cal3na 04

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 04∗
Limites
As aproximac¸o˜es sa˜o um tema central em Ca´lculo: aproximar nu´meros irracionais por
frac¸o˜es; aproximar gra´ficos por retas tangentes; aproximar a´reas de figuras arbita´rias por
a´reas de retaˆngulos... Em qualquer caso, objetos pouco conhecidos sa˜o aproximados por
objetos bem conhecidos, e o problema e´ saber se essas aproximac¸o˜es podem ser tornadas ta˜o
boas quanto se queira. Esse passo, de tornar as aproximac¸o˜es ta˜o boas quanto se queira, e´ a
ideia central de limite, uma ideia que permeia toda a Matema´tica.
Lembrando: Limites em Uma Varia´vel
Como motivac¸a˜o, considere o problema de fabricar um comprimido que tenha o raio
r0 > 0 e a altura h0 > 0 como medidas ideais, de forma que o volume ideal seja V0 = πr
2
0h0.
No entanto, toda fabricac¸a˜o inclui erros, e tanto no raio quanto na altura. Se o volume real
do comprimido for muito menor do que o ideal, o comprimido pode na˜o ter o efeito esperado;
se for muito maior, pode ter um efeito prejudicial a` saude.
O problema do fabricante e´ enta˜o o de controlar os erros no raio e na altura de modo que
o erro no volume na˜o exceda a uma margem de toleraˆncia dada.
r0
r
Figura 1: Erro em r0
Para fixar ideias, suponha que na˜o haja erros na altura, de
forma que o erro no volume decorra apenas do erro no raio. Nesse
caso, se r > 0 e´ o raio real, enta˜o o volume correspondente e´ a
func¸a˜o V (r) = πr2h0, com V (r0) = V0. Os erros no raio e no
volume sa˜o dados por |r − r0| e |V (r)− V0| = πh0|r
2 − r20|, res-
pectivamente, e e´ claro que o segundo erro depende do primeiro.
Suponha agora que o erro no volume deve ser menor que a margem de toleraˆncia ǫ > 0,
isto e´, que |V (r)− V0| < ǫ. Nesse caso, o problema do fabricante e´ determinar uma margem
de seguranc¸a δ > 0 de modo que, se o erro no raio for inferior a δ, isto e´, se |r − r0| < δ,
enta˜o o erro no volume esta´ dentro da margem de toleraˆncia. Resumindo, dado ǫ > 0, deve-se
encontrar δ > 0 tal que
|r − r0| < δ =⇒ |V (r)− V0| < ǫ (1)
Para simplificar um pouquinho, suponha que o erro no raio
na˜o seja muito grande, por exemplo, que |r − r0| ≤
1
2
r0. Isso
significa que, em qualquer caso, o erro no raio e´ menor ou igual
a` metade do raio ideal. Com essa hipo´tese tem-se que
|r + r0| = |r − r0 + 2r0| ≤ |r − r0|+ 2r0 ≤
5
2
r0 , (2)
e da´ı segue-se que
r0−δ r0+δ
V0−ǫ
V0+ǫ
Figura 2
|V (r)− V (r0)| = πh0|r
2 − r20| = πh0|r + r0||r − r0| ≤ πh0
5
2
r0|r − r0| (3)
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Pronto! Isso ja´ responde ao problema do fabricante: dado ǫ > 0, basta escolher δ < 2ǫ
πh05r0
.
De fato, com essa escolha e da desigualdade acima tem-se que
|r − r0| < δ =⇒ |V (r)− V0| < πh0
5
2
r0δ < ǫ (4)
De acordo com a pro´xima definic¸a˜o, o que se fez acima foi mostrar que lim
r→r0
V (r) = V0.
Definic¸a˜o 1. Tem-se que lim
r→r0
V (r) = V0 se, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
|r − r0| < δ =⇒ |V (r)− V0| < ǫ
Em palavras, essa definic¸a˜o equivale a dizer que V (r) pode ser tornado ta˜o pro´ximo de
V0 quanto se queira (o valor de ǫ > 0 pode ser ta˜o pequeno quanto se queira), desde que r
esteja suficientemente pro´ximo de r0 (|r − r0| < δ, com δ > 0 suficientemente pequeno).
