AP2 Met EstI GABARITO OnLine

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Para as questões de 1 a 5, use o enunciado a seguir: 
Uma pesquisa realizada em uma escola revela a preferência de estudantes pré-vestibulandos à uma das áreas 
de ensino: ciências exatas, ciências humanas ou ciências biológicas de acordo com o sexo. A tabela abaixo 
informa o resultado desta pesquisa. 
 
 Área de interesse 
Total 
S
ex
o
 C. Exatas C. Humanas C. Biológicas 
Feminino 27 43 28 98 
Masculino 32 52 48 132 
Total 59 95 76 230 
 
Assuma que um destes estudantes pesquisados foi selecionado aleatoriamente. 
 
1) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele ser do sexo feminino? 
2) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele preferir a área de exatas e ser do sexo masculino? 
3) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele preferir a área de humanas ou ser do sexo feminino? 
4) (0,5 pt) Assumindo que o estudante sorteado é do sexo masculino, qual é a probabilidade de ele 
preferir ciências biológicas? 
5) (0,5 pt) Verifique se os eventos “ser do sexo feminino” e “preferir ciências exatas” são 
independentes. 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
E: O estudante prefere Ciências Exatas; 
H: O estudante prefere Ciências Humanas; 
B: O estudante prefere Ciências Biológicas; 
F: O estudante é do sexo feminino; 
M: O estudante é do sexo masculino. 
 
1) 
𝑃(𝐹) =
98
230
= 0, 𝟒𝟐𝟔𝟏. 
 
2) 
𝑃(𝐸 ∩𝑀) =
32
230
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟗𝟏. 
3) 
𝑃(𝐻 ∪ 𝐹) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝐹) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝐹) =
95
230
+
98
230
−
43
230
=
150
230
= 𝟎, 𝟔𝟓𝟐𝟐. 
4) 
𝑃(𝐵|𝑀) =
𝑃(𝐵 ∩𝑀)
𝑃(𝑀)
=
48
230
132
230
=
48
132
= 𝟎, 𝟑𝟔𝟑𝟔. 
5) Para que dois eventos sejam independentes, verificamos se a probabilidade da interseção é igual ao 
produto das probabilidades. 
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) =
27
230
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟕𝟑𝟗. 
𝑃(𝐹) × 𝑃(𝐸) =
98
230
×
59
230
=
5.782
52.900
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟑𝟎. 
Como 0,11739 ≠ 0,10930, então: 
 
“NÃO SÃO INDEPENDENTES.” 
 
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Para as questões de 6 a 8, use o enunciado a seguir: 
Os percentuais de atraso nas entregas das empresas de logística I, J e K, responsáveis por todas as encomendas 
feitas on-line da loja virtual “Subaquática” são de respectivamente, 23%, 12% e 17%. Sabendo que estas 
empresas são responsáveis por 23%, 44% e 33% respectivamente, das entregas da “Subaquática” e que uma 
entrega vai ser selecionada aleatoriamente para averiguação, determine: 
 
6) (0,5 pt) Qual a probabilidade de esta entrega ter sido feita pela empresa J ? 
 7) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta entrega ter chegado no prazo? 
8) (1,0 pt) Sabendo que esta entrega chegou com atraso, qual a probabilidade que ela tenha sido feita 
pela empresa K ? 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: A entrega chegou com atraso; 
I: A entrega foi feita pela empresa I; 
J: A entrega foi feita pela empresa J; 
K: A entrega foi feita pela empresa K. 
 
São dados do enunciado do problema: 
𝑃(𝐼) = 0,23, 𝑃(𝐽) = 0,44, 𝑃(𝐾) = 0,33 
𝑃(𝐴|𝐼) = 0,23, 𝑃(𝐴|𝐽) = 0,12, 𝑃(𝐴|𝐾) = 0,17. 
 
6) Como colocado no enunciado, 𝑃(𝐽) = 𝟎, 𝟒𝟒. 
 
