Lista 5 no LateX Isadora Cassador

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Lista 5 de Exerc´ıcios de Controle Estat´ıstico de
Qualidade
Isadora Cassador Coˆnsoli Silva
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1 Lista 5 Gra´ficos de controle por varia´veis
Nu´mero 1: Um provedor de energia deve ter uma tensa˜o nominal de sa´ıda de
350 V. Uma amostra de quatro unidades e´ selecionada todo dia e testada com o
propo´sito de controle do processo. Os dados mostram a diferenc¸a, multiplicada
por 10, entre a leitura observada em cada unidade e a tensa˜o nominal; isto e´:
xi = (tensa˜o observada na unidade i – 350) x 10:
Dados na planilha:
BD cep listas.xls/guia : tensa˜o.
a. Construa gra´ficos de controle X¯ e R para esse processo. O processo esta´
sob controle estat´ıstico?
Com os dados da tabela conseguimos extrair algumas informac¸o˜es necessa´rias
para calcular os limites de controle dos dois gra´ficos. Vejamos:
n = 4
m = 20
d2 = 2, 059
d3 = 0, 880
¯¯x = 10, 378
R¯ =
m∑
i=1
Ri
m =
125
20 = 6, 25
LSCX¯ = 10, 378 + 3
(
6,25
2,059×√4
) ∼= 15, 004
LMX¯ = 10, 378
LICX¯ = 10, 378− 3
(
6,25
2,059×√4
) ∼= 5, 825
LSCR = (2, 059 + 3× 0, 880)
(
6,25
2,059
) ∼= 14, 263
LMR = 6, 25
LICR = (2, 059− 3× 0, 880)
(
6,25
2,059
) ∼= −1, 763⇒ LICR = 0
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Figure 1:
De acordo com a figura 1 acima, podemos perceber que ambos os gra´ficos
apresentam valores dentro dos limites de controle e na˜o parece existir alguma
tendeˆncia, ciclos ou sazonalidades, o que indica um processo sob controle es-
tat´ıstico de qualidade.
b. Se as especificac¸o˜es sa˜o (350V ± 5V ) o que voceˆ pode dizer sobre a
capacidade do processo?
n = 4
σˆx =
R¯
d2
= 6,252,059 = 3, 035
LSE = [(350V + 5V )− 350]× 10 = +50V
LIE = [(350V − 5V )− 350]× 10 = −50V
Cˆp =
LSE−LIE
6σˆ =
50−(−50)
6(3,035) = 5, 49
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Figure 2:
c. Calcule Cp, Cpk, Cpkm. Interprete essas razo˜es de capacidade
Cˆp =
LSC−LIC
6σˆ =
50−(−50)
6(3,035) = 5, 49
Cˆpk = min
{
LSE−µ
3σ ,
µ−LIE
3σ
}
= min
{
50−10,378
3(3,035) ,
10,378−(−50)
3(3,035)
}
= 4, 352
Cˆpm =
LSE−LIE
6
√
σ2+(d−µ)2 =
50−(−50)
6
√
(3,035)2+([10,38]−10,378)2 = 5, 49
Sabemos que os treˆs ı´ndices medem, a capacidade de o processo atender a`s
especificac¸o˜es. Dessa forma, vimos que Cˆp e Cˆpm obtiveram os mesmo valores
de ı´ndice, pore´m devemos lembrar, que o primeiro e´ insens´ıvel a mudanc¸as
na me´dia do processo.Portanto, usaremos o Cˆpm para a classificac¸a˜o do nosso
processo quanto a` capacidade.
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d.Ha´ alguma evideˆncia que suporta a afirmac¸a˜o que a tensa˜o e´ normalmente
distribu´ıda?
Figure 3:
Podemos notar que no gra´fico acima que na˜o rejeitamos a hipo´tese nula
(os dados seguem uma distribuic¸a˜o normal). Portanto, o teste de normalidade
mostra que a distribuic¸a˜o e´ pro´xima de uma normal.
2. Um processo esta´ sob controle com ¯¯x = 100, S¯ = 1, 05 e n = 5. As especi-
ficac¸o˜es do processo sa˜o 95± 10. A caracter´ıstica da qualidade tem distribuic¸a˜o
normal.
a. Estime a capacidade potencial.
¯¯x = 100
s¯ = 1, 05
n = 5
σˆx =
s¯
c4
= 1,050,94 = 1, 117
LIE = 95− 10 = 85
LSE = 95 + 10 = 105
Cˆp =
LSC−LIC
6σˆ =
105−85
6(1,117)
∼= 2, 98
b. Estime a capacidade efetiva.
