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Gráfico em papel milimetrado

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Gráfico em papel milimetrado
O primeiro passo é entender o que é um papel milimetrado. É um papel linear, com 28 cm de altura e 18 cm de largura (sim, isso é importante). Cada cm é dividido em 10 mini quadradinhos (1mm cada). Tá, obviedades a parte, vamos começar com um exemplo simples, mas que acaba sendo eficiente.
QUESTÃO – Mediu-se o tempo que um objeto cai em queda livre a partir de diferentes alturas. Sabendo que a relação entre altura e tempo na queda livre é: h = gt², faça o que se pede:
Linearize a equação h = gt²
Anote os pontos experimentais em um papel milimetrado
Defina a melhor reta (mostre os seus componentes), dizendo a unidade de A e B.
Construa o gráfico a partir da melhor reta 
Calcule g a partir da melhor reta
Calcule o erro de g, sabendo que e medição foi feita no equador, onde a gravidade local é 9,79 m/s²
	h (m)
	14,1 ± 0,5
	21,5 ± 0,5
	40,1 ± 0,5
	t (s)
	1,20 ± 0,01
	1,49 ± 0,01
	2,02 ± 0,01
 
Vamos resolver passo a passo:
Linearização
O que é linearizar? É transformar a função obtida numa RETA, para poder representa-lo no papel milimetrado. Para isso, precisamos ver que a equação da reta é (em FSC expermiental):
Y = A + B X, sendo:
Y = variável dependente (seu valor depende de uma combinação de valores)
X = variável independente (se valor determina a outra variável)
A = coeficiente linear (indica a altitude da reta)
B = coeficiente angular (indica a inclinação da reta)
Ou seja, nós temos que transformar todos as variáveis e coeficientes da equação do exercício na forma de uma reta. Como faremos isso? O primeiro passo é ver quem depende de quem. Pelos dados experimentais, pode-se determinar que a altura e a o tempo são as variáveis e que a o tempo depende da altura, logo:
y está relacionado ao tempo
x está relacionado à altura
Assim, vamos reescrever a equação, isolando a composição do tempo, já que ele que indica a variável dependente, isto é, é o y:
t² = h/g
Agora, podemos comparar com a equação.
t² = Y (variável dependente)
h = X (variável independente)
1/g = B (coeficiente angular) “acompanha o X”
0 = A (coeficiente linear) “fica independente, mas não há ninguém independente, logo é 0 ”
Registro dos pontos na calculadora
Feito isso, é hora de passar os pontos para a calculadora. Para isso, sigam os seguintes passos:
Apertem “on”
Vão em “mode” (ao lado do on), apertem 3 (opção REG) e em seguida 1 (opção LIN)
Apertem Shifit (botão da primeira linha mais a esquerda) e em seguida mode (CLR)
Cliquem 1 (SCL) e em seguida “=”
Apertem AC
Digite as coordenadas do primeiro ponto assim:
X = h, logo escreva o primeiro valor de h (desconsidere o erro de escala) => 14.1
Aperte , (vírgula, NÃO É O PONTO, É UMA VÍRGULA, está entre o ) e o M+) = >
,
como = t² digite o primeiro valor de t, já com o elevado ao quadrado =>
1.20² ou 1.20^2
Aperte M+
Faça isso com os outros pontos, quando finalizar, aperte ON
Para conferir os pontos, basta ir apertando para cima. Se um valor estiver errado, não saia da tela onde está o valor errado, só digite o certo e aperte “=”
Para digitar o segundo ponto usando as configuração do primeiro, só aperte no direcional para direita, daí ele volta ao primeiro ponto e é só digitar em cima. 
Se quiseres digitar sem substituir os algarismos, basta apertar Shift e depois del (INS)
Determinação das escalas do eixo “x” e do eixo “y”
Faremos os passos separadamente, daí no eixo y dou uma resumidinha.
Um gráfico deve ocupar SEMPRE mais da metade da página e as divisões utilizadas devem ser números bons de trabalhar: 0,1; 10; 0,5. NUNCA EM HIPOTESE ALGUMA: 3, 7, 9.
