Material Estatistica Inferencial

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MMMaaattteeerrriiiaaalll 
DDDeee 
EEEssstttaaatttíííssstttiiicccaaa 
IIInnnfffeeerrreeennnccciiiaaalll 
 
Professores: Valéria da S. C. Shiguti 
Wanderley Akira Shiguti 
 
 
Brasília, 2007 
 
ÍNDICE 
 
CONTEÚDO PÁGINA 
 
UNIDADE I – Correlação Linear Simples .............................................................................. 01 
 
UNIDADE II – Estimação ....................................................................................................... 08 
 
UNIDADE III – Teste de Significância ................................................................................... 14 
 
UNIDADE IV – Análise de Variância..................................................................................... 18 
 
UNIDADE V – Testes Não-Paramétricos................................................................................ 25 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 1
UNIDADE I –CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
INTRODUÇÃO 
 
A análise de correlação compreende análise de dados amostrais para saber como duas ou mais variáveis 
estão relacionadas umas com as outras em uma população. O objetivo nesse item é o estudo de situações de duas 
variáveis. 
 
 A análise de correlação fornece um número que resume o grau de relacionamento entre duas variáveis. 
Ela é útil em um trabalho exploratório, quando um pesquisador ou analista procura determinar quais variáveis 
são potencialmente importantes e o interesse está no grau ou na força desse relacionamento. Por exemplo, 
quando uma variável aumenta de valor, de que maneira é influenciada a outra variável? 
 
ALGUNS CASOS DE RELACIONAMENTO DE VARIÁVEIS: 
 
1. A idade e a resistência física? 
2. Pessoas de maior renda tendem a apresentar maior escolaridade? 
3. O sucesso em um emprego pode ser predito com base no resultado de testes? 
4. A temperatura parece influenciar a taxa de criminalidade? 
 
Dois tipos de pesquisas são avaliados quando se pretende estudar um conjunto de dado. A pesquisa 
Experimental e a pesquisa de um estudo de relacionamento. A primeira manipula-se uma variável e medem-se as 
mudanças conseqüentes em uma outra variável, enquanto que o segundo tipo de pesquisa, mede-se ambas 
variáveis, procurando relacionar as mudanças que ocorrem naturalmente em uma variável – por exemplo, a 
rapidez na leitura – com as mudanças que ocorrem naturalmente com a outra variável – por exemplo, a 
inteligência. Para tal medem-se os QI’s e a rapidez em uma grande amostra de pessoas e depois se analisam os 
dados, para verificar se as pessoas de elevado QI tendem também a Ter melhores velocidades, e as pessoas de 
baixo QI, piores. 
 
 Um modo de apresentar os resultados é através de um diagrama de dispersão: 
 
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
OBJETIVO DO ESTUDO: medir e avaliar o grau de relação existente entre duas variáveis 
aleatórias. Por exemplo, podemos avaliar se a relação entre número de filhos de uma família e sua renda é forte, 
fraca ou nula. 
A correlação linear procura medir a relação entre as variáveis x e y através da disposição 
dos pontos (x, y) em torno de uma reta. 
 
0
2
4
6
8
10
12
90 100 110 120 130 140
QI
R
ap
id
e
z
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 2
MEDIDA DE CORRELAÇÃO 
 
COEFICIENTE DE PEARSON: 
 ( )( )
( ) ( )




−



−
∑∑−
=
∑ ∑∑ ∑
∑
n
y
y
n
x
x
n
yxxy
rxy
2
2
2
2
 
 
Podemos utilizar outras notações a respeito do Coeficiente: 
 ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )∑∑
∑∑
∑∑
−=∑−=
−=∑−=
−−=∑∑−=
2
2
2
2
2
2
yy
n
yyS
xx
n
xxS
xxyy
n
yxxyS
yy
xx
xy
 
 
Portanto, 
 
yyxx
xy
xy SS
S
r ⋅= 
 
Variação do Coeficiente de Pearson: 
 
11 ≤≤− xyr 
 
INTERPRETAÇÃO 
 
a) Correlação Linear Positiva 
 
Gráfico de dispersão
0 < r xy < 1
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CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 3
b) Correlação Linear Perfeita Positiva 
 
c) Correlação Linear Negativa 
d) Correlação Linear Perfeita Negativa 
 
e) Correlação Nula 
Gráfico de dispersão
r xy = 0
Gráfico de dispersão
r xy = 1
Gráfico de dispersão
r xy = -1
Gráfico de dispersão
-1 < r xy < 0
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CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 4
CÁLCULO PRÁTICO DO COEFICIENTE DE PEARSON 
 
 
Exemplo: 
 
 ( )( )
( ) ( ) 416,08,2040
12
5
46444
5
30220
5
4630288
22
=⋅=


 −

 −
−
=xyr 
 
 Se rxy = 0,416, então temos uma correlação linear positiva. 
 
 
x y x2 y2 xy
- - - - -
- - - - -
... ... ... ... ...
- - - - -
- - - - -
Σ x Σ y Σ x2 Σ y2 Σ xy
x y x2 y2 xy
2 10 4 100 20 
4 8 16 64 32 
6 6 36 36 36 
8 10 64 100 80 
10 12 100 144 120 
30 46 220 444 288 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
0 2 4 6 8 10 12
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CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 5
TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
 
OBJETIVO 
 
Testar a hipótese de que o coeficiente de correlação linear entre duas variáveis é nulo 
contra a alternativa de que é não nulo: 
H0: rxy = 0 
Ha: rxy ≠ 0 
 
TESTE t 
 
Como foi visto anteriormente, o coeficiente de correlação assume valores de -1 a +1. Se 
resultasse num resultado igual a zero diz-se que não existe correlação entre duas variáveis. Mesmo se resultasse 
em rxy = 0,30 deve-se levar em consideração o tamanho da amostra. O que significa que este tamanho pode 
influenciar no valor do coeficiente. Ou seja, um valor de coeficiente alto tem pouco significado se fosse 
proveniente de uma amostra muito pequena. 
 
Para tanto, utiliza-se o teste t para verificar se o coeficiente é nulo ou não. 
 
Procedimento 
 
Para aplicar tal teste, utiliza-se a fórmula: 
 
2
1 2
−⋅
−
= n
r
r
t
xy
xy 
 
onde: rxy = coeficiente de correlação linear calculado 
 n = tamanho da amostra 
 
Este teste está associado a n-2 graus de liberdade. 
 
Exemplo: 
Considere o exemplo anterior: 
rxy = 0,416 
n = 5 
graus de liberdade = 3 
 
Então: 
7923,0732,1
9094,0
416,025
416,01
416,0
2
=⋅=−⋅
−
=t 
 
Ao nível de significância de 5% a tabela apresentada na página seguinte fornece o valor t = 
3,18, com 3 graus de liberdade. 
 
Resultado do teste 
 
Como o valor de t calculado (0,7923) é menor que o tabelado (3,18), a correlação entre as 
duas variáveis não é significante ao nível de 5%, ou seja, aceita-se a hipótese de que a correlação é nula. 
 
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CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 6
0,10 0,05 0,01 
1 6,31 12,71 63,66 
2 2,92 4,30 9,92 
3 2,35 3,18 5,84 
4 2,13 2,78 4,60 
5 2,02 2,57 4,03 
6 1,94 2,45 3,71 
7 1,89 2,36 3,50 
8 1,86 2,31 3,36 
9 1,83 2,26 3,25 
10 1,81 2,23 3,17 
11 1,80 2,20 3,11 
12 1,78 2,18 3,05 
13 1,77 2,16 3,01 
14 1,762,14 2,98 
15 1,75 2,13 2,95 
16 1,75 2,12 2,92 
17 1,74 2,11 2,90 
18 1,73 2,10 2,88 
19 1,73 2,09 2,86 
20 1,72 2,09 2,85 
21 1,72 2,08 2,83 
22 1,72 2,07 2,82 
23 1,71 2,07 2,81 
24 1,71 2,06 2,80 
25 1,71 2,06 2,79 
26 1,71 2,06 2,78 
27 1,70 2,05 2,77 
28 1,70 2,05 2,76 
29 1,70 2,05 2,76 
30 1,70 2,04 2,75 
31 1,70 2,04 2,74 
32 1,69 2,04 2,74 
33 1,69 2,03 2,73 
34 1,69 2,03 2,73 
35 1,69 2,03 2,72 
36 1,69 2,03 2,72 
37 1,69 2,03 2,72 
38 1,69 2,02 2,71 
39 1,68 2,02 2,71 
40 1,68 2,02 2,70 
41 1,68 2,02 2,70 
42 1,68 2,02 2,70 
43 1,68 2,02 2,70 
44 1,68 2,02 2,69 
45 1,68 2,01 2,69 
46 1,68 2,01 2,69 
47 1,68 2,01 2,68 
48 1,68 2,01 2,68 
49 1,68 2,01 2,68 
50 1,68 2,01 2,68 
TABELA 01. DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT
GRAUS DE 
LIBERDADE
α
 
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CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
 7
EXERCÍCIOS 
 
1. A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa com 10 famílias de uma determinada região: 
 
 
a) Forme os pares entre as variáveis acima e respondendo o que se pede: 
i) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson; 
ii) Aplique o teste de significância ao nível de 5% de significância. 
2. Uma cadeia de lojas possui 8 estabelecimentos em oito cidades de uma região. As cidades para a instalação 
das lojas são escolhidas quando suas características como população, nível de renda, nível educacional, 
concorrências, etc., guardam semelhança com as cidades onde foram instaladas as primeiras lojas, já que 
naquelas cidades as lojas se mostraram lucrativas. O diretor de marketing da cadeia acredita que dentro destes 
critérios e obedecendo aos limites racionais, pode-se prever o volume de vendas de uma loja com base na área de 
vendas. A tabela, que representa a área de vendas em metros quadrados e as vendas correspondentes (em 
R$10.000,00) no último ano, foi levantada para um estudo dessa hipótese. 
Tabela 2. Informações sobre área de vendas (m2) e as correspondentes vendas (em R$10.000,00) da cadeia de 
lojas no último ano 
Fonte: RH da empresa 
 
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson; 
b) Aplique o teste de significância aos níveis de 1% e 5% de significância. 
 
