EDO NEXATA EqLINEAR

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS I UNIPAMPA-2014 PROF. DR. JORGE L. P. FELIX 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS I 
EDO DE 1a ORDEM 
 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL NÃO EXATA 
 
Se uma equação diferencial da forma 
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  é não exata 
quando 
M N
y x
 

 
 ( y xM N ) 
 
Nesse caso, determina-se um Fator 
Integrante ( , )x y de modo que ED seja 
Exata: 
 
 
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dy  
 
Logo temo novas funções: 
ˆ ( , ) ( , )M x y M x y 
 
ˆ ( , ) ( , )N x y N x y 
 
E verifica-se que: 
ˆ ˆ( ) ( )M N
y x
 

 
. 
 
 
Determinando o fator integrante: 
 
Se 
1 ( )M N g x
N y x
  
    
, uma expressão 
somente em x , então o fator Integrante é: 
 
( )g x dxe  
 
Se 
1 ( )N M h y
M x y
  
    
, uma expressão 
somente em y , então o Fator Integrante é: 
 
( )h y dye  
 
 
 
Algoritmo de Solução: seguir os seguintes 
passos: 
 
(I) Dada ED ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  , 
verifique que: 
M N
y x
 

 
 
 
(II) Calcule o fator integrante: ( , )x y 
 
(III) Multiplique o fator integrante na ED 
original e obter: 
 
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dy  
 
(IV) Integre e tem a solução: 
 
( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y M x y dx x y N x y dy C   
Atenção: o primeiro termo se integra em 
relação x enquanto y é constante. O segundo 
termo seria caso inverso do primeiro termo. 
Depois de integrar, Cancele o termo que se 
repete. 
 
Exemplo 1: 
 
Resolver ( 2 ) 0xy x dx dy    . 
Sol. 
 
(I) Identificando: ( , ) 2M x y xy x   e 
( , ) 1N x y  . Observe-se que não é exata já 
que: ( 2 ) (1)2 0xy x x
y x
   
   
 
. 
(II) 
 
1 ( 2 ) (0) 2
1
M N x x
N y x
    
      
, é uma 
expressão somente em x , então temos o fator 
integrante: 
22xdx xe e    . 
 
(III) Multiplicando a ED original por este 
fator integrante temos uma nova E. D. exata 
da forma: 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIPAMPA-2013 PROF. DR. JORGE L. P. FELIX 2
2 2 2
( 2 ) 0x x xxye xe dx e dy      . 
 
(IV) Integrante a equação do passo (III), 
resulta: 
 
2 2 2
( 2 )x x xxye xe dx e dy C       
 
2 2 21( )
2
x x xye e ye C     
Cancelando um termo que se repete, resulta a 
solução procurada: 
 
2 21( )
2
x xye e C   . Isolando y : 
21( )
2
xy e C  
2 1
2
xy Ce  . 
 
Exemplo 2. 
Resolver 2 2( 2 1) 0y dx y x xy dy    . 
Solução: 
(I) 2( , )M x y y e 2( , ) 2 1N x y y x xy   . 
2yM y e 
2 2xN y y  . Como y xM N , a 
ED Não Exata. 
(II) Determinando o fator integrante: 
 
2
2
1 2 2( ) 1x y
y y yh y N M
M y
 
    . 
1( ) dyh y dy ye e e
   . 
 
(III) Multiplicando este fator integrante na 
equação original não exata para dar Exata: 
 
2 2( 2 1) 0y ye y dx e y x xy dy    . 
 
Integrando a equação Exata acima: 
 
2 2( 2 1)y ye y dx e y x xy dy C     . 
Integrando cada termo, 
(A) 2 2y ye y dx e y x 
 
(B) 2( 2 1)ye y x xy dy  
Reescrevendo dentro do integral 
 2( 2 ) )y ye y y x e dy   ` 
 2( 2 )y ye y y x dy e dy    
 
2( 2 )y yx e y y dy e dy    
2( 2 )y yx e y y dy e   
Nesta ultima integral, resolver pelo método da 
integração por partes duas vezes e resulta, 
2 yxy e . 
Portanto, juntando as respostas de (A) e (B): 
2 2( 2 1)y ye y dx e y x xy dy C     
2 2y ye y x xy e C  
 
A solução geral seria: 2 yxy e C 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
1. Resolver 2 0y dx xydy  
Rpta: 
2 2
2
x y C . 
2. Achar a solução da E. D. 
 
