Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 15 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 5) Derivada das Funções 5.1) Incrementos e Razão Incremental Seja y = f (x) uma função real de variável real, contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os números reais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si, isto é, |x2 – x1| < δ ou x2 – x1 tende a zero. Nestas condições são aceitas as seguintes definições: 1) Incremento da variável independente x: A variável independente x pode variar, aumentar ou diminuir de x1 até x2, variação esta, denominada incremento ou acréscimo da variável x, indicada por: ∆x = x2 – x1. 2) Incremento da função y = f (x) A função ou variável dependente y pode variar de f (x1) até f (x2), variação esta denominada aumento ou acréscimo da função y = f (x), o qual é indicado por: ∆y = f (x2) – f (x1). 3) Razão Incremental da y = f (x) Denomina-se razão incremental da função y = f (x) a razão entre os incrementos ∆y e ∆x → ∆ ∆ x y . ( ) ( ) ( ) ( ) x xfxxf x y xxx x xfxf x y 11 12 12 ∆ −∆+ = ∆ ∆ ∆+= ∆ − = ∆ ∆ Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 16 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4) Derivada de uma Função y = f (x) Seja y = f (x) definida e contínua em um dado intervalo real, denomina-se função derivada ou derivada de y = f (x) a função que se obtém através do limite da razão incremental de y = f (x) quando o incremento da variável independente x tende a zero. Tal função é indicada por: y’; f ’ (x); dx dy ; dx df ; ( ) dx )x(fd . ( ) x )x(fxxflim x ylim)x('f 0x0x ∆ −∆− ⇒ ∆ ∆ = →∆→∆ Se este limite existir e for finito. Exemplos: 1) Seja f (x) = x2 determine f ’(x). ( ) 0 0 x )x(fxxflim)x('f 0x = ∆ −∆+ = →∆ indeterminação ( ) ( ) ( ) ( ) x2 0x2 xx2lim x xx2.xlim x xxxx2xlim x xxxlim)x('f xxxxf x)x(f 0x 0x 222 0x 22 0x 2 2 = += ∆+= ∆ ∆+∆ = ∆ −∆+∆+ = ∆ −∆+ = ∆+=∆+ = →∆ →∆ →∆ →∆ ( ) ( ) x2x'fxxf 2 =→= Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 17 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2) ( ) xaxf = ( ) ( ) ( ) ( ) aln.a aln u 1alim:Lembrar x 1alim.a x aa.alim)x('f a.aa)xx(f a)x(f x xfxxflimx'f x u 0u x 0x x xxx 0x xxxx x 0x = = − ∆ − = ∆ − = ==∆+ = ∆ −∆+ = → ∆ →∆ ∆ →∆ ∆∆+ →∆ aln.a)x('f x= 3) xlog)x(f a= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) elog x 1 elog eu1lim:Lembrar 1 x x1limlog x x1loglim x xxlog x 1lim x xlogxxlog lim)x('f xxlogxxf xlog)x(f x )x(fxxflim)x('f a x 1 a u 1 0u x 1 0xa x 1 a0x a0x aa 0x a a 0x = =+ →= ∆ += ∆ += ∆+ ∆ = ∆ −∆+ = ∆+=∆+ = ∆ −∆+ = → ∞ ∆ →∆ ∆ →∆ →∆ →∆ →∆ Indeterminação Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 18 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivada de uma função y = f (x) em um ponto x = x0 Seja y = f (x) contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D. Denomina-se derivada de f (x) no ponto x0 ao limite: 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 − − → . Notação: ( ) 0xx 0 dx dy x'f = = Exemplos: 1) Seja f(x) = x3, determinar a derivada de f no ponto que x0 =1. ( ) 31xxlim 1x 1xlim1'f 2 1x 3 1x =++= − − = → → ( ) 31'f = 2) Seja f (x) = sen x, determinar a derivada de f no ponto que x0 = 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x xsenlim 0x 0xsenlim0'f 00sen0f xx xfxf limx'f 0x 0x 0 0 0x0 == − − = == − − = → → → ( ) 10'f = x 3 - 1 x-1 -x 3 + x2 x2 +x +1 x 2 - 1 -x 2 + x x - 1 -x + 1 0 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 19 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3) ( ) 3 xxf = para x0 = 0. ( ) +∞== = = = = = − − = + → − → − → → → → 0 1 x 1lim xlim x.xlim x xlim x xlim 0x 0xlim0'f 3 20x 3 2 0x 13 1 0x 3 1 0x 3 0x 3 0x ( ) ∃=0'f Teorema da Existência da Derivada em um Ponto Existirá a derivada de uma função y = f (x) definida e contínua em um ponto x0 se e somente se as derivadas laterais no ponto de abcissa x0 forem iguais, isto é: Derivadas Laterais ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 xx0 0 xx0 0 xx 000 0 0 xx 0 0 0 xx 0 xx )x(f)x(f lim xx )x(f)x(f lim xx )x(f)x(f lim .x'fx'fsesomenteeseexistiráx'f xx )x(f)x(f limx'f xx )x(f)x(f limx'f 000 0 0 − − = − −∃⇔ − −∃ = − − =∗ − − =∗ −+ + − →→→ +− → + → − . Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 20 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Exemplo: 1) Verificar se existe a derivada de f (x) = |x| em x0 = 0. ( ) ( ) ∃== − − = − − = <− ≥ =∗ → → → x x lim 0x 0x lim 0x )x(f)x(f lim0'f 0xsex 0xsex xf 0x 0x 0 0x diferentessão 11lim x xlim x x lim 11lim x xlim x x lim 0x0x0x 0x0x0x −=−= − =∗ ===∗ −−− +++ →→→ →→→ ( ) ∃=0'f Interpretação Geométrica da Derivada Seja y = f (x) uma função contínua e derivável em um domínio D. tangente α x y ∆x x0+∆x x0 f (x0) f (x0+∆x) β Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 21 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α= ∆ −∆+ • β= ∆ −∆+ • ∆ −∆+ = →∆ →∆ tan x xfxxf lim tan x xfxxf x xfxxf limx'f 00 0x 00 00 0x0 Equação da Reta Tangente à curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0)( ) ( )0 000 x'fm y,xP = ( )00 xx.myy −=− Exemplo: 1) Determinar a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto onde x0 = 2. ( )4,2P )y,x(P 0 000 ( ) ( ) ( ) 4m 42.22'f x2x'f 2'fm = == = = Observação: A derivada de uma função y = f (x) em um ponto é um número que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0. Equação da Reta Normal a uma curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0) ( )00 xx. m 1yy −−=− onde, m = f ’(x0) ( ) ( ) 8x44y 2x44y xxmyy 00 −=− −=− −=− 04x4y =+− → Equação da reta tangente Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 22 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Exemplo: 1) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação y = x3 onde x0 = 1. ( ) 3m 3 1x 1xlim dx dy m 1,1P 1y1x 3 1x1x 0 00 0 =∴ = − − ⇒= ∴ =→= → = Álgebra das Derivadas Suponha que u = h (x) , y = f (x) e z = g (x) em que: � � � zyu (x) g (x) f (x)h += (Derivada da Soma) ( ) ( ) ( ) ∆+=∆+ ∆+=∆+ ∆+=∆+ xxgzz xxfyy xxhuu Demonstração: zyu += ( ) zyuse dx dz dx dy dx du x zlim x ylim x ulim x z x y x u xzyu zyzzyyu zyu:doSubstituin uzzyyu zzyyuu 0x0x0x +=∗ += ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆÷∆+∆=∆ −−∆++∆+=∆ −−=−∗ −∆++∆+=∆ ∆++∆+=∆+ →∆→∆→∆ 'z'y'u += Equação da reta normal ( ) 1x3y3 3 1 x 3 11y xx m 1yy 00 +−=− +−=− −−=− 04xy3 =−+ � A derivada da soma ou da diferença é a soma ou a diferença das derivadas. Equação da reta tangente ( ) ( ) 3x31y 1x31y xxmyy 00 −=− −=− −=− 02x3y =+− Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 23 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Exemplo: 