 
Famílias Renda (R$100,00) Poupança (R$1.000,00) Número de filhos Média de anos de estudo da família
A 10 4 8 3 
B 15 7 6 4 
C 12 5 5 5 
D 70 20 1 12 
E 80 20 2 16 
F 100 30 2 18 
G 20 8 3 8 
H 30 8 2 8 
I 10 3 6 4 
J 60 15 1 8 
Fonte: Toledo e Ovalle (1995)
Tabela 1. Variáveis sócio-econômicas de 10 famílias de uma determinada região
Área de Vendas Vendas
(m2) (R$ 10,000.00)
650 71 
800 92 
820 84 
850 80 
940 97 
1,000 91 
1,100 90 
1,120 110 
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ESTIMAÇÃO 
 
 8
UNIDADE II – ESTIMAÇÃO 
 
INTRODUÇÃO 
 
 O processo de estimação tem por finalidade avaliar parâmetros de uma distribuição. 
 Podemos utilizar um único número real para avaliar um parâmetro. Neste caso estamos procedendo a 
uma estimação pontual. 
 O valor da média amostral é uma estimação por ponto. Da mesma forma o valor da variância, desvio 
padrão e proporção amostrais são estimativas por ponto dos parâmetros variância, desvio padrão e proporção 
populacionais, respectivamente. 
 
Estimador Estimativa por ponto Parâmetro 
x x = 20 µ 
s2(x) s2(x) = 5 ( )xσ 2 
s(x) s(X) = 2 ( )xσ 
pˆ pˆ = 0,3 p 
 
 
 Fazendo uso da estimativa por ponto encontramos uma dificuldade a de que amostras diferentes 
conduzem normalmente a estimativas diferentes. A variabilidade não pode ser controlada neste processo. 
 O controle estatístico desta variabilidade nos leva então a fixar a estimação através de um intervalo. 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
 É um intervalo real, centrado na estimativa pontual que deverá conter o parâmetro com determinada 
probabilidade. Esta probabilidade será conhecida como nível de confiança associado ao intervalo. 
 A notação mais usual para o nível de confiança é 1-α . 
 Se pensarmos em uma diferença entre o valor estimado e o parâmetro, já que diferentes amostras 
conduzem a valores diferentes de estimadores, estaremos calculando o erro-padrão de estimativa. 
 
 e = |estimativa – parâmetro | 
 
 O controle da precisão se resumirá na determinação do erro-padrão da estimativa. 
 
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS 
 
 Considere a seguinte população x={2, 3, 4, 5}. 
 Esta população apresenta ( ) ( ) 12,1xσ 25,1xσ 3,5 µ 2 === 
 Se nós considerarmos todas as amostras de tamanho n=2 que podemos obter com reposição teremos: 
 
 A1 = (2,2) A6 = (3,4) 
 A2 = (2,3) A7 = (3,5) 
 A3 = (2,4) A8 = (4,4) 
 A4 = (2,5) A9 = (4,5) 
 A5 = (3,3) A10 = (5,5) 
 
 Cada uma destas amostras possui um valor médio: 
 
 2 x1 = 3,5 x 6 = 
 2,5 x 2 = 4 x 7 = 
 3 x 3 = 4 x8 = 
 3,5 x 4 = 4,5 x 9 = 
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ESTIMAÇÃO 
 
 9
 3 x 5 = 5 x10 = 
 
 Podemos calcular a médias das médias bem como a sua variância e o seu desvio-padrão, assim: 
 ( ) ( ) 87,0xσ 75,0xσ 3,5 x 2 === 
 
 Note que: 
 A média das médias é igual a média populacional : µ x = ; 
 A variância das médias amostrais mantém com a variância populacional a seguinte relação : 
 ( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = 
 
No exemplo: ( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = = 75,0
2
1,25 = 
 
 Estes resultados são conclusões gerais dos seguintes teoremas: 
 
1. Se a variável aleatória x admite distribuição Normal de probabilidade com média µ e variância 
( )xσ 2 , então a distribuição amostral das médias é também normal com média µ x = e variância 
( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = ; 
2. Se uma variável aleatória x tem média µ e variância ( )xσ 2 , então a distribuição amostral das 
médias se aproxima de uma distribuição normal com média µ x = e com variância 
( ) ( )
n
xσxσ
2
2= , à medida que o número n de elementos tende a infinito. 
 
EXEMPLO: 
 
1. Uma v.a. x tem distribuição normal com média 20 e desvio-padrão de 3. Calcule a probabilidade de que uma 
amostra de 20 elementos selecionada ao acaso tenha média maior que 21. 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL 
 
 Como já foi estudado para se transformar uma distribuição Normal x em uma distribuição Normal z 
utilizamos a mudança de variável ( )xσ
µ -x z = 
 A transformação da distribuição x na distribuição z , é por analogia: ( )xσ
x - x z = como foi visto 
anteriormente µ x = e ( ) ( )
n
xσxσ
2
2 = , logo: ( )
n
xσ
µ - x z = . 
 
 
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ESTIMAÇÃO 
 
 10
 Em termos de distribuição normal z o nível de confiança é a probabilidade de o intervalo conter o 
parâmetro estimado, isto representa a área central sob a curva normal entre os pontos 
2
α
2
α z e z- , 
 
 
 Observe que a área total sob a curva normal é unitária. Se a área central é 1-α ., a notação 
 z-
2
α representa o valor de z que deixa a sua esquerda 2
α , e a notação 
2
αz representa o valor de z que deixa a 
sua direita a área 
2
α . Desta forma: 
 
α1 z z z -P
2
α
2
α −=


 << 
 
 Se substituirmos o valor de z por ( )
n
xσ
µ - x z = e utilizando alguns cálculos matemáticos encontraremos a 
expressão final do Intervalo de Confiança para a estimativa da média populacional. 
 ( )
( )
n
xσz :onde
α1 x µ - xP
2
α ⋅=
−=+<<
e
ee
 
 
 Para calcular esta expressão deveremos pressupor o conhecimento do desvio-padrão populacional, e que 
a amostragem foi obtida com reposição. Além disso, é importante salientar que ( )
n
xσz
2
α ⋅ representa o erro-
padrão de estimativa, e que os limites são estabelecidos pelos valores (estimativa – erro, estimativa +erro) 
 
 No caso em que: 
• desconhecemos a variância populacional (σ2) 
• tamanho da amostra ser menor que 30 (n<30) 
 
 O intervalo de confiança para a média populacional torna-se: 
 ( ) α1 x µ - xP −=+<< ee 
 
α
α
α
 ciasignificân de nível ao e 
liberdade de graus 1 com tabelana encontrado é 
n
s :onde
2
2
n-tt
te ⋅=
 
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ESTIMAÇÃO 
 
 11
EXEMPLO: 
 
O departamento de recursos humanos de uma grande empresa informa que o tempo de execução de tarefas que 
envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa. Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. 
Uma amostra aleatória do tempo de execução de 25 destas novas tarefas forneceu o valor médio de 15 minutos e 
um desvio-padrão de 3 minutos. Determine um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução 
desta nova tarefa. 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO 
 
 A construção do intervalo de confiança para uma proporção populacional p segue o mesmo raciocínio 
do intervalo de confiança para a média populacional. Basta calcular uma estimativa pontual e logo após calcular 
o erro-padrão da estimativa. 
 Vale salientar que a estimativa pontual pˆ é um ótimo estimador do parâmetro (como foi visto no início 
desta unidade): 
n
xnq
n
xp
−=
=
ˆ
ˆ
 
 A expressão do Intervalo de Confiança para a estimativa da proporção populacional será: ( )
n
qˆpˆz :onde
1ˆ ˆ
2
α
⋅⋅=
−=+<<−
e
eppepP α
 
 Basta verificar se a distribuição amostral de pˆ pode ser aproximada pela distribuição normal. As 
condições são: 
5ˆ
5ˆ
≥
≥
qn
pn
 
EXERCÍCIOS 
 
1. O tempo de reação de motoristas não alcoolizados de certo país da Europa ao perceber um obstáculo em 
sua frente e frear tem distribuição normal. Selecionou-se uma amostra de 20 motoristas e obteve-se um 
tempo médio de reação igual a 0,83 segundo e desvio-padrão de 0,2 segundo. Determine um intervalo de 
confiança de 95% para o tempo médio de reação da população de motoristas deste país. Determine sua 
precisão. Caso o nível de confiança fosse de 90%, qual seria o intervalo de confiança? O que aconteceria 
com a precisão? 
2. Foram retirados 35 parafusos de produção diária de uma máquina, encontrando-se um comprimento 
médio de 5,2mm. Sabendo-se que o comprimento tem distribuição normal com desvio-padrão 1,2mm, 
construir um intervalo de confiança para a média aos níveis de 90% e 95% e suas respectivas precisões. 
Comente sobre estes resultados. 
3. As alturas dos alunos do IESB possuem distribuição normal. Foi retirada uma amostra aleatória de 15 
alunos obtendo-se a média amostral de 175 cm com desvio-padrão de 15 cm. Construir ao nível de 
confiança de 90% e 95% os respectivos intervalos de confiança e precisão. O que aconteceu com a 
precisão com a mudança do nível de confiança? 
4. Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor gastou em média 29,2 
segundos com uma variância de 5,72 segundos2. Construir os intervalos de confiança e a precisão para a 
média ao nível de confiança de 90% e 95%. Comente sobre os resultados obtidos. 
5. Uma amostra aleatória de 5 pessoas escolhidas de um departamento de uma empresa, que possui um 
desvio-padrão igual a 2 anos, apresentou a idade média de 52 anos. Determine um intervalo de confiança 
e a precisão para a média do departamento ao nível de 90% de confiança. O que aconteceria com a 
precisão se o nível de confiança passasse para 95%? 
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ESTIMAÇÃO 
 
