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1Métodos Estatísticos de Previsão
Bernardo Almada-Lobo
Regressão Linear
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
0 5 10 15 20
MÉTODOS ESTATÍSTICOS DE PREVISÃO
2Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
A regressão é uma das técnicas estatísticas mais potentes e de 
utilização mais frequente. 
É um método matemático utilizado para descrever a relação entre 
variáveis
• Regressão linear simples
• Regressão linear múltipla
• Regressão não linear
3Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
4Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
Para uma equação de uma recta y = b0 + b1x, ao valor b0 chama-se 
ordenada na origem e ao valor b1 chama-se declive.
5Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
Interpretação gráfica do declive:
6Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Um modelo de regressão linear simples descreve uma relação entre 
duas variáveis quantitativas X, independente, e Y, dependente
( ) 0 0α β β β (β α β )n n n n n nY X X E Y X E X= + ⋅ − + ⇔ = + ⋅ + = − ⋅
( ) ( )
nn
nn
Ya associado aleatório erroE
estimar a fixos parâmetros,
)N,,1n(Y,X de observação ésimanY,X
−
−βα
=−− L
7Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
),0(INE 2n σ
Aos valores observados Xn não estão associados quaisquer erros, devendo ser 
encarados como constantes.
Os erros considerados no modelo de regressão linear simples incidem sobre os 
valores observados de Y.
Na teoria da regressão admitem-se as seguintes hipóteses sobre os erros:
1. valor esperado nulo e variância constante
2. são mutuamente independentes
3. são normalmente distribuídos
Note que, a hipótese de que existe uma recta de regressão que se ajusta aos dados 
está implícita em todo o processo.
8Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Exemplo:
Idade e preço de uma amostra 11 Orions
9Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
10Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
( )2Yn ,INY n σµ
Se as hipóteses referidas se verificarem, os valores de Yn são independentes e 
seguem uma distribuição normal:
( )XXnYn −⋅β+α=µ
11Métodos Estatísticos de Previsão
A figura assinala a diferença entre a recta de regressão da população (que 
gostaríamos de conhecer mas não conhecemos) e a recta estimada a partir da 
amostra.
Regressão Linear Simples
12Métodos Estatísticos de Previsão
nXUma vez que os valores são constantes, é também constante.X
Logo, X0 ⋅β−α=β também é constante
A figura ilustra o significado de 0α e β
X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 X
Y
0β
α
( )
0
α β
β β
n n
n n
Y X X
Y X
= + ⋅ − ⇔
= + ⋅
Regressão Linear Simples
13Métodos Estatísticos de Previsão
Os parâmetros da recta de regressão podem ser estimados pelo método dos 
mínimos quadrados
( )[ ]{ }∑ ∑
= =
−⋅β+α−==
N
1n
N
1n
2
nn
2
n XXYESEQMIN ( ) ( )[ ]
( )










=
−
−⋅−
=
=⋅=
⇒
∑
∑
∑
=
=
=
XX
XY
N
1n
2
n
N
1n
nn
N
1n
n
S
S
XX
YYXX
B
YY
N
1A
XX
XY
N
1n
n
s
s
ˆb
yy
N
1
ˆa
=β=
=⋅=α= ∑
=
A partir de um conjunto particular de observações (xn, yn) obtêm-se as 
estimativas seguintes:
Regressão Linear Simples
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50X
Y
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50X
Y
xx −
yy −
14Métodos Estatísticos de Previsão
Note que, a recta estimada passa sempre pelo ponto )Y,X(
X
X
Y
( )XXY nn −⋅β+α=Y
( ) yXXyY
yˆa
n =−⋅β+=
=α=
Regressão Linear Simples
15Métodos Estatísticos de Previsão
Se a relação entre Xn e µµµµYn for efectivamente linear e os erros forem
independentes, tiverem valor esperado nulo e variância constante, pode 
demonstrar-se que:
1. A e B são estimadores não-enviesados, eficientes e consistentes
2. A matriz de variância-covariância dos estimadores é
( ) ( )
( ) ( ) 




σ
σ
=





XX
2
2
S0
0N
BVARA,BCOV
B,ACOVAVAR
Como Cov(a,b)=0, conclui-se que A e B não são correlacionados, o que não 
acontece com B0 e B1, uma vez que ββββ0 é função de ββββ.
Deste facto resulta a vantagem do modelo 
( ) nnn EXXY +−⋅+= βα relativamente a 0β βn n nY X E= + ⋅ +
X0 ⋅β−α=β
Regressão Linear Simples
16Métodos Estatísticos de Previsão
XXS
BVar
2
)( σ=
Estimativa de β é melhor 
quando os valores de x estão 
mais espalhados.
Regressão Linear Simples
17Métodos Estatísticos de Previsão
( )[ ]
2
1 1
22
2
1
ˆ
2
1
∑ ∑
= =
−⋅−−⋅
−
=⋅
−
=
N
n
N
n
nnn XXBAYN
E
N
S
3. Um estimador não-enviesado de σσσσ2 é
Regressão Linear Simples
18Métodos Estatísticos de Previsão
82)yy()xx(s
40)xx(s
30y
10x
5N
n
nnXY
n
2
nXX
∑
∑
=−⋅−=
=−=
=
=
=
Exemplo
Admitindo que a relação entre as variáveis X e Y é linear, pretende-se estimar os 
parâmetros do modelo de regressão correspondente:
n xn yn 
1 12 33 
2 8 24 
3 14 39 
4 10 31 
5 6 23 
 
n yn )( xxba nYn −⋅+=µ nynn ye µˆˆ −= 
1 33 30 + 2.05⋅ 2 = 34.1 33 − 34.1 = −1.1 
2 24 30 + 2.05⋅ (−2) = 25.9 24 − 25.9 = −1.9 
3 39 30 + 2.05⋅ 4 = 38.2 39 − 38.2 = 0.8 
4 31 30 + 2.05⋅ 0 = 30.0 31 − 30.0 = 1.0 
5 23 30 + 2.05⋅ (−4) = 21.8 23 − 21.8 = 1.2 
 
