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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PESCA Curso de Engenharia de Pesca e Engenharia de Alimentos APOSTILA DA DISCIPLINA DE DESENHO TÉCNICO PARA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS Professor: Oscar Pacheco Passos Neto, M.Sc. Engenheiro de Pesca Fortaleza/CE Fevereiro de 2014 OSCAR PACHECO PASSOS NETO APOSTILA DA DISCIPLINA DE DESENHO TÉCNICO PARA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS Apostila de Desenho Técnico elaborada pelo Professor Assistente, Oscar Pacheco Passos Neto, do Departamento de Engenharia de Pesca, do Centro de Ciências Agrárias da Universidade Federal do Ceará, como forma de acompanhamento do conteúdo ministrado na disciplina de Desenho Técnico para as Ciências Agrárias. Fortaleza/CE Fevereiro de 2014 ÍNDICE APRESENTAÇÃO 4 CONSIDERAÇÕES GERAIS 5 EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM DESENHO TÉCNICO 6 Lápis ou lapiseira 6 Borracha 7 Régua 7 Esquadros 7 Compasso 8 Transferidor 8 Escalímetro 9 Prancheta 9 Régua paralela 9 Folha para desenho técnico 9 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 17 ESCALAS 33 Escala numérica 33 Escala gráfica 39 NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA 40 Estudo do ponto 41 Estudo da reta 41 Estudo do plano 42 Método Mongeano 43 DESENHO EM PERSPECTIVA 45 COTAGEM EM DESENHO TÉCNICO 46 4 APRESENTAÇÃO Instituição: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC) Departamento/ Centro: Departamento de Engenharia de Pesca/ Centro de Ciências Agrárias Tipo do documento: Material Didático Título do documento: APOSTILA DA DISCIPLINA DE DESENHO TÉCNICO PARA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS Disciplina: Desenho Técnico para as Ciências Agrárias Carga Horária Semestral 64 horas Professor responsável: Oscar Pacheco Passos Neto, M.Sc. Categoria e classe funcional: Professor Assistente Regime de trabalho atual: Dedicação Exclusiva 5 CONSIDERAÇÕES GERAIS O Desenho Técnico, assim como a linguagem escrita, é uma forma de comunicação ou expressão gráfica que tem por finalidade a representação da forma, da dimensão e da posição de objetos ou terrenos de acordo com as diferentes necessidades. Podemos dizer seguramente que o Desenho Técnico é a linguagem gráfica universal de todas as modalidades de engenharia e também da arquitetura. Sua execução e interpretação exige treinamento específico, pois é executado sobre uma mídia bidimensional (papel, mais tradicionalmente) utilizando figuras planas (projeções ortográficas) ou tridimensionais (perspectivas) para representar formas espaciais reais. Para que tal objetivo seja alcançado utiliza-se um conjunto constituído por linhas, números, símbolos e indicações escritas normalizadas internacionalmente. O Desenho Técnico é imprescindível na formação do engenheiro e do arquiteto, pois aguça o raciocínio lógico (visão espacial), cria o senso de rigor geométrico (ângulos e distâncias) e desperta o espírito de iniciativa e de organização. Segundo a Norma Brasileira (NBR) de número 10647 – Desenho técnico – existem algumas maneiras de classificar o Desenho Técnico, dentre as quais podemos destacar inicialmente o aspecto geométrico. Nesta categoria temos: 1) o desenho projetivo, que é resultante de projeções do objeto sobre um ou mais planos que fazem coincidir com o próprio desenho, compreendendo as vistas ortográficas (resultantes de projeções cilíndricas ortogonais do objeto, sobre planos convenientemente escolhidos, de modo a representar, com exatidão, a forma do mesmo com seus detalhes) e as perspectivas (figuras resultantes de projeção cilíndrica ou cônica, sobre um único plano, com a finalidade de permitir uma percepção mais fácil da forma do objeto); 2) desenho não projetivo, não subordinado à correspondência, por meio de projeção, entre as figuras que constituem e o que é por ele representado, compreendendo larga variedade de representações gráficas, tais como diagramas, esquemas, ábacos ou nomogramas, fluxogramas, organogramas, gráficos, dentre outros. Outra forma de classificar o desenho técnico pode ser quanto ao grau de elaboração: esboço, que é a representação gráfica aplicada habitualmente aos estágios iniciais de elaboração de um projeto, podendo, entretanto, servir ainda à representação de elementos existentes ou à execução de obras; desenho preliminar, representação gráfica empregada nos estágios intermediários da elaboração do projeto, sujeita ainda a alterações e que corresponde ao anteprojeto; croqui, desenho não obrigatoriamente em escala, confeccionado normalmente à mão livre e contendo todas as informações necessárias à sua finalidade; e desenho definitivo, desenho integrante da solução final do projeto, contendo os elementos necessários à sua compreensão e totalmente normalizado. Para iniciarmos nossos estudos, apresentarei inicialmente alguns dos principais equipamentos utilizados em Desenho Técnico para, em seguida, sugerir algumas construções geométricas básicas que terão como objetivo nos familiarizar com o manuseio de tais equipamentos. 6 EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM DESENHO TÉCNICO LÁPIS OU LAPISEIRA O lápis comum de madeira e grafite é um dos equipamentos de desenho mais antigos. Ele dever ser apontado, afiado com uma lixa pequena e limpo com algodão, pano ou papel afim de evitar borrões na folha de desenho. Existem algumas maneiras de se classificar o lápis quanto à dureza de seu grafite (também chamado de mina). Os sistemas de classificação utilizam letras, números ou ambos. Vejamos alguns exemplos. Classificação do grafite por números: Nº 1 – macio, geralmente usado para esboçar e para destacar traços que devem sobressair; Nº 2 – médio, é o mais usado para qualquer traçado e para a escrita em geral; Nº 3 – duro, usado em desenho geométrico e técnico. Classificação do grafite por letras e números: A classificação mais comum é H para o grafite duro e B para o grafite macio. Esta classificação precedida de números dará a gradação que vai de 8B (muito macio) ao 10H (muito duro), sendo HB e F gradações intermediárias (Figura 1). Figura 1. Exemplos de traços feitos com grafites de durezas diferentes. Fonte: www.desenhoepintura.com.br. A lapiseira utiliza uma mina de grafite, que não necessita ser apontada. Estão disponíveis no mercado lapiseiras que utilizam minas de espessura de 0,3 mm, 0,5 mm, 0,7 mm e 0,9 mm, principalmente, e que também seguem o sistema de classificação apresentado acima. As diferentes espessuras são utilizadas quando se deseja expressar, por meio dos traços, linhas em diferentes planos. O ideal é que a lapiseira tenha sua extremidade guarnecida em aço para proteger o grafite da quebra quando pressionado ao esquadro no momento do traçado. Dica: Tanto na utilização de lápis quanto de lapiseira uma dica importante para a manutenção de um traçado firme e homogêneo é girá-los em torno do seu eixo maior enquanto desenha, segundo exemplifica a figura abaixo. 7 BORRACHA Deve-se dar preferência às borrachas macias, evitando o uso de borrachas para tinta, que geralmente são mais abrasivas para a superfície de desenho. Uma forma prática de escolher a borracha é tentar apagar um traço feito pelo grafite utilizado, se a borracha apagar de forma satisfatória sem danificar o papel, ela poderá ser utilizada. RÉGUA Instrumento confeccionado em acrílico utilizado para medir distâncias lineares e traçar retas. Alguns cuidados devem ser levadosem consideração quanto à aquisição e à manutenção da régua: materiais de desenho de uma maneira geral confeccionados em acrílico não amarelam rapidamente com o tempo, apresentam maior resistência a arranhões e mantêm a linearidade na borda por mais tempo; a régua não deve ser utilizada como guia para corte e nem com marcadores coloridos; quando limpá-la não utilizar álcool (deixa o equipamento esbranquiçado), utilizar uma solução diluída de sabão neutro e água. ESQUADROS São peças geralmente confeccionadas em acrílico com forma de triângulo retângulo (Figura 2a), sendo um isósceles com ângulos de 45º, chamado esquadro de 45º, e outro escaleno com ângulos de 30º e 60º, chamado esquadro 30/60. São denominados de “jogo de esquadros” ou “par de esquadros” quando são de dimensões compatíveis, ou seja, o cateto maior do esquadro de 30/60 tem a mesma dimensão da hipotenusa do esquadro de 45º (Figura 2b). São utilizados para o traçado de linhas perpendiculares, paralelas e de ângulos, desde que estes possam ser traçados por combinações entre os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º (Figura 3). As mesmas observações quanto à aquisição e manutenção da régua apresentadas acima podem ser aplicadas aos esquadros. Figura 2. (a) Apresentação dos esquadros de 45º e 30/60. (b) Formação de um jogo (par) de esquadros. Figura 3. Exemplos de composição de ângulos utilizando o jogo de esquadros. a b 45o 90o 45 o 30o 60o90 o 105o 15o 75o 8 COMPASSO É um instrumento utilizado para traçado de circunferências, arcos e que também é utilizado para transferir medidas. O compasso serve para o traçado de circunferências e arcos de quaisquer raios desde que o