7) Use o Teorema da Probabilidade Total. Para calcular a probabilidade de chegada no prazo, vamos 
calcular a probabilidade de atraso e depois verificar seu complementar. 
 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐼)𝑃(𝐴|𝐼) + 𝑃(𝐽)𝑃(𝐴|𝐽) + 𝑃(𝐾)𝑃(𝐴|𝐾) 
= (0,23 × 0,23) + (0,44 × 0,12) + (0,33 × 0,17) 
= 0,0529 + 0,0528 + 0,0561 = 0,1618. 
A probabilidade de chegada no prazo é o complemento da probabilidade de chegada em atraso. 
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,1618 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝟐. 
8) Use o Teorema de Bayes: 
𝑃(𝐾|𝐴) =
𝑃(𝐾)𝑃(𝐴|𝐾)
𝑃(𝐴)
=
0,33 × 0,17
0,1618
=
0,0561
0,1618
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟔𝟕. 
 
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Para as questões de 9 a 12, use o enunciado a seguir: 
As vendas diárias de carros em um determinada concessionária é uma variável aleatória discreta X com a 
seguinte distribuição de probabilidades: 
𝑋 0 1 2 3 4 
𝑃(𝑥) 0,1 0,2 0,4 0,15 0,15 
 
9) (0,5 pt) Qual a probabilidade de que em um dia sejam vendidos mais de 2 carros? 
10) (0,5 pt) Qual a média de vendas diária? 
11) (1,0 pt) Obtenha a função de distribuição acumulada; 
12) (1,0 pt) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 1|𝑋 < 4). 
 
Solução: 
9) 
𝑃(𝑋 > 2) = 𝑝(3) + 𝑝(4) = 0,15 + 0,15 = 𝟎, 𝟑𝟎. 
 
10) 
𝐸(𝑋) = (0 × 0,1) + (1 × 0,2) + (2 × 0,4) + (3 × 0,15) + (4 × 0,15) 
= 0 + 0,2 + 0,8 + 0,45 + 0,6 = 𝟐, 𝟎𝟓. 
 
11) A função de distribuição acumulada é dada por: 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). 
Assim, 
𝐹(0) = 0,1, 𝐹(1) = 0,3, 𝐹(2) = 0,7, 𝐹(3) = 0,85, 𝐹(4) = 1. 
Logo: 
 
𝐹(𝒙) =
{
 
 
 
 
𝟎, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎,
𝟎, 𝟏, 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏,
𝟎, 𝟑, 𝒔𝒆 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐,
𝟎, 𝟕, 𝒔𝒆 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑,
𝟎, 𝟖𝟓, 𝒔𝒆 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟒.
 
12) 
𝑃(𝑋 ≥ 1|𝑋 < 4) =
𝑃(1 ≤ 𝑋 < 4)
𝑃(𝑋 < 4)
=
𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3)
𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3)
=
0,75
0,85
= 𝟎, 𝟖𝟖𝟐𝟑𝟓. 
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Para as questões de 13 a 16, use o enunciado a seguir: 
De acordo com o Journal of Higher Education, 40% dos formandos do ensino médio, nos Estados Unidos, 
trabalham durante o verão para ganhar dinheiro para pagar as mensalidades do semestre na faculdade. 
 
13) (0,5 pt) Em um grupo de 6 alunos, qual é a probabilidade de no máximo 1 trabalhar durante o 
verão? 
14) (0,5 pt) Em um grupo de 5 alunos, qual é a probabilidade de todos trabalharem durante o verão? 
15) (0,5 pt) Em um grupo de 7 alunos, qual é a probabilidade de pelo menos 2 trabalharem durante o 
verão? 
16) (0,5 pt) Em um grupo de 50 alunos, quantos são esperados que trabalhem durante o verão? 
. 
Solução: 
Considere a variável X: Número de alunos que trabalham durante o verão. Então X segue uma distribuição 
Binomial com probabilidade de sucesso 𝑝 = 0,4. 
 
13) 𝑛 = 6. 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = (
6
0
) (0,4)0(0,6)6 + (
6
1
) (0,4)1(0,6)5 
= (1 × 1 × 0,046656) + (6 × 0,4 × 0,07776) 
= 0,046656 + 0,186624 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟐𝟖. 
14) 𝑛 = 5. 
𝑃(𝑋 = 5) = (
5
5
) (0,4)5(0,6)0 = 1 × 0,01024 × 1 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟒. 
 
 
15) 𝑛 = 7. 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] 
= 1 − [(
7
0
) (0,4)0(0,6)7 + (
7
1
) (0,4)1(0,6)6] 
= 1 − [(1 × 1 × 0,027994) + (7 × 0,4 × 0,046656)] 
= 1 − [0,027994 + 0,130637] = 1 − 0,1586304 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑𝟕. 
 
16) 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 50 × 0,4 = 𝟐𝟎.