Divisões permitidas (de 1 em 1, 2 em 2, de 5 em 5 e seus múltiplos)
Divisões proibidas (de 3 em 3, de 7 em 7 e seus múltiplos)
Não se desesperem, com o exemplo isso vai ficar mais visual e fácil de ver.
Eixo x
Qual o tamanho do eixo x? 18 cm. Isso é importante, como havia falado. Como um gráfico deve ocupar entre 50% e 100% da página, nós devemos calcular a menor divisão de escala em 100% e em 50% (o dobro).
Cálculo da menor divisão de escala
Como faremos isso? O que é menor divisão de escala? É o “de 1 em 1”, de “2 em 2”; é o valor em cada conjunto de 10 quadradinhos formando um quadrado um pouco maior)
Para calcular a escala 100%, basta pegar o ΔX (isto é o Xmáx – Xmín) e dividir por 18 (18 quadradinhos. Daí temos o menor valor possível para abrigar toda a escala.
Assim: 
E100% = (Xmáx – Xmín) /18
No exercício (olhe quem é o máximo e mínimo pela calculadora, apertando no direcional para cima, não esquecendo de apertar ON antes de fazer qualquer outro cálculo ):
E100% = (40,1 – 14,1)/18 = 1,4444444444
E50% = 2*E100% = 2,888888888
Assim, a menor divisão de escala que iremos usar estará entre 1,444 e 2,888. Dos valores permitidos, existe o 2,5 e o 2. O 2 é o melhor porque cada um dos pequeninos quadradinhos será 0,2 (melhor que o 0,25 do 2,5)
Assim, a Menor Divisão de Escala no eixo X é 2,0 (não se esqueça de usar o mesmo número de casas decimais dos valores tabelados de X)
Intervalo do Gráfico
Agora falta determinar o INÍCIO e o FIM do gráfico, ou seja, o primeiro e o último número (lembrando que a escala vai de 2,0 em 2,0; ou seja, escolhe valores inteiros)
Vamos experimentar valores:
Se o gráfico começar em 0,0 o primeiro valor será 0,0 e o último será “0+18*2” (porque tem 18 quadrados, cada um valendo 2). Isso é igual a 36,0. Porém, note que 36,0 não abrange o maior valor, logo não podemos usá-los.
Se o gráfico começar em 2,0, o primeiro valor será 2,0 e o último será “2+18*2” = 38,0 e ainda não abrange o maior valor.
Para não ficar chutando, o bom é pegar um valor bem próximo do menor valor (ex: 14,0)
14,0 = primeiro valor. Último valor será “14+18*2” = 50,0 (abrange o maior valor. Logo iremos utilizá-lo.
RESUMO: Gráfico começa em 14,0, vai até 50,0 e cada quadradinho é afastado em 2,0. Ou seja, escreva assim: 14,0 no primeiro quadrado (o equivalente ao ponto 0,0 num plano cartesiano); 16,0 no final do primeiro quadrado e no início do segundo;…; 48,0 no penúltimo quadrado e 50,0 no último quadrado.
OBS: Não precisa escrever todos os pontos, indo de 2 em 2 quadrados ou de 3 a em 3 está bom. Esta marcação serve para TE FACILITAR! Mas mantenha uma sequência lógica, isto é, se estás marcando de 3 em 3, continue de 3 em 3 até o FIM. Lembre-se que são 18 quadrados (pegue divisores de 18)
Eixo y
Vamos fazer resumidamente os passos(lembre-se que o eixo y tem 28cm e o y é t², não esqueça de elevar ao quadrado se for pegar os dados da tabela. O melhor é pegar os valores da calculadora apertando direcional para cima.)
Menor divisão de escala:
Determine E100%. => E100%= (Ymáx – Ymín) /28 = (4,0804 – 1,44)/28 = 0,0943
Determine E50% => E50% = 2*E100% = 0,1886
A menor divisão de escala está entre esses dois, pegaremos 0,10 que é um o único valor que se encaixaria. Como o t tem duas casas decimais, devemos escrever 0,10.