raio não ultrapasse sua abertura máxima. É composto por duas pontas, uma denominada de ponta seca, que é uma ponta de metal em forma de agulha utilizada para fixar o compasso ao papel e outra ponta que possue o grafite, que traça a circunferência propriamente dita. O grafite deve ser colocado no compasso de forma que ambas as pontas, grafite e ponta seca, fiquem do mesmo tamanho. Para a manutenção da homogeneidade e firmeza do traçado é importante que o compasso esteja sempre bem apontado. Diferentemente do lápis (que é apontado em forma cônica), a ponta do compasso deve ser feita em forma de bisel utilizando uma lixa conforme exemplifica a Figura 4. Este tipo de ponta é mais vantajoso por dois motivos: 1) demorar mais para desgastar, ou seja, é necessário apontar menos vezes o compasso; 2) tornar a ponta mais resistente, sendo possível, dessa forma, imprimir uma força maior na hora do traçado. Figura 4. Apontando o compasso em forma de bisel. TRANSFERIDOR É um instrumento confeccionado em acrílico utilizado para medir e traçar ângulos. Existem as versões de 180º e 360º que podem medir os ângulos nos sentidos horário e anti-horário (Figura 5). Figura 5. Apresentação de um transferidor de 360º. 9 ESCALÍMETRO Instrumento destinado à marcação de medidas, na escala do desenho (Figura 6). Existem vários tipos de escalímetros que são designados por números, o mais utilizado e recomendado em arquitetura e demais engenharias é o escalímetro no 1 que contém as seguintes escalas, em ordem decrescente: 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100 e 1:125. O escalímetro não deve ser utilizado como guia para corte, com marcadores coloridos e nem utilizado para o traçado de linhas, pois existe a possibilidade de danificar a escala e inviabilizar sua leitura. Figura 6. Apresentação do escalímetro. PRANCHETA Existe uma grande variedade de prancheta, desde as totalmente confeccionadas em madeira até aquelas com suporte metálico tubular e tampo de diversos tamanhos (para comportar os diversos tamanhos de folha; ver mais abaixo) revestido em fórmica. Seja qual for sua composição e tamanho, a prancheta tem como objetivos fixar o papel para a realização dos desenhos e servir de suporte para a fixação da régua paralela. RÉGUA PARALELA Instrumento que normalmente vem acoplado à prancheta de desenho por meios de polias e amarrações utilizada para traçar linas paralelas no sentido horizontal (comprimento da prancheta). Também pode ser utilizada em conujnto com os esquadros para traçar linhas perpendiculares ao sentido da régua paralela ou para compor ângulos conforme indicado anteriormente. O comprimento da régua paralela deve ser um pouco menor do que o da prancheta. FOLHA PARA DESENHO TÉCNICO As folhas adotadas para desenho técnico em nível mundial segundo a International Organization for Standardization (ISO) são as folhas da série A. No Brasil, a Associação Brasileira de Normas e Técnicas (ABNT), adota o mesmo padrão. As normas brasileiras (NBR) a serem primeiramente observadas no tocante à elaboração de um desenho técnico são aquelas que se referem à folha de desenho em si e à escrita que deve ser empregada, são elas: NBR 10068 – Folha de desenho - leiaute e dimensões; NBR 10582 – 10 Apresentação da folha para desenho técnico; NBR 8402 – Execução de caracter para escrita em desenho técnico. Segundo a NBR 10068 as dimensões das folhas da série A são baseadas em um módulo de aproximadamente 1 m2, cujas dimensões são 841 x 1189 mm, é chamada de folha A0 (A zero). A partir da subdivisão desta folha temos os demais formatos, por exemplo, dividindo a folha A0 ao meio no sentido transversal temos a folha A1; dividindo a folha A1 ao meio no sentido transversal temos a folha A2 e assim por diante segundo mostra a Figura 7 e a Tabela 1. Figura 7. (a) Origem dos formatos das folhas da série A a partir da subdivisão da folha A0. (b) Semelhança geométrica entre os formatos das folhas da série A. Tabela 1. Dimensões das folhas da série A segundo os diferentes formatos. Formato Dimensões (mm) A0 841 x 1189 A1 594 x 841 A2 420 x 594 A3 295 x 420 A4 210 x 297 A5 148 x 210 A6 105 x 148 Internamente à folha de desenho é delimitado um quadro cujas margens são apresentadas na NBR 10068 e podem ser visualizadas na Tabela 2. Tabela 2. Larguras das margens conforme o formato da folha de desenho. Formato Margens (mm) Esquerda Demais A0 25 10 A1 25 10 A2 25 7 A3 25 7 A4 25 7 Segundo a NBR 10582 o interior deste quadro deve conter espaço para o desenho, para o texto (sempre que necessário) e para a legenda. A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 a b 11 A legenda deve estar situada dentro do quadro para desenho e deve estar situada no canto inferior direito tanto nas folhas posicionadas verticalmente (Figura 9) quanto horizontalmente (Figura 10), uma vez que a leitura da legenda deve corresponder à do desenho. Ela é utilizada para informação, indicação e identificação do desenho e deve ser traçada conforme a NBR 10068. As informações contidas na legenda são as seguintes: designação da firma; projetista, desenhista ou outro responsável pelo conteúdo do desenho; local data e assinatura; nome e localização do projeto; conteúdo do desenho; escala; número do desenho; unidade utilizada. Nos formatos A4, A3 e A2 a legenda deve ter comprimento de 178 mm e para os formatos A1 e A0, 175 mm. Outro aspecto importante a ser observado para a elaboração da legenda e para qualquer outra escrita em desenho técnico é o tipo de caracter a ser utilizado. A NBR 8402 fixa as condições exigíveis para a escrita usada em desenho técnico e documentos semelhantes. Esta norma permite a escrita verticalizada ou inclinada para a direita sob um ângulo de aproximadamente 15º. Para fins práticos, para a confecção da folha de desenho técnico utilizada nos cursos de Engenharia de Pesca e Engenharia de Alimentos da UniversidadeFederal do Ceará, utilizaremos a fonte arial, que se aproxima bastante da fonte apresentada na NBR 8402 (Figura 8). As instruções para a elaboração de sua própria folha de desenho no formato A4 podem ser visualizadas nas Figuras 9, 10, 11, 12 e 13. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Figura 8. Forma de escrita em desenho técnico nas versões verticalizada e inclinada. 12 Abaixo seguem alguns exercícios para a prática da escrita normalizada à mão. 1) Escreva conforme os modelos o que se pede: SEU NOME: Seu endereço: Nome da universidade: SEU CURSO: ABNT SIGNIFICA: DATA DO SEU NASCIMENTO: 2) Efetue as operações abaixo: 793 + 142 = 2350 x 3 = 648 – 207 = 986 : 2 = 3) Reescreva as frases abaixo de acordo com o modelo: O Desenho Técnico é imprescindível na formação de qualquer modalidade de engenheiro, pois ajuda a desenvolver o raciocínio, o senso de rigor geométrico, o espírito de iniciativa e de organização. É a linguagem universal da arquitetura e das engenharias. Visão espacial é o entendimento e concebimento mental de uma forma espacial (em 3 dimensões) representada na figura plana (em 2 dimensões). 13 As diversas formas de apresentação do Desenho Técnico projetivo têm uma mesma base, e todas seguem normas de execução que permitem suas interpretações sem dificuldades e sem mal entendidos. Engenharia de Pesca é o setor da engenharia voltado para o cultivo, a captura e a industrialização de organismos aquáticos. O engenheiro de pesca estuda e aplica métodos e tecnologias para localizar, capturar, beneficiar e conservar peixes, crustáceos e frutos do mar. Suas atividades básicas são o planejamento e o gerenciamento das atividades pesqueiras voltadas para a industrialização e para a comercialização do pescado. Em aquicultura, atua na criação e na reprodução de peixes, crustáceos e moluscos em cativeiro. Dimensiona e implanta fazendas aquáticas em lagos, rios, barragens e no oceano. Pesquisa o beneficiamento e a conservação dos animais e acompanha sua industrialização e distribuição no mercado consumidor. Instala e mantém motores e equipamentos mecanizados usados em operações de pesca, beneficiamento e processamento. Agora que conhecemos alguns dos principais equipamentos e o tipo de caracter utilizados em Desenho Técnico, iremos confeccionar nossa própria folha de desenho, para nela, realizarmos algumas construções geométricas básicas a fim de que possamos treinar a utilização destes equipamentos. Utilizaremos estas construções também para aprendermos a diferenciar inicialmente dois tipos de linhas (NBR 8403), a linha auxiliar ou de construção, mais fina e geralmente traçada com grafites 0,3 mais duros (2H, por exemplo) e a linha de desenho propriamente dita, que poderá ser traçada com grafite 0,5 HB. 14 CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS – UFC Curso: Eng. de Pesca Disc.: Desenho Técnico Turma: XX Unid.: Aluno(a): Fulano dos Anzóis Pereira Mat.: 123456789 Data: / / Assunto: 1º Trabalho/1ª Prova/... Escala: 1/XXX Folha: X/Y Figura 9. Apresentação da legenda em uma folha formato A4 posicionada verticalmente. 