Lista 6 de Controle no LateX Isadora Cassador

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Lista 6 de Exerc´ıcios de Controle Estat´ıstico de
Qualidade
Isadora Cassador Coˆnsoli Silva
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1 Lista 6 Gra´ficos de Controle para Processos
Autocorrelacionados, de Cusum e de EWMA
Nu´mero 1:
a.
2. Os dados Tabela 1 sa˜o a concentrac¸a˜o de um processo qu´ımico medida a
cada 3 minutos (leia de cima para baixo e da esquerda para a direita).
a. Calcule a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o amostral e interprete os resultados.
Figure 1: Gra´fico de Autocorrelac¸a˜o
Figure 2: Defasagens e seus respectivos coeficientes de correlac¸a˜o
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Podemos perceber que de acordo com que aumentamos o Lag (defasagem k),
estamos diminuindo o valor da autocorrelac¸a˜o amostral rk; como por exemplo,
para k=1 temos uma correlac¸a˜o positiva de r1 = 0, 659 e para k=2, o valor de rk
cai para 0,518. Em outras palavras, vemos que as observac¸o˜es da caracter´ıstica
de qualidade na˜o sa˜o independentes, e sim autocorrelacionados. Por isso pre-
cisaremos de outros gra´ficos para solucionar essa quebra de pressuposic¸a˜o das
cartas de Shewhart.
b. Construa os gra´ficos de controle X e MR apropriados.
LSCX = µˆ0 + 3σˆ0 = X¯ + 3
MR
d2
= 200, 9 + 3
(
3,76
1,128
)
= 210, 8936
LMX = µˆ0 = X¯ =
m∑
i=1
xi
m = 200, 9
LICX = µˆ0 − 3σˆ0 = X¯ − 3MRd2 = 200, 9− 3
(
3,76
1,128
)
= 190, 9064
LSCMR = µˆMR + 3σˆMR = d2σˆ0 + 3d3σˆ0 = 1, 128 (3, 3312) + 3 (0, 853) (3, 3312) = 12, 2821
LMMR = µˆMR = d2σˆ0 = 1, 128 (3, 3312) = 3, 7576
LICMR = max {0, (µˆMR − 3σˆMR)} = max {0, (d2σˆ0 − 3d3σˆ0)} = max {0;−4, 7669} = 0
Figure 3: Gra´ficos de Controle X e MR
De acordo com os gra´ficos acima, podemos ver que existem pontos tanto
acima do limite superior de controle do gra´fico de observac¸o˜es individuais,
quanto abaixo do limite inferior. O que e´ algo preocupante, pois na˜o aparenta
ser apenas causas especiais no processo, pois a concentrac¸a˜o no banho qu´ımico
na˜o varia tanto entre medidas muito pro´ximas. Po isso seria ideal estabelecer-
mos um tempo mı´nimo entre as amostragens.
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c. Discuta o intervalo adotado para retiradas de amostras.
Temos n = 1 e o intervalo de tempo adotado entre retiradas = 3 minutos.
O intervalo de tempo mı´nimo necessa´rio para que o efeito de autocorrelac¸a˜o
se dissipe deve ser k x 3, sendo k o menor valor para o qual rk <
2√
N
, sendo
N = 100. Como 2√
N
= 0, 20, temos r6 < 0, 20 (basta verificar na figura 2) e
o intervalo de tempo mı´nimo deveria ser 6 x 3 = 18 minutos. Veja abaixo o
gra´fico das observac¸o˜es individuais e da amplitude mo´vel quando consideramos
o tempo mı´nimo de 18 min entre as amostragens:
Figure 4: Gra´ficos de X e MR para um intervalo de 18 min entre as amostras
Dessa forma, podemos ver que na˜o apenas reduzimos o tamanho das amostras
para n=1, mas tambe´m adotamos um intervalo de tempo entre observac¸o˜es su-
ficientemente grande para o efeito da autocorrelac¸a˜o dissipar-se.