 12
6. Uma amostra de 1.001 adultos, 58% afirma que o transporte mais seguro é o avião. Construa um intervalo 
de confiança de 99% para a proporção de adultos que pensam serem os aviões os meios de transporte mais 
seguro. 
7. uma amostra aleatória de 90 pessoas foi selecionada ao acaso de um grupo de 1.000 pessoas, fornecendo a 
proporção de fumantes pˆ =0,24. Calcule o intervalo de confiança ao nível de 95% para a proporção de 
fumantes nas 1.000 pessoas. 
8. Uma revista semanal, em artigo sobre a participação das mulheres em um curso superior de psicologia, 
afirmou que atualmente a proporção de homens neste curso é superior à das mulheres. Uma pessoa 
interessada em testar esta afirmação levantou uma amostra ao acaso de 100 estudantes de psicologia e 
obteve na amostra uma porcentagem de 80% de mulheres. Responda: 
(a) Qual é o intervalo de confiança para a proporção de mulheres na população ao nível de 98%? 
(b) A afirmação da revista é certamente falsa? 
9. Para definir as cores dos carros da linha a ser lançada no próximo ano, a montadora selecionou 200 pessoas 
a apresentou protótipos em diversas cores, anotando a preferência das pessoas. Setenta destas pessoas 
preferiram uma nova cor perolada, e a montadora deseja estimar, com 90%, qual é a proporção de carros 
desta cor que serão solicitados no próximo ano. Qual deve ser esta estimativa? 
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ESTIMAÇÃO 
 
 13
Stevenson, William J. Estatística aplicada à administração. Harper & Row do Brasil, São Paulo, 1986, p.461 
 
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TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 14
UNIDADE III – TESTES DE SIGNIFICÂNCIA 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Como foi visto anteriormente, toda avaliação feita sobre um parâmetro populacional, o qual não possui 
nenhuma informação, pode ser resultado do processo de estimação feito através do Intervalo de Confiança. 
 Se já possuímos alguma informação, podemos testá-la no sentido de aceitá-la como verdadeira ou 
rejeitá-la. 
 O Teste de Significância tem por finalidade, a partir da elaboração de uma Hipótese Nula H0 e de uma 
Hipótese Alternativa Ha, verificar a aceitabilidade ou não da informação. Por isso é conhecida como Regra de 
Decisão. 
 Para sermos mais claros, isto significaque a partir de uma amostra de uma determinada população 
iremos confirmar ou não o valor do parâmetro através da análise de decisão sobre aceitar H0 ou rejeitar H0. 
Quando nos propusermos a utilizar tal procedimento deveremos ter em mente que estaremos sujeitos a erros e 
acertos na decisão. De um modo geral, em qualquer tipo de decisão, os acertos e os erros podem ser dispostos 
segundo o quadro abaixo: 
 
 
 Estado da Natureza 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceita-se H0 Decisão Correta Erro tipo II 
Rejeita-se H0 Erro tipo I Decisão Correta 
 
 Erro Tipo I - Consiste em rejeitar H0 quando H0 é verdadeira 
 Erro Tipo II - Consiste em aceitar H0 quando H0 é falsa 
 Nível de Significância do Teste - é a probabilidade de se cometer o erro Tipo I, ou seja, rejeitar uma 
Hipótese verdadeira. O Nível de significância será denotado por α . 
 
 A probabilidade do erro Tipo II não possui um nome em especial mais será conhecida como erro β . 
 A fixação da Hipótese alternativa é que diferencia os vários tipos de Teste. 
 
EXEMPLOS 
 
 1. Julgamento do Réu 
 Estado da Natureza 
Decisão Inocente Culpado 
Inocente Decisão Correta Erro tipo II 
Culpado Erro tipo I Decisão Correta 
 
 O erro Tipo I, no caso, seria julgar o réu culpado, quando na verdade ele é inocente. 
 O erro Tipo II seria julgar o réu inocente, quando na verdade ele é culpado. 
 
 2. Decisão de um médico sobre uma cirurgia 
 Estado da Natureza 
Decisão Precisa Operar Não Precisa Operar 
Opera Decisão Correta Erro tipo II 
Não Opera Erro tipo I Decisão Correta 
 
O erro Tipo I seria não operar, quando na verdade o paciente precisa ser operado. 
 O erro Tipo II seria operar, quando o paciente não precisa ser operado. 
 
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TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 15
 Na realização dos testes, controlaremos o erro tipo I, procurando diminuir a probabilidade de sua 
ocorrência. 
 Quando controlarmos os níveis β e α , estaremos realizando um Teste de Hipótese. 
 
 
TIPOS DE TESTES. 
 
1º Tipo - 

 >
=
rparâmetro:H
rparâmetro:H
a
0 2º Tipo - 

 <
=
rparâmetro:H
rparâmetro:H
a
0 3º Tipo - 

 ≠
=
rparâmetro:H
rparâmetro:H
a
0 
 
A realização de um Teste Compreende as seguintes etapas 
 
1. Identificar H0; 
2. Identificar Ha ( atenção, pois Ha define o tipo de teste a ser empregado) 
3. Construir a região crítica para o teste escolhido; 
4. Calcular o estimador e verificar se ele se situa na região de aceitação ou na região de rejeição da 
hipótese H0. 
5. Decisão do teste – Se o estimador estiver na região de aceitação Aceita-se H0 
 Se o estimador estiver na região de rejeição, Rejeita-se H0 
 
TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA A MÉDIA 
 
 O melhor estimador para µ e x . A distribuição amostral das médias é normal, com: ( )
n
xσ
µ - x z = 
1º Teste -

>
=
b µ :H
b µ :H
a
0
 A região crítica (de Rejeição – RR) é: ( )
n
xσ
µ - x z = 
 
2º Teste – 

<
=
b µ :H
b µ :H
a
0
 A região crítica (de Rejeição – RR) é: ( )
n
xσ
µ - x z = 
 
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TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 16
3º Teste – 

≠
=
b µ :H
b µ :H
a
0
 A região crítica (de Rejeição – RR) é: ( )
n
xσ
µ - x z = 
 
EXEMPLO 
 
 1. Uma amostra Aleatória de 40 elementos retirados de uma população normal com desvio padrão igual 
a 3 apresentou um valor médio igual a 60. Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média 
populacional seja igual a 59, supondo a hipótese alternativa µ >59. 
Solução: 
 
 

>
=
59 µ :H
59 µ :H
a
0
 
 Ao nível de 5% de significância, a região crítica para a hipótese nula é: 
 
 
 O valor de zt = 1,64 é proveniente da tabela normal onde no corpo podemos procurar o valor de 
0,5 – 0,05 = 0,45. 
 O valor de zc é dado por: 
 
 ( )
n
xσ
µ - x zc = = 
40
3
59 - 60 = 2,11 
 
 Como o valor de zc = 2,11 está na região de rejeição para a hipótese H0. Não temos motivos para aceitar 
H0. 
 
 2. Uma amostra aleatória de 20 elementos selecionados de uma população normal com variância 3 
apresentou média 53. Teste ao nível de significância de 5% a hipótese µ =50. 
Solução 
 
 

≠
=
50 µ :H
50 µ :H
a
0
 
 Ao nível de 10% de significância, a região crítica para a hipótese nula é: 
 
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TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O valor de zc é dado por: 
 
 ( )
n
xσ
µ - x zc = = 
20
1,73
50 - 53 = 7,755 
 
 Como o valor de zc = 7,755 está na região de rejeição para a hipótese H0. Não temos motivos para 
aceitar H0. 
 
Exercícios 
 
1. Uma agência de empregos alega que os candidatos por ela colocados nos últimos 6 meses têm salários 
médios anuais de R$9.000,00 com um desvio-padrão de R$1.000,00. Uma agência governamental extraiu 
uma amostra aleatória daquele grupo, encontrando um salário médio de R$8.000,00 com base em 50 
empregados. Teste a afirmação da agência, contra a alternativa de que o salário médio é inferior a 
R$9.000,00, ao nível de significância de 0,05. 
2. A DeBug Company vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas no 
mínimo. Uma análise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma média de eficiência de 380 horas. 
Teste a alegação da companhia, contra a alternativa que a duração é inferior a 400 horas, ao nível de 0,01, se 
o desvio-padrão é 90 horas. 
3. Nove pessoas seguiram um plano especial de dieta durante dois meses. Nessa ocasião, suas perdas 
individuais média de peso foram de 0,82 quilo. Teste a hipótese de uma perda média real de 0 (zero) quilo, 
contra a alternativa de uma perda maior que zero, ao nível de significância de 0,01. Admita a normalidade da 
população com desvio-padrão de 0,59 quilo. 
4. Um ambientalista estima que a média do lixo reciclado diariamente por um adulto nos Estados Unidos supera 
454g com um desvio-padrão de 46g. Você deseja testar essa alegação. Para isso, determina que o lixo médio 
reciclado diariamente por pessoa para uma amostra aleatória de 12 adultos é de 545g. Ao nível de 
significância de 5%, você pode confirmar a alegação? 
5. Uma associação de restaurantes afirma que uma família típica gasta uma média de R$811,00 por ano e com 
um desvio-padrão de R$100,00 em refeições fora de casa. Para testar tal alegação foi selecionada 
aleatoriamente uma amostra de 12 famílias e observou que gastam em média R$1.010,00. Você pode rejeitar 
a alegação da associação ao nível de 1% de significância? 
6. Num determinado Estado, uma amostra ao acaso de 45 estudantes da oitava série tem um escore médio de 
265 em um teste nacional de avaliação de matemática. Isso leva um administrador escolar deste Estado a 
declarar que o escore médio para os estudantes no teste é superior a 260 com desvio-padrão de 55. Ao nível 
de confiança de 5% há evidência suficiente que sustente a alegação do administrador? 
7. A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um químico analista 
acrescentou certo ingrediente à formula original, que acusa um tempo médio de 43 minutos. Em 36 
observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42 minutos. Suponha que a distribuição seja 
aproximadamente normal, com desvio-padrão de 6 minutos. Que se pode concluir, ao nível de significância 
de 0,05, sobre a eficiência do novo ingrediente? 
 