15 CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS – UFC Curso: Eng. de Pesca Disc.: Desenho Técnico Turma:XX Unid.: Aluno(a): Fulano dos Anzóis Pereira Mat.: 123456789 Data: / / Assunto: 1º Trabalho/1ª Prova/... Escala: 1/XXX Folha: X/Y Figura 10. Apresentação da legenda em uma folha formato A4 posicionada horizontalmente. 16 Fonte: Arial/Tamanho: 16 (centralizar) Fonte: Arial/Tamanho: 11 (Centralizar à esquerda) Fonte: Arial/Tamanho: 11 (Centralizar à esquerda) Fonte: Arial/Tamanho: 11 (Centralizar à esquerda) Figura 11. Formatação do texto da legenda. Figura 12. Dimensões a serem seguidas para confecção da folha de desenho em formato A4 disposta verticalmente. Figura 13. Dimensões a serem seguidas para confecção da folha de desenho em formato A4 disposta horizontalmente. 17 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS A palavra geometria tem origem no grego antigo (geo – terra e metria – medir), o que significaria simplesmente medir a terra. Tal palavra remonta do Antigo Egito, quando o faraó dividia as terras férteis ao longo do rio Nilo entre os agricultores demarcando os limites das áreas que cada um teria para plantar. Desse modo, os egípcios tiveram que desenvolver métodos que permitissem realizar medidas das terras, isto é, eles realizavam geometria. Com o passar dos tempos, o significado da palavra deixou de se limitar apenas às questões referentes a terra, passando a abranger questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras. Assim sendo, podemos definir o Desenho Geométrico como a expressão gráfica da forma, considerando-se as propriedades relativas às suas dimensões. Essas dimensões são as três medidas que compõem o nosso mundo tridimensional: o comprimento, a largura e a altura (ou a espessura em alguns casos). Algumas formas apresentam apenas uma dessas dimensões, o comprimento, como é o caso de uma linha, por exemplo. Quando um objeto apresenta duas dimensões, um comprimento e uma largura, temos o plano e, inerente e ele, a ideia intuitiva de área e de superfície. Finalmente, ao depararmo-nos com objetos que apresentam as três dimensões, temos a ideia do volume. Considerando-se agora as três dimensões, temos o Espaço Geométrico. A linha e o plano são alguns dos chamados de Entes Geométricos e estes por sua vez ocupam o chamado Espaço Geométrico. Os Entes Geométricos, por sua vez, quando organizados em uma sequência ordenada dão origem a figuras ou Corpos Geométricos. Os Entes Geométricos são considerados os elementos fundamentais da geometria, são elementos primitivos e de difícil definição. Vejamos agora alguns dos principais Entes Geométricos: 1) Ponto Ponto é um Ente Geométrico que não possui forma nem dimensão. Graficamente o ponto é expresso pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. É de uso representa-lo por uma letra maiúscula ou algarismos. Sua representação também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser duas retas, duas curvas ou uma reta e uma curva. 2) Linha A linha pode ser comparada a uma série de pontos enfileirados no espaço ou, ainda, como o resultado da trajetória descrita por um ponto ao se deslocar. Desta forma, possui apenas uma dimensão: o comprimento. Graficamente, a linha é expressa pelo deslocamento do lápis sobre o papel. Uma linha pode ser curva ou reta. Se durante sua trajetória, o ponto dirigir‐se sempre na mesma direção do espaço, sem nunca se desviar, dará origem a uma linha reta. Por outro lado, se o ponto mudar bruscamente de direção periodicamente, originará uma linha poligonal que poderá ser aberta ou fechada. Finalmente, se o ponto mudar constantemente de direção, gerará uma linha curva. 3) Plano O plano é um tipo particular de superfície, e pode ser definido como o conjunto das posições de uma linha reta que se desloca em trajetória retilínea e paralela a si mesma. Podemos intuitivamente idealizar um plano como sendo a superfície de um lago com suas águas paradas, o tampo de uma mesa, um espelho etc.. O plano é representado, geralmente, por uma letra do alfabeto grego. 4) Reta Como já mencionado anteriormente a reta é originada quando um ponto se desloca noespaço sempre na mesma direção, sem nunca se desviar. A reta é representada por uma letra minúscula e é infinita nas duas direções, isto é, devemos admitir que o ponto já vinha se deslocando infinitamente antes e continua esse deslocamento infinitamente depois. 18 Para que tenhamos definida uma reta precisamos inicialmente delimitar dois pontos no espaço, uma vez que por um ponto podemos traçar infinitas retas. Por uma reta, entretanto, podemos passar infinitos planos. Devido suas características especiais e sua grande aplicação no Desenho Geométrico, uma maior ênfase a este ente será dada. Da ideia de reta, originam-se outros elementos fundamentais para o Desenho Geométrico tais como: a semirreta e o segmento de reta. A semirreta é o deslocamento do ponto, sem variar a direção, partindo de um outro ponto como origem. Portanto, a semirreta é infinita em apenas numa direção. Ao marcarmos um ponto qualquer sobre uma reta a dividimos em duas semirretas. Já o segmento de reta é a porção de uma reta, limitada por dois de seus pontos, chamados de extremidades. O segmento de reta é, portanto, limitado e podemos atribuir-lhe um comprimento. Os segmentos de reta podem ser colineares quando pertencem a mesma reta, chamada de reta suporte, e consecutivos quando a extremidade de uma coincide com extremidade de outro. Considerando as posições relativas que duas retas podem assumir temos que duas retas podem ser: perpendiculares, quando se cruzam formando um ângulo reto (90º); paralelas quando conservam entre si a mesma distância ou ainda podemos dizer que duas retas são paralelas quando se encontram no infinito; oblíquas ou inclinadas, quando se cruzam formando um ângulo qualquer diferente de 90º. Os instrumentos mais tradicionalmente utilizados para estas funções são o par de esquadros, a régua T e o transferidor. Contudo, utilizando apenas a régua comum, o compasso e a técnica correta, podemos traçar perpendiculares, paralelas e oblíquas com vários ângulos (60º, 30º, 45º, 75º, 105º etc.). A partir do arranjo e da organização das retas, semirretas e segmentos de reta podemos formar uma série de figuras desde ângulos e figuras geométricas simples como triângulos até polígonos de n lados, sendo eles regulares ou não. Da mesma forma, a partir das linhas curvas podemos formar arcos, circunferências, elipses, parábolas, hipérboles etc.. Um ângulo pode ser definido como sendo a região do plano limitada por duas semirretas distintas com a mesma origem. Dessa forma, os elementos que compõem o ângulo são: o vértice, que é a origem comum das duas semirretas; os lados, que são as duas semirretas; a abertura, que é a região angular compreendida entre as duas semirretas. Um ângulo pode ser representado por AÔB, BÔA ou por uma letra grega. A unidade de medida mais usada para medir ângulos é o grau (o). Um grau corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais e pode ser dividido em minutos (‘) e segundos (“). O segmento de reta cuja origem é o vértice do ângulo e que divide este ângulo em dois ângulos exatamente iguais é chamada de bissetriz. Os ângulos podem ser classificados de várias formas. A forma mais comum de agrupar os ângulos é quanto sua abertura: Reto, quando as semirretas formam 90º; Agudo, quando as semirretas formam ângulos menores que 90º; Obtuso, quando as semirretas formam ângulos maiores que 90º; Raso, quando a abertura é igual a 180º; Pleno, quando a abertura é igual a 360º; Nulo, quando a abertura é igual a 0º. Uma outra forma também comum de classificar os ângulos é quanto à sua posição relativa a outro ângulo: Consecutivos, quando possuem em comum o vértice, um dos lados e pontos internos; Adjacentes, quando possuem em comum o vértice, um dos lados, mas não possuem pontos internos comuns; Opostos pelo vértice, quando os lados são semirretas opostas; Complementares, quando a soma é igual a 90º; Suplementares, quando a soma é igual a 180º; 19 Replementares, quando a soma é igual a 360º. O menor polígono fechado que conhecemos é o triângulo, que possui três lados e três ângulos. O estudo do triângulo é de extrema importância, pois qualquer polígono, tenha ele quatro ou ‘n’ lados, pode ser decomposto em triângulos para facilitar seu entendimento. Assim como os ângulos, os triângulos também podem ser classificados. As duas formas mais comuns de se classificar os triângulos é quanto aos lados e quanto aos ângulos. Quanto aos lados os triângulos podem ser: Equilátero, quando apresentam os três lados iguais e os três ângulos com valor de 60º; Isósceles, quando apresentam dois lados e dois ângulos iguais e o terceiro lado e ângulo diferentes; Escaleno, quando apresentam os três lados e os três ângulos diferentes. Quanto aos ângulos os triângulos podem ser: Retângulo, quando um de seus ângulos vale 90º; Acutângulo, quando todos seus ângulos são menores que 90º; Obtusângulo, quando possui um ângulo maior que 90º. Num triângulo podemos traçar algumas linhas que são chamadas de linhas notáveis devido sua importância. Primeiramente podemos destacar a altura. A altura de um triângulo é uma distancia em linha reta tomada a partir de um vértice até seu lado oposto formando um ângulo de 90º com este. Como um triângulo possui três lados e três vértices, é possível traçarmos três alturas. Existe um ponto no qual estas três alturas se tocam e este ponto é chamado de ortocentro do triângulo. A mediatriz do lado de um triângulo é a reta que divide o lado do triângulo em dois segmentos iguais formando com este lado um ângulo de 90º. Da mesma forma como procedido anteriormente, ao traçarmos as mediatrizes dos três lados de um triângulo, percebemos que elas se encontram em um mesmo local denominado de circuncentro. O circuncentro é equidistante aos três vértices, isto significa dizer que este ponto é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo em questão. Como já sabemos, a bissetriz é uma reta que divide um ângulo em dois ângulos iguais. Quando traçamos as três bissetrizes de um triângulo, elas se cruzam em um ponto chamado de incentro. O incentro é equidistante a pontos específicos dos lados do triângulo e é o centro de uma circunferência inscrita ao triângulo. A mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto de um triângulo. O ponto de encontro das três medianas de um triângulo é o baricentro, ou centro de massa, e divide cada uma das outras medianas na proporção de 1/3. 