∑
=
=⋅
−
=σ=
N
1n
2
n
22 63.2eˆ
2N
1
ˆs
05.2ssb
30ya
XXXY ==
==
0658.0ssˆ
527.0Nsˆ
XX
22
B
22
A
==σ
==σ
Podemos também estimar a variância dos erros e dos estimadores:
Regressão Linear Simples
19Métodos Estatísticos de Previsão
Se En IN(0,σσσσ2), é possível especificar as distribuições dos estimadores
de αααα, ββββ e σσσσ2
( ) 2N2 tNS
AN,NA
−
α−
⇒σα
( )BXABt
S
X
N
1S
B
S
X
N
1
,NB 02N
XX
2
002
XX
2
00 ⋅−=
+⋅
β−
⇒







σ⋅





+β
−
( ) 2N
XX
XX
2 t
SS
BS,NB
−
β−
⇒σβ
A partir destas expressões é possível definir I.C. e T.H.
( )
0
α β
β β
n n
n n
Y X X
Y X
= + ⋅ − ⇔
= + ⋅
1.
2.
3.
Regressão Linear Simples
20Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Intervalos de Confiança para os parâmetros de regressão
Os intervalos de confiança bilaterais a (1- γγγγ) . 100% vêm
( ) N1S2tA: 2N ⋅⋅γ±α −
( ) 18.3205.0t3 =
EXEMPLO (CONT.)
( ) ( ) XX22N0 SXN1S2tBXA: +⋅⋅γ±⋅−β −
( ) XX2N S1S2tB: ⋅⋅γ±β −
[ ]87.2,23.140163.218.305.2: ⇒⋅⋅±β
( ) [ ]95.17,05.140105163.218.305.21030: 20 ⇒+⋅⋅±⋅−β
[ ]31.32,69.275163.218.330: ⇒⋅⋅±α
1.
2.
3.
21Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Testes de hipóteses para os parâmetros de regressão
Os testes de hipóteses relativos aos parâmetros podem ser realizados 
recorrendo aos intervalos de confiança. Alternativamente, os testes podem ser 
efectuados pelo método clássico:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2N
XX
2
00
0
0000000001
0000 t
S
X
N
1S
BXAET:.VERDH
,,:H
:H
−
+⋅
β−⋅−
=⇒




β<ββ>ββ≠β
β=β
2N
XX
0
0
0001
00 t
SS
BET:.VERDH
,,:H
:H
−
β−
=⇒




β<ββ>ββ≠β
β=β
2N
0
0
0001
00 t
NS
AET:.VERDH
,,:H
:H
−
α−
=⇒




α<αα>αα≠α
α=α1.
2.
3.
22Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Quando se pretende realizar um teste bilateral à hipótese nula H0: ββββ=0, pode 
recorrer-se a um procedimento baseado na ANOVA
( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
44444 344444 214444 34444 214434421
XX
2
YYXX
2YY SBSVR
RESIDUAL.V
n
2
nn
SBVDR
REGRESSÃOÀDEVIDA.V
n
2
n
SVT
TOTAL.Vn
2
n XXBAYYXXBAYY
⋅−=
⋅=
=
∑∑∑ −⋅+−+−−⋅+=−
23Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
2N,10
1
0 F
DQMR
DQMDRET:.VERDH
0:H
0:H
−
=⇒




≠β
=β
O procedimento de teste ANOVA tem a seguinte estrutura:
Tabela ANOVA para o modelo de regressão linear simples
FONTES DE 
VARIAÇÃO 
VARIAÇÕES 
(Somas de quadrados) 
GRAUS DE LIBERDADE 
(Número de termos 
independentes) 
DESVIOS 
QUADRÁTICOS 
MÉDIOS 
VALORES ESPERADOS 
DEVIDA À 
REGRESSÃO (DR) 
 
(Variação explicada pela 
regressão) 
VDR = B2 · SXX 
 
= B · SXY 
 
GL1 = 1 
 
DQMDR = VDR 
 
E [DQMDR] = σσσσ2 + ββββ2 · SXX 
 
RESIDUAL (R) 
 
(Variação residual, não 
explicada) 
VR = SYY - B · SXY GL2 = N−−−− 2 DQMR = VR/GL2 E [DQMR] = σσσσ2 
 
TOTAL (T) 
 
(Variação total) 
VT = SYY 
 
GL = GL1 + GL2 = N −−−− 1 
 
 
 
24Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Exemplo (anterior)
Admitindo que a relação entre as variáveis X e Y é linear, pretende-se 
estimar os parâmetros do modelo de regressão correspondente
n xn yn 
1 12 33 
2 8 24 
3 14 39 
4 10 31 
5 6 23 
 
05.2ssb
30ya
XXXY ==
==
25Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Exemplo (cont.)
%50:H0:H 10 =α≠β=β
FONTES VARIAÇÕES G.L. DQM 
DR 168.1 1 168.1 
R 7.9 3 2.633 
T 176.0 4 
 ( ) ( )
0
3,1
H Rejeitar
0.41%Pprova de Valor13.1005.0F84.63
633.2
1.168ET ==>==
[ ]87.2,23.140163.218.305.2 ⇒⋅⋅±∈βI.C.:
( ) ( )%41.0Pprova de Valor18.3205.0t99.7
4062.1
05.2ET 3 ==>==T.H.:
ANOVA:
26Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
Dado que cada novo valor Y se admite independente dos anteriores, 
são constantes e A e B são independentes, pode-se mostrar que a 
variância do erro de previsão vem:
Previsões com base no modelo de regressão linear simples
( )XXBAˆYˆ Y −⋅+=µ=
( )[ ] ( )[ ]XXBAEXXYˆY −⋅+−+−⋅β+α=−=δ
( ) ( ) 2
XX
2
S
XX
N
11)Yˆ(VAR)Y(VARVAR σ⋅








−
++=+=δ
O erro que se comete na previsão vem
XX e,, ββββαααα
Y 
µ µ µ µ y 
 
 
f (y|x) 
X 
x 1 
x 2 
σσσσ 
µ µ µ µ Y 
 
 2
µ µ µ µ Y 
 
 1
σσσσ 
Para cada valor de X, a melhor previsão de Y é dada por
( ) ( )
( ) ( ) 