Limites em Va´rias Varia´veis
A definic¸a˜o de limite, dada acima no caso de func¸a˜o de uma varia´vel, e´ praticamente a
mesma para func¸o˜es de duas ou mais varia´veis.
r0 r
h0 h
Figura 3: Erros em r0 e h0
Para ilustrar essa afirmac¸a˜o considere mais uma vez o exemplo
do comprimido, mas agora supondo que o volume V (r, h) seja
func¸a˜o do raio r > 0 e da altura h > 0. Como antes, suponha
que r0 e h0 sejam as medidas ideais, de modo que o volume ideial e´
V (r0, h0) = πr
2
0h0. Os erros nas medidas sa˜o |r − r0| e |h − h0|,
e o correspondente erro no volume e´ |V (r, h)− V (r0, h0)|.
Suponha novamente que o erro no volume deve ser menor que a margem de toleraˆncia
ǫ > 0, isto e´, que |V (r, h) − V (r0, h0)| < ǫ. Nesse caso, o problema do fabricante agora e´
determinar uma margem de seguranc¸a δ > 0 de modo que, se os erros no raio e na altura
forem inferiores a δ, isto e´, se |r− r0| < δ e |h− h0| < δ, enta˜o o erro no volume esta´ dentro
da margem de toleraˆncia. Resumindo, dado ǫ > 0, deve-se encontrar δ > 0 tal que
|r − r0| < δ e |h− h0| < δ =⇒ |V (r, h)− V (r0, h0)| < ǫ (5)
A ideia e´ tratar separadamente as variac¸o˜es em r e h,
argumentanto da seguinte maneira: para comparar V (r, h) com
V (r0, h0), primeiro compara-se V (r, h) com V (r, h0), mantendo
r fixo e so´ considerando a variac¸a˜o em h; em seguida, compara-
se V (r, h0) com V (r0, h0), mantendo h0 fixo e so´ considerando
a variac¸a˜o em r. Essa ideia, conhecida como o “argumento da
esquina”, como ilustrado na Figura 4, pode ser implementado
usando a desigualdade
r0 r
h0
h
Figura 4
|V (r, h)− V (r0, h0)| = |V (r, h)− V (r, h0) + V (r, h0)− V (r0, h0)|
≤ |V (r, h)− V (r, h0)|+ |V (r, h0)− V (r0, h0)| (6)
Suponha agora, como anteriormente, que o erro no raio na˜o seja muito grande, por
exemplo, que |r− r0| ≤
1
2
r0. Com essa estimativa, pode-se argumentar exatamente como em
(2) para obter que
|V (r, h0)− V (r0, h0)| ≤ πh0
5
2
r0|r − r0| (7)
Ca´lculo III Notas da Aula 04 2/5
Ale´m disso, da hipo´tese de que o erro no raio na˜o seja muito grande, segue-se que
|r| = |r − r0 + r0| ≤ |r − r0|+ |r0| ≤
3
2
r0 (8)
e usando essa estimativa obte´m-se que
|V (r, h)− V (r, h0)| = π|r
2h− r2h0| = πr
2|h− h0| ≤ π
9
4
r20|h− h0| (9)
Finalmente, substituindo (7) e (9) em (6) obte´m-se
|V (r, h)− V (r0, h0)| ≤ πh0
5
2
r0|r − r0|+ π
9
4
r20|h− h0|
≤ πK(|r − r0|+ |h− h0|) (10)
onde a constante K e´, por exemplo, a soma K = h0
5
2
r0 +
9
4
r20.
Pronto! Isso ja´ responde ao problema do fabricante: dado ǫ > 0, basta escolher δ < ǫ
2πK
.
De fato, com essa escolha e da desigualdade acima tem-se que
|r − r0| < δ e |h− h0| < δ =⇒ |V (r, h)− V (r0, h0)| ≤ πK(δ + δ) < ǫ (11)
O que se fez acima foi mostrar que lim
(r,h)→(r0,h0)
V (r, h) = V (r0, h0), de acordo com a
definic¸a˜o
Definic¸a˜o 2. Tem-se que lim
(r,h)→(r0,h0)
V (r, h) = V (r0, h0) se, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
|r − r0| < δ e |h− h0| < δ =⇒ |V (r, h)− V (r0, h0)| < ǫ
Agora fica mais claro o que foi dito acima, que a definic¸a˜o de limite e´ praticamente a
mesma em uma, duas ou mais varia´veis. Em qualquer caso, dada uma margem de toleraˆncia
ǫ na imagem, deve-se determinar uma margem de seguranc¸a δ no domı´nio de modo que, se
todas as varia´veis estiverem dentro da margem de seguranc¸a, enta˜o a margem de toleraˆncia
sera´ atendida.