20 Construções Fundamentais 1- Mediatriz (Figura 14): - Com centro em A e abertura maior que a metade do segmento AB traçamos dois arcos auxiliares; - Com centro em B e mesma abertura encontramos os pontos C e D. Figura 14. Traçado de uma mediatriz. 2- De um ponto C, pertencente ao segmento AB, traçar uma perpendicular ao segmento AB (Figura 15): - Com centro em C e abertura qualquer, encontramos os pontos D e E; - Traçamos a mediatriz do segmento DE. Figura 15. Traçado de perpendicular por um ponto pertencente ao segmento. 3- De um ponto C, externo ao segmento AB, traçar uma perpendicular ao segmento AB (Figura 16): - Com centro em C e abertura qualquer, encontramos os pontos D e E; A B C D A B CD E 21 - Traçamos a mediatriz do segmento DE. Figura 16. Traçado de perpendicular por um ponto pertencente ao segmento. 4- Traçar uma perpendicular à extremidade do segmento AB (Figura 17): - Com centro em A e abertura qualquer, traçamos um arco auxiliar e encontramos o ponto C; - Com centro em C e mesma abertura, encontramos o ponto D; - Com centro em D e mesma abertura, encontramos o ponto E; - Com centro em D e abertura maior que a metade do arco DE, traçamos umoutro arco auxiliar; - Com centro em E e mesma abertura encontramos o ponto F. Figura 17. Traçado de perpendicular à extremidade do segmento. 5- Construir um ângulo igual a um ângulo dado (Figura 18): - Com centro em A e abertura qualquer, traçamos um arco auxiliar e encontramos os pontos B e C; - Com centro em D e mesma abertura, traçamos um outro arco auxiliar e encontramos o ponto E; - Com centro em E e abertura BC, encontramos o ponto F. A B C D E A B C DE F 22 Figura 18. Traçado de um ângulo igual a um ângulo dado. 6- Bissetirz (Figura 19): - Com centro em A e abertura qualquer, traçamos um arco auxiliar e encontramos os pontos B e C; - Com centro em B e abertura maior que a metade do arco BC, traçamos um outro arco auxiliar; - Com centro em C e mesma abertura, encontramos o ponto D. Figura 19. Traçado de uma bissetriz. 7- Dividir o segmento AB em n partes iguais (Método 1; Figura 20): - Partindo da extremidade A do segmento, traçamos uma reta auxiliar cujo comprimento seja múltiplo de n e dividimos esta reta em n partes iguais; - Por meio de uma reta auxiliar, unimos o ponto n à extremidade B do segmento e traçamos n-1 paralelas à nB. Figura 20. Divisão do segmento AB em 4 partes iguais (Método 1). 8- Dividir o segmento AB em n partes iguais (Método 2; Figura 21): - Partindo da extremidade A do segmento, traçamos uma reta auxiliar cujo comprimento seja múltiplo de n; - Traçamos uma paralela a esta reta partindo da extremidade B do segmento; - Dividimos ambas as retas em n partes iguais e unimos os pontos correspondentes. A B C D E F A B C DA B 1 C 2 3 4 DE 23 Figura 21. Divisão do segmento AB em 4 partes iguais (Método 2). 9- Dividir um ângulo reto em 3 ângulos iguais (Figura 22): - Com centro em A e abertura qualquer, traçamos um arco auxiliar e encontramos os pontos B e C; - Com centro em B e mesma abertura, encontramos o ponto D; - Com centro em C e mesma abertura, encontramos o ponto E. Figura 22. Divisão de um ângulo reto em três ângulos iguais. 10- Dividir um ângulo qualquer em 3 ângulos iguais (Figura 23): - Com centro em A e abertura qualquer, traçamos uma circunferência auxiliar e encontramos os pontos B e C; - Do prolongamento dos segmentos AB e AC, encontramos os pontos D e E; - Traçando a bissetriz do ângulo BÂC, encontramos o ponto F; - Com centro em F e abertura FA, encontramos o ponto G; - Unindo o ponto G aos pontos D e E, encontramos os pontos H e I. Figura 23. Divisão de um ângulo qualquer em três partes iguais. A B 1 C 2 3 4 DE 5 6 7 8 A B C D E A B C D E F G I H 24 Construção de Triângulo 11- Construir um triângulo conhecendo o lado AB e os 2 ângulos adjacentes (Figura 24): - Traçamos o lado AB e medimos sobres suas extremidades os ângulos dados. AB = 10 cm α = 35º β = 65º Figura 24. Construção de um triângulo conhecendo um lado e dois ângulos adjacentes. 12- Construir um triângulo conhecendo os lados AB e AC e o ângulo  (Figura 25): - Traçamos o lado AB, medimos sobre a extremidade A o ângulo  e traçamos o lado AC; - Unimos os ponto B e C. AB = 10 cm AC = 6 cm  = 47º Figura 25. Construção de um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo adjacente a ambos. 13- Construir um triângulo conhecendo os 3 lados (Figura 26): - Traçamos o lado AB; - Com centro em A e abertura AC, traçamos um arco auxiliar; - Com centro em B e abertura BC, encontramos o ponto C. AB = 10 cm AC = 7 cm BC = 5 cm A B C α β A B C 47º 25 Figura 26. Construção de um triângulo conhecendo os três lados. 14- Construir um triângulo retângulo conhecendo a hipotenusa e um cateto (Figura 27): - Traçamos o cateto, e medimos sobre uma de suas extremidades o ângulo de 90º; - Com centro na extremidade oposta e abertura igual ao comprimento da hipotenusa, encontramos o ponto C. AB = 10 cm BC = 11 cm Figura 27. Construção de um triângulo retângulo conhecendo a hipotenusa e um cateto. Traçado de Circunferência, Elipse e Espiral 15- Traçar uma circunferência circunscrita a um triângulo dado (Figura 28): - Traçamos duas mediatrizes a dois lados quaisquer, o cruzamento das mediatrizes é o centro da circunferência (ponto O). Figura 28. Traçado de uma circunferência circunscrita a um triângulo qualquer. A B C A B C A B C O 26 16- Traçar uma circunferência inscrita a um triângulo dado (Figura 29): - Traçamos duas bissetrizes a dois ângulos quaisquer, o cruzamento das bissetrizes é o centro da circunferência (ponto O); - Partindo do ponto O, traçamos uma perpendicular a cada um dos 3 lados do triângulo para encontrar os pontos de tangência. Figura 29. Traçado de uma circunferência inscrita a um triângulo qualquer. 17- Traçar uma circunferência que passa por 3 pontos (A, B e C) não alinhados (Figura 30): - Traçamos duas mediatrizes a duas distâncias quaisquer, o cruzamento das mediatrizes é o centro da circunferência (ponto O). Figura 30. Traçado de uma circunferência que passa por três pontos não alinhados. 18- Dividir uma circunferência em 4 partes iguais (Figura 31): - Traçamos o diâmetro da circunferência e encontramos os pontos A e B; - Traçamos a mediatriz do diâmetro AB e encontramos os ponto C e D; - Os pontos A, B, C e D dividem a circunferência em 4 partes iguais. A B C O D E F A B C O 27 Figura 31. Divisão de uma circunferência em 4 partes iguais. 19- Dividir uma circunferência em n partes iguais (Figura 32): - Traçamos o diâmetro AB da circunferência e o dividimos em n partes iguais; - Com centro em A e abertura AB traçamos dois arcos auxiliares; - Com centro em B e abertura BA (mesma abertura) encontramos os pontos C e D; - Unimos os pontos C e D aos pontos ímpares ou pares do diâmetro e encontramos na circunferência os pontos de divisão. Figura 32. Divisão de uma circunferência em cinco partes iguais (A); No caso de querermos traçar um pentágono regular, basta unir os pontos E, F, B, G e H (B). A B C O D A B C 1 2 3 4 D E FG H A A B C 1 2 3 4 D E FG H B 28 20- Traçar uma elipse assimétrica (óvulo; Figura 33): - Traçamos uma circunferência auxiliar e a dividimos em 4 partes iguais encontrando os pontos A, B, C e D; - Unimos os pontos C e D ao ponto B; - Com centro em C e abertura CD, traçamos o arco DE; - Com centro em D e abertura DC, traçamos o arco CF; - Com centro em B e abertura BE ou BF, traçamos o arco EF. Figura 33. Traçado de uma elipse assimétrica (óvulo). 21- Traçar uma elipse conhecendo o eixo menor AB (Figura 34): - Traçamos o eixo AB e construímos sua mediatriz encontrando o ponto M; - Com centro em M e abertura MA ou MB, encontramos os pontos C e D; - Unimos os pontos A e B aos pontos C e D; - Com centro em A e abertura AB, traçamos o arco EBF; - Com centro em B e abertura BA, traçamos o arco GAH; - Com centro em C e abertura CG ou CE, traçamos o arco EG; - Com centro em D e abertura DH ou DF, traçamos o arco FH. AB = 6,5 cm Figura 34. Traçado de uma elipse conhecendo o eixo menor. 