σ
σ
=





XX
2
2
S0
0N
BVARA,BCOV
B,ACOVAVAR
27Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
( ) ( )
XX
2
2N S
XX
N
11S2tYˆ −++⋅⋅γ±
−
Admitindo a normalidade dos erros En , temos que seguem também 
distribuições Normais. 
Assim, o intervalo de previsão a (1- γγγγ).100% será:
δδδδeˆ, YY
( )
XX
2
S
XX
N
11SYˆ −++⋅±
Se tn-2(γ/2)=1 a banda de previsão a (1-γγγγ).100% é definida por:
Quando se considera todos os valores possíveis de X, os intervalos formam uma 
banda de previsão.
28Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
N
11SYˆ:BBANDA +⋅±
Banda A - tem apenas a ver com a estimativa do desvio-padrão do erro E
Banda B - acrescenta, relativamente à banda A, o termo correspondente ao erro 
de estimação de αααα
Banda C - acrescenta, relativamente à banda B, o termo correspondente ao erro 
de estimação de ββββ
Y 
x 
y = a + b (x - x) i i.
A 
B C 
X 
)( xxbay nn −⋅+=
1SYˆ:ABANDA ⋅±
( )
XX
2
S
XX
N
11SYˆ:CBANDA −++⋅±
29Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
Uma relação que pareça linear dentro da gama de valores observados Xn, pode 
ter um comportamento não-linear numa gama mais alargada.
Apesar de a banda de previsão definida alargar à medida que as observações 
se afastam da média de X, esta não contempla esse tipo de situações, 
assentando no pressuposto de que a relação é efectivamente linear.
X 
Y 
Gama de valores observados 
Relação linear ajustada 
Relação verdadeira (não linear)
Valor 
extrapo- 
lado de Y 
Novo valor 
de X 
30Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
Extrapolação no exemplo do Orion
31Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Regressão linear simples e correlação entre variáveis
Embora a análise de correlação seja uma técnica menos potente do que a 
regressão linear simples, pois apenas revela o grau de relacionamento linear 
entre variáveis sem especificar a forma que ele assume, ambas estão 
intimamente ligadas.
Na regressão linear simples, os valores observados de X são encarados como 
constantes, podendo não ser representativos de uma qualquer distribuição 
populacional
Na análise de correlação, para que a partir do coeficiente de correlação 
amostral se possam fazer inferências relativas ao coeficiente de correlação 
populacional, é preciso que as observações (Xn,Yn) sejam representativas da 
população conjunta de X e Y
32Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
( ) ( )∑
=
−⋅−⋅
−
=
N
n
nnXY yyxxN
c
11
1
( ) ( )
( ) ( )
( )11
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1 ≤≤−
⋅
=
−⋅
−
⋅−⋅
−
−⋅−⋅
−
=
∑∑
∑
==
=
XY
YX
XY
N
n
n
N
n
n
N
n
nn
XY r
ss
c
yy
N
xx
N
yyxx
N
r
Covariância amostral (permite inferir acerca da população)
Coeficiente de correlação amostral (medida adimensional)
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50X
Y
xx −
yy −
33Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Se os valores Xn não forem obrigatoriamente representativos da população de
X, podem situar-se numa zona restrita dessa população, provocando o 
enviesamento do coeficiente de correlação amostral
Y 
Zona central
X 
Enviesamento do coeficiente de correlação amostral calculado a partir de observações pertencentes 
à zona central da população de x
34Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
Na análise de correlação não se faz qualquer distinção entre variável 
dependente e variável independente
A existência de correlação implica que 
• X é causa de Y, ou
• Y é causa de X, ou ainda
• Uma outra variável é causa simultânea de X e Y
Que sentido fará, no contexto da regressão, calcular o coeficiente 
de correlação amostral ?XYR
35Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Simples
( )
( )∑
∑
−
−⋅
=
⋅
=
n
2
n
n
2
n
2
YY
XX
2
2
XY
YY
XXB
S
SBR
Se X for claramente assumida como variável predeterminada, o cálculo do 
quadrado do coeficiente de correlação amostral, o coeficiente de 
determinação, representa a proporção da variação de y que é explicada pela 
regressão
( ) ( ) ( )[ ]
( )∑∑
∑∑
==
==
−⋅+==
−+−=−=
N
n
n
N
n
n
N
n
nnn
N
n
nYY
xxbe
yyyyyys
1
22
1
2
1
2
1
2
ˆˆ
L
Não-
-explicada Explicada
36Métodos Estatísticos de Previsão
O montante global dos seguros de vida efectuados pelas famílias de um 
determinado país depende do rendimento anual do agregado familiar. Na tabela 
seguinte apresentam-se os valores destas variáveis, expressas em unidades 
monetárias do país em causa, para um conjunto de 12 famílias considerado 
representativo da população.
Estime a relação entre as duas variáveis e o intervalo de previsão do montante 
global de seguros de vida efectuados por uma família com um rendimento anual 
agregado de 20 000 [u.m]
Regressão Linear Simples
Rendimento anual 
[1000 u.m.] 
Capital seguro 
[1000 u.m.] 
14 31 
19 40 
23 49 
12 20 
9 21 
15 34 
22 54 
25 52 
15 28 
10 21 
12 24 
16 34 
 
37Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
• O modelo de regressão linear múltipla é uma extensão domodelo de 
regressão linear simples.
• Permite descrever uma relação entre um conjunto de variáveis 
quantitativas independentes, Xj (j=1,2,...,J), e uma variável, Y, quantitativa 
dependente.
• O objectivo será o de construir um modelo que se ajuste melhor aos dados 
do que o modelo de regressão linear simples.
38Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
y = β 0 + β 1 x
X
Y
X2
1
O modelo de regressão linear simples considera 
apenas uma variável independente, “X”
Y =β0 + β 1X + E
O modelo de regressão linear múltipla considera duas, 
ou mais, variáveis independentes, X1 e X2.
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + E
Agora, a recta é
transformada num plano
y = β 0 + β 1
x 1 +
 β 2x 2
39Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
O modelo de regressão linear múltipla :
nJJnJ1n11n E)XX()XX(Y +−⋅β++−⋅β+α= L
)Y,X,,X( nJnn1 L n-ésima observação das variáveis X1,...,XJ e Y
jX média das observações da variável Xj
J1 ,,, ββα L parâmetros fixos a estimar
nE erro aleatório associado a Yn
40Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
Modelo de regressão linear populacional bivariado
X2
Y
X1
µµµµYX = ββββ0 + ββββ1X1i + ββββ2X2i
ββββ0
Yi = ββββ0 + ββββ1X1i + ββββ2X2i + εεεεi
Response
Plane
(X1i,X2i)
(Observed Y)
εεεεi
X2
Y
X1
µµµµYX = ββββ0 + ββββ1X1i + ββββ2X2i
ββββ0
Yi = ββββ0 + ββββ1X1i + ββββ2X2i + εεεεi
Response
Plane
(X1i,X2i)
(Observed Y)
εεεεi
41Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
X2
Y
X1
b0
Yi = b0 + b1X1i + b2X2i + ei
Response
Plane
(X1i,X2i)
(Observed Y)
^
ei
Yi = b0 + b1X1i + b2X2i
X2
Y
X1
b0
Yi = b0 + b1X1i + b2X2i + ei
Response
Plane
(X1i,X2i)
(Observed Y)
^
ei
Yi = b0 + b1X1i + b2X2i
Modelo de regressão linear amostral bivariado
42Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
En IN (0,σ2)
A este modelo estão subjacentes as seguintes hipóteses:
1. Os valores Xjn, e portanto, os seus valores esperados são 
encarados como constantes predeterminadas, sem erro
2. Os erros En são mutuamente independentes, têm valor 
esperado nulo, variância constante e são normalmente 
distribuídos, isto é,
43Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
Os parâmetros podem ser estimados recorrendo ao método 
dos mínimos quadrados minimizando a seguinte função:
J1 ,,, ββα L
[ ]{ }2
n
JJnJ1n11n
n
2
n )XX()XX(YESEQ ∑∑ −⋅β++−⋅β+α−== L
0)]()([)2( 111 =−⋅−⋅⋅⋅−−⋅−−⋅−= ∑ JJnJn
n
n XXXXY
SEQ ββα∂α
∂
0)]()([)()2( }{ 11111
1
=−⋅−⋅⋅⋅−−⋅−−⋅−⋅−= ∑ JJnJn
n
nn XXXXYXX
SEQ ββα∂β
∂
0)]()([)()2( }{ 111 =−⋅−⋅⋅⋅−−⋅−−⋅−⋅−= ∑ JJnJn
n
nJJn
J
XXXXYXXSEQ ββα∂β
∂
(...)
Sendo o mínimo atingido para
44Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
A primeira equação permite obter o estimador de , que é idêntico ao 
que foi definido para o modelo de regressão linear simples:
α
YY
N
1A
n
n =⋅= ∑
Desenvolvendo as restantes equações, obtém-se o seguinte sistema cuja 
resolução permite obter os estimadores de J1 ,, ββ L
YXXXJXX2XX1
YXXXJXX2XX1
YXXXJXX2XX1
JJJ2J1J
2J22212
1J12111
SSBSBSB
)(
SSBSBSB
SSBSBSB
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
L
L
L
L
)XX()XX(S
22112j1j jnjjnj
n
XX −⋅−=∑onde )YY()XX(S njjn
n
YX j −⋅−=∑e
45Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
1
XXXX
XXXX2
J1JJ
J111
J1
JJ1J
J111
SS0
SS0
00N
)B(Var)B,B(Cov)A,B(Cov
)B,B(Cov)B(Var)A,B(Cov
)B,A(Cov)B,A(Cov)A(Var −














⋅σ=












L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
Se a relação entre as variáveis Xj e µy for linear e se os erros En forem 
independentes, tiverem valor esperado nulo e variância constante pode 
demonstrar-se que:
1. Os estimadores A e B1,...,Bj são não-enviesados, eficientes e 
consistentes.
2. A matriz de variância-covariância dos estimadores A e B1,...Bj é:
46Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
3. Um estimador não-enviesado de σ2 é definido pela expressão:
2
JJnJ
n
1n11n
n
22
)]XX.(B)XX.(BAY[
1JN
1
Eˆ
1JN
1S
−−−−−−⋅
−−
=
=⋅
−−
=
∑
∑
L
47Métodos Estatísticos de Previsão
Exemplo
Considerem-se as observações das variáveis X1, X2 e Y que constam da tabela. 
Admitindo que o valor esperado de Y é uma função linear de X1 e X2, estimem-se os 
parâmetros do modelo de regressão correspondente.
n x1n x2n yn 
1 5.0 7.2 51.7 
2 5.8 7.8 56.4 
3 4.2 8.1 49.3 
4 6.0 8.7 60.7 
5 4.8 6.6 48.9 
6 5.6 7.5 54.1 
7 4.4 9.0 54.9 
8 5.2 6.3 49.8 
9 5.4 8.4 57.9 
10 4.6 6.9 50.4 
 
10.5)6.48.50.5(
10
1
x1 =+⋅⋅⋅++⋅=
10N=
65.7)9.68.72.7(
10
1
x2 =+⋅⋅⋅++⋅=
41.53)4.504.567.51(
10
1y =+⋅⋅⋅++⋅=
3.3)1.56.4()1.50.5()xx(S 22
i
2
1i1xx 11 =−+⋅⋅⋅+−=−=∑
42.7)65.79.6()65.72.7()xx(S 22
i
2
2i2xx 22 =−+⋅⋅⋅+−=−=∑
45.0)65.79.6()1.56.4()65.72.7()1.50.5()xx()xx(SS
i
2i21i1xxxx 1221 =−⋅−+⋅⋅⋅+−⋅−=−⋅−== ∑
67.15)41.534.50()1.56.4()41.537.51()1.50.5()yy()xx(S
i
i1i1yx1 =−⋅−+⋅⋅⋅+−⋅−=−⋅−=∑
16.24)41.534.50()65.79.6()41.537.51()65.72.7()yy()xx(S
i
i2i2yx2 =−⋅−+⋅⋅⋅+−⋅−=−⋅−=∑
19.147)41.534.50()41.537.51()yy(S 22
i
2
iyy =−+⋅⋅⋅+−=−=∑
Regressão Linear Múltipla
48Métodos Estatísticos de Previsão
As estimativas dos parâmetros de regressão podem então obter-se 
nos seguintes termos:
41.53yˆa ==α=