1) y = x2 + ax y’ = 2x + ax. ln a Derivada do Produto ( ) ( ) zyuse dx dz0 dx dy z dx dzy dx du 0y0xquandoxxfyy x zlimy x ylimz x zlimy x ulim x zy x yz x zy x u xzyyzzyu yzzyyzzyyzu yz)zz()yy(u zyu:doSubstituin u)zz()yy(u )zz()yy(uu zyu 0x0x0x0x ⋅=∗ ++= →∆→∆∆+=∆+∗ ∆ ∆∆+ ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆÷∆∆+∆+∆=∆ −∆∆+∆+∆+=∆ −∆+⋅∆+=∆ ⋅−=−∗ −∆+⋅∆+=∆ ∆+⋅∆+=∆+ ⋅= →∆→∆→∆→∆ 'yz'zy'u ⋅+⋅= Exemplo: 1) y = x2 . ax y’ = x2.ax.lna + ax.2x Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 24 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivada do Quociente z y use dx dzy dx dy z z 1 dx du x zlimy x ylimz z 1 x ulim 0z0xquando0zz )zzz(x zyyz x u )x()zz(z zyyz u )zz(z zyyzyzzy u )zz(z )zz(y)yy(z u z y zz yy u u zz yy u zz yy uu z y u 2 0x0x20x 2 =∗ −= ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ ∆ →∆→∆=∆∗ ∆+∆ ∆+∆ = ∆ ∆ ∆÷ ∆+ ∆+∆ =∆ ∆+ ∆+−∆+ =∆ ∆+ ∆+−∆+ =∆ − ∆+ ∆+ =∆ − ∆+ ∆+ =∆ ∆+ ∆+ =∆+ = →∆→∆→∆ 2z 'zy'yz 'u ⋅−⋅ = Exemplo: 1) x 2 a xy = ( )2x x2x a aln.a.xx2.a 'y −= Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 25 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivada das Funções Elementares 0 x kk x )x(f)xx(flim)x('f k)x(f 0x = ∆ − = ∆ −∆+ = =∗ →∆ 0)x('f = ( ) ( ) ( ) 1 x xxxlim)x('f xxxxf x)x(f x xfxxflim)x('f 0)x(f 0x 0x = ∆ −∆+ = ∆+=∆+• =• ∆ −∆+ = =∗ →∆ →∆ ( ) 1x'f = ( ) ( ) ( ) 1n n n n 0x n n 0x n n n n 0x n n n n n n nn 0x n x.nn x x n x 1 x x x 1 1 x x1 lim x 1 x x 1 x xx limx x x x xx x limx'f x xx x x xxx)xx( )xx()xx(f x)x(f x xxxlim)x('f x)x(f − →∆ →∆ →∆ →∆ === ∆ − ∆ + = ∆ − ∆+ = ∆ − ∆+ = ∆+ = ∆+ =∆+ ∆+=∆+• =• ∆ −∆+ = =∗ ( ) 1nx.nx'f −= ( ) ( ) a.k u 1u.k1lim a u 1u1lim Lembrar a 0u a 0u = −+ • = −+ • → → Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 26 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Exemplos: 1) f (x) = x5 f ’(x)= 5 . x4 2) f (x) = x –3 f ’(x)= -3 . x -4 3) 55 xx 1)x(f −== f ’(x) = -5 . x –6 Formulário de Derivadas 1) y = k → y’ = 0 2) y = x → y’ = 1 3) y = xn → y’ = n.x n-1 4) y = ax → y’ = ax.lna 5) aln.x 1 'yalogy x =→= 6) y = ln x → y’ = x 1 7) y = sen x → y’ = cos x 8) y = cos x → y’ = - sen x 9) y = tan x → y’ = sec2 x 10) y = cot x → y’ = - cossec2 x 11) y = sec x → y’ = sec x . tan x 12) y = cossec x → y’ = - cossec x . cot x Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 27 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Demonstrações Fórmula 5: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) alog 1 x 1 x'f elog x 1 x'f elogx'f x x1loglimx'f x xxlog x 1limx'f x xlogxxlog limx'f xxlogxxf xlogxf e a x 1 a e x 1 a0x a0x aa 0x a a x 1 = = = ∆ += ∆+ ∆ = ∆ −∆+ = ∆+=∆+ = ∆ →∆ →∆ →∆ �� ��� �� ( ) aln.x 1 x'f = Fórmula 7: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xcos0xsenx'f xcos x 1xcoslimxsenx'f x xcos.xsen x 1xcosxsenlimx'f x xsenxcos.xsenxcos.xsenlimx'f xxsenxxf xsenxf 0x xcos 0x 0x +⋅= + ∆ −∆ ⋅= ∆ ∆ + ∆ −∆ = ∆ −∆+∆ = ∆+=∆+ = →∆ = →∆ →∆ ������� ( ) xcosx'f = ( ) ku1 0u eku1lim Lembrar =+ → Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 28 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL Fórmula 9: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xcos 1 x'f xcos xsenxcos x'f xcos xsen.xsenxcos.xcos x'f v 'uv'vu 'y v uySe xcos xsen xtanxf 2 2 1 22 2 2 = + = −− = − =→=∗ == = �� upcurlybracketright�� upcurlybracketmidupcurlybracketleft ( ) xsecx'f 2= Fórmula 11: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xcos.xcos xsen x'f xcos xsen x'f xcos xsen0 x'f xcos xsen10.xcos x'f xcos 1 xf xsecxf 2 2 2 = = + = −− = = = ( ) xsec.xtanx'f = Propriedades 1) y = k . v → y’ = k . v’ 2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’ 3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’ 4) y = 2v 'vu'uv 'y v u ⋅−⋅ =→ Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 29 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivada das Funções Compostas Seja a função composta y = h (x) = fog = f (g(x)) sendo g derivável em relação a x e f derivável em relação a g (x). Nessas condições demostra-se que a derivada dessa função ( ) ( ) )x('g)x(g'fx'h = . Sendo u = g (x) e y = f (u), dx du du dy dx dy ⋅= → Regra da Cadeia Generalização da Regra da Cadeia para Derivada das Funções Compostas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = xfv vfw wfu ufy xfy 4 3 2 1 dx dv dv dw dw du du dy dx dy ⋅⋅⋅= → Regra da Cadeia Exemplos: 1) 1x2ey += x2e dx dy dx du du dy dx dy x2 dx du1xu e du dy ey 1x 2 uu 2 ⋅= ⋅= =→+= =→= + 2) ( )x5xseny 3 += dx du du dy dx dy 5x3 dx du x5xu ucos du dy useny 3 ⋅= +=→+= =→= ( ) ( )5x3x5xcos dx dy 3 +⋅+= Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 30 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3) x3seny = ( ) 3x3cos dx dy 3.ucos dx dy 3 dx du x3u ucos du dy useny ⋅= = =→= =→= 4) ( )7x10xseny 2 −+= )10x2).(7x10xcos('y 2 +−+= 5) ( )4x5x 23ey ++= ( ) ( )x10x3.e'y 24x5x 23 += ++ Regras da Derivada das Funções Compostas Sejam u e v funções em x, e k, a e n constantes. 1) y = k → y’ = 0 2) y = x → y’ = 1 3) y = un → y’ = n.u n-1.u’ 4) y = au → y’ = au.lna.u’ 5) y = eu → y’ = eu . u’ 6) 'u bln.u 1 'yulogy b ⋅=→= 7) y = ln u → y’ = u 'u 8) y = sen u → y’ = cos u . u’ 9) y = cos u → y’ = - sen u . u’ 10) y = tan u → y’ = sec2 u . u’ 11) y = cot u → y’ = - cossec2 u . u’ 12) y = sec u → y’ = sec u . tan u . u’ 13) y = cossec u → y’ = - cossec u . cot u . u’ Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 31 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Propriedades 1) y = k . v → y’ = k . v’ 2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’ 3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’ 4) y = 2v 'vu'uv 'y v u ⋅−⋅ =→ Derivada das Funções Implícitas F (x, y) = 0 mas y = f (x) Exemplos: Determinar y’ = dx dy : 1) 04y2x5yx 32 =−+−+ ( ) 2y3 5x2 'y 5x22y3'y 0'y25'y.y3x2 2 2 2 + +− = +−=+ =+−+ 2) 0u5vsenvu 332 =+++ ( ) vcosv3 u2u15 'v u2u15vcosv3'v 0u15'v.vcos'vv3u2 2 2 22 22 + −− = −−=+ =+++ 3) 05yyx 323 =+− ( ) ( )23 22 2223 2223 y3yx2 yx3 'y yx3y3yx2'y 0'y.y3x3.y'y.y2.x − − = −=− =−+ Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 32 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4) 0y2xyxxy 2222 =−+− ( ) ( ) y4xxy2 yx2xy2 'y yx2xy2y4xxy2'y 0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x 0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x 2 2 22 22 22 −− −− = −−=−− =−+−−+ =−++−+ Derivada das Funções Inversas Trigonométricas y = arcsen x → x = sen y Determinar y’: x = sen y sen2 y + cos2 y = 1 1 = cos y . y’ cos y = ysen1 2− 2x1 1 'y − = y’ = ycos 1 * sen2 y = x2 cos y = 2x1− 14) y = arccos x x = cos y Derivando implicitamente: 