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ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 18
UNIDADE IV – ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Se houver a necessidade de se comparar médias utilizando mais de duas populações aplica-se o teste F 
como será discutido neste capítulo,admitindo que a variável em questão se aproxime a uma distribuição normal. 
 Utilizando um exemplo será possível compreender a metodologia em estudo. 
 Suponha que tenha sido aplicado um questionário a 4 amostras casuais simples (com 5 pessoas cada 
amostra) provenientes de populações independentes. Uma das perguntas era: “Quantos anos de casado você 
tem?”. As respostas são apresentadas a seguir: 
 
Tabela 01 
Tempo de casamento de 4 amostras independentes com suas respectivas médias 
A B C D
11 8 5 4 
8 5 7 4 
5 2 3 2 
8 5 3 0 
8 5 7 0 
MÉDIA 8 5 5 2 
Amostras
ELEMENTOS
 
Fonte: Dados fictícios 
 
 Analisando os tempos médios de casamento das 4 amostras, surge uma pergunta: “Será que existe 
diferença significativa entre os tempos médios de casamento entre estas amostras de tal forma que torne-as 
diferentes?”. Para se responder a este questionamento é preciso aplicar um teste estatístico. 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA PARA EXPERIMENTOS AO ACASO 
 
 Para ser possível aplicar o teste F a variável que está sendo estudada deve se aproximar a uma 
distribuição normal. Inicialmente é necessário estudar os motivos de variação: 
 
• Entre as populações: amostras pertencentes de populações diferentes 
• Dentro da mesma população: elemento “acaso” atuando como elemento influenciador 
 
 A análise de variância se faz necessária para se aplicar o teste F. Tal análise separa a variabilidade 
devido aos “tratamentos” da variabilidade residual (acaso). 
 Inicialmente as hipóteses são determinadas: 
 
 H0: hipótese nula 
 H1: hipótese alternativa 
 
 A tabela 01 mostra as fórmulas que devem ser utilizadas para construir uma tabela de análise de 
variância (ANOVA). 
 
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ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 19
Tabela 01 
Fórmulas para Tabela de Análise de Variância 
Fonte de Variação Graus de 
Liberdade 
Soma dos quadrados Quadrados Médios Razão F 
Entre Grupos 1−k 
C
r
T
SQTr −= ∑ 2 1−= kSQTrQMTr QMRQMTrF = 
Resíduo kn − SQTrSQTSQR −= 
kn
SQRQMR −= 
 
Total 1−n ∑ −= CXSQT 2 
Onde o valor de C é chamado de correção: 
( )
n
x
C
2∑= 
 
 
 A tabela 02 apresenta os dados de k tratamentos (quantidade de amostras). A soma das r repetições de 
um tratamento representa o total do mesmo. O total geral é dado pela soma dos k totais de tratamentos. 
 
 
Tabela 02 
Notação para Análise de Variância 
 Tratamento 
 1 2 3 ... k Total 
 x11 X21 X31 ... Xk1 
 x12 X22 X32 ... Xk2 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 x1r X2r X3r ... Xkr 
Total T1 T2 T3 ... Tk ∑ ∑= xT 
Nº de Repetições r r r ... r rkn ⋅= 
Média 
1x 2x 3x ... kx 
 
 Após construir a tabela ANOVA é preciso comparar os valores de F calculado com o tabelado. Este 
último é encontrado por intermédio das seguintes informações: 
• Nível de significância α 
• k-1 graus de liberdade no numerador 
• n-k graus de liberdade no denominador 
 
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ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 20
Tabela 03. 
Valores de F para α=5% e α=10% segundo o número de graus de liberdade do numerador e denominador 
α = 0,05
g.l.
DENOMI-
NADOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98 243,90 244,69 245,36 245,95 246,47 246,92 247,32 247,69 248,02
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,42 19,43 19,43 19,44 19,44 19,44 19,45
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,70 8,69 8,68 8,67 8,67 8,66
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,84 5,83 5,82 5,81 5,80
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,60 4,59 4,58 4,57 4,56
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,92 3,91 3,90 3,88 3,87
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,49 3,48 3,47 3,46 3,44
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,20 3,19 3,17 3,16 3,15
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,97 2,96 2,95 2,94
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,83 2,81 2,80 2,79 2,77
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,70 2,69 2,67 2,66 2,65
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,60 2,58 2,57 2,56 2,54
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,51 2,50 2,48 2,47 2,46
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,44 2,43 2,41 2,40 2,39
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,38 2,37 2,35 2,34 2,33
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 2,30 2,29 2,28
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,29 2,27 2,26 2,24 2,23
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,25 2,23 2,22 2,20 2,19
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,12
α = 0,10
g.l.
DENOMI-
NADOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,47 60,71 60,90 61,07 61,22 61,35 61,46 61,57 61,66 61,74
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,40 9,41 9,41 9,42 9,42 9,43 9,43 9,44 9,44 9,44
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,22 5,21 5,20 5,20 5,20 5,19 5,19 5,19 5,18
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,91 3,90 3,89 3,88 3,87 3,86 3,86 3,85 3,85 3,84
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,28 3,27 3,26 3,25 3,24 3,23 3,22 3,22 3,21 3,21
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,92 2,90 2,89 2,88 2,87 2,86 2,85 2,85 2,84 2,84
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,68 2,67 2,65 2,64 2,63 2,62 2,61 2,61 2,60 2,59
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,52 2,50 2,49 2,48 2,46 2,45 2,45 2,44 2,43 2,42
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,33 2,32 2,31 2,30 2,30
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,28 2,27 2,26 2,24 2,23 2,22 2,22 2,21 2,20
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,21 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,12
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,17 2,15 2,13 2,12 2,10 2,09 2,08 2,08 2,07 2,06
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,12 2,10 2,08 2,07 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 2,01
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,98 1,96 1,94 1,93 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,95 1,93 1,92 1,90 1,89 1,87 1,86 1,85 1,84 1,84
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,93 1,91 1,89 1,88 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1,86 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79
NUMERADOR
NUMERADOR
 
 
 
 
Exemplo: Considere o exemplo anterior: 
 
H0: os tempos médios de casamento não possuem diferenças significativas (médias são iguais) 
H1: os tempos médios de casamento possuem diferenças significativas (médiasnão são iguais) 
 
Tabela 04. 
Cálculos para tabela da análise de variância 
A B C D
11 ( 121 ) 8 ( 64 ) 5 ( 25 ) 4 ( 16 )
8 ( 64 ) 5 ( 25 ) 7 ( 49 ) 4 ( 16 )
5 ( 25 ) 2 ( 4 ) 3 ( 9 ) 2 ( 4 )
8 ( 64 ) 5 ( 25 ) 3 ( 9 ) 0 ( 0 )
8 ( 64 ) 5 ( 25 ) 7 ( 49 ) 0 ( 0 )
TOTAL 40 ( 1.600 ) 25 ( 625 ) 25 ( 625 ) 10 ( 100 ) 100 ( 2.950 )
Nº DE REPETIÇÕES 5 5 5 5 20
MÉDIA 8 5 5 2 
TOTAL
( 658 )
Amostras
ELEMENTOS
 
 
Tendo apresentado os cálculos acima se constrói agora a tabela de análise de variância: 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 21
Tabela 05. 
Tabela da análise de variância com seus respectivos cálculos 
Fonte de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma dos quadrados Quadrados Médios Razão F 
Entre 
Grupos 
314 =− 
90500
4
950.2 =−=SQTr 30
3
90 ==QMTr 06,7
25,4
30 ==F 
Resíduo 16420 =− 6890158 =−=SQR 
25,4
16
68 ==QMR 
Total 19120 =− 158500658 =−=SQT 
 
Onde a correção será igual a: 
( ) 500
20
100 2 ==C 
 
Desta forma teremos a tabela ANOVA: 
 
Tabela 06. 
Tabela da análise de variância para os tempos de casamento 
Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma dos quadrados Quadrados Médios Razão F 
Entre Grupos 3 90 30 7,06 
Resíduo 16 68 4,25 
Total 19 158 
 
 
 
 Pela tabela 03, ao nível de significância de 5%, com 3 e 16 graus de liberdade do numerador e 
denominador respectivamente, tem-se Ftab=3,24. Desta forma, a estrutura do “gabarito” será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão do teste: 
Ao nível de 5% de significância, aceita-se a hipótese de que as médias não são iguais (há diferença significativa) 
entre as anostras, ou seja, as médias do tempo de casamento entre as 4 amostras coletadas são diferentes. 
 
