AP3 Met EstI GABARITO OnLine

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
3ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Para as questões de 1 a 5, use o enunciado a seguir: 
O gerente de um mercado acha que a maioria de seus clientes gasta mais de 50 reais em 
qualquer visita feita à loja. Muito de seus preços são decididos com base nessa suposição. Ele então 
decide testar esta suposição com uma amostra de 20 clientes cujos gastos (em ordem crescente e 
arredondados em reais) são exibidos a seguir: 
 
44 45 45 46 48 49 49 50 50 50 
51 52 52 53 54 54 55 55 57 59 
 
Sabendo que: 
∑𝑥𝑖 = 1018 ∑ 𝑥𝑖
2 = 52138 𝑋 =
∑𝑥𝑖
𝑛
 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑥𝑖
2 − 𝑛𝑋
2
) 
 
1) (0,5 pt) Calcule o gasto médio 𝑋 por pessoa nesta loja. 
2) (0,5 pt) Calcule o desvio padrão 𝜎 dos gastos. 
3) (1,0 pt) Calcule a moda e a mediana. 
4) (1,0 pt) Obtenha os quartis 𝑄1 e 𝑄3. 
5) (0,5 pt) Calcule a amplitude total. 
 
Solução: 
1) 
𝑋 =
∑𝑥𝑖
𝑛
=
1018
20
= 𝟓𝟎, 𝟗. 
 
2) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 
𝜎 = √𝜎2 = √
1
𝑛
(∑ 𝑥𝑖
2 − 𝑛𝑋
2
) = √
1
20
(52138 − 20 × (50,9)2) 
= √
1
20
(52138 − 51816,2) = √
321,8
20
= √16,09 = 𝟒, 𝟎𝟏𝟏. 
 
3) A moda é o valor de maior frequência. Neste caso, a moda será o valor 50, que se repete 
três vezes. 
𝒙∗ = 𝟓𝟎. 
 
Para o cálculo da mediana, observemos que o tamanho da amostra é par. Então a mediana 
será a média entre os valores centrais. 
 
𝑄2 =
𝑥10 + 𝑥11
2
=
50 + 51
2
= 𝟓𝟎, 𝟓. 
 
4) Os quartis são a metade da primeira e da segunda parte. Como ambas as partes tem 
tamanho par, então os quartis são obtidos por médias: 
𝑄1 =
𝑥5 + 𝑥6
2
=
48 + 49
2
= 𝟒𝟖, 𝟓. 
𝑄3 =
𝑥15 + 𝑥16
2
=
54 + 54
2
= 𝟓𝟒. 
 
5) A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valores observados: 
Δ = 𝑥𝑚á𝑥 − 𝑥𝑚í𝑛 = 59 − 44 = 𝟏𝟓. 
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Para as questões 6 e 7, use o enunciado a seguir: 
 O gerente de RH de uma grande empresa descobriu que apenas 60% dos currículos 
recebidos atualmente são qualificados para ocupar uma posição na companhia. Uma revisão nos 
registros da empresa mostra que daqueles que foram qualificados, 67% possuem treinamento 
estatístico, enquanto apenas 20% daqueles que não foram qualificados possuem treinamento 
estatístico. Caso o gerente decida sortear um currículo aleatoriamente determine: 
6) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ele sortear um currículo que possui treinamento 
estatístico? 
7) (1,0 pt) Sabendo que o currículo sorteado é de alguém que possui treinamento estatístico, 
qual a probabilidade de ser qualificado para ocupar uma posição na companhia? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
Q: O Currículo está qualificado. 
T: O currículo possui treinamento estatístico. 
Temos as seguintes probabilidades do enunciado: 
𝑃(𝑄) = 0,6 𝑃(𝑄) = 0,4 𝑃(𝑇|𝑄) = 0,67 𝑃(𝑇|𝑄) = 0,2 
 
6) Usando o Teorema da Probabilidade Total 
𝑃(𝑇) = 𝑃(𝑄)𝑃(𝑇|𝑄) + 𝑃(𝑄)𝑃(𝑇|𝑄) 
= (0,6 × 0,67) + (0,4 × 0,2) = 0,402 + 0,08 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟐. 
 
