 1 Hx F h y F bF 0   
 
Momentos em relação a O: 
(5) 
0M 0
 
(6) 
 1 V 1 Hx F h y F bF 0   