r0 r
h0
h
|r − r0|
|h
−
h
0
|
‖P
−
P0
‖
Figura 5
A semelhanc¸a entre os casos de uma ou mais varia´veis pode ser
tornada ainda melhor se for introduzida a distaˆncia entre os pontos
P = (r, h) e P0 = (r0, h0). De fato, como
‖P − P0‖ =
√
|r − r0|2 + |h− h0|2 (12)
tem-se que ‖P − P0‖ e´ pequeno se, e somente se, |r− r0| e |h− h0|
sa˜o pequenos. Usando essa equivaleˆncia, segue-se que a Definic¸a˜o 2
e´ equivalente a
Definic¸a˜o 3. Tem-se que lim
P→P0
V (P ) = V (P0) se, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
‖P − P0‖ < δ =⇒ |V (P )− V (P0)| < ǫ
Agora sim, comparando-se as definic¸o˜es 1 e 3, percebe-se que, conceitualmente, elas sa˜o
as mesmas. A diferenc¸a e´ apenas em relac¸a˜o a` distaˆncia, igual ao mo´dulo |r− r0| no caso de
uma varia´vel e igual a` norma ‖P − P0‖ no caso de duas varia´veis. E´ claro que a definic¸a˜o
sera´ a mesma no caso de treˆs ou mais varia´veis, e portanto na˜o sera´ necessa´rio aprender nada
de novo.
O pro´ximo exemplo usa limites para estudar o comportamento de uma func¸a˜o na vizi-
nhanc¸a deum ponto que na˜o esta´ no domı´nio da func¸a˜o.
Ca´lculo III Notas da Aula 04 3/5
Exemplo 1. Sejam D = R2\{O}, P0 = O e f : D → R a func¸a˜o dada por
f(x, y) =
3x3
x2 + 2y2
.
Decidir quanto a` existencia do limite lim
P→P0
f(P ).
Soluc¸a˜o. A dificuldade do exemplo e´ que, a` medida que P = (x, y) se aproxima de
P0 = (0, 0), o denominador se aproxima de zero e, em princ´ıpio, a func¸a˜o poderia tornar-se
ilimitada nas vizinhanc¸as de P0.
Um forma de descobrir o comportamento da func¸a˜o e´ estuda´-la ao longo de retas que
passam por P0. Por exemplo, ao longo do eixo Ox, a func¸a˜o e´ f(x, 0) = 3x
3/x2 = 3x, e
portanto f(x, 0)→ 0 quando x→ 0. Analogamente ao longo do eixo Oy. Tambe´m ao longo
das retas y = mx, com m ∈ R, tem-se que f(x,mx) = 3x/(1 + 2m2)→ 0 quando x→ 0.
Esse comportamento sugere que lim
P→P0
f(P ) = 0. E, de fato, tem-se que
|f(P )− 0| =
∣
∣
∣∣
3x3
x2 + 2y2
− 0
∣
∣
∣∣ = 3|x|
x2
x2 + 2y2
≤ 3|x| (13)
uma vez que x2/(x2 + 2y2) ≤ 1. Mais ainda, como |x| ≤
√
x2 + y2 = ‖P‖ = ‖P − P0‖,
da desigualdade acima segue-se que
|f(P )− 0| ≤ 3|x| ≤ 3‖P − P0‖ (14)
Agora e´ claro que, dado ǫ > 0, basta escolher δ = ǫ/3 para se ter que
P ∈ D e ‖P − P0‖ < δ =⇒ |f(P )− 0| ≤ 3‖P − P0‖ < ǫ (15)
Assim, de acordo com a Definic¸a˜o 3, tem-se que lim
P→P0
f(P ) = 0. Figura 6
A figura ao lado ilustra o gra´fico da func¸a˜o. �
Exemplo 2. Decidir quanto a` existencia do limite lim
P→P0
f(P ) no caso em que P0 = O e
f : D → R e´ a func¸a˜o
f(x, y) =
−xy
x2 + y2
.
definida em D = R2\{O}.
Soluc¸a˜o. Observe que a func¸a˜o e´ identicamente nula tanto ao longo do eixo Ox quanto do
eixo Oy, uma vez que f(x, 0) = f(0, y) = 0 para quaisquer x 6= 0 e y 6= 0. Assim, para
que exista o limite, o valor e f(x, y) deve estar pro´ximo de 0 para todos os pontos (x, y)
suficientemente pro´ximos de (0, 0).
Figura 7
No entanto, ao longo da reta y = x, a func¸a˜o e´ constante e igual
a f(x, x) = −1/2. Isso significa que existem pontos ta˜o pro´ximos
de (0, 0) quanto se queira nos quais a func¸a˜o fica longe de 0, e a
conclusa˜o e´ que o limite na˜o existe!