=⋅+⋅
=⋅+⋅
⇒
16.24b42.7b45.0
67.15b45.0b3.3
21
21




=β=
=β=
⇒
99.2ˆb
34.4ˆb
22
11




=⋅+⋅
=⋅+⋅
YXXX2XX1
YXXX2XX1
22212
12111
SSbSb
SSbSb
Exemplo (cont.)
Regressão Linear Múltipla
49Métodos Estatísticos de Previsão
)65.7(99.2)10.5(34.441.53ˆ 21 −⋅+−⋅+= iiY xxiµA partir de pode-se calcular a estimativa de σ2
n yn Yn
µˆ
 Ynii ye µˆˆ −= 
1 51.7 51.630 0.070 
2 56.4 56.897 -0.497 
3 49.3 50.850 -1.550 
4 60.7 60.458 0.242 
5 48.9 48.967 -0.067 
6 54.1 55.132 -1.032 
7 54.9 54.410 0.490 
8 49.8 49.306 -0.006 
9 57.9 56.956 0.944 
10 50.4 48.996 1.404 
 
983.0]404.107.0[
1210
1
eˆ
1JN
1
ˆs 22
n
2
n
22
=+⋅⋅⋅+⋅
−−
=⋅
−−
=σ= ∑
1
2212
2111
xxxx
xxxx2
2
^
12
^
21
^
1
^
SS
SS
ˆ
)B(Var)B,B(Cov
)B,B(Cov)B(Var −






⋅σ=














−
−
=
−






⋅=
133.0018.0
018.0300.01
42.745.0
45.030.3983.0
548.0ˆ300.0)B(Var
1B1
^
=σ⇒= 365.0ˆ133.0)B(Var
2B2
^
=σ⇒=
090.0
365.0548.0
018.0
ˆ018.0)B,B(Cov
21B,B21
^
−=
⋅
−=ρ⇒−=
e estimar a variância dos estimadores: 
Regressão Linear Múltipla
50Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
Onde var(B1),...,Var(Bj ) são definidos a partir da matriz variância-covariância.
Se , é possível especificar as distribuições dos estimadores A e 
B1,...,BJ
),0( 2σINEn
..............
A N (α, σ2/N)
B1 N [β1,Var(B1)]
BJ N [βJ,Var(BJ)]
1JNtN/S
A
−−
α−
1JN
J
JJ t)B(raˆV
B
−−
β−
1JN
1
11 t)B(raˆV
B
−−
β−
Nestas condições, temos as distribuições seguintes:
51Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
A partir das expressões anteriores é possível definir intervalos de confiança e 
testes de hipóteses envolvendo os parâmetros de regressão.
Intervalos de Confiança:
N/1S)2/(tA: 1JN ⋅⋅γ±α −−
)B(raˆV)2/(tB: j1JNjj ⋅γ±β −−
Teste de Hipóteses:
O teste relativo ao parâmetro αααα será:
H0: α =α0
H1: α ≠ α0 ,α < α0 ouα > α0 N/S
AET 0α−= H0 verdadeira ⇒ ET 1JNt −−
Note que, os intervalos assim definidos estão correctamente especificados quando 
considerados individualmente. No entanto, o nível de confiança para o conjunto dos 
intervalos definidos para A e Bj (j=1,...,J) é, de facto, diferente do considerado.
52Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
Relativamente aos parâmetros ββββj deverá primeiro ser testada a hipótese de que 
todos eles são nulos contra a hipótese de que pelo menos um dele é diferente de 
zero. 
444444444 3444444444 21
L
444444444 3444444444 21
L
4434421
L
L
)SBSB(SVR
2
JJnJ
n
1n11n
SBSBVDR
2
JJnJ
n
1n11
SVT
n
2
n
YJXJY1X1YY
YJXJY1X1YY
)]XX.(B)XX.(BAY[
]Y)XX.(B)XX.(BA[)YY(
⋅++⋅−=
⋅++⋅==
−−−−−−+
+−−++−+=−
∑
∑∑
Teste de Hipóteses (cont.):
Tal teste será realizado recorrendo à técnica de Análise de Variância que se 
fundamenta na seguinte decomposição:
53Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
FONTES DE 
VARIAÇÃO 
VARIAÇÕES 
(Somas de quadrados) 
GRAUS DE LIBERDADE 
(Número de termos 
independentes) 
DESVIOS 
QUADRÁTICOS 
MÉDIOS 
VALORES ESPERADOS 
DEVIDA À 
REGRESSÃO (DR) 
 
YXJYX1 J1 SBSB=
=VDR
⋅⋅ ⋅⋅⋅ ++++++++
 
GL1 = J 
 
DQMDR = VDR/GL1 
 
E [DQMDR] = 
=σσσσ2 + + + + 
 
f B1 , ⋅⋅⋅,BJ( )[ ]2 
 
RESIDUAL (R) 
 
(Variação residual "não 
explicada") 
VR = SYY - VDR GL2 = N – J – 1 DQMR = VR/GL2 E [DQMR] = σσσσ2 
 
TOTAL (T) 
 
(Variação total) 
VT = SYY 
 
GL = GL1 + GL2 = N- 1 
 
 
 