TESTE DE TUKEY PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS 
 
 A análise de variância verifica se as médias possuem diferenças significativas ou não entre si. Agora, se 
o objetivo fosse identificar a(s) média(s) que apresenta(m) diferença(s) significativa(s) das demais será 
necessário utilizar o teste de Tukey. 
 O teste de Tukey estabelece a diferença mínima significativa (d.m.s.) em um determinado nível que é 
dado por: 
 
r
QMRqsmd ⋅=... 
onde: q = valor encontrado na tabela da página seguinte, apresentada a seguir, através das seguintes 
informações: 
aceitação rejeição
Ftab = 3,24
Fcalc = 7,06
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 22
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 23
 
• nível de significância α 
• número de tratamentos 
• graus de liberdade no resíduo 
 
 Conforme visto na tabela 06 os tempos médios dos casamentos dos 4 grupos possuem diferenças 
significativas. Para verificar a(s) média(s) que difere(m) das demais será utilizado o teste de Tukey. 
 Com 5% de nível de significância, 4 tratamentos com 16 graus de liberdades dos resíduos, o valor de q 
será igual a 4,05. Assim: 
73,392,005,485,005,4
5
25,405,4... =⋅=⋅=⋅=smd 
 
 O teste de Tukey afirma que duas médias são estatisticamente diferentes quando a diferença absoluta 
entre elas foi maior ou igual ao valor do d.m.s. Desta forma, utilizando o exemplo anterior: 
 
Tabela 07. 
Valores absolutos das diferenças entre as médias dos grupos A, B, C e D 
MÉDIAS 8=Ax 5=Bx 5=Cx 2=Dx 
8=Ax |8-5| = 3 |8-5| = 3 |8-2| = 6 
5=Bx |5-5| = 0 |5-2| = 3 
5=Cx |5-2| = 3 
2=Dx 
 
 
 Pela tabela 07 é fácil observar que apenas as médias A e D possuem diferença maior que a d.m.s.. Desta 
forma, ao nível de significância de 5% o tempo de casamento do grupo A é significativamente maior que a do 
grupo D. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Foram selecionadas aleatoriamente 5 famílias de cada uma das filiações religiosas: protestantes, 
católicos e judeus. Os três grupos de famílias são apresentados em termos do número total de membros 
da família (pais e filhos conjuntamente): 
 Religião 
 Protestante Católico Judeu 
2 6 3 
5 7 2 
4 8 4 
3 6 4 
Elementos 
5 4 3 
Total 19 31 16 
Média 3,8 6,2 3,2 
 
Determine: 
a. Se há diferença significativa no número médio de filhos de acordo com a religião ao nível de 
5% de significância. 
b. Caso haja diferença, identifique onde se apresenta esta diferença. 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
 24
2. Nas seguintes amostras aleatórias de classes sociais, teste a hipótese de que a amabilidade entre 
vizinhos não varia segundo a classe social, ao nível de significância de 5%. Caso haja diferença, 
identifique onde ocorreu tal diferença significativa entre as médias. 
 
 Classe social 
 Baixa Trabalhadora Média Alta 
8 7 6 5 
4 3 5 2 
7 2 5 1 
Elementos 
8 8 4 3 
Total 27 20 20 11 
Média 6,75 5 6,25 2,75 
Nota: escores mais altos indicam maior amabilidade 
 
3. Psicólogos estudam a eficácia relativa de três programas diferentes de tratamento -A, B e C- para uso 
ilícito de grogas. Os dados seguintes representam o número de dias de abstinência de drogas 
acumulados por 15 pacientes (5 em cada programa de tratamento) para os 3 meses seguintes ao término 
de seu programa de tratamento. Assim, um número maior de dias indica um período mais longo sem 
uso de drogas. 
 
 Tratamento 
 A B C 
90 81 14 
74 90 20 
90 90 33 
86 90 5 
Elementos 
75 85 12 
Total 415 436 84 
Média 83 87,2 16,8 
 
Teste a hipótese nula, ao nível de 5% de significância, de que esses programas de tratamento antidroga não 
diferem quanto a sua eficiência. Caso a hipótese nula seja rejeitada, identifique onde ocorrem diferenças 
significativas nas médias dos tratamentos. 
 
4. Uma pesquisadora está interessada no efeito que o tipo de residência tem sobre a felicidade pessoal de 
estudantes universitários. Para isso, ela seleciona amostras de estudantes que moram em dormitórios do 
campus, em apartamentos fora do campus e em sua casa e pede a 12 entrevistados que classifiquem seu 
grau de felicidade em uma escala de 1 (não é feliz) a 10 (feliz). Teste a hipótese nula que a felicidade 
não difere por pito de residência ao nível de significância de 5%. Em caso de rejeição, identifique onde 
ocorrem as diferenças significativas. 
 
 Tipo de residência 
 Dormitórios do 
campus 
Apartamentos 
fora do campus 
Em casa 
8 2 5 
9 1 4 
7 3 3 
Elementos 
8 3 4 
Total 32 9 16 
Média 8 2,25 4 
 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 25
UNIDADE V – TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Os métodos paramétricos (maioria dos métodos de inferência estatística) se baseiam em amostragem de 
uma população especificando parâmetros (tais como a média µ, a variância σ2 e a proporção p). Tais testes 
também devem enquadrar-se numa amostra proveniente de uma população normalmente distribuída. Porém, 
nesta unidade será abordada os métodos chamados de NÃO-PARAMÉTRICOS que não dependem daquelas 
exigências. Os testes de significância/hipótese não-paramétricos costumam chamar-se TESTES DE LIVRE 
DISTRIBUIÇÃO. 
 
Vantagens e desvantagens da utilização de testes não-paramétricos 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
• Não exigem população normalmente distribuída 
• Podem ser aplicados a variáveis qualitativas 
• Cálculos simplificados 
• Perda de informação (variáveis quantitativas 
transformadas em qualitativas. Ex.: perda de peso 
registradas apenas como sinais negativos) 
• Ineficiência em relação aos testes paramétricos 
(amostras ou diferenças pequenas) 
 
O POSTO DE UMA OBSERVAÇÃO 
 
 Para o cálculo da mediana e separatrizes era exigido que os dados estivessem necessariamenteordenados, a fim de verificar seus posicionamentos. 
 Os postos significam o posicionamento destes dados de acordo com um certo critério de ordenamento 
(crescente ou decrescente). 
 
Exemplo: 
Dados originais: 5 3 40 50 12 
Dados ordenados: 3 5 12 40 50 
 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 
POSTOS: 1 2 3 4 5 
 
 No caso de itens repetidos, o processo usual consiste em calcular a média dos postos envolvidos e 
atribuir este valor numérico médio a cada um destes itens. 
 
Exemplo: 
Dados ordenados: 3 5 5 10 12 
 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 
POSTOS: 1 2,5 2,5 4 5 
 
 Neste caso, o item de valor 5 repetiu duas vezes. Assim, a média entre os postos 2 e 3 é igual a 2,5. 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS PARA DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS 
 
TESTE DE McNEMAR PARA A SIGNIFÂNCIA DE MUDANÇAS 
 
 Este teste é utilizado para verificar contagens ou proporções em duas amostras relacionadas com 
variáveis qualitativas dicotômicas. É apropriado para estudos do tipo “antes” e “depois” para, justamente, testar a 
significância de mudanças de estado, opinião, condição, dentre outras, onde o próprio indivíduo é o seu controle. 
 Uma tabela de contingência 2x2 representa o conjunto de reações dos indivíduos. Devemos deixá-las 
bem definidas, principalmente as células A e D. 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 26
- +
+ A B
- C D
antes /
Situação 1
depois / Situação 2
 
 
 No esquema acima, A sujeitos mudaram da condição “+” para “-”, D sujeitos mudaram da condição “-” 
para “+” e os B e C sujeitos não mudaram de condição. Desta forma, deseja-se testar se as mudanças de 
estado/condição são aleatórias (onde o tratamento não foi efetivo), ou seja, se a probabilidade da mudança do 
estado “+” para “-” (P(A)) é igual ou não à probabilidade de ocorrer a mudança do estado “-” para “+” (P(D)). 
Assim, as hipóteses a serem testadas (referente à mudança de estado) serão: 
 
H0: P(A) = P(D) 
H1: P(A) ≠ P(D) 
 
A estatística do teste será: 
 
( ) ( )∑ +−=−= DA DAEEO i ii
22
2χ com gl = 1. 
 
 Agora, esta estatística pode melhorar se introduzir uma correção de continuidade ou correção de Yates: 
 ( )
DA
DA
+
−−=
2
2 1χ com gl = 1. 
 
 Tal correção é importante para amostras pequenas (n ≤ 60). 
 
Resultado do teste: 
Aceitação de H0 : quando 
22
tabcalc χχ < 
rejeição de H0 : quando 
22
tabcalc χχ ≥ 
 
EXEMPLO: 
Depressão pós-parto 
Para prevenir este tipo de quadro psicopatológico, após o parto, todas as parturientes foram submetidas a 
acompanhamento e aconselhamento profissional. Após o tratamento registrou-se o número de casos de depressão 
pós-parto. A fim de justificar a continuidade do programa, a direção clínica pretende saber se o tratamento 
proporcionado teve ou não um efeito significativo ao nível de 5% de significância. 
 
não sim
sim 8 3
não 14 5
depressão após 
tratamento
depressão
 
 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 27
Hipóteses: H0: P(ter depressão → não ter depressão) = P(não ter depressão → ter depressão) 
 (situação em que as mudanças foram aleatórias e que desta forma o tratamento não surtiu efeito 
significtivo) 
 H1: P(ter depressão → não ter depressão) ≠ P(não ter depressão → ter depressão) 
 (situação em que as mudanças não foram aleatórias e que desta forma o tratamento surtiu efeito 
significativo) 
 
Estatística do teste: 
 ( )
31,0
13
4
58
158 22 ==+
−−=calcχ 
 
Resultado do teste: 
 
Como ( ) ( )84,331,0 22 =<= tabcalc χχ , aceita-se a hipótese nula. 
 