1 = - sen y . y’ → y’ = ysen 1 − sen2 y = 1 – cos2 y sen y = ycos1 2− * x = cos y sen y = 2x1− x2 = cos2 y y’ = 2x1 1 − − 15) y = arcsen u →→→→ y’ = 2u1 u' − y = arccos u →→→→ y’ = 2u1 u' − − Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 33 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL y = arctan x x = tan y Derivando implicitamente: 1 = sec2 y . y’ → y’ = ysec 1 2 1 + tan2 y = sec2 y ytan1 1 'y 2+ = * x = tan y 2x1 1 'y + = x 2 = tan2 y 16) 17) 18) 19) Exemplos: 1) y = arcsen ( 3x-5 ) ( )25x31 3 'y −− = y = arctan u →→→→ y’ = 2u1 u' + y = arccot u →→→→ y’ = 2u1 u' + − y = arcsec u →→→→ y’ = 1uu u' 2 − y = arccosec u →→→→ y’ = 1uu u' 2 − − Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 34 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2) y = arctan (x2 – 5) y ’ = ( )22 5x1 x2 −+ 3) xarcseny = 1xx2 1 'y 1x.x x 2 1 'y 2 1 2 1 − = − ⋅ = − 4) arcsen (cos x) 1 xcos1 xsen 'y 2 = − − = 5) y = arccos (ln x) xln1 x 1 'y 2 − − = Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 35 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivada da Função Inversa Seja y = f (x) derivável e inversível em um dado intervalo real. Se y = f (x) admite sua inversa que indicamos por (y) f x -1= , então para determinar a derivada dy dx toma-se simplesmente a expressão : dx dy 1 dy dx = Exemplos: 1) Se y = 2x + 1, determinar dy dx : 2 1 dy dx dx dy 1 dy dx 2 dx dy = = =∗ 2) Se x2 – y2 = 4xy, determinar dy dx ou x’: x 2 – y2 - 4xy = 0 Determinar y’: 2x – 2yy’ – 4(xy’ + y) = 0 2x – 2yy’ – 4xy’ – 4y = 0 y’ (-2y – 4x) = 4y – 2x y’ = x4y2 x2y4 −− − → x’ = x2y4 x4y2 − −− ouDeterminar x’: 2xx’-2y-4(x+yx’)=0 2xx’-2y-4x-4yx’=0 x’ (2x – 4y) = 2y + 4x x’ = y4x2 y2x4 − + Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 36 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivada da Função na Forma Paramétrica ( ) ( ) = = tfy tfx 2 1 Exemplos: 1) −= −= t4ty 1t2x 2 ( ) ( ) 2 4t2 dx dy dt dx dt dy dx dy dt dx 1 dt dy dx dy então, dt dx 1 dx dt mas, dx dt dt dy dx dy xft tfy 2 1x t − = =∴⋅= =⋅= = =+ = 2) −= −= t3ty 1ex 2 t2 , determinar dx dy : 2.e 3t2 dx dy dt dx dt dy dx dy t2 − = = 3) −= +−= t5ty 4t2tx 2 3 2t3 5t2 dx dy 2 − − = Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 37 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Derivadas Sucessivas ou Derivadas de Ordem Superior (ordem n ou enésimas). Seja y = f (x) definida contínua e derivável em um intervalo real. Nessas condições a derivada de y = f (x), indicada por y’; dx dy ; f ’(x) é definida por ( ) ( ) x xfxxflim)x('f 0x ∆ −∆+ = →∆ . Se este limite existir e for finito teremos então a f ’(x), se esta função f ’(x) for derivável a sua derivada de acordo com a definição poderá ser calculada por ( ) ( ) x x'fxx'flim 0x ∆ −∆+ →∆ , se este limite existir e for finito teremos uma função indicada por f ’’(x) ou y’’ ou 2 2 dx yd ;sucessivamente teríamos y’’’ ou f ’’’(x) ou 3 3 dx yd ; e y iv ou f iv (x) ou 4 4 dx yd ; e y v ou f v (x) ou 5 5 dx yd . → y n ou f n (x) ou n n dx yd . Exemplos: 1) Determine a derivada de 5a ordem de f (x) = 5.x5 – 3.x3. f ’(x) = 25x4 – 9x2 f ’’(x) = 100x3 – 18x f ’’’(x) = 300x2 - 18 f iv (x) = 600x f v (x) = 600 2) Dada f (x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, calcular f ’’(-1) e f vi(15): f ’(x) = 4x3 – 6x2 + 8x