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André Gustavo ÁLGEBRA LINEAR LISTA DE EXERCÍCIOS A 2º SEMESTRE André Gustavo Lista de Exercícios de Álgebra Linear Obs. O aluno deve responder as questões da lista tomando como respaldo as anotações realizadas em sala de aula ou nas referências bibliográficas indicadas no plano de curso. Respostas indicadas como: “A cargo do aluno” é fundamental para a construção do conhecimento do discente e é muito importante que o ele preste atenção nas aulas e leia o material indicado pelo professor para que assim seja possível elaborar uma resposta adequada. Devo ressaltar que é de inteira responsabilidade do aluno revisar o conteúdo básico de matrizes e determinantes, pois estes são fundamentais para o entendimento geral disciplina. 1) Encontrar uma solução para equação linear 2x - y - z = 0 diferente da solução trivial (0, 0, 0). 2) Dado o sistema 12352 95342 54235 : tzyx tzyx tzyx S faça o que se pede: a) Dê a representação matricial AX = B de S b) Dê a Matriz A dos coeficientes de S c) Dê a Matriz A’ ampliada do Sistema S d) Verifique se as sequências (1, 0, -2, 1) e (0, 1, -1, 2) são soluções do sistema S, justifique sua resposta. 3) O que é um sistema linear homogêneo? Dê um exemplo de um sistema linear homogêneo cujo número de equações é maior do que o número de incógnitas. 4) Dada a Matriz 1000 0121 0132 1111 H faça o que se pede: a) aplique a operação elementar na matriz H. b) aplique a operação elementar na matriz equivalente obtida anteriormente no item (a). c) aplique a operação elementar na matriz equivalente obtida anteriormente no item (b). d) usando a matriz equivalente obtida no item (c), aplique operações elementares sobre as linhas da matriz de forma a transformá-la numa matriz identidade. e) transforme a matriz H numa matriz escalar H’ equivalente cuja diagonal principal é igual √ . André Gustavo 5) Determinar o posto das seguintes matrizes: a) 642 122 311 A b) 1012 3230 1111 2121 B c) 1111 3333 1111 C obs. Use no máximo; 4 operações no item (a), 4 operações no item (b) e 2 operações no item (c). 6) Dados os sistemas abaixo, faça o que se pede: a) 4345 1223 1022 : zyx zyx zyx S b) 034 032 02 : zyx zyx zyx S c) 333 142 2222 12 : wx wzyx wzyx wzyx S d) 0652 032 : zyx zyx S e) 2 4 4 0 : tzyx tzyx tzyx tzyx S f) 033 22 1 : yx yx yx S a) Dê a representação matricial de cada um dos itens a, b, c, d, e e f. b) Dê a matriz ampliada de cada um dos itens a, b, c, d, e e f. c) Reduza as matrizes ampliadas dos itens a, b, c, d, e e f a forma equivalente escalonada por linhas e use no máximo 4 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (b), no máximo 7 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (c), no máximo 2 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (d) e no máximo 3 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (f). d) Faça a discussão completa dos sistemas dos itens a, b, c, d, e e f usando o teorema dos posto. e) Quais dos itens são necessários calcular o “grau de liberdade”? Defina “grau de liberdade”. e) Dê, se possível, a solução dos sistemas dos itens a, b, c, d, e e f. Justifique cada uma das respostas. André Gustavo 7) Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: a) kyx yx yx S 12 045 234 : b) 0 2 12 : zyx zykx kzyx S c) 02 0 0252 : kzx zyx zyx S 8) Discuta e, se possível, resolva os sistemas de equações lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan. (Use o mínimo possível de operações elementares sobre as linhas das matrizes para obter a forma LRFE das mesmas). a) 1253 12 422 : zyx zyx zyx S b) 0 022 03 : zyx yx zyx S c) 13 12 0 : zyx zyx zyx S 9) Usando Operações elementares sobre as linhas de uma matriz, determine se as matrizes abaixo são inversíveis, em caso afirmativo, determine sua inversa. a) 23 21 A b) 69 23 B c) 143 122 021 C d) 210 423 211 D Obs. Use no máximo 8 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (c). 