Na ANOVA referente à regressão linear múltipla adopta-se esta decomposição.
Donde decorre a estrutura do teste ANOVA
H0: β1 = β2=....= βJ =0
H1: algum βj ≠ 0 DQMR
DQMDRET = H0 verdadeira ⇒ ET 1JN,JF −−
54Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
Utilizando os dados do exemplo anterior, vamos testar as hipóteses
H0: β 1 = β 2 = 0 
H1: β 1 ou β 2 ≠ 0.
A tabela ANOVA correspondente vem:
FONTES VARIAÇÕES G.L. DQM 
DR 140.3 2 70.15 
R 6.9 7 0.983 
T 147.2 9 
 
Exemplo (cont.)
74.4)05.0(F34.71
983.0
15.70ET 7,2 ==α== >
H0 é rejeitada ao nível de significância de 5% (valor de prova quase nulo)
55Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
Quando a hipótese nula é rejeitada é necessário verificar quais os βj que são 
diferentes de zero. Uma via possível consiste na realização dos seguintes testes 
individuais aos parâmetros.
H0: βj =0
H1: βj ≠ 0, βj > 0 ou βj < 0, 
)B(raˆVET j
jβ
= H0 verdadeira ⇒ 1JNt −−ET
Das expressões anteriores relativas aos estimadores de Bj decorre a seguinte 
estrutura para os testes:
56Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
365.2)025.0(t92.7
548.0
34.4
)B(Var
bET 7
1
^
1
=>===
365.2)025.0(t19.8
365.0
99.2
)B(Var
bET 7
2
^
2
=>===
Exemplo (cont.)
548.0ˆ
1B =σ 365.0ˆ 2B =σSabendo que b1 = 4.34 b2 = 2.99
H0: β1 = 0 é rejeitada ao nível de significância de 5% (valor de prova 
quase nulo)
H0:β1 = 0 e H0: β2 = 0 
H1: β1 ≠ 0 H1: β2 ≠ 0
H0: β2 = 0 também é rejeitada ao nível de significância de 5% (igualmente com valor de prova praticamente nulo). 
57Métodos Estatísticos de Previsão
Exemplo. 
Estime e teste o modelo de regressão para as seguintes variáveis:
1823083
98038
98545
22180117
1310062
119556
99049
196069
X2X1Y
Regressão Linear Múltipla
58Métodos Estatísticos de Previsão
Y X1 X2 Syy Sx1x1 Sx2x2 Sx1x2 Sx1y Sx2y
69 60 19 17.0 3025.0 27.6 -288.8 -226.9 21.7
49 90 9 252.0 625.0 22.6 118.8 396.9 75.4
56 95 11 78.8 400.0 7.6 55.0 177.5 24.4
62 100 13 8.3 225.0 0.6 11.3 43.1 2.2
117 180 22 2717.0 4225.0 68.1 536.3 3388.1 430.0
45 85 9 395.0 900.0 22.6 142.5 596.3 94.4
38 80 9 722.3 1225.0 22.6 166.3 940.6 127.7
83 230 18 328.5 13225.0 18.1 488.8 2084.4 77.0
64.9 115.0 13.8 4518.9 23850.0 189.5 1230.0 7400.0 852.8
a= 64.88
23850 b1 + 1230 b2 = 7400
1230 b1 + 189.5 b2 = 852.75
b1= 0.12
b2= 3.74
ANOVA
FV Var GL DQM ET= 21.93798
DR 4056.595 2 2028.298 F2,5= 5.786135
R 462.2799 5 92.45598
T 4518.875 7 R2xy= 89.77%
Regressão Linear Múltipla
59Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
O problema associado à realização destes testes reside no facto de o 
nível de significância do conjunto dos testes ser diferente daquele que 
foi especificado.
Esta dificuldade pode ser contornada com o método de selecção de 
regressores.
60Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
• No modelo de regressão múltipla admitiu-se que as variáveis 
independentes (os regressores) eram designadas à partida.
• Na maioria das situações práticas não é possível especificar à partida, com 
segurança, o conjunto ideal de regressores.
• Num cenário real podem existir uma multiplicidade de regressores 
potencialmente úteis na explicação do comportamento da variável 
dependente, havendo que seleccionar de entre eles aqueles que devem 
figurar no modelo.
• De seguida serão discutidos diferentes métodos de selecção de 
regressores.
Selecção de Regressores
61Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
1. Construir os modelos de regressão que combinem de todas as maneiras 
possíveis os regressores potenciais.
2. Ordenar os modelos de regressão de acordo com um critério de qualidade 
(por exemplo, minimizar os DQMR).
3. Avaliar em detalhe um número restrito de modelos considerados melhores, 
de acordo com o critério fixado em (2).
Método Exaustivo
O ponto (3) está associado à incapacidade de definir um critério único que, em 
todas as circunstâncias, permita comparar objectivamente a qualidade dos 
modelos.
Se o número de regressores potenciais for J, o número de modelos alternativos a 
construir é 2J-1.
62Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
1. Ajustar tantos modelos de regressão linear simples quantos os regressores 
potenciais. Incluir no modelo aquele que explica a maior proporção da variação 
da variável dependente. Se nenhum regressor explicar uma proporção 
significativa da variação o método termina.
2. Construir modelos de regressão dupla que associem o regressor seleccionado 
em (1) e cada um dos restantes regressores potenciais.
De entre os novos regressores que explicam uma proporção adicional 
significativa da variação total, incluir no modelo aquele que explica a maior 
proporção. 
3. Prosseguir a tentativa de construção de modelos de ordem superior adoptando 
um procedimento idêntico ao descrito.
4. O método termina quando nenhum dos regressores potenciais explica um
proporção adicional significativa da variação total ou quando todos os 
regressores forem incluídos no modelo.
5. Este método não garante a selecção do melhor conjunto de regressores.
Método Progressivo
63Métodos Estatísticos de Previsão
.rejeitadaH41.4)05.0(F0.22
18/90
110ET0:H 018,120 ⇒





=>==→=β
Considere-se o problema da selecção de regressores admitindo que se dispõe de 
20 observações de uma variável dependente (Y) e de três variáveis candidatas a 
figurarem como regressores num modelo de regressão múltipla (X1, X2 e X3).
Exemplo
Passo (1): construir três modelos de regressão linear simples
Modelo Y = Y(X1): 
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X1) 60 1 60 
R 140 18 140/18 
T 200 19 
 
