Completar quadrado

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Completar quadrado
Fonte:
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/11/completando-quadrado.html
Data de acesso: 03.05.2016
Quando estamos estudando equações, surgem em nossa frente as equações de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas. Matematicamente, essas equações são dadas por:
Essas equações levam esse nome por possuir uma incógnita com expoente de grau 2 e podem ser completas ou incompletas.
As equações quadráticas incompletas são mais práticas de serem resolvidas, pois não apresentam o termo da incógnita x ou o termo independente.
A equação quadrática acima não possui o termo independente c, ou seja, c = 0. Para encontrarmos suas raízes, colocamos a incógnita x em evidência:
Daqui segue que:
Outra forma incompleta da equação quadrática:
Neste caso basta isolar a incógnita:
As duas raízes acima são reais se –c/a > 0. Para a equação completa (1), se a equação for um quadrado perfeito, conseguiremos fatorá-la de modo que se apresente como:
O que nos leva a raiz dupla:
Se a equação não for um quadrado perfeito, aplicamos a fórmula resolvente da equação de segundo grau, também conhecida como fórmula de Bháskara:
Vale ressaltar que existe uma lógica por trás da expressão (2). Mas em geral, é um assunto desconhecido para muitos professores, que infelizmente, apenas ensinam os alunos a substituir as constantes a, b e c nesta expressão. Neste post, usaremos um processo chamado Completar Quadrado, transformando o membro da esquerda em um quadrado perfeito.
Vamos considerar a equação quadrática completa:
Dividimos toda a equação pelo coeficiente a, pois a ≠ 0, para obter:
Isolamos o termo independente no lado direito da equação:
Queremos que o membro da esquerda seja um quadrado perfeito. Para isso, devemos completar o quadrado, que se dá somando uma quantidade Q ao membro da esquerda da equação. Consequentemente, também devemos somar o mesmo valor no membro da direita para que a igualdade continue verdadeira.
Da Álgebra Elementar temos que:
ou em forma de palavras podemos dizer que “o quadrado da soma é igual ao quadrado primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”.
Comparando as expressões (3) e (4), vemos que o primeiro termo m é igual a xe o segundo termo n é igual b / 2a. Assim, para completar quadrados na expressão (3), o valor assumido por Q deverá ser:
Deste modo, obtemos:
O que nos leva a:
Notem que agora o membro da esquerda é um quadrado perfeito. Mas vejam que interessante: se extrairmos a raiz de ambos os lados da equação, obteremos:
Que é a fórmula para a equação de segundo grau.