Como resolver questões de erro

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Como resolver questões de erro?
Gente, vou dar um exemplo de uma questão bem idiota que eu inventei, mas com poucos dados, daí vocês sigam o passo a passo, tudo bem?
Questão! – Você está em um trilho de trem que se move em uma velocidade constante desconhecida. Conversando com seu amigo, vocês chutam a velocidade do trem e querem ver quem chegou mais perto. Você apontou 65 km/h e seu amigo 54 km/h. 
Para ver quem ganhou, decidem calcular a velocidade, mas as únicas informações que tens são as plaquinhas de quilometragem que existem na estrada e um cronometro em mãos. A cada 1 km, há uma plaquinha. Após cronometrar três vezes, se obteve os seguintes resultados:
	Onde ativou o tempo?
	Onde terminou o tempo?
	Tempo decorrido
	5,2 km
	10,3 km
	312,32 s
	10,8km
	16,0 km
	321,84 s
	17,3km
	22,0 km
	298,48 s
Erro de Escala
O que deve se fazer primeiro? Nos experimentos nós também medimos várias coisas. A primeira coisa que se deve fazer é ver o erro de ESCALA? O que é isso? É a margem de erro que o instrumento de medida faz. 
Se o instrumento é analógico, usamos a fórmula: “menor divisão do instrumento / 2”. Como assim? Tipo, uma régua vai de um milímetro a um milímetro, então a menor divisão do instrumento é 1 mm, então o erro é 0,5 mm.
Se o instrumento é digital, só pegamos a “menor divisão do instrumento”. 
Como assim? Você cronometra e o tempo dá 11,04s. Ou seja, vai até o centésimo de segundo. Então o erro de escala é 0,01s.
Agora vamos aplicar no problema
Como estás medindo a distância? Pelas plaquinhas (analógico), ou seja, a menor divisão do instrumento é 1km, assim o erro é ±0,5 km.
Na prática, o que significa isso? Você apertou no cronometro no 5,2 km, ou seja, estava entre a plaquinha de 5km e a de 6km, mas não sabes exatamente aonde, o dois é um algarismo duvidoso, por isso deve se utilizar o erro.
Como estás medindo o tempo? Por um cronômetro digital. Como a medida do tempo foi de 312,32 s, o erro é ±0,01s.
Conclusão, o erro de escala na distância é de ±0,5km e o de tempo é ±0,01s.
Verificação do que ele quer no problema
O que o problema procura? Determinar a velocidade, como se calcula a velocidade, sendo ela constante? 
V = distância/tempo = D/T
Ou seja, as variáveis do problema é D e T.
Determinação dos melhores valores, do erro e da medida total
Como as variáveis são D e T, cabe a nós fazermos uma tabela separada com cada uma das variáveis. Primeiramente vamos fazer com o D, ou seja, quanto andou a cada medida.
Determinação do melhor valor de D
D1 = 10,3 – 5,2 = 5,1 km.
D2 = 16,0 – 10,8 = 5,2 km
D3 = 22,0 – 17,3 = 4,7 km
O melhor valor de D é calculado pela média aritmética entre todos os D, ou seja,
(D1+D2+D3)/3, onde 3 é o número de medidas (o “n”)
Quer maneira mais fácil de calcular? Pegue sua calculadora CASIO e siga os seguintes passos:
Clique em “on” (pffff)
Aperte “mode” (o segundo botão à direita na primeira linha, onde está escrito CLR em amarelo.
Aperte 2 (opção SD).
Aperte “on”
Verifique na tela da sua calculadora se, pequeninho em cima, aparece SD.
Agora Aperte Shift (tecla mais a esquerda e mais acima da calculadora), clique em CLR (segundo botão à direita na primeira linha, junto com o “mode”). Assim você vai limpar todos os dados.
Aperte 1 e em seguida igual
Aperte “on”
Digite a primeira medida e aperte M+ (acima da tecla vermelha AC)
Digite a segunda medida e aperte M+.
Digite a terceira medida e aperte M+ (faça isso até completar todas as medidas)
Para conferir se colocou certo, aperte AC e em seguida no direcional para cima no botão grande e central escrito Replay. Vai apertando e confira se os valores estão certos (vai estar escrito X3 =; X2 =, X1=) se há algum errado, simplesmente digite o valor certo e aperte igual, daí atualizará aquele valor.
Agora clique Shift e em seguida no número 2 (onde está escrito S-VAR)
Clique em 1 (onde tem um X com uma barrinha em cima), aperte igual e obterás o melhor valor.
Obtido o melhor valor, deves calcular o quanto cada valor calculado se distancia do melhor valor, ou seja, faça MV – D. 
Por fim, elevar cada um ao quadrado e soma-los para calcular o desvio padrão mais tarde.
	D calculado
	Desvio de cada um (ΔD)
	Desvio ao quadrado(ΔD)²
	5,1 km
	5,0-5,1 = - 0,1 km
	0,01
	5,2 km
	5,0-5,2 = - 0,2 km
	0,04
	4,7 km
	5,0-4,7 = + 0,3 km
	0,09
	Melhor valor = 5,0 km
	
