Exemplo_Equlibrio com Trocas

Prévia do material em texto

Considere um modelo de equilíbrio geral de trocas puras com dois indivíduos: A e B, e 
dois bens: x e y. São dotações iniciais de A: x = 10 e y = 2,5; e dotações iniciais de B: 
x = 10 e y = 20. As funções utilidade de A e B são: 
5,45,03,02,0 3),( e2),( yxyxUyxyxU BA == , respectivamente. Se fixarmos o preço 
do bem x em 1 unidade monetária, qual será o preço do bem y no equilíbrio 
competitivo? 
 
Solução: 
 
As preferências são do tipo Cobb-Douglas, então sabemos que dada uma função de 
utilidade do tipo Cobb-Douglas: 
 
 
 
Podemos escrever as demandas ótimas X* e Y* como sendo: 
 
 
 
 
No caso indivíduo do A, 
 
 
 
No caso indivíduo do B, 
 
 
 
 
Diferente do caso da Teoria do Consumidor, em que a renda do consumidor é 
informada, no Equilíbrio Geral a renda dos indivíduos é o valor de mercado de sua 
dotação inicial: 
 
 
 
 
 
Uma hipótese usualmente retida nos modelos de equilíbrio geral é a escolha de um dos 
bens para servir como numerário (moeda), assim sendo todos os bens serão medidos 
em relação a ele. A escolha é arbitrária, mas reparem que na questão, o examinador 
diz para considerarmos o bem x como numerário, fazendo pX = 1. 
Nesse caso, as rendas se tornam: 
 
βαYAXU =
yx p
RYe
p
RX )()(
**
βα
β
βα
α
+
=
+
=
y
A
A
x
A
A p
RYe
p
RX )3,02,0(
3,0
)3,02,0(
2,0 **
+
=
+
=
y
B
B
x
B
B p
RYe
p
RX )5,45,0(
5,4
)5,45,0(
5,0 **
+
=
+
=
5,2.10. yxYAyXAxA ppWpWpR +=+=
20.10. yx
Y
By
X
BxB ppWpWpR +=+=
5,2.105,2.10.15,2.10. yyyxYAyXAxA ppppWpWpR +=+=+=+=
 
 
 
 
O equilíbrio nos diz (Demanda Agregada = Oferta Agregada) : 
 
 
 
 
 
 
A Lei de Walras nos diz que se existem N mercados e N-1 estão em equilíbrio então o 
n-ésimo (último) mercado estará em equilíbrio. No nosso caso N = 2 (bens x e y). 
Portanto, se um mercado estiver equilibrado, o último também estará ! Podemos 
escolher para resolver o equilíbrio qualquer dos bens, mas a dica é escolher resolver o 
equilíbrio para o mercado do bem que foi fixado com numerário para facilitar as 
contas, assim nesse caso, vamos resolver para o bem x: 
 
 
 
Mas, repare que: 
 
 
 
Substituindo a Renda RA e RB e mais o preço do bem x pX = 1, temos: 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
De onde, temos: 
 
 
 
 
De onde obtemos que py = 5. De posse desses dados, podemos calcular as rendas e as 
demandas e ver que isso equivale a um equilíbrio: 
 
20.1020.10.120.10. yyyx
Y
By
X
BxB ppppWpWpR +=+=+=+=
5,22205,2 =+=+=+⇒ yByABA WWYYyBem
201010 =+=+=+⇒ xB
x
ABA WWXXxBem
201010 =+=+=+⇒ xB
x
ABA WWXXxBem
X
B
B
x
A
A p
RXe
p
RX )5,45,0(
5,0
)3,02,0(
2,0 **
+
=
+
=
1.5
)2010(5,0
1.5,0
)5,210(2,0 ** y
B
Y
A
p
XepX
+
=
+
=
20
5
)2010(5,0
5,0
)5,210(2,0
201010 =
+
+
+
⇒=+=+=+ yyxB
x
ABA
pp
WWXX
1532021420
5
105
5,0
5,02
=⇒=+++⇒=
+
+
+
yyy
yy ppp
pp
5,225,2.5105,2.10.15,2.10. =+=+=+=+= yyxYAyXAxA pppWpWpR
 
 
 
 
No caso indivíduo do A, 
 
 
 
 
No caso indivíduo do B, 
 
 
 
 
De onde podemos constatar o equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ambos estão melhor no equilíbrio do que na alocação inicial. 
 
 
 
 
 
Veja que no ponto de ótimo (equilíbrio), as TMS entre os dois indivíduos são iguais, o 
que significa dizer que as alocações além de equilíbrio são eficientes (Equilíbrio -� 
Eficiente), esse é o Primeiro Teorema do Bem-Estar ! 
 
Exercício: Refazer a questão supondo o equilíbrio no mercado do bem y e verificar que 
o resultado será o mesmo ! 
11020.51020.1020.10.120.10. =+=+=+=+=+= yyyxYByXBxB ppppWpWpR
7,2
55,0
5,223,0
)3,02,0(
3,09
5,0
5,222,0
)3,02,0(
2,0 **
==
+
==
+
= = x
x
p
RYex
p
RX
y
A
A
x
A
A
8,19
55
1105,4
)5,45,0(
5,411
5
1105,0
)5,45,0(
5,0 **
==
+
==
+
= = x
x
p
RYex
p
RX
y
B
B
x
B
B
1010119 +=+=+=+⇒ xBxABA WWXXxBem
205,28,197,2 +=+=+=+⇒ yByABA WWYYyBem
17,4)5.2()10(22))(5.2,10( 3,02,03,02,0
_
=== yxtrocadaantesutilidadeU A
20,4)7.2()2.9(22))(7.2,9( 3,02,03,02,0 === yxtrocadadepoisutilidadeU A
10,225.788.6)20()10(33))(20,10( 5,45,05,45,0
_
=== yxtrocadaantesutilidadeU B
87,730.804.6)8.19()11(33))(8.19,11( 5,45,05,45,0 === yxtrocadadepoisutilidadeUB
2,0
9.3
7,2.2
3
2
===
x
yTMSA
2,0
11.9
8,19.1
9
1
===
x
yTMSB