Em geral, ao longo da reta y = mx, a func¸a˜o e´ constante e igual
a f(x,mx) = −m/2. Como esse valor que depende da inclinac¸a˜o m
da reta, segue-se que na˜o existe o limite lim
P→P0
f(P ).
Esse comportamento pode ser percebido por meio do gra´fico da func¸a˜o, ilustrado acima.
�
O que de fato foi usado no exemplo acima e´ o seguinte: ao longo de retas distintas a
func¸a˜o tem limites distintos, e portando na˜o existe o limite lim
P→P0
f(P ). E´ claro que esse
Ca´lculo III Notas da Aula 04 4/5
crite´rio pode ser usado em outros exemplos, e na˜o e´ necessa´rio que sejam retas, podendo ser
escolhidos quaisquer dois caminhos que passam pelo ponto P0. Isso fornece um crite´rio para
a na˜o existencia do limite, como enunciado abaixo:
Regra dos dois caminhos: Se, ao longo de dois caminhos distintos que passam por P0, a
func¸a˜o f possui limites distintos, enta˜o na˜o existe o limite lim
P→P0
f(P ).
Em geral, no estudo de um limite lim
P→P0
f(P ), o primerio passo e´ estudar a func¸a˜o ao longo
de retas que passam por P0. Se P0 = (x0, y0), essas retas sa˜o da forma y = y0 +m(x − x0),
e deve-se estudar se existem os limites em uma varia´vel limx→x0 f(x, y0 + m(x − x0)). Se
um desses limites na˜o existe, ou se existem mas dependem da inclinac¸a˜o m da reta, enta˜o
na˜o existe o limite lim
P→P0
f(P ). Caso todos esses limites existam e sejam todos iguais, vale
tentar outros caminhos, como para´bolas, ra´ızes, ou outros quaisquer caminhos. Se forem
encontrados dois caminhos com limites distintos, enta˜o o limite lim
P→P0
f(P ) na˜o existe.
Mas, atenc¸a˜o: se, ao longo de todos os caminhos que forem tentados, os limites existirem
e forem iguais, isso na˜o significa que o limite lim
P→P0
f(P ) exista. De fato, sempre se pode
escolher um caminho diferente dos que ja´ foram tentados e, ao longo do qual, a func¸a˜o pode
ter limite diferente. Esta situac¸a˜o esta´ ilustrada no exemplo a seguir.
Exemplo 3. Decidir quanto a` existencia do limite lim
P→P0
f(P ) no caso em que P0 = O e
f : D → R e´ a func¸a˜o
f(x, y) =
2x2y
x4 + y2
.
definida em D = R2\{O}.
Soluc¸a˜o. Tem-se que f(x, 0) = f(0, y) = 0 para quaisquer x 6= 0 e y 6= 0, e portanto a
func¸a˜o se anula ao longo dos eixos. Tambe´m ao longo das retas y = mx tem-se que
lim
x→0
f(x,mx) = lim
x→0
2x2(mx)
x4 + (mx)2
= lim
x→0
2mx
x2 +m2
= 0.
Assim, ao longo de todas as retas, o limite existe e e´ igual a zero.
Mas na˜o se pode concluir da´ı que o limite lim
P→P0
f(P ) exista!!
De fato, ao longo da para´bola y = x2, tem-se que
lim
x→0
f(x, x2) = lim
x→0
2x2(x)2
x4 + (x2)2
= 1.
Daqui e da regra dos dois caminhos segue-se enta˜o que o limite
lim
P→P0
f(P ) na˜o existe. A figura ao lado ilustra o gra´fico da func¸a˜o. Figura 8
�
De uma maneira geral, estudar a func¸a˜o ao longo de caminhos, usando o limite em uma
varia´vel, e´ importante para mostrar que o limite na˜o existe, como na regra dos dois caminhos.
No entanto, estudar a func¸a˜o ao longo de caminhos na˜o ajuda muito para mostrar que
o limite existe. Pode acontecer de o limite ser igual ao longo de va´rios caminhos, e parecer
que o limite em duas varia´veis existe. No entanto, como na˜o se conhece “todos” os caminhos,
pode existir algum outro caminho em que o limite e´ diferente! Assim, para mostrar que o
limite existe, deve-se usar a definic¸a˜o. Pode-se ainda usar as propriedades do limite, como
indicado na pro´xima aula.
Ca´lculo III Notas da Aula 04 5/5