22- Traçar uma elipse conhecendo o eixo maior AB (Figura 35): - Traçamos o eixo AB e construímos sua mediatriz encontrando o ponto M; A B C O D E F A B C D M E F G H 29 - Traçamos as mediatrizes dos segmentos AM e MB e encontramos os pontos C e D; - Comcentro em C ou D e abertura CD, encontramos os pontos E e F; - Unimos os pontos E e F aos pontos C e D; - Com centro em C e abertura CA, traçamos o arco GAH; - Com centro em D e abertura DB, traçamos o arco IBJ; - Com centro em E e abertura EG ou EI, traçamos o arco GI; - Com centro em F e abertura FH ou FJ, traçamos o arco HJ. AB = 10 cm Figura 35. Traçado de uma elipse conhecendo o eixo maior. 23- Traçar uma espiral bicêntrica (Figura 36): - Traçamos uma reta auxiliar e sobre ela marcamos os pontos A e B; - Com centro em A e abertura AB, encontramos o ponto C; - Com centro em B e abertura BC, encontramos o ponto D; - Com centro em A e abertura AD, encontramos o ponto E; - Com centro em B e abertura BE, encontramos o ponto F; - Assim por diante dependendo do tamanho e de quantas voltas são necessárias. Figura 36. Traçado de uma espiral bicentrica. 24- Traçar uma espiral tricêntrica (Figura 37): - Traçamos uma reta auxiliar e sobre ela marcamos os pontos A e B; - Com centro em A e abertura AB, traçamos um arco auxiliar; A B C DM E F G I H J A BC DE FG H 30 - Com centro em B e abertura BA, traçamos um outro arco auxiliar e encontramos o ponto C; - Partindo do ponto B traçamos uma reta auxiliar que passa pelo ponto C; - Partindo do ponto C traçamos uma reta auxiliar que passa pelo ponto A; - Com centro em A e abertura AB, traçamos o arco BD; - Com centro em C e abertura CD, traçamos o arco DE; - Com centro em B e abertura BE, traçamos o arco EF; - Assim por diante dependendo do tamanho e de quantas voltas são necessárias. Figura 37. Traçado de uma espiral tricêntrica. Concordância de Retas e Arcos 25- Concordar uma reta r com um arco a partir de um ponto A pertencente à extremidade reta e um ponto B externo (Figura 38): - Traçamos uma perpendicular à reta r partindo do ponto A; - Traçamos a mediatriz de AB; - O cruzamento da perpendicular e da mediatriz é o centro do arco (ponto O). Figura 38. Concordância de uma reta, no ponto A, com um arco que passa ponto B externo à reta. 26- Concordar uma reta r num ponto A, com uma reta dada s, não paralela, por meio de um arco (Figura 39): - Traçamos uma perpendicular à reta r partindo do ponto A; - Do prolongamento das retas r e s encontramos o ponto B; - Com centro em B e abertura BA, encontramos o ponto C na reta s (ponto de concordância do arco); A B C D E F G H I A B O r 31 - Traçamos a bissetriz do ângulo A C; - Do cruzamento da perpendicular á reta r com a bissetriz do ângulo A C encontramos o ponto O. Figura 39. Concordância de duas retas não paralelas, r e s, a partir do ponto A pertencente a reta r, por meio de um arco. 27- Concordar um arco dado AB no ponto B, com um outro arco que deve passar por um ponto C externo (Figura 40): - Traçamos a mediatriz de BC; - Do cruzamento da mediatriz com o prolongamento do raio OB encontramos o ponto O’ (centro do arco concordante); - A curva ABC chama-se curva reversa. Figura 40. Concordância de um arco, no ponto B, com um outro arco que passa pelo C externo ao primeiro arco. 28- Concordar duas semi-retas paralelas r e s, nas suas origens A e B, com sentidos opostos, por meio de dois arcos em concordância entre si (Figura 41): - Partindo de A e de B traçamos as perpendiculares às retas r e s; - Unimos os pontos A e B e marcamos sobre este segmento um ponto C qualquer; - Traçamos as mediatrizes dos segmentos AC e CB; - Do cruzamento das mediatrizes com as perpendiculares encontramos os pontos O e O’ (centros dos arcos concordantes). A B r O s C A B . C O’ O 32 Figura 41. Concordância de duas semi reta opostas por meio de uma curva reversa. 29- Concordar uma reta s com um arco dado de raio conhecido r e centro O, por meio de um outro arco de raio dado R (Figura 42): - Traçamos uma perpendicular à reta s passando por um ponto A qualquer pertencente à reta; - Com centro em A e abertura igual a R, encontramos o ponto B; - Traçamos uma reta paralela a s passando por B; - Com centro em O e abertura igual a R + r encontramos o ponto O’ (centro do arco concordante); - Unindo O a O’ encontramos o ponto C (ponto de concordância entre os arcos de raio r e R). r = 2,7 cm R = 2,0 cm Figura 42. Concordância de uma reta e um arco por meio de um outro arco. 30- Concordar dois arcos dados de centros O e O’ e raio R e R’, respectivamente, por meio de um outro arco, conhecendo-se o ponto A de concordância com o primeiro arco (Figura 43): - Unimos o ponto O ao ponto A; - Com centro em A e abertura R’ encontramos o ponto B; - Traçamos a mediatriz de BO’; - Do prolongamento do segmento OA encontramos o ponto C na mediatriz (centro do arco concordante). R = 2,0 cm R’= 3,0 cm A O’ r O sB C . A . B O O’ C s 33 Figura 43. Concordância de um arco, em seu ponto A, com um outro arco por meio de um terceiro arco. ESCALAS Através do Desenho Técnico o Engenheiro de Pesca ou o projetista gera os documentos necessários para as construções. Esses são reproduzidos em "pranchas", isto é, folhas de papel com dimensões padronizadas segundo a NBR 10068. Uma prancha A4, por exemplo, tem 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento e o espaço delimitado pelas margens (espaço utilizável), de acordo com o convencionado neste documento, será 17,8 cm e 26,5 cm na folha verticalizada e 16 cm e 28,3 cm na folha horizontalizada. Desta forma se tivermos que desenhar uma propriedade rural nesta prancha, esta deverá estar em escala e o equipamento utilizado com o fim de evitar contas excessivas na hora do desenho é o escalímetro. Apresentarei agora duas definições para escala. A primeira, puramente matemática (Equação 1), nos diz que escala é o quociente entre a dimensão linear do desenho e a dimensão linear real do objeto (ou de um terreno, por exemplo). Uma segunda forma de definir escala de maneira mais prática, e que nos ajudará mais adiante, é pensarmos que escala é a relação que nos diz o quanto um determinado objeto foi/será reduzido ou ampliado de modo que possa caber satisfatoriamente no formato de papel escolhido sem que haja perda de detalhes importantes e/ou relevantes. Segundo a NBR 8196 – Desenho Técnico - Emprego de escalas e a NBR 10582, a escala deve estar contida na legenda da folha de desenho precedida da palavra “Escala” ou simplesmente “Esc.”. Equação 1 Na qual E é a escala; d é a dimensão linear no desenho; D é a dimensão linear real. Existem dois tipos principais de escalas: as escalas numéricas e as escalas gráficas. ESCALA NUMÉRICA Uma característica importante da escala numérica é o fato dela ser adimensional, ou seja, não possui unidade. Este fato é importante pelo fato de que podemos, utilizando uma mesma escala, fazer relações entre o desenho e A O’ O . B . C 34 o objeto em metros, centímetros, quilômetros, milhas, jardas, polegadas e qualquer outra unidade existente ou que se possa imaginar. As escalas numéricas podem ser representadas conforme a Equação 2. Equação 2 Na qual M é o denominador da escala. As escalas numéricas podem ser naturais, de redução e de ampliação. Escala natural: 1:1; Escala de redução: 1:M (M>1); Escala de ampliação: M:1(M>1). Retomando a nossa definição prática de escala, temos para a escala de redução que o valor de M nos diz o quanto o objeto foi reduzido para caber no espaço destinado ao desenho na folha. Por exemplo, ao vermos uma escalarepresentada por “Esc.: ” ou “Esc.: 1/50” ou ainda “Esc.: 1:50” devemos, dessa forma, entender que o objeto teve que ser reduzido 50 vezes para que pudesse ser desenhado. Isto nos leva ao seguinte raciocínio lógico, se quisermos, a partir do desenho, saber qual o tamanho real do objeto fazemos a conta inversa, ou seja, multiplicamos o valor medido no desenho por 50. Matematicamente temos: Equação 3 Equação 4 Substituindo a Equação 2 nas Equações 3 e 4 temos: Equação 5 Equação 6 Para fixarmos melhor vejamos os exemplos resolvidos abaixo. Exemplo 1: Um determinado desenho foi confeccionado sob uma escala de 1:150. Se uma distância medida no papel é de 31,5 cm, qual a distância real em metros? 