3. Latas de 250 gramas de cafe´ sa˜o enchidas por uma ma´quina, seladas e,
enta˜o, pesadas automaticamente. Os engenheiros sabem que o processo, por sua
natureza, e´ autocorrelacionado. Deseja-se monitorar na˜o apenas o n´ıvel me´dio
do processo ao longo do tempo, como tambe´m a variabilidade de curto prazo
do peso das latas; por isso, o gerente na˜o quer usar gra´ficos de observac¸o˜es
individuais. Para estabelecer gra´ficos de X¯ e R, 30 amostras de 4 latas de
cafe´ foram retiradas do processo durante um per´ıodo de tempo em que ele foi
considerado bem controlado r isento de causas especiais. Construa agora gra´ficos
de controle de X¯ com limites alargados e de R. Como se comportam os pontos
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nos gra´ficos?
a.
Figure 5: Gra´fico de X¯ com limites convencionais
Podemos notar va´rios pontos fora dos limites.
Uma forma de monitorar essa variabilidade de curto prazo e´ retirar amostras
com n > 1, o que nos leva naturalmente a gra´ficos de X¯ e R. No entanto, devemos
estar atentos aos limites deste primeiro, pois deixaremos de calcular esses limites
baseados na dispersa˜o intra-amostral (isto e´, usando R¯d2 como estimativa do
desvio padra˜o do processo), pois desta forma produziremos muitos alarmes falsos
(como e´ o caso do gra´fico anterior), e nos basearemos na variabilidade total de
X¯, que e´ devida em parte a` variabilidade do n´ıvel de se´rie e em parte ao ru´ıdo
de curto prazo.
Vejamos agora o gra´fico de X¯ alargado:
LSCX = µˆ0 + 3σˆX¯ = 249, 5890 + 3 (3, 7164) = 260, 7383
LMX = µˆ0 =¯¯X = 249, 5890
LICX = µˆ0 − 3σˆX¯ = 249, 5890− 3 (3, 7164) = 238, 4397
LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = (d2 + 3d3)
R¯
d2
= (2, 059 + 3× 0, 880) 6,28132,059 = 14, 335
LMR = d2σˆ0 = R¯ = 6, 2813
LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = (d2 − 3d3) R¯d2 = (2, 059− 3× 0, 880)
6,2813
2,059 = −1, 7724⇒ 0
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Figure 6: Gra´fico de X¯ alargado
Figure 7: Gra´fico de R
Podemos perceber que quando alargamos os limites do gra´fico de X¯ passamos
a conter todos os pontos dentro dos limites de controle.
4. O peso de um produto tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 250g e desvio-
padra˜o 4g. Com o aux´ılio do Excel:
a. Gere o peso de 80 unidades do produto e suponha que cada observac¸a˜o
foi obtida a cada 3 minutos.
Veja na tabela abaixo os nu´meros gerados atrave´s da dist.Normal(250;16)
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Figure 8: Nu´meros gerados de uma Normal(250;42)
b. Correlacione os pesos atrave´s da seguinte expressa˜o recursivo: Y1 = X1;
Yi = 0, 5Xi−1 + 0, 5Xi e i=2,3,4,...;
Figure 9:
7
Figure 10:
Figure 11:
Figure 12:
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O paraˆmetro K e´ o nu´mero de per´ıodos de defasagem. O per´ıodo (entre duas
observac¸o˜es consecutivas) e´ de 3 min como foi estabelecido pelo enunciado. Para
dissipar o efeito da autocorrelac¸a˜o (rk <
2√
N
⇒ rk < 2√80 = 0, 22), devemos ter
k ≥ 2; portanto, o intervalo de tempo mı´nimo entre observac¸o˜es deve ser de 2 x
3 = 6 min.
d. Construa os gra´ficos de observac¸o˜es individuais Y e de amplitude mo´vel;
Figure 13: Gra´fico de observac¸o˜es individuais e de amplitude mo´vel defasadas
6 min
Podemos notar que parece na˜o haver efeito da autocorrelac¸a˜o entre as ob-
servac¸o˜es, e isso se deve ao fato de termos modificado o per´ıodo de defasagem,
passando de 3 min para 6 min;
7.1 Com aux´ılio do R, gere 20 valores de X, tendo X distribuic¸a˜o N(10,1),
e outros 20 para X, tendo X distribuic¸a˜o N(9,1). Descubra qual dos dois pro-
cedimentos, algoritmo CUSUM (k = 4, 774;λ = 0, 50), usando δ = dσ0 e k =
K
σ0
,
ou gra´fico EWMA (k = 2, 859; λ = 0, 20), sinaliza com maior rapidez o deslo-
camento da me´dia do processo (de 10 para 9).