10) Resolva o sistema 178 3352 532 : zx zyx zyx S usando inversão de matrizes. 11) Mostrar que o conjunto V = ³ = {u = (x, y, z)/x, y, z } dos vetores da geometria analítica (ternos ordenados de números reais) é um espaço vetorial sobre R, se estiverem definidas nesse conjunto as seguintes operações fechadas de adição de vetores e multiplicação por um número real, u, v ³, : ),,(),,( ),,(),,(),,( 111111 212121222111 zyxzyxu zzyyxxzyxzyxvu André Gustavo 12) Mostrar que o conjunto V = ² = {u = (x, y)/x, y } dos vetores da geometria analítica (plano cartesiano) é um espaço vetorial sobre R, se estiverem definidas nesse conjunto as seguintes operações fechadas de adição de vetores e multiplicação por um número real, u, v ², : ),(),( ),(),(),( 1111 21212211 yxyxu yyxxyxyxvu 13) Mostrar que o conjunto V = ² não é um espaço vetorial em relação as operações definidas por: ),(),( ),(),(),( 1111 21212211 yxyxu yyxxyxyxvu . Identifique os axiomas que não são válidos. 14) Mostrar que o conjunto V = ² não é um espaço vetorial em relação as operações definidas por: )0,(),( ),(),(),( 111 1212211 xyxu yxxyxyxvu . Identifique os axiomas que não são válidos. 15) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de seus respectivos espaços. Para os subconjuntos que não são subespaços, dê um contra-exemplo. a) W = {(x, y) ²; 3x = 0} ² b) W = {(x, y) ²; y = x²} ² c) W = {(x, y) ²; 2x - y = 0} ² d) W = {(x, y) ²; y = |x|} ² e) W = {(x, y) ²; x 0} ² f) W = {(x, y) ²; x < 0} ² g) W = {(x, y, z) ³; x = y = 0 } ³ h) W = {(x, y, z) ³; x + y - z = 0} ³ i) W = {(x, y, z) ³; 2x + y - 3z + 1 = 0} ³ j) W = {(x1, x2,...,xn ) n; xn = 0 } n André Gustavo l) {( ) ( ) } ( ) m) {( ) ( ) } ( ) n) {( ) ( ) } ( ) o) {( ) ( ) } ( ) p) {( ) ( ) } ( ) ---------- GABARITO ------------- 1) Resposta a cargo do aluno. 2) Resposta a cargo do aluno dos itens a, b, c. No item (d) a sequência (1, 0, -2, 1) é solução do sistema linear e a sequência (0, 1, -1, 2) não é solução do sistema. A justificativa está ao cargo do aluno. 3) Resposta a cargo do aluno. 4) Resposta a cargo do aluno. 5) a) P(A) = 3 b) P(A) = 2 c) P(A) = 1 6) a) SPD,S = {(1,2,-3)} b) SPI, S = {(-z,z,z)} c) SPI, S = {(-1+w,2z,z,w)} d) SPI,S = {(-3z,0,z)} e) SPD,S = {(1,-1,2,-2)} f) Sistema Impossível (SI) Obs. As justificativas das respostas estão a cargo do aluno. 7) a) Se k -6 o sistema é impossível (SI) Se k = -6 o sistema é possível determinado (SPD) b) Se k = 0 o sistema é impossível Se k 0 e k 1 o sistema é possível determinado (SPD) Se k = 1 o sistema é possível indeterminado (SPI) c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado (SPI) Se k 2 o sistema é possível determinado (SPD) André Gustavo 8) a) S = {(5,-2,-2)} b) S = {(0,0,0)} c) S = {(1/4,1/8, 3/8)} SPD SPD SPD 9) a) 8/18/3 4/24/1 1A b) B não é inversível c) 2/12/12/5 4/14/16/11 2/12/13/8 1C d) D não é inversível. 10) S = {(1,-1,2)} 11) Demonstração a cargo do aluno. 12) Demonstração a cargo do aluno. 13) Demonstração a cargo do aluno. 14) Demonstração a cargo do aluno. 15) a) sim b) não c) sim d) não e) não f) não g) sim h) sim i) não j) sim l) sim m) não n) sim o) sim p) sim
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