cal3na a1 Aurox

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 1
Objetivo do Ca´lculo em va´rias varia´veis: ferramentas para tratar problemas com va´rios
paraˆmetros - func¸o˜es em va´rias varia´veis.
Vetores. Um vetor (notac¸a˜o: ~A) possui uma direc¸a˜o e um comprimento (| ~A|), e e´ represen-
tado por um segmento de reta orientado. Em um sistema coordenado, um vetor e´ expresso
por componentes: no espac¸o, ~A = 〈a1, a2, a3〉 = a1ıˆ + a2ˆ + a3kˆ (lembre-se que no espac¸o o
eixo x aponta para a esquerda, o y para a direita e o z para cima).
Multiplicac¸a˜o por escalar. Fo´rmula para o comprimento?
A figura abaixo representa o vetor 〈3, 2, 1〉, de comprimento √14.
Em geral, voceˆ pode explicar porque | ~A| =
√
a21 + a
2
2 + a
2
3 por
reduc¸a˜o ao teorema de Pita´goras no plano. Para isso, desenhe
uma figura representando o comprimento | ~A| e sua projec¸a˜o no
plano xy, enta˜o deduza | ~A| a partir do comprimento da projec¸a˜o
e o teorema de Pita´goras.
Adic¸a˜o Vetorial. Ilustre um paralelogramo (de tal forma que as diagonais sejam ~A + ~B e
~A − ~B); a adic¸a˜o funciona componente a componente, e e´ verdade que ~A = 3ıˆ + 2ˆ + kˆ no
exemplo apresentado.
Produto Escalar. Definic¸a˜o: ~A · ~B = a1b1 + a2b2 + a3b3 (um escalar, na˜o um vetor).
Teorema: geometricamente, ~A · ~B = | ~A|| ~B| cos θ.
O teorema e´ explicado a seguir: primeiro, ~A · ~A = | ~A|2 cos 0 = | ~A|2 e´ consistente com a
definic¸a˜o. Agora, considere o triaˆngulo com lados ~A, ~B e ~C = ~A − ~B. Enta˜o a lei dos
cossenos nos afirma que |~C|2 = | ~A|2 + | ~B|2 − 2| ~A|| ~B|, ao mesmo tempo
|~C|2 = ~C · ~C = ( ~A− ~B) · ( ~A− ~B) = | ~A|2 + | ~B|2 − 2| ~A|| ~B|.
Consequ¨entemente, o teorema e´ a formulac¸a˜o vetorial da lei dos cossenos.
Aplicac¸o˜es.
1) Computando comprimentos e aˆngulos: cos θ =
~A · ~B
| ~A|| ~B| .
Exemplo: dado o triaˆngulo no espac¸o com ve´rtices P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) e R =
(0, 0, 2), encontre o aˆngulo em P :
cos θ =
−→
PQ · −→PR
|−→PQ||−→PR|
=
〈−1, 1, 0〉 · 〈−1, 0, 2〉√
2
√
5
=
1√
10
, θ ≈ 71, 5◦.
Note o sinal do produto escalar: positivo se o aˆngulo for menor que 90◦, negativo se o
aˆngulo for maior que 90◦ e zero se perpendicular.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 1 Summary
2
2) Detectando ortogonalidade.
Exemplo: o que e´ o conjunto de pontos onde x+ 2y + 3z = 0?
Resposta: um plano, o que pode ser visto usando o produto escalar: chame ~A = 〈1, 2, 3〉
e P = (x, y, z), enta˜o ~A · −→OP = x + 2y + 3z = 0 ⇔ | ~A| · |−→OP | cos θ = 0 ⇔ θ = pi/2 ⇔
~A⊥−→OP . Obtemos enta˜o o plano que passa por O com vetor normal ~A.