Intervalo:
O menor valor de t² é 1,44. Como vai de 0,10 em 0,10, experimentemos começar de 1,40. Assim: 1,40 + 28*0,10 = 4,20. Abrange todos os valores, então estamos certos.
RESUMO:
Gráfico começa em 1,40 e vai até 4,20, indo de 0,10 em 0,10.
Escreva os valores de um em um quadrado, de dois em dois, de quatro em quatro (divisores de 28 = 1,2,4,7)
Determinação das unidades de x e y.
Nas linhas correspondentes ao eixo x e ao eixo y, faça uma flechinha de continuidade no final de cada uma e, abaixo ou do lado disto, escreva abaixo o que é o X ou Y e a unidade correspondente.
Qual é a unidade de X? Como X é “h” e h é medido em metros (m), X é medido em metros também. Logo, na flechinha, ponha h (m) abaixo dela
h(m)
Qual é a unidade de Y? Como Y é “t²” e t é medido em segundos (s), Y é medido em segundos aos quadrado (s²). Logo, na flechinha para cima, ponha t² (s) ao lado .
Anotação dos pontos experimentais
Utilizando todos os dados e os quadradinhos pequenininhos, marque os pontos experimentais ligando sua correspondência em X e em Y (lembre-se que Y é t², portanto olhe os pontos na calculadoraou faça uma nova tabela para não confundir). Para macar os pontos experimentais, faça uma marcão em formato de cruz ou de x e circule.
Só para conferir: Pontos experimentais: (14,1; 1,44); (21,5;2,2201); (40,1; 4,0804)
Lembre-se que, se fizer uma nova tabela com o t², manter os significativos.
Determinação da melhor reta
Para se definir qual é a melhor reta, é preciso definir o B e o A, bem como suas respectivas unidades. Para determinar o B e o A, tem uma fórmula monstruosa. A boa notícia é que a calculadora calcula direto o B e o A sem precisar de fórmula, a má notícia é que, ao menos os componentes tem que citar. Outra boa notícia é que a calculadora também mostra os componentes: são eles:
Para calculá-los, basta ir na calculadora e clicar SHIFT, depois 1 (S-SUM) que aparece todos eles bonitinhos ali. LEMBRE-SE DE APERTAR AC OU ON antes de pegar o outro valor
Agora vamos determinar o A e o B. O passo é parecido! Basta apertar Shift, depois 2 (S-VAR), apertando o direcional para a direita duas vezes até chegar na tela em que tem A B e R. Vamos por passo (LEMBRE-SE DE APERTA ON OU AC ANTES DE COMEÇAR A PROCURAR CADA VALOR – DO A, DO B, DO R):
A (opção 1) = 0,025131837
Qual a unidade? Note que a equação é Y = A + BX. Como o A está somando com o y, ele sempre tem que ter A MESMA UNIDADE!, logo a unidade de A é a mesma do Y (s²), logo a unidade de A é s²
Qual a significação? Por DEFINIÇÃO, o A sempre leva a mesma significação do Y, no caso 3.
Assim, o A = 0,0251 s²
B(opção2) = 0,101256334
Qual a unidade? Temos que ver pela equação e faremos uma análise dimensional. Sendo Ub = Unidade de B. Lembrando que unidade não se cancela na soma, pois 1s² - 1s² = 0s².
Y = A + BX
s² = s² + Ub*m
s² = Ub*m
Ub= s²/m
Qual a significação? Por DEFINIÇÃO, o B pode pegar qualquer valor entre o número de menor significação da tabela e o número de maior significação da tabela. No caso, todos tem 3 algarismos significativos, então pegamos 3 mesmo.
Assim, o B = 0,101 s²/m
R(opção3) = 0,999930221
O que o R significa? Se for um número próximo de 1 “acima de 0,9”, quer dizer que os pontos usados estão formando praticamente uma reta, ou seja, acertamos nos cálculos. Ele serve principalmente para conferir.