35 Exemplo 2: A planta baixa de um galpão será desenhada num formato de folha A3 utilizando uma escala de 1:50. Uma parede que mede 10 m será representada no desenho com quantos centímetros? Exemplo 3: Um galpão de aquicultura cujo comprimento é de 30 m será desenhado numa folha de modo que seu comprimento seja 40 cm. Qual escala será utilizada neste desenho? Mantendo o mesmo tipo de raciocínio e aplicando-o à escala de ampliação (M:1, M>1), temos que o valor de M nos diz o quanto o objeto foi ampliado. Neste caso, uma escala representada por “Esc.: 5:1” nos indica que o objeto foi ampliado 5 vezes. De maneira contrária ao que foi feito para a escala de redução, para obtermos a dimensão real do objeto a partir do desenho devemos dividir o valor obtido no desenho por 5. Uma prática comum para os profissionais que lidam com escalas em seu trabalho é saber comparar duas escalas quanto ao seu tamanho, ou seja, quando uma escala é maior em relação à outra. Podemos raciocinar de três formas distintas que nos levam ao mesmo resultado. Por exemplo, ao compararmos as seguintes escalas, qual delas é a maior? A primeira forma de chegarmos à conclusão correta é um raciocínio matemático decorrente da Equação 2, nela podemos facilmente observar que o tamanho da escala é inversamente proporcional ao denominador da fração, ou seja, ao valor de M. Uma segunda forma, mais intuitiva, de analisarmos a questão é relembrarmos nosso conceito mais prático de escalas: “escala é a relação que nos diz o quanto um determinado objeto foi/será reduzido ou ampliado”. Partindo deste conceito, imaginemos que um mesmo objeto seja desenhado em ambas as escalas, num caso ele será reduzido 75 vezes e noutro, 50 vezes. Uma terceira forma, seria simplesmente efetuarmos a divisão e . Podemos com isso facilmente chegar à conclusão de que a escala 1:50 é maior que a escala 1:75. 36 Um dos fatores que determina a escolha do tamanho da escala de um desenho é a necessidade de detalhe da informação. Assim sendo, um conceito também importante que está atrelado ao tamanho da escala é o detalhamento do objeto no desenho. No exemplo anterior diremos que o desenho feito utilizando uma escala de 1:50 apresentará maior quantidade de detalhes que o desenho feito com a escala de 1:75 devido a um motivo lógico, o desenho feito na escala de 1:50 é maior! Além do cálculo de distâncias lineares, também podemos utilizar as escalas para efetuarmos o cálculo da área de superfícies reias (um terreno, por exemplo) a partir do desenho (uma planta topográfica, por exemplo). Para fins de dedução de fórmula para o cálculo de áreas, utilizarei uma forma geométrica de tratamento matemático mais elementar, o quadrado. Contudo a fórmula demonstrada poderá ser aplicada com segurança para qualquer tipo de superfície, seja ela um polígono regular ou não. Consideremos, então, a representação de um terreno quadrado cujo desenho tenha sido feito utilizando uma escala de 1:M. Utilizando uma régua faz-se a medida do lado do quadrado que possui valor de duas unidades (2 u). Desta forma podemos calcular a área do quadrado no desenho: Na qual Ad é a área do terreno representado no desenho. Para calcularmos a área real do terreno (AD) utilizando nossos conhecimentos até o presente momento, seguiríamos da seguinte forma: converteríamos o lado do quadrado do desenho para seu valor real utilizando a Equação 6 e aplicaríamos a fórmula para cálculo da área do quadrado conforme feito para o desenho. Calculando agora a área do terreno temos: 2 u 2 u 37 Como já sabemos que Ad = 4u 2, fazemos a substituição e chegamos a Equação 7. Equação 7 Observemos a utilização da Equação 7 em alguns exemplos. Exemplo 4: Ao analisar uma planta topográfica de uma propriedade, um Engenheiro de Pesca constatou que a mesma apresentava forma de um triângulo retângulo conforme desenho abaixo. Partindo das medições efetuadas no desenho, em centímetros, e da escala da planta, E = 1:2.500, o engenheiro calculou a área real da propriedade, qual o valor por ele encontrado em ha? Inicialmente calculamos a área do terreno representada no desenho. Utilizando a fórmula para cálculo da área do triângulo temos: Agora convertemos esta área para seu valor real utilizando a Equação 7: Como 1 ha = 104 m2 e 1 m2 = 104 cm2 temos que 1 ha = 108 cm2, logo: Exemplo 5: Um terreno possui área de 7 ha, ao ser desenhado no papel utilizando uma escala de 1:500 com quantos cm2 ela será representada? Podemos inicialmente fazer a transformação de ha para cm2. Como já sabemos que 1 ha = 108 cm2, temos: 38 Exemplo 6: Uma propriedade que possui área de 2,5 ha foi representada num papel com área de 4.000 cm2, qual foi a escala utilizada? Primeiramente precisamos colocar ambas as áreas numa mesma unidade. AD = 2,5 x 108 cm2 Ad = 4,0 x 103 cm2 Exercícios com escalas 1) Em um desenho feito utilizando uma escala de 1:250, o comprimento de uma aresta vale 15 cm, qual seu tamanho real? 2) Sabendo que uma propriedade será desenhada utilizando uma escala de 1:500 e que um de seus lados mede 0,75 hm, qual será seu comprimento correspondente no desenho em cm? 3) Como parte dos exercícios de sala de aula, o professor de Desenho Técnico pediu que seus alunos desenhassem a própria sala em uma folha no formato A4 horizontalizada. Sabendo que sala possui dimensões de 8 m x 7 m e utilizando o escalímetro, diga qual é a maior escala possível de ser utilizada para fazer o desenho da sala. 4) Fulaninho é aluno do curso de Engenharia de Pesca. Seu orientador possui em mãos uma planta de um galpão que será construído no Campus para o desenvolvimento de pesquisas, contudo, o projetista esqueceu-se de colocar a escala na planta. Como o orientador é muito atarefado, entregou uma trena para Fulaninho e pediu que ele calculasse a escala da planta. Utilizando uma régua, ele mediu o comprimento total do galpão nodesenho e encontrou um valor de 500 mm. Depois, utilizando a trena, mediu no terreno o espaço que seria ocupado pelo comprimento total do galpão e encontrou um valor de 2,5 dam. Em qual escala o desenho foi feito? 5) A distância entre duas cidades A e B no mapa é representada por uma linha reta que mede 4 dm, sabendo que a escala do mapa é igual a 1:75000 e que a viagem teve uma duração de 45 min, qual foi a velocidade média desenvolvida pelo carro em km/h? 39 6) Com uma planta topográfica em mãos feita com uma escala de 1:750, um aluno do curso de Engenharia de Pesca observou que uma propriedade possuía forma de um trapézio retângulo. Utilizando uma régua ele efetuou as medidas e obteve as medidas em cm conforme mostra a figura abaixo. Com base nestes dados calcule a área do terreno em ha. 7) O desenho de um terreno retangular feito numa escala de 1:250 e apresenta um de seus lados com comprimento de 35,27 cm. Sabendo que sua área real é de 0,42 ha calcule a largura real do terreno em metros. 8) Sabendo que a área de um terreno na planta é de 2.963,89 cm2 e que sua área real vale 10,67 ha, calcule a escala na qual a mesma foi feita. ESCALA GRÁFICA A escala gráfica é constituída por um segmento de reta ou retângulo subdividido em partes iguais de modo a representar graficamente a relação entre distâncias lineares no desenho e no real. A escala gráfica possui como grande vantagem em relação à escala numérica o fato de mudar suas proporções na maneira proporcional em relação ao desenho quando da ampliação ou redução do original. Isto significa dizer que ela continua sendo válida mesmo com a mudança das dimensões do desenho original, o que não acontece com a escala numérica. Contudo, para construirmos uma escala gráfica precisamos ter o prévio conhecimento da escala numérica. Para entendermos melhor esta situação vejamos as formas de se elaborar uma escala gráfica a partir da escala numérica: 1:5.000. No primeiro caso fixaremos em 100 m a distância do terreno que será representada no desenho. Utilizando, então, a Equação 5, calculamos quantos centímetros representam 100 m na escala adotada: Isto significa que um segmento da escala gráfica que contenha 2 cm de comprimento estará representando 100 m no terreno. Desta forma podemos representar a respectiva escala gráfica como sendo: No segundo caso fixaremos, para a mesma escala numérica, o valor do segmento como sendo 1,0 cm. Desta forma calcularemos quantos metros no terreno 1 cm representa utilizando a Equação 6. 0 100 200 300 400 m 40 A escala gráfica representada é: NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplicada que tem como objetivo representar sobre o plano as figuras do espaço, ou seja, resolver problemas de três dimensões em duas dimensões. Para conseguir esse objetivo, são usados processos construtivos que permitem representar, no plano, a figura espacial de tal maneira que, todo problema relativo a essa figura se possa interpretar sobre sua representação plana. Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre planos. Resolve problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado. A Geometria Descritiva deu um grande impulso à indústria, e foi exatamente por esse motivo que, seu criador, Gaspar Monge se dedicou a esse estudo. Para a representação no plano de figuras fundamentada no método descritivo idealizado por Monge utiliza-se a projeção cilíndrica ortogonal que tem a propriedade fundamental de representar em verdadeira grandeza as figuras do espaço que forem paralelas ao respectivo plano de projeção. Os planos de projeção criados por Monge são dois planos perpendiculares entre si, sendo que um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Estes planos se cruzam perpendicularmente originando a Linha de Terra (LT) na interseção entre ambos. Desta forma originam-se quatro regiões no espaço, delimitadas por um semi-plano vertical e um semi-plano horizontal, são os chamados diedros ou quadrantes. Os ângulos diedros, por tanto, são ângulos retos formados por duas faces planas. A numeração dos diedros é feita no sentido anti-horário a partir daquele que se convencionou chamar de 1º diedro. Desta forma, o primeiro diedro é formado pelos semi-planos superior vertical e o anterior horizontal; o segundo diedro é formado pelos semi-planos superior vertical e posterior horizontal; o terceiro diedro é formado pelos semi-planos inferior vertical e posterior horizontal e o quarto diedro é formado pelos semi-planos inferior vertical e anterior horizontal. 