Cˆpk = min
{
LSE−µ
3σ ,
µ−LIE
3σ
}
= min
{
105−100
3(1,117) ,
100−85
3(1,117)
}
= 1, 49
c. De quanto reduziria a falha do processo se ele fosse corrigido de modo a
operar na especificac¸a˜o nominal?
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pˆatual = P (x < LIE) + P (x > LSE) = P (x < LIE) + [1− P (x ≤ LSE)]
pˆatual = P
(
z < LIE−µˆσˆ
)
+
[
1− P
(
z ≤ LSE−µˆσˆ
)]
= P
(
z < 85−1001,117
)
+
[
1− P
(
z ≤ 105−1001,117
)]
pˆatual = φ (−13, 429) + [1− φ (4, 476)] = 0 + (1− 0, 999996)
pˆatual = 0, 000004
pˆpotencial = P
(
z < 85−951,117
)
+
[
1− P
(
z ≤ 105−951,117
)]
= φ (−8, 953) + [1− φ (8, 953)] = 0 + (1− 1) = 0
3. Um processo normalmente distribu´ıdo tem especificac¸o˜es LIE = 75 e LSE
= 85 na sa´ıda. Uma amostra aleato´ria de 25 partes indica que o processo esta´
centrado na faixa de especificac¸a˜o e o desvio padra˜o e´ S = 1,5.
a. Ache uma estimativa pontual para Cp;
LIE = 75
LSE = 85
n = 25
s = 1, 5
Cp =
85−75
6(1,5) = 1, 11
b. Ache um intervalo de confianc¸a de n´ıvel 95% para Cp. Comente sobre a
largura desse intervalo.
α = 0, 05
χ21−α2 ,n−1 = χ
2
0,975;24 = 12, 40
χ2α
2 ,n−1 = χ
2
0,0025;24 = 39, 36
Cˆp
√
χ2
1−α
2
,n−1
n−1 ≤ Cp ≤ Cˆp
√
χ2α
2
,n−1
n−1
1, 1
√
12,40
24 ≤ Cp ≤ 1, 1
√
39,36
24
0, 79 ≤ Cp ≤ 1, 41
Este intervalo de confianc¸a nos fornece poucas informac¸o˜es sobre a capaci-
dade do processo, pois e´ um intervalo muito largo. Dessa forma, ele poderia
passar por va´rios n´ıveis da capacidade do processo. Veja a tabela abaixo de
classificac¸a˜o do processo quanto a` sua capacidade:
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Figure 4:
4. Um importante cliente de uma companhia exigiu que ela demonstrasse
que a raza˜o da capacidade de seu processo Cˆp excedia 1,33. A companhia tomou
amostras de 50 partes e obteve uma estimativa pontual Cˆp = 1, 52. Suponha
que a caracter´ıstica de qualidade siga uma distribuic¸a˜o normal.
a. A companhia pode demonstrar que Cp excede 1,33 ao n´ıvel de confianc¸a
de 95%?
χ21−α,n−1 = χ
2
0,95;49 = 33, 9303
Cˆp
√
χ21−α,n−1
n−1 ≤ Cp ⇒ 1, 52
√
33,9303
49 ≤ Cp ⇒ 1, 26 ≤ Cp
Logo, a empresa na˜o poˆde demostrar que o Cˆp dela fosse superior a 1,33 ao
n´ıvel de 95% de confianc¸a.
b. Qual n´ıvel de confianc¸a daria um limite de confianc¸a unilateral inferior
para Cp que exceda 1,33?
1, 52
√
χ21−α,49
49 = 1, 33⇒ χ21−α,49 = 49
[
1,33
1,52
]2
= 37, 52
1− α = 0, 88⇒ α = 0, 12
5. Forma-se uma montagem de duas pec¸as adaptando-se um eixo em um
mancal. Sabe-se que os diaˆmetros internos dos mancais sa˜o distribu´ıdos nor-
malmente com me´dia 2,010 cm e desvio-padra˜o 0,002 cm, e que os diaˆmetros
externos dos eixos teˆm distribuic¸a˜o normal com me´dia 2,004 cm e desvio-padra˜o
0,001 cm.
a. Determine a distribuic¸a˜o da folga entre as pec¸as se a montagem e´
aleato´ria.
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di ∼ N (2, 010; 0, 0022)
de ∼ N (2, 004; 0, 0012)
y = Interferencia = di− de < 0
µy = µdi − µde = 2, 010− 2, 004 = 0, 006
σ2y = σ
2
di + σ
2
de = 0, 002
2 + 0, 0012 = 0, 000005√
σ2y = σy = 0, 002236
b. Qual a probabilidade de a folga ser positiva?
P (folga⊕) = [1− P (Interfereˆncia)] = 1− P (y < 0) = 1− φ
(
0−0,006
0,002236
)
=
1− 0, 00360 = 0, 99632
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