Modelo Y = Y(X2): 
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X2) 110 1 110 
R 90 18 90/18 
T 200 19 
 
Modelo Y = Y(X3): 
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X3) 20 1 20 
R 180 18 180/18 
T 200 19 
 
O regressor que explica a maior proporção da variação total é X2.
O teste ANOVA permite verificar que a proporção da variação explicada é
significativa.
RegressãoLinear Múltipla
64Métodos Estatísticos de Previsão
Modelo Y = Y(X2, X1): 
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X2,X1) 120 2 120/2 
R 80 17 80/17 
T 200 19 
 
Modelo Y = Y(X2, X3): 
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X2,X3) 135 2 135/2 
R 65 17 65/17 
T 200 19 
 
Vamos agora de testar se o contributo adicional de X3 para a explicação da 
variação de Y é significativo. Para tal tem-se de alterar a tabela ANOVA
correspondente decompondo:
VDR(X2, X3) = VDR(X2) + VDR(X3|X2)
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X2,X3) 135 2 135/2 
DR (X2) (110) (1) 
DR (X3|X2) (25) (1) 25 
R 65 17 65/17 
T 200 19 
 
Passo (2) construir os dois modelos de regressão linear dupla Y = Y(X2, X1) e 
Y = Y(X2, X3)
O regressor que explica uma proporção adicional maior da variação total é X3.
Regressão Linear Múltipla
65Métodos Estatísticos de Previsão
O teste ANOVA a realizar tem a seguinte estrutura:
H0: β3 = 0
H1: β3 ≠ 0 DQMDR
)X|X(DQMDRET 23= H0 verdadeira ⇒ ET F1,N-3. 
45.4)05.0(F54.6
17/65
25
DQMR
)X|X(DQMDRET 17,123 =>===
Nestas condições, é incluído no modelo o regressor X3, que assim se junta ao 
regressor X2
Passo (3) construir o modelo de regressão linear tripla Y = Y(X2, X3, X1)
Fontes Variações G.L. DQM 
DR (X2,X3,X1) 140 3 135/2 
DR (X2,X3) (135) (2) 
DR (X1|X2,X3) (5) (1) 5 
R 60 16 60/16 
T 200 19 
 
.rejeitada ão 50.4)05.0(33.1
16/60
5),|(
016,1
321 nHF
DQMR
XXXDQMDR
ET ⇒





=<===
Neste caso, o teste ANOVA permite verificar 
que, a proporção adicional da variação total 
que é explicada por X1 não é significativa 
Regressão Linear Múltipla
66Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
1. Incluir no modelo todos os regressores potenciais.
2. Retirar do modelo, um a um, regressores cuja presença não contribua 
para explicar uma proporção significativa da variação total
3. Prosseguir a tentativa de construção de modelos de ordem inferior 
adoptando um procedimento idêntico ao descrito.
Método Regressivo
Método Regressão Passo a Passo
Consistem em versões dos métodos progressivo e regressivo nas 
quais os regressores que tenham sido incorporados no modelo ou dele 
excluídos em passos anteriores são reexaminados
67Métodos Estatísticos de Previsão
2. Utilize o método de selecção de regressores para o exemplo:
Y 69 49 56 62 117 45 38 83
X1 60 90 95 100 180 85 80 230
X2 19 9 11 13 22 9 9 18
Regressão Linear Múltipla
68Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Linear Múltipla
ANOVA y=f(X1) ANOVA y=f(X1,X2)
df SS MS F V.P. df SS MS F V.P.
DR(X1) 1 2296.0 2296.0 6.2 0.047 DR(X1,X2) 2 4056.6 2028.3 21.9 0.003
R 6 2222.9 370.5 R 5 462.3 92.5
Total 7 4518.9 Total 7 4518.9
ANOVA y=f(X2) ANOVA y=f(X1,X2)
df SS MS F V.P. df SS MS F V.P.
DR(X2) 1 3837.4 3837.4 33.8 0.001 DR(X1,X2) 2 4056.6 2028.3
R 6 681.5 113.6 DR(X2) 1 3837.4
Total 7 4518.9 DR(X1|X2) 1 219.2 219.2 2.4 0.184
Residual 5 462.3 92.5
Total 7 4518.9
69Métodos Estatísticos de Previsão
Incorporação de regressores qualitativos: variáveis mudas
As variáveis mudas são incorporadas nos modelos de regressão com o objectivo 
de representar o efeito de factores qualitativos. 
Exemplo
Numa determinada empresa de artes gráficas existe uma secção dedicada ao 
fabrico de um tipo de cartões. Na figura representam-se, para essa secção, 
observações das variáveis 
X: dimensões de diferentes encomendas de cartões
Y: custos de produção associados à satisfação das encomendas.
Y 
X 
- com urgência+
- normal
+
+
+
+
+
+ +
As observações foram classificadas em 
encomendas satisfeitas em regime 
normal e encomendas satisfeitas com 
urgência. 
Regressão Linear Múltipla
70Métodos Estatísticos de Previsão
nnnnnnN EZX'E)ZZ()XX(Y +⋅γ+⋅β+α=+−⋅γ+−⋅β+α=
Com base na figura parece razoável adoptar o seguinte modelo
Em que Zn represente um variável muda que toma os seguintes valores



=
urgenteregimeopara,1
normalregimeopara,0Zn
Para representar adequadamente um factor com k níveis devem ser incluídas 
no modelo de regressão k - 1 variáveis mudas, por exemplo, para considerar 
três regimes de satisfação de encomendas
regime normal: Z1 = 0, Z2 = 1
regime urgente: Z1 = 1, Z2 = 0
regime muito urgente: Z1 = 1, Z2 = 1.