f ’’(x) = 12x2 – 12x + 8 f ’’(-1) = 12(-1)2 – 12(-1) + 8 = 32 → f ’’(-1) = 32 f ’’’(x) = 24x - 12 f iv (x) = 24 f v (x) = 0 f vi (x) =0 → f vi (15) = 0 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 38 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro teoremas fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais de variável real. Definições: 1) Seja y = f (x) definida em um intervalo I, então: i) f é crescente em I se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2 ii) f é decrescente em I se f (x1) ≥ f (x2) sempre que x1 < x2 2) Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo I e seja c ∈ I, então: i) f (c) é Máximo de f se f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ I ( ) y f (x2) f (x1) x1 x2 x y f (x1) f (x2) x1 x2 x c x y f (c) Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 39 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ii) f (c) é Mínimo de f se f (c) ≤ f (x) ∀ x ∈ I ( ) Teoremas: 1) Seja y = f (x) uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume o seu máximo e o seu mínimo ao menos uma vez em [a, b]. 2) Seja y = f (x) uma função que tem um extremo (máximo ou mínimo) para um valor c, então f ’(c) = 0 ou f ’(c) = ∃. Hipótese: c é abcissa de máximo (mínimo) Tese: f ’(c) = 0 ∃ f ’(c) Demonstração: Se c é máximo → f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ I ∃ f ’(c) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −+∃ −+∃ ⇒ −+ −→ +→ → h cfhcflim h cfhcflim h cfhcflim 0h 0h 0h ( ) ( ) ( ) ( ) 0 h cfhcflim 0 h cfhcflim 0h 0h ≥ −+ ∗ ≤ −+ ∗ −→ +→ f ’(c) = 0 c x y f (c) Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 40 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3) Teorema de Rolle Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. derivável no intervalo (a, b) se f (a) = f (b) = 0, então existe pelo menos um ponto x ∈ (a, b) / f ’(c) = 0. Para f (a) = f (b) = k o teorema também é válido. 4) Teorema de Lagrange ( Teorema do valor Mínimo - T.V.M. ) Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b) então ( ) ( ) ( ) ( )c'f ab afbf/b,ac = − − ∈∃ = tan α. Exemplos: Verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio e em caso afirmativo determinar os valores de c. ( ) ( ) ( ) ab afbf c'f − − = 1) f (x) = x2 [0, 2] → Contínua em [a, b] ? Todo polinômio é contínuo. OK! → Derivável? Sim. OK! f ’(x) = 2x → ∃ c * f (b) = f (2) = 4 * f (a) = f (0) = 0 * f ’(x) = 2x * f ’(c) = 2c → ( ) ( ) ( ) 1c 02 04 c2 ab afbf c'f =∴ − + =⇒ − − = c1 c2 c3 b a f ’(c1)=0 f ’(c2)=0 f ’(c3)=0 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 41 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2) f (x) = 3 2x [-2, 2] → Contínua em [-2, 2] ? OK! → Derivável? Não. f (x) = 0xpara x.3 2 3 x2)x('fx 3 3 1 3 2 =∃== − → T.V.M. não se aplica pois não se verifica essa hipótese. 5) Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então: i) Se f ’(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) → f é crescente em (a, b) ii) Se f ’(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) → f é decrescente em (a, b) f ’(x) > 0 →crescente f ’(x) < 0 → decrescente Demonstração: Hipótese: f é contínua em [a, b] Tese: f é crescente em (a, b) derivável em (a, b) f ’(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) * Pelo T.V.M. ∃ c ∈ (a, b) / ( ) ( ) ( ) ab afbf c'f − − = * f ’(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) ∴ f ’(c) > 0 ( ) ( ) 0 ab afbf > − − b > a → b – a > 0 → f (b) – f (a) > 0 ∴ f (b) > f (a) → f é crescente ab a b Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 42 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Hipótese: f é contínua em [a, b] Tese: f é decrescente em (a, b) derivável em (a, b) f ’(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) * ∃ c ∈ (a, b) / ( ) ( ) ( ) ab afbf c'f − − = * f ’(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) ∴ f ’(c) < 0 b > a → f (b) – f (a) < 0 ∴ f (b) < f (a) → f é decrescente y = f (x) → Para saber se uma função é crescente ou decrescente deve-se analisar o sinal da derivada da equação. Exemplos: Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de máximo e mínimo, se existir, das funções: 1) f (x) = x3 – 2x2 + x + 2 f ’(x) = 3x2 – 4x + 1 3x2 – 4x + 1= 0 ( )( ) ( ) = = ± = ± = −± = 3 1 x 1x 6 24 6 44 3.2 1.3.4164 x 2 1 Intervalo de crescimento ( ) ( )+∞∪∞− ,131, Intervalo de decrescimento ( )1,31 mín máx Sinal contrário de x2 + - + 1 1/3 mínimo mínimo máximo máximo + - + - f ’ crescente x1 decrescente x2 crescente x3 decrescente x4 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 43 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL y = x3 – 2x2 + x + 2 Para x = 1/3 → y = ? 27 549612 3 1 9 12 27 1y ++−=++ −= 27 58y = 27 58 ,3 1 máximo Para x = 1 → y = ? y = 1 – 2 + 1 + 2 y = 2 (1, 2) mínimo 2) 2 2 x31 xx)x(f + − = ( )( ) ( )( ) ( ) 1x2x3x6x6x3x61x2 :numeradordosinaloAnalisando x31 x6xx1x2x31)x('f 22323 positivosempre 22 22 −+=+−−+− + −−−+ = ����� ( )( ) ( ) = −= ±− = +±− = −−±− = =−+ 3 1 x 1x 6 42 6 1242 3.2 1.3.442 x 01x2x3 2 1 2 Intervalo de crescimento ( ) ( )+∞∪−∞− ,311, Intervalo de decrescimento ( )31,1− ( )21,1− máximo ( )61,31 − mínimo mín máx + - + -1 1/3 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 44 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3) f (x) = x3 – 3x – 2 f ’(x) = 3x2 – 3 3x2 – 3 = 0 x 2 = 1 x = ± 1 Intervalo de crescimento ( ) ( )+∞∪−−∞ ,11, Intervalo de decrescimento ( )1,1− ( )0,1− máximo ( )4,1 − mínimo 4) f (x) = x3 – 6x2 + 12x + 4 f ’(x) = 3x2 – 12x + 12 3x2 – 12x + 12 = 0 (÷3) x 2 – 4x + 4 = 0 ( )( ) 2x 2 4 x 2 414164 x == −± = * 1 raiz, 1 único sinal (ou positivo ou negativo) * x = 2 não é máximo nem mínimo, f é sempre crescente 6) Seja y = f (x), uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então: i) Se f ’’(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) → f tem a concavidade para cima em (a, b) ii) Se f ’’(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) → f tem a concavidade para baixo em (a,b) f ’’ mín máx + - + -1 1 + + + + + + + + + + + + + + + + 2 Ponto de Inflexão → f ’’(x0) = 0 + - x0 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 45 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Exemplo: 1) f (x) = x3 – 6x2 + 12x + 4 f ’(x) = 3x2 – 12x + 12 3x2 – 12x + 12 = 0 (÷3) x 2 – 4x + 4 = 0 ( )( ) 2x 2 4 x 2 414164 x == −± = * 1 raiz, 1 único sinal (ou positivo ou negativo) * x = 2 não é máximo nem mínimo, f é sempre crescente * Estudo do sentido da concavidade f ’’(x) = 6x – 12 6x – 12 = 0 x = 2 (2, 12) Ponto de inflexão Para x = 0, y = 4 Ponto de Inflexão 0 