1º Diedro2º Diedro 3º Diedro 4º Diedro Linha de Terra m 0 50 100 150 200 41 Além dos dois planos de projeção considerados, vamos considerar um terceiro plano, perpendicular a ambos os planos, a que vamos chamar πo. Podemos considerar, então, um sistema de eixos X,Y e Z, onde o eixo X é a Linha de Terra, o eixo Y resulta da intersecção do plano πo com o plano horizontal e o eixo Z resulta da intersecção de πo com o plano vertical. Estudo do ponto No sistema de eixos apresentados, podemos representar um ponto P pelas suas coordenadas P(X,Y,Z). A projeção de um ponto sobre um plano é a base da perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano é dito plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto. Porém no espaço um ponto não está bem determinado apenas com uma projeção. Então mostramos como se determina um ponto P através do método das projeções de Monge. Neste método, as coordenadas representativas de um ponto são denominadas de abscissa (eixo X), que representa a distância do ponto ao plano de referência πo; afastamento (eixo Y), que representa a distância ao plano vertical e cota (eixo Z), que representa a distância ao plano horizontal. Para representarmos as projeções ortogonais do ponto P no plano, segundo os dois planos idealizados por Monge, utilizaremos a representação em épura, que é a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções no plano. Para obter a épura, gira-se o plano horizontal em torno da Linha de Terra no sentido horário, de tal forma que este coincida com o plano vertical. Com a colocação do terceiro plano temos que este também será rebatido sobre o plano vertical. Estudo da reta Quando temos uma série de pontos enfileirados ou quando um ponto se desloca no espaço sem variar sua trajetória de um ponto determinado até outro, temos X Y Z Y X Z 42 definido um segmento de reta. Dessa forma, a representação de um segmento sobre um plano no sistema de diedros ocorre pela projeção de todos os pontos que o compõem. A posição relativa de um segmento a um plano admite quatro situações distintas: paralelo, pertencente ao plano, oblíquo e perpendicular. Quando paralelo ou pertencente ao plano, o segmento de reta será representado em verdadeira grandeza. Quando obliquo, a projeção do segmento não será representada em verdadeira grandeza e menor será sua representação quanto maior for o ângulo formado entre o segmento e o plano até estes se tornem perpendiculares e o segmento seja representado somente porum ponto. Partindo deste princípio podemos identificar três situações quando o segmento de reta se encontra posicionado no sistema de vistas composto pelos três planos já apresentados anteriormente (plano vertical, plano horizontal e πo). O segmento de reta pode se encontrar perpendicular a um dos planos e, consequentemente, paralelo aos outros dois. O segmento pode estar perpendicular ao plano horizontal, ao plano vertical ou ao plano πo. Dessa forma, possui uma projeção pontual e duas projeções em verdadeira grandeza. O segmento de reta pode estar paralelo a apenas um dos planos e, consequentemente, oblíquo aos outros dois. Dessa forma, possui apenas uma projeção em verdadeira grandeza e as demais reduzidas. O segmento de reta pode estar oblíquo aos três planos. Dessa forma, todas as suas projeções serão reduzidas. Estudo do plano Ao deslocarmos uma reta no espaço em trajetória retilínea e paralela a si mesmo, temos definido um plano. Da mesma forma como feito anteriormente, podemos posicionar um plano no sistema de diedros de diferentes maneiras. Um plano pode ser paralelo a um dos planos de projeção e, consequentemente, perpendicular aos demais. Desta forma, o plano aparecerá projetado em verdadeira grandeza, com seus limites, no plano ao qual se encontra paralelo e como uma reta nos demais. Um plano pode ser perpendicular a um dos planos de projeção e, consequentemente, oblíquo aos demais. Desta forma, o plano aparecerá como uma reta no plano de projeção ao qual se encontra paralelo e reduzido dos outros dois. Um plano pode ser oblíquo aos três planos de projeção, aparecendo reduzido em todas as projeções. 43 Método Mongeano O método de representação por meio de um sistema de vistas ortográficas é fundamentado em fatos da experiência cotidiana. Quando se tenta a representação plana de um objeto tridimensional, verifica-se que existem posições particulares que possibilitam ao observador um aspecto simplificado. Estas posições particulares correspondem à observação centrada (direção perpendicular ao meio) de determinada face do objeto. A representação, neste caso, se reduz ao contorno e detalhes daquela face, pois desaparecem as outras que lhe são perpendiculares. Uma vez que uma só projeção não permite definir o objeto que a originou, Garpard Monge desenvolveu um método que recorre não a uma, mas a duas projeções. Para este efeito escolheu dois planos perpendiculares entre si, e sobre eles projetou ortogonalmente os objetos a representar. Posteriormente rebateu um dos planos sobre o outro e, deste modo, conseguiu representar no plano do papel, objetos simples do espaço. Assim, a projeção cilíndrica ortogonal de um objeto, colocado com uma de suas faces paralelas ao plano de projeção, resume-se à figura da verdadeira grandeza dessa face, desaparecendo a forma das demais faces que lhe são perpendiculares cujas projeções reduzem-se a linhas. Uma vista ortográfica representa, pois, um aspecto particular do objeto, segundo uma direção de observação determinada. Contudo, para fazer aparecer a terceira dimensão é necessário fazer uma segunda projeção ortogonal olhando os sólidos por outro ângulo. Dessa forma teremos as projeções nos planos vertical e horizontal. O posterior rebatimento do plano horizontal no sentido horário até a formação de um único plano na posição vertical nos dá a representação do objeto no plano indicando suas três dimensões (comprimento, altura e largura). Contudo duas vistas, apesar de representarem as três dimensões, podem não ser suficientes para representar a forma do objeto desenhado. A representação das formas espaciais é resolvida para a maioria dos casos com a utilização de uma terceira projeção no plano πo. Essas três vistas ortográfica habituais, que geralmente garantem a univocidade da representação do objeto, são denominadas de elevação, planta e perfil. Para que o desenho resultante se transforme em uma linguagem gráfica, os planos de projeção horizontal e lateral têm os sentidos de rebatimento convencionados, e sempre se rebatem sobre o plano vertical. 44 Para objetos ainda mais complexos consideraremos o fato de que cada contorno pode ser observado em dois sentidos opostos. Dessa forma, mais três vistas opostas às habituais podem ser representadas, sendo as seis vistas: a vista frontal (elevação), a vista posterior, a vista superior (planta), a vista inferior, vista lateral esquerda (perfil) e a vista lateral direita (perfil), fica assim definido o paralelepípedo de referência e o conjunto das seis projeções formadas será chamado de vistas principais. Como foi discutido anteriormente os dois planos de projeções, como concebidos por Monge, formam quatro diedros no espaço. Pensar-se-ia, então, que um determinado objeto poderia ser representado em qualquer um dos quatro diedros, e de fato poderia, contudo convencionalmente utilizam-se apenas o primeiro e o terceiro diedros, uma vez que no segundo e no quarto diedros existe o inconveniente da sobreposição de imagens. Para fins práticos, convencionou-se considerar opacos os planos de projeção no 1º diedro e transparentes no 3º diedro. Para ambos os diedros os nomes das vistas são as mesmas, mas suas posições relativas à vista frontal são diferentes. A representação das projeções utiliza linhas desenhadas no plano para representar aspectos lineares dos objetos tridimensionais. Esses aspectos lineares do objeto que se pretende representar tanto podem ser arestas como contornos aparentes. As arestas correspondem às intersecções de faces planas ou curvas do objeto e os contornos aparentes são percebidos quando os raios visuais tangenciam uma superfície curva. Ao projetar ortogonalmente um objeto sobre um plano, traçam- se todas as projetantes paralelas à direção perpendicular ao plano de projeção, que se apoiam tanto sobre as arestas do objeto como sobre as superfícies curvas que limitam seu volume. As intersecções dessas projetantes com o plano de projeção determinam sua vista ortográfica. As projetantes que se apoiam sobre as arestas, determinam a projeção das arestas. As projetantes tangentes à superfície curva de um objeto definem uma linha que não existe na superfície do objeto e cuja projeção representa seu contorno aparente. Portanto, uma linha de uma vista ortográfica pode representar uma aresta ou um contorno aparente. 