Conclusão do teste: 
Ao nível de significância de 5%, aceita-se a hipótese de que o tratamento não foi eficaz para alterar a incidência 
da depressão pós-parto. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Numa campanha política, um determinado Jornal publicou uma série de artigos apoiando um dos 
partidos (A) e difamado o candidato do outro (B). Numa amostra de 200 eleitores, foram observadas as 
seguintes mudanças, com relação ao número de eleitores entrevistados. 
A B
B 83 47
A 52 18
depois do artigo
antes do 
artigo 
 
Os artigos influenciaram os eleitores nível de significância de 5%? 
 
2. Dois supermercados disputam a preferência dos consumidores de uma cidade. Um deles (A), para 
aumentar o seu número de fregueses, lança uma campanha publicitária, através de concursos, com 
vários brindes. O resultado no final da promoção apresentou a seguinte situação, numa amostra tomada 
ao acaso com 100 consumidores. Foi a campanha eficiente ao nível de significância de 2%? 
B A
A 37 3
B 13 47
depois da campanha
antes da 
campanha 
 
3. Suponha-se que um psicólogo esteja interessado em estudar a iniciação de crianças nos contatos sociais. 
Ele observou que as crianças recém-admitidas em uma escola maternal em geral estabelecem contatos 
pessoais com adultos ao invés de manter contatos com outras crianças. Supõe, porém, que, na medida 
em que aumentam a familiaridade e a experiência, tais contatos passarão a voltar-se de preferência para 
outras crianças. O psicólogo observou 25 crianças recém-admitidas em uma escola maternal e observa a 
atitude de cada uma delas conforme seus primeiros contatos sociais se eram dirigidas a adultos ou 
crianças. Decorrido um mês ele observa as 25 crianças e as classifica segundo seu comportamento atual. 
Os dados se encontram a seguir. Teste, ao nível de 5% de significância, se a escola possui influência 
significativa na mudança do objeto de interesse da criança. 
criança adulto
adulto 14 4
criança 3 4
30º dia
1º dia
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 28
0,99 0,98 0,9 0,8 0,7 0,5 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
1 0,00016 0,00063 0,01579 0,06418 0,14847 0,45494 1,07420 1,64238 2,70554 3,84146 5,41190 6,63489 10,82736
2 0,02 0,04 0,21 0,45 0,71 1,39 2,41 3,22 4,61 5,99 7,82 9,21 13,82
3 0,11 0,18 0,58 1,01 1,42 2,37 3,66 4,64 6,25 7,81 9,84 11,34 16,27
4 0,30 0,43 1,06 1,65 2,19 3,36 4,88 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,47
5 0,55 0,75 1,61 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,51
6 0,87 1,13 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,46
7 1,24 1,56 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,32
8 1,65 2,03 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,09 26,12
9 2,09 2,53 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,67 27,88
10 2,56 3,06 4,87 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21,16 23,21 29,59
11 3,05 3,61 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,63 17,28 19,68 22,62 24,73 31,26
12 3,57 4,18 6,30 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55 21,03 24,05 26,22 32,91
13 4,11 4,77 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,36 25,47 27,69 34,53
14 4,66 5,37 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,06 23,68 26,87 29,14 36,12
15 5,23 5,98 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,31 25,00 28,26 30,58 37,70
16 5,81 6,61 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,47 23,54 26,30 29,63 32,00 39,25
17 6,41 7,25 10,09 12,00 13,53 16,34 19,51 21,61 24,77 27,59 31,00 33,41 40,79
18 7,01 7,91 10,86 12,86 14,44 17,34 20,60 22,76 25,99 28,87 32,35 34,81 42,31
19 7,63 8,57 11,65 13,72 15,35 18,34 21,69 23,90 27,20 30,14 33,69 36,19 43,82
20 8,26 9,24 12,44 14,58 16,27 19,34 22,77 25,04 28,41 31,41 35,02 37,57 45,31
21 8,90 9,91 13,24 15,44 17,18 20,34 23,86 26,17 29,62 32,67 36,34 38,93 46,80
22 9,54 10,60 14,04 16,31 18,10 21,34 24,94 27,30 30,81 33,92 37,66 40,29 48,27
23 10,20 11,29 14,85 17,19 19,02 22,34 26,02 28,43 32,01 35,17 38,97 41,64 49,73
24 10,86 11,99 15,66 18,06 19,94 23,34 27,10 29,55 33,20 36,42 40,27 42,98 51,18
25 11,52 12,70 16,47 18,94 20,87 24,34 28,17 30,68 34,38 37,65 41,57 44,31 52,62
26 12,20 13,41 17,29 19,82 21,79 25,34 29,25 31,79 35,56 38,89 42,86 45,64 54,05
27 12,88 14,13 18,11 20,70 22,72 26,34 30,32 32,91 36,74 40,11 44,14 46,96 55,4828 13,56 14,85 18,94 21,59 23,65 27,34 31,39 34,03 37,92 41,34 45,42 48,28 56,89
29 14,26 15,57 19,77 22,48 24,58 28,34 32,46 35,14 39,09 42,56 46,69 49,59 58,30
30 14,95 16,31 20,60 23,36 25,51 29,34 33,53 36,25 40,26 43,77 47,96 50,89 59,70
Probabilidade, sob Ho, de X2 = qui-quadrado
gl
Tabela. Valores Críticos de Qui-Quadrado
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 29
TESTE DE WILCOXON 
 Este teste também é chamado de Teste de postos com sinais de Wilcoxon. Utilizado para duas 
amostras relacionadas, além de levar em consideração os sinais das diferenças, este teste leva em consideração 
os valores das diferenças e dos seus postos. Desta forma, o teste de Wilcoxon atribui maior ponderação a um par 
que acusa maior diferença. 
 Tal teste trabalha com o pressuposto de que a população de diferenças (obtidas a partir de pares de 
dados) tenha distribuição aproximadamente simétrica. 
 
Hipóteses 
H0: os tratamentos são equivalentes 
H1: há diferença entre os tratamentos 
 
Estatística do teste - procedimento 
Passo 1 
Cálculo da diferença di de cada par de dados (subtraindo do segundo do primeiro) mantendo os sinais 
Passo 2 
Atribua os postos dos di’s desconsiderando os sinais. 
Em caso de empate: 
• Se di = 0 → desconsidere na análise 
• Se aparecer diferenças com o mesmo valor numérico atribua a média dos postos referentes a 
estes valores (veja página 24: “O posto de uma observação”) 
Passo 3 
Atribua a cada posto o respectivo sinal do di. 
Passo 4 
Calcule as somas absolutas dos postos negativos e positivos separadamente. 
Passo 5 
Considere T o menor valor encontrado na soma entre os postos negativos e positivos. 
Passo 6 
Considere n como sendo o número de di’s não nulos 
Passo 7 
Cálculo da estatística do teste: 
• Se n ≤ 25: o próprio T 
• Se n > 25: ( )
( )( )
( )
( )( )
24
121
4
1
:
24
121
4
1
++=−
+=
++
+−
=
nnnpadrãodesvio
nnmédia
onde
nnn
nnT
z
 
Passo 8 
Identificação do valor crítico: 
• Se n ≤ 25: tabela dos Valores críticos na Prova de Wilcoxon 
• Se n > 25: tabela da distribuição normal padronizada 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 30
Passo 9 
Conclusão do teste: 
• Se n ≤ 25: 
? Rejeição de H0: se o valor de T for no máximo o valor crítico. 
? Aceitação de H0: em caso contrário. 
• Se n > 25: 
? Rejeição de H0: se o valor de z for, em termos absolutos, maior que o valor crítico. 
? Aceitação de H0: em caso contrário. 
 
0,0025 0,01 0,005
0,05 0,02 0,01
6 0 
7 2 0 
8 4 2 0 
9 6 3 2 
10 8 5 3 
11 11 7 5 
12 14 10 7 
13 17 13 10 
14 21 16 13 
15 25 20 16 
16 30 24 20 
17 35 28 23 
18 40 33 28 
19 46 38 32 
20 52 43 38 
21 59 49 43 
22 66 56 49 
23 73 62 55 
24 81 69 61 
25 89 77 68 
Fonte: Siegel (1975)
N
Nível de significância para prova unilateral
Nível de significância para prova bilateral
Tabela. Valores Críticos de T na Prova de Wilcoxon
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 31
Exemplo: Compensa fazer um curso preparatório para um determinado teste padronizado? Com nível de 1% de 
significância, teste a afirmação de que um determinado curso preparatório não influi nos escores deste teste. Os 
dados amostrais estão apresentados a seguir: 
 
Indivíduo Antes do Teste Depois do Teste
A 700 720 
B 840 840 
C 830 820 
D 860 900 
E 840 870 
F 690 700 
G 830 800 
H 1.180 1.200 
I 930 950 
J 1.070 1.080 
FONTE: Triola, 1999 
 
Hipóteses: H0: Não há diferenças entre os escores (curso ineficiente) 
 H1: Há diferenças entre os escores (curso eficiente) 
 
Cálculo da estatística do teste: 
Seguindo os passos de 1 a 3 acima descritos teremos os seguintes cálculos: 
 
Indivíduo Antes do Teste Depois do Teste di |di|
posto das 
diferenças
posto com 
sinais
A 700 720 20 20 5 5
B 840 840 0 0 0
C 830 820 -10 10 2 -2
D 860 900 40 40 9 9
E 840 870 30 30 7,5 7,5
F 690 700 10 10 2 2
G 830 800 -30 30 7,5 -7,5
H 1.180 1.200 20 20 5 5
I 930 950 20 20 5 5
J 1.070 1.080 10 10 2 2
soma dos postos negativos 9,5
soma dos postos positivos 35,5 
 
 Como o menor valor encontrado entre as duas somas acima é referente à dos postos negativo, então a 
estatística do teste será: 
T = 9,5 
 
 E como n < 30, então o valor obtido pela tabela dos valores críticos de T nas provas de Wilcoxon que 
será: 
Valor Crítico = 2 
 
Conclusão do teste: 
 Como a estatística do teste (T = 9,5) apresentou um valor maior que o valor crítico (igual a 2), ao nível 
de 5% de significância a hipótese nula é aceita. Isto significa que NÃO compensa fazer o curso preparatório para 
um determinado teste padrozinado. 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 32
Exercícios 
 
1. Captropil é um remédio para baixar a pressão sistólica. Ao testar indivíduos com este remédio, mediu-
se sua pressão sistólica antes e depois de tomar o remédio, obtendo-se os resultados seguintes (em mm 
de mercúrio). Ao nível de 5% de significância, teste a afirmação de que o remédio não produziu 
qualquer efeito sobre os resultados da pressão sistólica. 
 