4 12 2 Ponto de Inflexão - + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + 2 Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 46 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Critério da Segunda Derivada para Determinar os pontos Críticos (Máximo e Mínimo) Se y = f (x) admite derivada Segunda nos pontos críticos e supondo que f seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo. Seja x0 abcissa de um ponto crítico, isto é, f ’(x0) = 0; se f ’’(x0) > 0, então o gráfico de f tem a concavidade para cima, então f (x0) é um Mínimo local de f; se f ‘’(x0) < 0, então o gráfico de f tem a concavidade para baixo, logo x0 é ponto de Máximo local de f. Resumindo: Exemplos: Determinar os pontos críticos (máximo e mínimo) das funções: 1) f (x) = x3 – 4x f ’(x) = 3x2 – 4 = 0 − = = 3 32 x 3 32 x 2 1 f ’’(x) = 6x − =→< − =→> Máximoé 3 32 x0 3 32 ''f Mínimoé 3 32 x0 3 32 ''f MÍNIMOéx0)x(''f MÁXIMOéx0)x(''f MÍNIMOéx0)x(''f :Se ....... x x x 0)x('f 22 11 00 2 1 0 →>∗ →<∗ →>∗ =∗ Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 47 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2) f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 4 f ’(x) = 3x2 – 12x + 9 3x2 – 12x + 9 = 0 (÷3) x 2 – 4x + 3 = 0 = = 3x 1x 1 f ’’(x) = 6x – 12 f ’’(1) = 6 – 12 = -6 < 0 → x = 1 é Máximo f ’’(3) = 18 – 12 > 0 → x = 3 é Mínimo 3) f (x) = -x3 + 6x2 - 12x + 4 f ’(x) = -3x2 + 12x – 12 (÷(-3)) x 2 - 4x + 4 = 0 x = 2 f ’’(x) = -6x + 12 f ’’(2) = 0 → não tem máximo nem mínimo x = 2 → é ponto de inflexão. Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 48 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Problemas de Aplicação de Máximos e Mínimos 1) Determinar as dimensões de um retângulo de perímetro 20 e que a área seja máxima:P = 20 2x + 2y = 20 x + y = 10 y = 10 - x A = x . y A = x (10 – x) A = 10x – x2 Derivando a área: A’ = 10 – 2x 10 – 2x = 0 x = 5 A’’ = -2 -2 < 0 → Máximo x = 5 → y = 5 Quadrado x y Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 49 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2) Desejamos fabricar uma caixa com uma folha quadrada de lado “a” cortando quadrados de lado “x” desconhecido nos quatro cantos da folha. Determinar o valor de “x” a fim de que a caixa tenha volume máximo. ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 a x :spostaRe Máximo0a8 6 a24''V Mínimo0a8 2 a24''V a8x24''V Máximo 6 a x Mínimo 2 a x 24 a4a8 122 a124a64a8 x 0aax8x12 0x12ax8a x12ax8a'V x4ax4xaV xx4ax4aV x.x2aV 2 1 22 22 22 22 322 22 2 = →<− = →>− = −=∗ →= →= ± = −± = =+− =+− +−=∗ +−= +−= −= a - 2x x a x Profª Rosi Mari Portugal rosiportugal.pucpr@gmail.com página: 50 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3) Deseja-se fabricar um recipiente de forma cilíndrica por meio de uma folha metálica de superfície S. Calcular a relação que deve existir entre a altura “h” e o raio “r” para que o volume seja máximo. Supõe-se não haver perda alguma de metal, que sua espessura permanece constante e que não há tampa. * S = pi r 2 + 2 pi r h h = r2 rS 2 pi pi− * V = pi r 2 h V = pi r 2 ( )32 rSr 2 1V r2 rS pi−=∴ pi pi− ( ) ( ) pi =∴ pi =∴=pi−∴=pi− pi−= 3 S r 3 S r0r3S0r3S 2 1 r3S 2 1 dr dV 222 2 * S = 3 pi r2 3 pi r2 = pi r 2 + 2 pi r h, fazendo as simplificações: h = r pi r2 2pi r r h h
Compartilhar