45 DESENHO EM PERSPECTIVA Os métodos perspectivos são bastante úteis para a realização de esboços à mão livre, e esta é um das razões mais importantes para aprendê-los. A perspectiva é um tipo especial de projeção, na qual é possível a percepção de três eixos dimensionais (comprimento, largura e altura) em um espaço bidimensional. De acordo com o tipo de projeção, as perspectivas podem ser classificadas no campo especifico da geometria descritiva como dois tipos fundamentais: projeção central ou cônica e projeção em paralelo ou cilíndrica. No primeiro caso podemos identificar projeções com 1, 2 ou 3 pontos de fuga. As perspectivas cônicas são as mais comumente associadas à ideia de perspectiva, pois são aquelas que mais se assemelham ao fenômeno de perspectiva assimilado pelo cérebro humano. Elas ocorrem quando o observador não está situado no infinito e, portanto todas as retas projetantes divergem dele. Este tipo de projeção é quase exclusivamente aplicada ao campo artístico e raramente utilizada nos campos da arquitetura e da engenharia, pois suas características impedem uma leitura rigorosa. A projeção em paralelo ou cilíndrica pode ainda ser oblíqua ou ortogonal. As oblíquas são mais bem representadas pelas perspectivas em cavaleira. As perspectivas paralelas oblíquasocorrem quando o observador, situado no infinito, gera raios projetantes paralelos que incidem de forma não-perpendicular no plano de projeção. Desta forma, caso uma das faces do objeto a ser projetado seja paralela ao plano de projeção, esta face estará desenhada em verdadeira grandeza, enquanto as demais sofrerão uma redução (distorção). A não aplicação da redução provoca uma interpretação equivocada da figura, fazendo com que as medidas de largura (também chamada de profundidade) pareçam ter medidas maiores que as medidas reais. Dependendo do ângulo de incidência dos raios projetantes, o fator de correção a ser utilizado na mensuração das arestas será diferente. As inclinações normalmente utilizadas para os desenhos desse tipo de perspectivas são os ângulos de 30º, 45º e 60º, ângulos encontrados nos jogos de esquadros, equipamentos que já são tradicionalmente utilizados para desenhos técnicos. Quando os raios projetantes incidem no plano de projeção com ângulos de 30º, as faces a sofrerem distorção terão suas medidas, no plano de projeção, reduzidas para dois terços (2/3) do valor real. Com o aumento do valor do ângulo para 45º o valor deve ser corrigido para metade (1/2) do valor real e uma correção para um terço (1/3) do valor real deve ser feita para um ângulo de 60º. Com correção Sem correção Cavaleira 30º Com correção Sem correção Cavaleira 45º 46 As projeções paralelas ortogonais são executadas utilizando a perspectiva técnica, designada de axonométrica. As perspectivas axonométricas ortogonais podem ser isométrica, dimétricas e trimétricas. A perspectiva do tipo isométrica ocorre quando os raios projetantes que são paralelos entre si (observador no infinito) incidem perpendicularmente ao plano de projeção e o sistema de eixos apresenta os três ângulos iguais com valor 120º. Neste tipo de perspectiva as medidas dos três eixos terão coeficientes de redução (correção) iguais na representação da visualização das projeções no plano de projeção. Na prática, como na perspectiva do tipo isométrica o fator de redução das medidas é igual para as três direções, reduzindo proporcionalmente por igual o objeto representado, o coeficiente de correção pode não ser aplicado, é o que se chama de perspectiva axonométrica simplificada. A perspectiva isométrica é a mais comum de ser utilizada no dia-a-dia devido à sua versatilidade e facilidade de montagem, é possível desenhar uma isométrica relativamente precisa utilizando-se apenas um par de esquadros. Na perspectiva dimétrica os eixos fazem dois ângulos iguais entre si e um diferente, ocasionando dois coeficientes de redução diferentes. Analogamente, nas perspectivas trimétricas os eixos formam três ângulos diferentes entre si, ocasionando três coeficientes de redução para as medidas nas três direções. COTAGEM EM DESENHO TÉCNICO Ambos, desenhos ortográficos e perspectivas são passíveis de serem cotados. Contudo a maioria dos desenhos cotados são os desenhos elaborados por meio de vistas ortográficas, uma vez que nesta modalidade de desenho são representadas várias vistas particulares do objeto: vistas frontal e/ou posterior, vistas lateral esquerda e/ou direita; vistas superior e/ou inferior e vistas auxiliares quando necessário. Nesta modalidade de desenho, as cotas sempre serão colocadas naquela vista que melhor representa a característica cotada. Após a execução do desenho, um dos passos mais importantes é a sua cotagem, pois é ela quem especifica as dimensões e tolerâncias da mesma. Cotagem é, portanto, a representação gráfica no desenho da característica do elemento, através de linhas, símbolos, notas e valor numérico numa unidade de medida, sendo regida Com correção Sem correção Cavaleira 60º 47 pela NBR 10126 – Contagem em desenho técnico. A cotagem pode ser funcional e não funcional. Diz-se da cota funcional aquela que não é necessariamente a mesma que foi utilizada pelo desenhista, mas sim aquela que é selecionada para o funcionamento adequado da peça e necessária para utilização pelos operários que devem fazer a peça. A cota não funcional é aquela que não é essencial para o funcionamento do objeto ou sua construção. Antes de cotar um desenho deve-se estudá-lo e compreender suas exigências funcionais. O projetista deve se colocar no lugar do moldador, matrizeiro, maquinista etc. e construir mentalmente o objeto, descobrindo que cotas oferecem melhor as informações necessárias. A cota, seja qual for seu tipo, método de aplicação ou representação gráfica, possui um papel decisivo na interpretação do desenho técnico trazendo informações como comprimentos, larguras, alturas, profundidades, raios e diâmetros, ângulos, coordenadas, forma (circular, quadrada, esférica – caso a vista não mostre claramente), quantidade (por exemplo, número de furos), código/referência do produto, ordem de montagem, detalhes construtivos, observações e quaisquer outros detalhes que possuam importância relevante. Os símbolos de diâmetro (Ø), raio (R), quadrado (□), diâmetro esférico (Ø ESF) e raio esférico (R ESF) são usados com cotas para mostrar a identificação das formas e melhorar a interpretação do desenho e devem ser representados anteriormente ao valor da cota. Os símbolos de diâmetro e de quadrado podem ser omitidos quando a forma for claramente indicada. Os elementos básicos utilizados na execução da cotagem são a cota, a linha de cota, o limite da linha de cota e a linha auxiliar. Segundo a Norma Brasileira 8403, que trata da aplicação de linhas em desenhos, dos tipos de linhas e da espessura das mesmas, o traço utilizado para desenhar a linha de cota deve ser do tipo contínuo e estreito. As cotas devem ser apresentadas em caracteres conforme NBR 8402 com tamanho suficiente para garantir a completa legibilidade, tanto no original como nas reproduções e devem ser escritas de modo que possam ser lidas da base e/ou lado direito do desenho. Existem dois método de cotagem, mas somente um deles deve ser utilizado num mesmo desenho. Em um dos métodos as cotas devem ser localizadas acima e paralelamente às suas linhas de cota e preferivelmente no centro enquanto que no outro as linhas de cota devem ser interrompidas, preferivelmente no meio, para inscrição da cota que devem ser lidas da base da folha de papel. A linha de cota não deve ser interrompida, mesmo que o elemento o seja. O cruzamento das linhas de cota e auxiliares deve ser evitado, porém, se isso ocorrer, as linhas não devem ser interrompidas no ponto de cruzamento. A linha de centro e a linha de contorno, não devem ser usadas como linha de cota. Os limites da linha de cota podem ser formados por setas abertas, setas fechadas cheias ou por traços oblíquos com o mesmo tamanho. Somente uma forma da indicação dos limites da linha de cota deve ser usada num mesmo desenho. Sempre que houver espaço disponível as setas de limitação da linha de cota devem ser apresentadas entre os limites da linha de cota, contudo se o espaço for reduzido, as setas de limitação da linha de cota, podem ser apresentadas externamente no prolongamento da linha de cota, desenhado com esta finalidade. Somente uma seta de limitação da linha de cota é utilizada na cotagem de raio dentro ou fora do contorno. A linha auxiliar deve ser prolongada ligeiramente, cerca de 3 mm, além da respectiva linha de cota e deve haver um pequeno espaço, cerca de 1,5 mm, entre esta e a linha de contorno do objeto. Ela deve ser preferencialmente perpendicular ao elemento dimensionado, podendo ser desenhada obliquamente a este (aproximadamente 60°), porém paralelas entre si e não deve cruzar com outras linhas sempre que possível. A construção da intersecção de linhas auxiliares deve ser feita com o prolongamento desta além do ponto de intersecção.
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