Guia TP7_Filtros IIR Soluções

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Sistemas de Processamento Digital 
 
Engenharia de Sistemas e Informática 
Ficha 7 
2005/2006 4.º Ano/ 2.º Semestre 
Projecto de Filtros Digitais 
IIR 
Projecto de Filtros IIR 
O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já 
sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser 
seguidas: 
Abordagem 1: 
• Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. 
• Aplicar uma transformação na frequência em s 
• Aplicar uma transformação de s para z. 
Abordagem 2: 
• Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. 
• Aplicar uma transformação de s para z. 
• Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da 
tranformação em z determinada anterirormente. 
ESCALA LINEAR RELATIVA 
Especificação de Ωp, ∈, Ωs e A: 
 
Relação com Rp e As na escala em dB: 
 
 
Relação com δ1 e δ2 da escala absoluta: 
 
 
 
 
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PROTOTIPOS 
BUTTER-WORTH – Passa – Baixo 
Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de 
corte. A sua resposta em frequência é: 
 
 
( )
2
2
1( )
1
c
a NH j Ω
Ω
Ω =
+
 
N é a ordem do filtro e Ωc a frequência de corte. 
 
 
Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de 
2( )aH jΩ , considerando só os pólos que se 
encontram no semi-plano esquerdo de s: 
( )( )
N
c
a
k
Polos
SPE
H j
s p
ΩΩ = −∏ com 2
(2 1) , 0,1,..., 2 1Nj k Nk cp e k N
π + += Ω = − 
 
 
Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As e determina-se a 
ordem N do filtro e a frequência Ωc de corte da seguinte forma: ( ) ( )
( )
10 10
10
10
log 10 1 10 1
2log
p sR A
p S
N
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= Ω Ω arredondado ao menor inteiro acima 
Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ωp ou Ωs pelo 
que, para satisfazer exactamente as especificações de Ωp ou de Ωs, Ωc deverá ser: 
para Ωp: ( )102 10 1p
p
c RN
ΩΩ =
−
, para Ωs: ( )102 10 1s sc AN
ΩΩ =
−
 
 
EXERCÍCIO 1 
Dado 2 6
1( )
1 64a
H jΩ = + Ω , determinar a função Ha(s) do filtro. 
 
Solução: 
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Matlab 
 
 
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EXERCÍCIO 2 
Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ωc = 0.5. 
 
Solução: 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 
Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; 
Solução: 
 
MATLAB 
 
 
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EXERCICIO 4 
Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab 
 
Solução: 
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CHEBYCHEV – Passa – Baixo 
Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev – Tipo I têm uma resposta plana na 
banda de corte ao passo que os Chebychev – II têm resposta plana na banda de passagem. 
Chebychev – I: 
 em que 
 
Chebychev – II: 
Este filtro está relacionado com o Tipo I através de uma simples transformação em que: 
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Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev – II passa por projectar primeiro o 
correspondente filtro Chebyshev – I e depois aplicar a transformação para Chebyshev – II. 
 
 Filtro Chebyshev –I Filtro Chebyshev –II 
 
Para obter Ha(s), determinam-se os pólos pk de 
2( )aH jΩ . Pode ser demonstrado que se pk=σk + jΩk, 
K=0, …, N-1 representar os pólos de 2( )aH jΩ localizados no semi-plano esquerdo de s, então: 
 
em que 
 
A função transferência obter Ha(s), é dada pela equação: 
( )( )a k
k
KH s
s p
= −∏ 
em que se determinando K de modo a que 
 
Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ωp, Rp, Ωs e As 
para determinar∈, Ωc e N: 
, , e 
a ordem N é dada por: 
 
 
EXERCICIO 5 
Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
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 Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; 
 
Solução 
 
 
MATLAB 
 
EXERCÍCIO 6 
Projectar o filtro Chebyshev-I passa-baixo do exercício 5 usando o Matlab. 
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Solução: 
 
 
 
 
 
MATLAB 
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EXERCICIO 7 
Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; 
 
Solução 
 
 
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FILTRO ELÍPTICO 
Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na 
banda de corte. A sua resposta em frequência é: 
 
onde N é a ordem do filtro, ∈ é o ripple na banda de passagem e UN(.) é a função 
jacobiana de ordem N. 
 
A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma: 
 onde e 
 
MATLAB 
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EXERCICIO 8 
Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: Ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: Ωs = 0.3π Ripple: As = 16 dB; 
 
Solução 
 
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TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL 
 
Transformação Impulso Invariante 
Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) projectando 
primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital 
pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante: 
1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: pp T
ωΩ = e ss T
ωΩ = 
2. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da 
utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As. 
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3. Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir Ha(s): 
 
4. Transformar os pólos pk analógicos em pólos digitais kp Te para se obter o filtro digital: 
 
 
EXERCÍCIO 9 
Transforme 2
1( )
5 6a
sH s
s s
+= + + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso 
Invariante, considerando T = 0.1. 
 
Solução 
 
EXERCÍCIO 10 
Implemente em MatLab a função imp_invr que implemente a Transformação Impulso Invariante. 
 
Solução 
 
 
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EXERCICIO 11 
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça 
as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs =0.3π Ripple: As = 16 dB; 
Solução: 
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EXERCICIO 12 
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça 
as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
 
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EXERCICIO 13 
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça 
as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
 
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EXERCICIO 14 
Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as 
seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
 
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Transformação Bilinear 
Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A 
Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação: 
 
Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se as 
seguintes relações: 
 e 
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que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um pré-
warping de ω. 
 
Dadas as especificações de um filtro digital ωp, ωs, Rp, e As, pretende-se determinar H(z) seguno os 
seguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear: 
1. Escolher o valor para T. Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1. 
2. Pré-warping das frequências ωp e ωs, determinando Ωp e Ωs através das funções: 
 
3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo Ha(s) através da 
utilização das especificações Ωp, Ωs, Rp, e As. 
4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição: 
 
 
EXERCICIO 15 
Transforme 2
1( )
5 6a
sH s
s s
+= + + num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear, 
considerando T = 1. 
Solução: 
 
MATLAB 
 
EXERCICIO 16 
Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear. 
Solução: 
 
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EXERCICIO 17 
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo 
Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
 
 
 
 
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EXERCICIO 18 
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo 
Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
 
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EXERCICIO 19 
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo 
Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
 
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Exercício 20 
Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo 
Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: 
 Limite da banda de passagem: ωp = 0.2π Ripple: Rp = 1 dB; 
 Limite da banda de corte: ωs = 0.3π Ripple: As = 15 dB; 
Solução: 
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