	Somatório dos valores acima = Σ[(ΔD)²] = 0,14 km²
Próximo passo é calcular o desvio padrão, que é uma fórmula estranha descrita assim (no livro tá bonitinha)
Desvio padrão (σ )= √ {Σ[(ΔD)²]/(n-1)}
Na questão, teríamos σ = √ (0,14)/(2) => 0,264575131 km (escreva todos os números mesmo)
NA CALCULADORA: aperte SHIFT, aperte 2 (S-VAR) e depois em XoN-1. Assim dá o desvio padrão direto, mas na prova e nos exercícios é preciso mostrar o cálculo, então usem isso só para conferir.
Calculado o desvio padrão, é preciso calcular o desvio padrão médio, que é só pegar o desvio padrão e dividir pela raiz de “n”. isto é
σm = σ/√ n
No exercício, teremos 0,264575131 / √3 => 0,152752523 km
Assim, podemos calcular o Ea (erro aleatório) que nada mais é que o desvio padrão médio com um algarismo signifcativo, ou seja: ± σm
Assim: Ea = ± 0,2 km (arredondando)
Calculando o erro aleatório, basta calcular o Erro total que é o erro aleatório + o Erro de escala. No exercício:
Et = Ea + Ee = 0,5 km + 0,2 km = 0,7 km
Logo, a melhor medida será o melhor valor mais ou menos o erro total, ou seja:
(5,0 ± 0,7) km => Esse valor que será usado nos cálculos.
Determinação do melhor valor de T
O processo é exatamente o mesmo, então vamos fazer de maneira resumida, com os seguintes passos:
Limpe a calculadora (aperte Shift, CLR, 1 e =) Por fim aperte ON
Verifique quais são o T1, T2 e T3, registre-o na calculadora (ponha cada medida e aperte M+)
Calcule o melhor valor de T (vá na calculadora, aperte Shift, 2, em seguida 1 e =)
Obteve-se o valor: 310,88, construa a tabela e vá calculando os valores:
	T calculado
	Desvio de cada um (ΔT)
	Desvio ao quadrado(ΔT)²
	312,32 s
	310,88-312,32 = - 1,44 s
	2,0736 s²
	321,84 s
	310,88-321,84 = - 10,96 s
	120,1216 s²
	298,48 s
	310,88-299,48 = + 12,40 s
	153,76 s²
	MV = 310,88 s
	
	Σ[(ΔT)²] = 275,9552 s²
Calcule o desvio padrão =>
σ = √ {Σ[(ΔT)²]/(n-1)}
 σ = 11,74638668 s
Confira na calculadora (shift, 2, em seguida 3 e =)
Calcule o desvio padrão médio:
σm = σ/√ n
σm = 6,781779511 s
Calcule o Erro Aleatório e total
Ea = ± 7 s
Et = 7s + 0,01s = 7,01s = 7s
O erro determina a precisão do melhor valor, ou seja, o Melhor valor é: 
(311 ± 7) s
Por que houve perda da significação? Porque houve uma medição muito ruim.
Assim, os melhores valores encontrados foram (escreva com uma barrinha em cima)
D = (5,0 ± 0,7) km
T = (311 ± 7) s
Cálculo da Velocidade
Há duas coisas que devemos considerar para o cálculo de uma terceira componente
Calculá-la normalmente usando os melhores valores para D e T
O erro propagado (a propagação do erro total de cada um)
Cálculo do valor:
V = distância/tempo = D/T
Logo V = 5,0 km /311 s = 0,01607717 km/s
Aplicandoa regra dos significativos (D tem dois, T tem três; como é divisão, pega-se a menor quantidade de significativos),
Então V = 0,016 km/s = 16*10-3 km/s = 16 m/s
Cálculo do erro propagado:
A fómula é chata, mas a gente se acostuma. O erro propagado é calculado por:
ΔV = |∂V/∂D| * ΔD + |∂V/∂T| * ΔT,
Ou seja, calcula-se a derivada parcial de V sobre cada uma das variáveis, tira o módulo e multiplica pelo erro de cada uma das medidas. Complicado? Vamos passo a passo:
V = D/T, ou seja V(D,T) = D/T
∂V/∂D = 1/T
∂V/∂T = -D/T²
D = 5,0km (melhor valor de D)
T = 311s (melhor valor de T)
ΔD = 0,7 km
ΔT = 7 s
Calculando: 
ΔV = |1/(311)|*0,7 + |-5,0/(311²)|*7
ΔV = 0,00250803859 + 0,0003618655721 = 0,0028699 km/s
Mas o erro só tem 1 algarismo significativo, então
ΔV = 0,003 km/s = 3*10-3 km/s = 3 m/s
Melhor valor da velocidade:
O erro determina a precisão final.Como o erro esteve na casa das unidades (desconsidere a potência de 10), o V vai até a casa das unidades. Ou seja, com erro = 3 m/s, a precisão de V está correta 16 m/s. 
OBS: Se o erro obtido fosse 10m/s, por exemplo, o 6 do 16 era duvidoso demais, então a precisão de V ia até o 1 (Seria 1*10 m/s)
Escrevendo junto com o erro total:
V = (16 ± 3) *10-3 km/s ou V =(16 ± 3) m/s
Conclusão: 
O primeiro apostou em 65km/h (18m/s), o segundo em 54km/h (15m/s). Ambos encontram-se dentro da margem de erro da velocidade, ou seja, não foi possível saber quem ganhou. Mas verifiquem uma coisa: as velocidades que eles apresentaram foram muito distintas, o que nota a baixa eficiência dessa medida para compararm em km/h. Vamos então analisar o melhor valor de V para km/h (multiplica-se por 3,6). Logo temos:
V2 = 3,6 V1
V2 = 57,6 km/h
ΔV2 = 3,6*3 = 10,8 = 1*10¹ *
Logo, a precisão de V2 ai até a casa das dezenas, então:
V2 = (6 ± 1) *10¹ km/h.
Ou seja, a margem de erro encontra-se em um intervalo de 20km/h, mostrando a baixa eficiência desse sistema de medida para a ocasião.