Indivíduo Antes da 
ingestão
Depois da 
ingestão
A 200 191 
B 174 170 
C 198 177 
D 170 167 
E 179 159 
F 182 151 
G 193 176 
H 209 183 
I 185 159 
J 155 145 
K 169 146 
L 210 177 
FONTE: Triola, 1999 
 
2. É feita com freqüência mensuração mental de crianças, dando-lhes blocos e mandando-as construir uma 
torre tão alta quanto possível. Um mês depois o experimento de construção com blocos é repetido, com 
os seguintes tempos (dado em segundos) registrados. Com 1% de nível de significância, teste a 
afirmação de que não há diferença entre os dois tempos. 
 
Criança 1ª PROVA 2ª PROVA
A 30 30 
B 19 6 
C 19 14 
D 23 8 
E 29 14 
F 178 52 
G 42 14 
H 20 22 
I 12 17 
J 398 
K 14 11 
L 81 30 
M 17 14 
N 31 17 
O 52 15 
FONTE: Triola, 1999 
 
3. Um estudo foi realizado para pesquisar a eficiência do hipnotismo na redução da dor. As medidas são 
dadas em centímetros, em uma escala de dor. Ao nível de 1% de significância , teste a afirmação de que 
o hipnotismo não tem nenhum efeito. Os resultados estão dispostos na tabela a seguir: 
Indivíduo Antes da 
hipnose
Depois da 
hipnose
A 6,6 6,8 
B 6,5 2,4 
C 9,0 7,4 
D 10,3 8,5 
E 11,3 8,1 
F 8,1 6,1 
G 6,3 3,4 
H 11,6 2,0 
FONTE: Triola, 1999 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 33
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES 
 
TESTE Qui-Quadrado - χ 2 
 
 O Teste Qui-quadrado é aplicado para se fazer comparações entre freqüências no lugar de se fazer 
comparações entre escores médios. Os dados são dispostos em uma tabela de contingência k x r (onde k é o n° 
de colunas e r o n° de linhas). 
 Tal teste verifica a existência ou não de diferenças significativas entre duas populações independentes 
que originaram as duas amostras a respeito de uma certa característica. 
 
Hipóteses 
H0: não existe diferença entre as duas amostras 
H1: existe diferença entre as duas amostras 
 
Estatística do teste 
Para tabelas de contingência k x r: 
( )∑ −=
e
eo
f
ff 22χ , com g.l.=(r-1)(k-1) 
onde: fo : freqüência observada 
 fe : freqüência esperada 
 
Para tabelas de contingência 2 x 2: 
( )( )( )( )DBCADCBA
nBCADn
++++


 −−
=
2
2 2χ , com g.l.=1 
 
Freqüência Esperada 
As freqüências esperadas devem refletir a atuação da chance sob as condições da hipótese nula. O que significa 
que as freqüências esperadas devem indicar igualdades por meio de todas as amostras e que devem ser 
proporcional a seus totais marginais. 
O cálculo das freqüências esperadas está apresentado a seguir: 
 ( )( )
n
fe
coluna da marginal totallinha da marginal total= 
 
Valor crítico do qui-quadrado 
 É observado na tabela (página 27) o valor crítico de acordo com as seguintes informações: 
o Graus de liberdade: g.l. 
o Nível de significância: α 
 
Conclusão do teste 
 
? Aceitação de H0: estatística do teste < valor crítico. 
? Rejeição de H0: estatística do teste > valor crítico. 
 
 
Exemplo 
Deseja-se comprovar se há diferença de qualidade de liderança segundo estatura do indivíduo (alto e baixo) ao 
nível de significância de 5%. A tabela abaixo apresenta as freqüências obtidas entrevistando 95 indivíduos: 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 34
baixo alto total
líder 12 32 44
liderado 22 14 36
não-
classificável 9 6 15
total 43 52 95 
 
Calculando as freqüências esperadas teremos: 
12 32
19,9 24,1
22 14
16,3 19,7
9 6
6,8 8,2
95
total
líder
liderado
não-
classificável
44
36
15
43 52
baixo alto
total
 
 
Cálculo da estatística do teste: 
f o f e f o - f e (f o - f e )
2 (f o - f e )
2 / f e
lider 12 19,9 -7,9 62,41 3,14
liderado 22 16,3 5,7 32,49 1,99
não-class 9 6,8 2,2 4,84 0,71
lider 32 24,1 7,9 62,41 2,59
liderado 14 19,7 -5,7 32,49 1,65
não-class 6 8,2 -2,2 4,84 0,59
χ 2 = 10,67
alto
altura e liderança
baixo
 
 
Obtenção do valor crítico: ( )( )
99,5
05,0
21312 2 =

=
=−−= χα
gl
 
 
Se a estatística do teste apresentou um valor maior que o valor crítico, então a hipótese nula é rejeitada. 
 
Conclusão do teste: 
Ao nível de significância de 5%, rejeita-se a hipótese nula como verdadeira. Ou seja, há diferença significativa 
de qualidade de liderança segundo estatura do indivíduo. 
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TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 35
Exercícios 
1. O nível educacional básico em uma matéria está relacionado à localização da escola? Uma amostra aleatória 
de estudantes pela localização da escola e o número de estágios bem-sucedidos em três matérias está 
apresentada a seguir. Ao nível de 1% de significância, teste a hipótese de que as variáveis são independentes. 
 
urbana suburbana
leitura 43 63 106
matemática 42 66 108
ciências 38 65 103
total 123 194 317
Matéria
Localização da escola
total
 
 
2. A tabela de contingência apresentada abaixo exibe como uma amostra aleatória de adultos classificou suas 
universidades estaduais e federais. Você poderia concluir que a classificação dos adultos está relacionada ao 
tipo de universidade ao nível de 1% de significância? 
 
estadual federal
excelente 120 41 161
boa 405 238 643
razoável 263 481 744
deficiente 151 179 330
total 939 939 1.878 
Classificação
Universidade
total
 
 
3. Os resultados de uma amostra aleatória de pacientes com transtornos obsessivo-compulsivo tratados com 
medicamentos ou placebo estão apresentados na tabela de contingência a seguir. Você poderia concluir que o 
tratamento está relacionado com o resultado ao nível de significância de 10%? Baseado nesses resultados, 
você recomendaria o uso de medicamento como parte do tratamento? 
 
melhora sem mudança
placebo 39 25 64
medicamento 54 70 124
total 93 95 188
Tratamento
Resultado
total
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 36
TESTE DE MANN-WHITNEY 
PROVA U 
 
 O Teste U de Mann-Whitney compara dois grupos (A e B) a fim de verificar se foram extraídos de uma 
mesma população ou não. 
 Este Teste se desdobra em três casos distintos decorrentes aos tamanhos das amostras analisadas. Desta 
forma, estabelecendo a relação 
n2 > n1 , 
teremos: 
• 1º caso: n2 ≤ 8; 
• 2º caso: 9 ≤ n2 ≤ 20; 
• 3º caso: n2 ≥ 21 
 
1º caso: n2 ≤ 8 
Ilustração 
 
 Um grupo de 5 adolescentes , escolhidos aleatoriamente, examina, durante 10 minutos, uma relação de 
nomes de objetos concretos. Em seguida, cada um dos adolescentes procura recompor, de memória e por escrito, 
a relação original, com a única restrição de que o tempo para essa tarefa seria igual para todos. 
 Outro grupo, composto de 4 adolescentes, também escolhidos aleatoriamente, examina a mesma relação 
durante 5 minutos e tenta, a seguir, da mesma forma que o primeiro grupo, reproduzir a lista de memória. A este 
grupo foi concedido o mesmo tempo que ao primeiro. 
 Na tabela abaixo, figuram os erros cometidos pelos sujeitos dos dois grupos. 
 Queremos testar, ao nível de 5% de significância, se existe significativa diferença de desempenho entre 
os dois grupos relativamente à variável memória associada a tempo de estudo. 
 
TA TB
n 1 =4 n 2 =5
12 10
19 14
8 15
25 9
18 
 
Onde: TA: Tratamento A: memória associada a 5 minutos de estudo. 
 TB: Tratamento B: memória associada a 10 minutos de estudo. 
 
Resolução 
1º passo: Determinação das hipóteses: 
 
H0: Tratamento TA = Tratamento TB (as diferenças dos erros cometidos não foram influenciadas pelo tempo de 
estudo) 
H1: Tratamento TA < Tratamento TB (as diferenças dos erros cometidos foram influenciadas pelo tempo de 
estudo, ou seja, o Tratamento TB é melhor que o TA) 
 
2º passo: Estatística do Teste 
a) Ordenar (de forma crescente ou decrescente) os valores das duas colunas em um único grupo 
b) Associar cada valor ao seu respectivo tratamento 
c) Calcular o número de vezes que cada valor do GrupoA é precedido de valores de B. 
d) Calcular o número de vezes que cada valor do Grupo B é precedido de valores de A. 
 