Equação da melhor reta
Utilizando os valores de A e B, temos que a melhor reta é:
Y = A + BX
Y = 0,0251 + 0,101 X
Nota-se que uma componente linear surgiu (um A, que era 0 na linearização inicial). Isso ocorre porque as medidas sempre conterão algum tipo de erro, o que impossibilita que o seja 0 exatamente. Se ele deu próximo de zero, já mostra que estamos certo. Se deu muito diferente, confira os pontos.
Traçado da melhor reta no gráfico
A partir da equação da melhor reta, basta determinarmos dois pontos distantes e marcarmos-no com um pontinho no gráfico, indicando suas coordenadas e ligando-os para formar a reta.
Cuidado para pegar um X que esteja contido no intervalo e que cujo Y correspondente também estará. Para fazer isso, evite pegar um x muito próximo do início ou do fim do gráfico e não muito próximos (pegue mais ou menos no centro de cada metade, ou seja, em 25% do gráfico e em 75%). E pegue um x exato e arredonde o y calculado para facilitar.
Lembrando:
X: vai de 14,0 a 50,0 
Y vai de 1,40 -> 4,20
Exemplos:
X= 20,0. Como Y = 0,0251 + 0,101 X; Y = 2,0451 (ESTÁ CONTIDO) Logo P1(20,0 ; 2,0451)
X= 40,0. Como Y = 0,0251 + 0,101 X; Y = 4,0651 (ESTÁ CONTIDO) Logo P2(40,0 ; 4,0651)
X = 48,0. Como Y = 0,0251+0,101 X; Y = 4,87 (NÃO ESTÁ CONTIDO)
Note que P1 está distante de P2 (então são bons valores). O errado seria pegar um X = 20,0 e um X = 21,0 por exemplo.
Para finalizar, é só traçar a reta ligando esses dois pontos.
Cálculo do g
Uma das questões pedia para calcular o g. Isso será bem frequente, então se preparem. Pode ser qualquer constante que eles não deram ali. Para calcular o g, temos que verificar o que é o g, afinal. Primeiro, o g está relacionado com o B, afinal o B = 1/g. Logo, g = 1/B, portanto:
g = 1/B (digite o B na calculadora por SHIFT+SVAR) depois arredonde:
g = 9,875925387 m/s² (note que B = s²/m, então 1/B = m/s², ou seja, acertamos as unidades). Como B tem 3 algarismos significativos, vamos arredondar, logo:
g = 9,88 m/s²
Erro do g
Para calcular o erro do g, temos que ter em conta o valor ideal (9,79m/s²) e o valor real (9,88m/s²)
A fórmula do erro percentual é:
E% = [(Videal – Vreal)/Videal]* 100%
E% = 0,91% (pequeno)
Conclusão (respostas)
Linearize a equação h = gt² 
t² = Y (variável dependente)
h = X (variável independente)
1/g = B (coeficiente angular) “acompanha o X”
0 = A (coeficiente linear) “fica independente, mas não há ninguém independente, logo é 0 ”
Anote os pontos experimentais em um papel milimetrado
O X é h(m) e está entre 14,0 e 50,0; cujo intervalo de cada quadrado é 2,0
O Y é t²(s²) e está entre 1,40 e 4,20; cujo intervalo de cada quadrado é 0,10
Mostre os cálculos para achar a Menor divisão de escala e o início e o fim.
A partir daí, é só marcar os pontos com uma cruz e uma bolinha em volta
Defina a melhor reta (mostre os seus componentes), dizendo a unidade de A e B.
Escreva os somatórios lá (estou com preguiça, dá trabalho escrever no computador aquilo tudo lá)
A = 0,0251 s²
B = 0,101 s²/m
Melhor Reta: Y = 0,0251 + 0,101 X
Construa o gráfico a partir da melhor reta 
Para isso, achamos pontos distantes entre si e ambos contidos no gráfico:
P1(20,0 ; 2,0451)
P2(40,0 ; 4,0651)
Depois ligamos eles e prolongamos a reta.
Calcule g a partir da melhor reta
g = 1/B = 9,88 m/s²
Calcule o erro de g, sabendo que e medição foi feita no equador, onde a gravidade local é 9,79 m/s²
E% = [(Videal – Vreal)/Videal]* 100%
E% = 0,91% (pequeno)

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