=
normalfornãoregimeose,1
normalforregimeose,0Z1



=
urgentefornãoregimeose,1
urgenteforregimeose,0Z2
No exemplo γ representa o valor esperado do custo adicional associado ao 
regime urgente.
nn22n11nn EZZX'Y +⋅γ+⋅γ+⋅β+α=
Regressão Linear Múltipla
71Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
• A técnica de regressão linear simples pode ser utilizada em modelos não-
lineares desde que os modelos sejam convertíveis em modelos lineares por 
aplicações de transformações às variáveis.
• Vamos considerar alguns exemplos de aplicação frequente.
Regressão Não-Linear
Método:
1. Transformar a variável X
2. Transformar a variável Y
3. Aplicar método de regressão linear às variáveis transformadas
72Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Não Linear
Uma relação deste tipo pode ser 
linearizada recorrendo à seguinte 
transformação da variável independente
n
n X
1U =
n
n
n EX
'Y:Modelo +β+α=
X
Y
nnn EU'Y:olinearizad.Mod +⋅β+α=
Exemplo 1
73Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Não Linear
Linearização através de uma 
transformação logarítmica da variável 
dependente )Yln(Z nn =
nnn EX'Z:olinearizad.Mod +⋅β+α=
nn EX'
n eY:lexponenciaModelo +⋅β+α=
X
Y
Exemplo 2
74Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Não Linear
nnn EU'Z:olinearizadMod. +⋅β+α=
linearização:
)Yln(Z nn =
n
n X
1U =
)0e0'com(eY:ScurvaModelo nn EX/'n <β>α= +β+α
XXXX
YYYY
Exemplo 3
75Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão
Entre uma variável dependente Y e uma variável independente X pode existir uma 
relação polinomial de grau J, que pode ser representada por um modelo do tipo:
Regressão Polinomial
n
JJ
nJ
22
n2n1n E)XX()XX()XX(Y +−⋅β++−⋅β+−⋅β+α= L
Onde ∑⋅=
n
nXN
1X ∑⋅=
n
2
n
2 X
N
1X ∑⋅=
n
J
n
J X
N
1X...
Este modelo designa-se por modelo de regressão polinomial simples e pode 
ser convertido num modelo de regressão linear múltipla fazendo corresponder 
a cada potência uma nova variável substituindo:
jn
j
n XXJ,,1jPARA == L
76Métodos Estatísticos de Previsão
Obtendo-se o modelo linearizado:
nJJnJ1n11n E)XX()XX(Y +−⋅β++−⋅β+α= L
O problema da escolha do grau do polinómio é equivalente ao problema da 
selecção de regressores anteriormente abordado.
Exemplo
X Y
1 55
2 70
3 75
4 65
5 60
2
n2n1n XXY ⋅β+⋅β+α=MODELO:
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
Regressão Polinomial
77Métodos Estatísticos de Previsão
nn 2211n XXY ⋅β+⋅β+α=obtendo-se o seguinte modelo:




≡
≡
2
2
1
XX
XXVamos definir as seguintes variáveis:




−=
=
⇔
⇔




−=⋅+⋅
=⋅+⋅
⇔




=⋅+⋅
=⋅+⋅
9.3b
1.24b
25374b60b
560b10b
SSbSb
SSbSb
2
1
21
21
yxxx2xx1
yxxx2xx1
22212
12111
0.36119.331.2465XX'ˆa 2211 =⋅+⋅−=⋅β−⋅β−α=α=
21Y x9.3x1.240.36ˆ n ⋅+⋅+=µ
X1=X X2=X2 Y
1 1 55
2 4 70
3 9 75
4 16 65
5 25 60
3x1 =
5N=
65y=11x2 =
10S
11xx
=
374S
22xx
=
60S
21xx
=
5S yx1 =
25S yx2 −=
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
Regressão Polinomial
78Métodos Estatísticos de Previsão
� O coeficiente de determinação ( ), que traduz a proporção da variação total de 
Y explicada pela regressão ajustada, corresponde ao coeficiente de correlação r 
elevado ao quadrado;� Este coeficiente apresenta uma limitação: o denominador da expressão que lhe 
está subjacente tem um valor fixo, enquanto que o numerador só pode aumentar. 
Assim, ao adicionar-se uma nova variável na equação da regressão, o 
numerador aumentará, no mínimo, ligeiramente, resultando num aumento do 
coeficiente de determinação, mesmo que a introdução da nova variável resulte 
numa equação menos eficiente;
� Em teoria, usando um número infinito de variáveis independentes para explicar 
a variação da variável dependente, resulta num igual a 1. Por outras palavras, 
o coeficiente de determinação pode ser manipulado, logo deve ser suspeitado;
2
XYR
2
XYR
Regressão Polinomial
79Métodos Estatísticos de Previsão
Regressão Polinomial
VR da liberdade de graus de n.º : 1-K-N
VT da liberdade de graus de totaln.º : 1-N
 regressão dagrau : K 
sobservaçõe de n.º : N
( ) 





−−
−
−−=
1
1
 . R11R 2
2
XY
KN
N
Coeficiente de Determinação Ajustado ( )2XYR
� Dado que a introdução de um regressor irrelevante aumentará ligeiramente o 
, é desejável tentar corrigi-lo, reduzindo-o de uma forma apropriada;
� O coeficiente de determinação ajustado, , é uma tentativa de tentar corrigir o 
, ajustando o numerador e o denominador da expressão através dos 
respectivos graus de liberdade;
� Contrariamente ao coeficiente de determinação, o coeficiente de determinação 
ajustado pode diminuir em valor se a contribuição da variável adicional na 
explicação da VT, for inferior ao impacto que essa adição acarreta nos graus de 
liberdade.
2
XYR
2
XYR
2
XYR
80Métodos Estatísticos de Previsão
3. Considere a seguinte série temporal, com 10 observações:
Regressão Não Linear
Com base nestes dados, efectue previsões dos valores de Zt (para t = 2007, 2008, 
2009 e 2010), recorrendo aos seguintes métodos:
i) regressão polinomial;
ii) regressão linear de variáveis transformadas.
Entre as previsões efectuadas pelos dois métodos quais adoptaria?
t 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 
Zt 100 120 200 307 351 456 690 796 955 1195