Valor 8 9 10 12 14 15 18 19 25
Tratamento A B B A B B B A A
Precedido de B 0 2 5 5
Precediddo de A 1 1 2 2 2 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 37
e) O cálculo de Uo corresponde à menor soma de precedências (à maior soma chamaremos de Uo’). Desta 
forma teremos as seguintes somas: 
0 + 2 + 5 + 5 = 12 B’s que precederam A 
1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8 A’s que precederam B 
 
Assim: 
 Uo = 8 => U observado 
 Uo’ = 12 
 
 A relação entre os 2 U’s e os tamanhos das amostras podem ser resumidas pela seguinte igualdade: 
 
Uo = n1 n2 - Uo’ 
 
f) A estatística do teste será identificada em uma das tabelas (páginas 42 e 43) de acordo com as seguintes 
informações: 
o Valor de n2 
o Valor de n1 
o Uo 
 
 Desta forma teremos P(Uo = 8) = 0,365 como sendo a estatística do teste. 
 
3º passo: Valor crítico 
 O valor crítico neste caso será o próprio nível de significância. No exemplo α = 0,05. 
 
4º passo: Conclusão do teste 
? Aceitação de H0: estatística do teste > valor crítico. 
? Rejeição de H0: estatística do teste < valor crítico. 
 
 No exemplo, como [P(Uo = 8) = 0,365] > (α = 0,05) então ocorre a aceitação de H0. Significa que: 
“Ao nível de significância de 5% a hipótese nula é aceita como verdadeira. Ou seja, não há evidências 
estatísticas de que o tempo influenciou no nível de memorização dos adolescentes.” 
 
 
2º caso: 9 ≤ n2 ≤ 20 
Ilustração 
 
 Uma turma de 26 alunos foi dividida aleatoriamente em n1 = 10 alunos (Grupo A) e n2 = 16 alunos 
(Grupo B). O grupo A estudou regularmente e diariamente determinado assunto até as vésperas da prova. O 
Grupo B ocupou-se de outras atividades e só estudou para a prova à sua véspera. 
 A tabela a seguir contém as notas que cada aluno tirou nessa prova. Analisar ao nível de 5% de 
significância se existe diferença entre os dois tratamentos (métodos de estudo). 
 
Grupo A Grupo B
n 1 =10 n 2 =16
8,0 6,0
6,5 8,0
9,0 6,0
9,5 6,5
8,0 7,0
5,0 5,0
7,5 10,0
7,0 3,5
10,0 4,0
6,0 4,5
9,0
9,0
1,5
2,0
7,0
5,0 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 38
 
Resolução 
1º passo: Determinação das hipóteses: 
 
H0: Tratamento Grupo A = Tratamento Grupo B (as diferenças das notas não foram influenciadas pelo método 
de estudo) 
H1: Tratamento Grupo A > Tratamento Grupo B (as diferenças das notas foram influenciadas pelo método de 
estudo) 
 
2º passo: Estatística do Teste 
a) Ordenar (de forma crescente ou decrescente) os valores das duas colunas em um único grupo 
b) Associar cada valor ao seu respectivo posto 
c) Calcular a soma dos postos de cada grupo separadamente. 
 
Nota Posto (P 1 ) Nota Posto (P 2 )
8,0 19 6,0 10
6,5 12,5 8,0 19
9,0 22 6,0 10
9,5 24 6,5 12,5
8,0 19 7,0 15
5,0 7 5,0 7
7,5 17 10,0 25,5
7,0 15 3,5 3
10,0 25,5 4,0 4
6,0 10 4,5 5
9,0 22
9,0 22
1,5 1
2,0 2
7,0 15
5,0 7
Total 171 Total 180
Grupo A Grupo B
 
 
d) Os cálculos de Uo e Uo’ são dado pelas duas fórmulas a seguir: 
 ( )
( )
2
2
21
1
11
21
2
12
2
1
PnnnnU
PnnnnU
−++=
−++=
 
Desta forma, pelo exemplo, teremos: 
 ( )
( ) 116180
2
116161610
44171
2
110101610
=−++⋅=
=−++⋅=
U
U
 
 
Assim: 
 
 Uo = 44 => ESTATÍSTICA DO TESTE 
 Uo’ = 116 
 
 Vale frisar que a relação entre os 2 U’s e os tamanhos das amostras podem ser resumidas pela seguinte 
igualdade: 
 
Uo = n1 n2 - Uo’ 
 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 39
3º passo: Valor crítico 
 O valor crítico (Uc) será identificado em uma das tabelas (páginas 44 e 45) de acordo com as seguintes 
informações: 
o Nível de significância: α (verificar se o teste é unilateral ou bilateral) 
o Valor de n2 
o Valor de n1 
 
No exemplo: 
Uc = 48 
 
4º passo: Conclusão do teste 
? Aceitação de H0: estatística do teste > valor crítico. 
? Rejeição de H0: estatística do teste < valor crítico. 
 
 No exemplo, como (Uo = 44) < (Uc = 48) então ocorre a rejeição de H0. Significa que: 
“Ao nível de significância de 5% a hipótese nula é rejeitada como verdadeira. Ou seja, há evidências estatísticas 
de que as notas tiveram influências pelo método de estudo.” 
 
 
3º caso: n2 > 20 
Ilustração 
 
 Certo professor aplicou o seguinte procedimento a uma turma de 30 alunos: 21 alunos foram por ele 
chamados pelos próprios nomes, durante um semestre, contingentemente à apresentação das lições de casa; os 
restantes dos 9 alunos, por igual período, foram chamados pelo professor de “você”. Tal professor admitia que 
estimulado pelo próprio nome, o aluno era capaz de melhorar seu desempenho acadêmico – desempenho que foi 
mensurado em termos de notas escolares. Ao nível de 5% de significância, será possível afirmar que era correta a 
hipótese desse professor? A tabela abaixo apresenta as notas dos 30 alunos no fim do semestre em que realizou o 
experimento: 
 
TA TB
n 1 =9 n 2 =21
6,5 6,5
8,0 3,5
8,5 6,0
10,0 7,5
8,5 6,0
4,0 3,0
7,0 7,0
6,0 5,5
5,5 6,5
6,0
6,5
5,0
5,0
6,0
3,5
6,5
10,0
8,0
7,5
4,0
5,0 
 
Resolução 
1º passo: Determinação das hipóteses: 
 
H0: Tratamento TA = Tratamento TB (o modo de relacionamento professor-aluno não influenciou no desempenho 
escolar) 
H1: Tratamento TB > Tratamento TA (o modo TB de relacionamento professor-aluno é melhor que o modo TA) 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 40
 
2º passo: Estatística do Teste 
a) Ordenar (de forma crescente ou decrescente) os valores das duas colunas em um único grupo 
b) Associar cada valor ao seu respectivo posto 
c) Calcular a soma dos postos de cada grupo separadamente. 
 
Nota Posto (P 1 ) Nota Posto (P 2 )
6,5 18 6,5 18
8,0 25,5 3,5 2,5
8,5 27,5 6,0 13
10,0 29,5 7,5 23,5
8,5 27,5 6,0 13
4,0 4,5 3,0 1
7,0 21,5 7,0 21,5
6,0 13 5,5 9,5
5,5 9,5 6,5 18
6,0 13
6,5 18
5,0 7
5,0 7
6,0 13
3,5 2,5
6,5 18
10,0 29,5
8,0 25,5
7,5 23,5
4,0 4,5
5,0 7
Total 176,5 Total 288,5
Tratamento TA Tratamento TB
 
 
d) Os cálculos de Uo e Uo’ são dado pelas duas fórmulas a seguir: 
 ( )
( )
2
2
21
1
11
21
2
12
2
1
PnnnnU
PnnnnU
−++=
−++=
 
Desta forma, pelo exemplo, teremos: 
 ( )
( ) 5,1315,288
2
12121219
5,575,176
2
199219
=−++⋅=
=−++⋅=
U
U
 
 
Assim: 
 
 Uo = 57,5 => U observado 
 Uo’ = 131,5 
 
 Vale frisar que a relação entre os 2 U’s e os tamanhos das amostras podem ser resumidas pela seguinte 
igualdade: 
 
Uo = n1 n2 - Uo’ 
 
e) A estatística do teste então será calculada pela seguinte fórmula: 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA IINNFFEERREENNCCIIAALL 
 
 
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS 
 
 41
( )
12
1
2
2121
21
++
−
=
nnnn
nnU
z
o
o 
 
No exemplo: ( )( )
( )( )( ) 67,1
12
1219219
2
2195,57
+
−≅++
−
=oz 
 
3º passo: Valor crítico 
 O valor crítico (Zt) será identificado pela tabela da normal padronizada: 
 
No exemplo: 
Zc = 1,64 
 
 
 
4º passo: Conclusão do teste 
? Aceitação de H0: zt < zo < zt 
? Rejeição de H0: zo > zt (bilateral à direita) ou zo < zt (bilateral à esquerda). 
 
 No exemplo, como (zo = 1,67) > (zt = 1,64) ou (zo = -1,67) < (zt = -1,64) então ocorre a rejeição de H0. 
Significa que: 
“Ao nível de significância de 5% a hipótese nula é rejeitada como verdadeira. Ou seja, há evidências estatísticas 
de que ao chamar os alunos pelos próprios nomes ocorreu um melhor desempenho escolar.” 
 
 
Exercícios 
1. Em determinada escola, 7 crianças foram alfabetizadas pelo método A e 11 e pelo método B. Ao final