7) Usando o Teorema de Bayes 
𝑃(𝑄|𝑇) =
𝑃(𝑄)𝑃(𝑇|𝑄)
𝑃(𝑇)
=
0,402
0,482
= 𝟎, 𝟖𝟑𝟒. 
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Para as questões de 8 a 11, use o enunciado a seguir: 
Os 500 empregados da Eletrônica e Montadora Saturno estão divididos entre gênero e 
modadlidade de acordo com a tabela a seguir: 
 
 Classificação dos Empregados 
Gênero Gerente Linha Auxiliar Total 
Homens 50 140 10 200 
Mulheres 120 150 30 300 
Total 170 290 40 500 
 
Se um empregado desta empresa for sorteado aleatoriamente para dar uma entrevista, determine a 
probabilidade de ele: 
8) (0,5 pt) ser do sexo feminino; 
9) (0,5 pt) ser um funcionário de linha do sexo masculino; 
10) (0,5 pt) ser homem ou auxiliar; 
11) (0,5 pt) ser gerente, dado que é do sexo feminino. 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
H: O funcionário é do sexo masculino; 
M: O funcionário é do sexo feminino; 
G: O funcionário é um gerente; 
L: O funcionário é de linha; 
A: O funcionário é um auxiliar. 
 
8) 
𝑃(𝑀) =
300
500
= 𝟎, 𝟔. 
9) 
𝑃(𝐿 ∩ 𝐻) =
140
500
= 𝟎, 𝟐𝟖. 
 
10) 
𝑃(𝐻 ∪ 𝐴) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝐴) =
200
500
+
40
500
−
10
500
=
230
500
= 𝟎, 𝟒𝟔. 
 
11) 
𝑃(𝐺|𝑀) =
𝑃(𝐺 ∩ 𝑀)
𝑃(𝑀)
=
120
500
300
500
=
120
300
= 𝟎, 𝟒. 
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Para as questões de 12 a 16, use o enunciado a seguir: 
10% dos CDs para computadores produzidos em um novo processo são defeituosos. Os CDs são 
armazenados em caixas com quantidades diferentes. Determine: 
12) (0,5 pt) A probabilidade de todos os CDs de uma caixa com 10 CDs estarem defeituosos; 
13) (0,5 pt) O número esperado de CDs defeituosos em uma caixa com 50 CDs; 
14) (0,5 pt) A probabilidade de pelo menos 2 CDs serem defeituosos em uma caixa com 8 
CDs; 
15) (0,5 pt) A probabilidade de um caixa com 12 CDs não ter CDs defeituosos; 
16) (0,5 pt) A probabilidade de no máximo 1 CD ser defeituoso em uma caixa com 5 CDs. 
. 
Solução: 
Seja X o número de CDs defeituosos, então 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛; 0,1). Para cada questão, um “n” 
diferente. 
12) 
𝑃(𝑋 = 10) = (
10
10
) (0,1)10(0,9)0 = 1 × 0,0000000001 × 1 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏. 
 
13) 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 50 × 0,1 = 𝟓. 
 
14) 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] 
= 1 − [(
8
0
) (0,1)0(0,9)8 + (
8
1
) (0,1)1(0,9)7] 
= 1 − [(1 × 1 × 0,430467) + (8 × 0,1 × 0,478297)] 
= 1 − [0,430467 + 0,382638] 
= 1 − 0,8131047 
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟔𝟖𝟗𝟓 
 
15) 
𝑃(𝑋 = 0) = (
12
0
) (0,1)0(0,9)12 = 1 × 1 × 0,28243 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟐𝟒𝟑. 
 
16) 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = (
5
0
) (0,1)0(0,9)5 + (
5
1
) (0,1)1(0,9)4 
= (1 × 1 × 0,59049) + (5 × 0,1 × 0,6561) = 0,59049 + 0,32805 
= 𝟎, 𝟗𝟏𝟖𝟓𝟒.