2( ) 0y xy dx xdy   
 
3. Encontre a solução geral da E. D. 
 
2 2( ) ( 2 ) 0x y dx x x y dy    
 
4. Encontre a solução geral da E. D. 
 
2 2(2 ) (3 4 3 ) 0xy y y dx x xy x dy      
 
5. Determine o fator integrante em função de 
y da ED 26 5( ) 0dyxy x y
dx
   . 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 
 
São equações diferenciais da forma padrão 
( ) ( )dy P x y Q x
dx
  
 
Método de Resolução: 
 
 Quando aparecer uma ED linear da 
forma ( ) ( ) ( )dya x b x y g x
dx
  ponha 
 
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na forma padrão, identificando 
( )( )
( )
b xP x
a x
 e ( )( )
( )
g xQ x
a x
 . 
 Identifique ( )P x na forma padrão e 
então encontre o fator integrante 
( )P x dxe  
 
 Multiplique a forma padrão da 
equação pelo fator integrante. O lado 
esquerdo da equação resultante é 
automaticamente a derivada do 
produto do fator integrante por y : 
[ ] ( )d y Q x
dx
  . 
 
 Integre ambos os lados dessa ultima 
equação, obtém-se a solução geral: 
 
 1 ( )y Q x dx C  
ou 
 
 ( ) ( ) ( )P x dx P x dxy e e Q x dx C   
 
Exemplo 1: Resolver 22xy y x   . 
Sol. Dividir a ED por x , resulta: 
 
2y y x
x
   
 
Aqui ( ) 2 /P x x  . Determinando o fator 
integrante, temos 
 
22( ) lnP x dx dx x
x

     o fator 
integrante é 
2( ) ln 2
2
1P x dx xe e x
x
      . 
Multiplicando a equação diferencial por  , 
obtemos: 
2 3 12x y x y
x
     2 1( )d yx
dx x
  . 
Integrando ambos os membros em relação a 
x , temos 
2 1( )d yx dx dx
dx x
   
 
2 lnyx x c   . 
 
Finalmente a solução geral é 
 
2 (ln )y x x c  
 
Exemplo 2: Ache a solução geral de 
2( 9) 1dyx xy
dx
   . 
Escrevemos a equação diferencial na forma 
padrão 
 
2 2
1
( 9) ( 9)
dy x y
dx x x
 
 
 
 
e identificamos 2( ) ( 9)
xP x
x


 e 
2
1( )
( 9)
Q x
x


. O fator integrante é 
2
2 2
1 2 1 ln 92 2( 9) ( 9) 2 9
xdx xdx
xx xe e e x

      . 
 
Depois que multiplicarmos a forma padrão 
por esse fator, obteremos 
 
2 2
2
1[ 9 ] 9
9
d x y x
dx x
  

 
2
2
1[ 9 ]
9
d x y
dx x
 

 
 
Integrando ambos os lados da ultima equação, 
 
2
2
19
9
x y dx
x
 

 
 
usando a técnicas de integração do lado 
direito, obtemos a solução geral 
 
2 29 ln 9x y x x c     
ou 
 
2
2
1 [ln 9 ]
9
y x x c
x
   

 
 
definida para 3x  ou 3x   . 
 
 
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Exemplo 3: Resolva 2 1
1
dy y x
dx x
  

. 
 
Aplicando a fórmula 
 ( ) ( ) ( )P x dx P x dxu e e Q x dx C   
Com 2( )
1
P x
x
 

 e ( ) 1Q x x  , obtém-se 
2
2
2ln( 1) ln( 1) 21 ( 1)
dxPdx x xxe e e e x        
 
2
2
2ln( 1)1
ln( 1) 2( 1)
dxPdx xx
x
e e e
e x

  
 
  
  
 
 
substituindo essas expressões na fórmula 
solução, 
 
 2 2( 1) ( 1) ( 1)y x x x dx C     
 2 1( 1) ( 1)y x x dx C    ou 
2 1( 1)
( 1)
y x dx C
x
 
   
 
 
 
Integrando, obtém-se a solução geral: 
 2( 1) ln( 1)y x x C    
 
 
Equação de Bernoulli: 
 
É toda equação da forma: 
 
( ) ( ) ndy p x y q x y
dx
  
 
onde ( )p x e ( )q x são funções continuas e n 
uma constante qualquer. Para resolver a 
equação de Bernoulli, façamos a substituição: 
 
1 nz y  para 0n  e 1n  . 
 
A equação diferencial resultante será equação 
linear: 
 
[(1 ) ( )] [(1 ) ( )]dz n p x z n q x
dx
    
 
Neste caso identificamos ( ) (1 ) ( )P x n p x  e 
( ) (1 ) ( )Q x n q x  . 
 
Exemplo 4: Consideremos por exemploa 
equação diferencial: 2 2dyx y x y
dx
  . 
 