Fixando a semente em 1353, geramos 20 amostra de X ∼ N(10, 1) e 20
amostras de X ∼ N(9, 1). Utilizamos o R com as seguintes linhas de comando:
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Figure 14: Script dos gra´ficos abaixo no R
Na figura abaixo, apresentamos o gra´fico de CUSUM para a amostra gerada.
Por esta figura, percebemos que a quantidade S+i na˜o sinalizou a mudanc¸a
do processo, isto e´, a me´dia do processo na˜o aumentou. A quantidade S−i
sinalizou a mudanc¸a da me´dia do processo na 30a observac¸a˜o. Em um total de
20 observac¸o˜es com o processo desregulado, S−i identificou apenas 9 amostras.
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Figure 15: Gra´fico de controle de CUSUM
Figure 16: Gra´fico de EWMA
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Apresentamos na figura acima o gra´fico de EWMA para as 40 observac¸o˜es
geradas. Podemos ver que nenhuma das observac¸o˜es ficaram fora dos limites
de controle, mas temos uma indicac¸a˜o de o processo na˜o esta´ em controle, pois
quase todas as observac¸o˜es ficaram abaixo da linha me´dia.
7.2 Com aux´ılio do R, gere 20 valores de X, tendo X distribuic¸a˜o N(10,1), e
outros 20 para X, tendo X distribuic¸a˜o N(8,1). Descubra qual dos dois proced-
imentos, o de Shewhart (k = 3, 000) ou o de EWMA (k = 2, 859; λ = 0, 20),
sinaliza com maior rapidezo deslocamento da me´dia do processo (de 10 para
8).
Fixando a semente em 1432, geramos 20 amostra de X ∼ N(10, 1) e 20
amostra de X ∼ N(8, 1). Fazendo no R, temos:
Figure 17:
Na figura acima apresentamos o gra´fico de controle para as 40 observac¸o˜es.
Podemos ver que dois pontos ca´ıram fora dos limites de controle, uma observac¸a˜o
de quando o processo estava sob controle e outra quando o processo estava fora
de controle. Entre as observac¸a˜o 1 a 20 temos os pontos distribu´ıdos aleatori-
amente em torno da me´dia 10, mas a partir da observac¸a˜o 21 os pontos ficam
todos abaixo de 10, dando ind´ıcios que a me´dia do processo se alterou.
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Figure 18:
O gra´fico de EWMA, figura acima, conseguiu captar rapidamente a mudanc¸a
da me´dia do processo. A partir da observac¸a˜o 24, todos pontos ca´ıram fora do
limite inferior de controle.
Figure 19: Comando dos gra´ficos acima no R
7. Refac¸a os exerc´ıcios dois u´ltimos exerc´ıcios acima, considerando, para o
gra´fico de EWMA:
a. k = 2, 978; λ = 0, 50
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Figure 20: Gra´fico de controle de EWMA para o exerc´ıcio 1 (k = 2, 978;λ = 0, 5).
Para um λ = 0, 2 e k = 2,859 o gra´fico de EWMA na˜o havia identificado
mudanc¸a na me´dia do processo para o dados do exerc´ıcio 7.1. Como esperado, o
aumento de λ e k na˜o ajudaram na detecc¸a˜o de mudanc¸a da me´dia do processo.
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Figure 21: Gra´fico de controle de EWMA para o exerc´ıcio 2 (k = 2,978;λ = 0, 5).
Para os dados do exerc´ıcio 7.2, k = 2,859 e λ = 0, 2, o gra´fico de EWMA
identificou 17 pontos fora de controle e o primeiro foi a observac¸a˜o 24. Com
o aumento de k e λ o gra´fico identificou 12 pontos fora de controle e primeiro
identificado tambe´m foi a observac¸a˜o 24.
7.4. Uma caracter´ıstica de qualidade de um processo, com µ0 = 20 e σ0 =
1, 0, comec¸ara´ a ser controlada pelo esquema de EWMA, com λ = 0, 2 e k =
2,8. As observac¸o˜es sa˜o individuais. As 15 primeiras observac¸o˜es esta˜o na tabela
abaixo:
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Figure 22:
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