Reescrevendo na forma de Bernoulli: 
21dy y xy
dx x
  . 
Onde 1( )p x
x
 , ( )q x x e 2n  . Então 
nossa equação linear em z (onde 1z y ) 
seria 
 
1dz z x
dx x
    
 
Com 1( )P x
x
  e ( )Q x x  , então usando a 
formula solução da equação linear 
 
 ( ) ( ) ( )P x dx P x dxz e e Q x dx C   = 
 
= 
1 1
( )
dx dx
x xe e x dx C
     
  
  
 
= 
1 1dx dx
x xe e xdx C
   
  
  
 
=  ln lnx xe e xdx C  =  1ln xx e xdx C  
=  1x x xdx C  , então 
 
 z x x C   ou 2z x Cx   
como 1z y , temos 1y
z
 . Assim sendo, 
uma solução da equação dada é 
2
1y
x Cx

 
. 
 
Exemplo 5: Resolvendo a seguinte equação 
diferencial 
2 lndyx y y x
dx
  
Dividindo por x : 
 
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21 lndy xy y
dx x x
  
que é uma equação de Bernoulli. 
Tomando 1z y chegamos a uma ED 
linear em z da forma 
1 lndz xz
dx x x
   
com 1( )P x
x
  e ln( ) xQ x
x
  . 
Resolvendo 
 ( ) ( ) ( )P x dx P x dxz e e Q x dx C   
= 
1 1 lndx dxx x xe e dx C
x
         
  
 
dá 
 
ln 1 ln 1xz x C x Cx
x x
           
  
. 
Voltando à variável y ( 1
z
 ), tem-se 
finalmente: 
1
1 ln
y
x Cx

 
. 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
1. Resolva 44y y x
x
   ; R: 54
1
9
cy x
x
  
 
2. Resolva seny y x   
 R: 1 1sen cos
2 2
xy ce x x   
 
3. Resolva 3xdy y e
dx
  ; R: 31
4
x xy e ce  
 
4. Resolva 34dyx y x x
dx
   
 R: 3 41 1
7 5
y x x cx   
 
5. Resolva 2 ; (1) 0y y x y
x
    
 R: 2 21 ( )
4
y x x   
 
6. 2 ( 2) xx y x x y e    
 
7. (1 ) sen2xxy x y e x    . 
 
8. (3 sin 2 ) 0y x dx dy   
 
9. ( 1)sin 0y xdx dy   
 
10. 2( 1) 1x y y x    
 
11. 55 xy y e   
 
12. 22 3dyx y x x
dx
   
 
13. 
23 1/2 xx y y e   
 
Equação de Bernoulli 
 
14. Resolva 2y xy xy   
 R: 2 /2
1
1x
y
ce


 
 
15. Resolva 4 1/33y y x y
x
   
 R: 2/3 2 52
9
y cx x  
 
16. Resolva 6y xy x y   
 R: 
2 /4 2( 6)xy ce  
 
17. Resolva 9 52 ; ( 1) 2y y x y y
x
      
 R: 8 104
1 31 2
16
x x
y
   
 
18. Resolver: 22 xyy y e   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problemas Adicionais de Conceitos Básicos 
 
19. Quais das seguintes funções são soluções 
da equação diferencial 0y y   ? 
(a) xe , (b) senx , (c ) 4 xe , (d) 0, (e) 21 1
2
x  
 
20. Quais das seguintes funções são soluções 
da equação diferencial 4 4 xy y y e    ? 
(a) xe , (b) 2xe , (c) 2x xe e , (d) 2x xxe e , 
(e) 2x xe xe 
 
21. Determine, para cada uma das seguintes 
equações diferenciais, ordem, linearidade, 
função incógnita, variável independente. 
(a) 2( ) 3 0y yy xy    , (b) 4 (4) xx y xy e  
(c) 2 1 sent s ts t    
 
22. Verifique se a função dada é uma solução 
para cada equação diferencial. 
a) 1 1; lny y y x x
x
    
b) 
2
2 2
2 4 4 0; 
x xd y dy y y e xe
dx dx
     
 
c) 
2
2 2 5 0; cos 2
xd y dy y y e x
dx dx
    
 
d) 
2
2
125 5cos5 ; sen5
2
d y y x y x x
dx
   . 
 
23. Resolver as Equações Diferenciais de 
Primeira Ordem por qualquer método 
apropriado. 
 
a) 
2
2
2
6
dy y y
dx x x


 
 
 
b) 2( 1) (2 3) 0, (0) 1x dy x y dx y      
 
c) 4 23 ( cos ) 2xdyx y x e x x
dx
    
 
d) 2 2(3 4 ) (2 ) 0y xy dx xy x dy    
 
e) 
1/33 ln 1, : 2 ln 4
(1) 2, 0
xy y x
Rpta y x x
y x
   
  
  
 
 
24. Dada a ED: 2( 1) 0xe y dx dy    . 
Resolver pelos métodos de ED linear e ED 
não exata. Prove que pelos dois métodos leva 
a mesma solução geral. 
 
25. Pense Rápido: 
 
Qual das equações é correta? Justifique 
 
a) 1 cos tan
cos
xdx x C
x
  
 
b) 1 cos tan
cos cos
Cxdx x
x x
 